Mathbench

IEB-proefvraestel I (tweede vraestel)

'n Volledige oefenvraestel van 150 punte: 11 vrae in 49 dele, 30 onderwerpe, Afdeling A 70 punte en Afdeling B 80. Elke vraag is vir hierdie bladsy gegenereer en elke antwoord is onafhanklik geverifieer.

Die verdeling tussen die afdelings, en hoeveel van die vraestel elke onderwerp werd is, is uit 282 werklike IEB-vrae gemeet — nie geraai nie. Nie een van daardie vrae verskyn hier nie.

Alle IEB-oefening · Skryf hierdie vraestel op tyd · English

Die vraestel

Afdeling A[70 punte]

1[13 punte]
  1. (a)
    Gegee f(x) = x^2 − 2x − 5. Bepaal (f(x + h) − f(x))/h, die gemiddelde tempo van verandering van f oor die interval [x; x + h], in sy eenvoudigste vorm.
    (3)
  2. (b)
    Bepaal vervolgens f′(x).
    (2)
  3. (c)
    Die lyn y = 4x + k is 'n raaklyn aan die grafiek van g(x) = −x^2 + 2x − 1. Bepaal die koördinate van die punt waar die lyn aan g raak, en die waarde van k.
    (5)
  4. (d)
    By watter punt op f is die raaklyn ewewydig aan die lyn y = −8x?
    (3)
2[13 punte]

Gegee: f(x) = −4 − 8/(x − 4)

xyO
  1. (a)
    Bepaal f(0).
    (1)
  2. (b)
    Bepaal die waarde van x waarvoor f(x) = 0.
    (2)
  3. (c)
    Skets die grafiek van f op die assestelsel wat voorsien word. Benoem alle asimptote en afsnitte met die asse duidelik.
    (5)
  4. (d)
    Skryf die definisieversameling van f neer.
    (1)
  5. (e)
    Vir watter waardes van x is f(x) > 0?
    (2)
  6. (f)
    Die grafiek van f word 3 eenhede na regs en 2 eenhede op geskuif om g te vorm. Skryf die vergelyking van g neer.
    (2)
3[14 punte]
  1. (a)
    Los op vir x: 3^(2x) − 10(3^x) − 24 = 0
    (4)
  2. (b)
    Los op vir x: 3^(x + 1) + 3^(x − 1) = 30
    (3)
  3. (c)
    Indien log 2 = p en log 3 = q, bepaal log 6 in terme van p en q.
    (2)
  4. (d)
    Los op vir x: x − √(x + 14) = −2
    (5)
4[15 punte]
  1. (a)
    Los op vir x en y indien 2^(x + y) = 2 en 3^(x − y) = 1/27.
    (5)
  2. (b)
    Vir watter waardes van k sal die lyn y = −2x + k die parabool y = x^2 + 3x − 4 nooit sny nie?
    (4)
  3. (c)
    'n Bus en 'n motor ry dieselfde roete van 75 km. Die motor ry 25 km/h vinniger as die bus en kom 'n halfuur vroeër aan. Bepaal die gemiddelde spoed van die bus.
    (6)
5[15 punte]

'n Huislening van R1 250 000 word oor 20 jaar in gelyke maandelikse betalings terugbetaal. Die rentekoers is 11% per jaar, maandeliks saamgestel, en die eerste betaling word een maand nadat die lening toegestaan is, gedoen. Gee antwoorde korrek tot twee desimale plekke.

  1. (a)
    Bereken die minimum maandelikse terugbetaling wat nodig is om die lening af te betaal.
    (4)
  2. (b)
    Bereken die uitstaande balans aan die einde van jaar 14, onmiddellik na die betaling op daardie tydstip.
    (4)
  3. (c)
    Bepaal die effektiewe jaarlikse rentekoers van die lening.
    (3)
  4. (d)
    Indien jy eerder R16 800 per maand betaal, hoeveel betalings sal dit neem om die lening af te betaal? (Die laaste betaling mag kleiner wees.)
    (4)

Afdeling B[80 punte]

6[9 punte]

'n Reghoekige tuin word teen 'n reguit muur gebou. Die ander drie sye word met 56 m heining omhein. Die twee sye loodreg op die muur is elk x m lank.

xx
  1. (a)
    Toon aan dat die oppervlakte van die tuin A = 56x − 2x^2 is.
    (2)
  2. (b)
    Bepaal die afmetings van die tuin met die grootste oppervlakte, en daardie oppervlakte.
    (5)
  3. (c)
    Bepaal die tempo waarteen die oppervlakte ten opsigte van x verander wanneer x = 19.
    (2)
7[12 punte]

Die grafiek van y = f′(x), die afgeleide van 'n derdegraadse funksie f, is hieronder geteken. Dit raak die x-as by C(4; 0) en sny die y-as by (0; 16).

xyOC(4; 0)(0; 16)f′
  1. (a)
    Bepaal die vergelyking van f′.
    (3)
  2. (b)
    Gegee dat f(0) = 6, bepaal f(x).
    (4)
  3. (c)
    Is x = 4 'n draaipunt van f, of 'n buigpunt? Gee 'n rede.
    (2)
  4. (d)
    Bepaal die x-waardes waar die raaklyn aan f 'n gradiënt van 9 het.
    (3)
8[13 punte]
  1. (a)
    Los op vir x: (3x − 5)(x^2 + 8x + 16) = 0
    (3)
  2. (b)
    Gebruik die kwadratiese formule om vir x korrek tot twee desimale plekke op te los indien 3x^2 + 5x = 1. Toon alle berekeninge.
    (4)
  3. (c)
    Los vervolgens op vir x indien 3x^2 + 5x − 1 > 0.
    (2)
  4. (d)
    Bepaal die waarde(s) van p waarvoor die wortels van x(x − 10) = −3p reëel en gelyk is.
    (4)
9[13 punte]

In die diagram hieronder is f(x) = b^x en g, die refleksie van f in die lyn y = x, geteken. P(1; 1/3) lê op f.

xyOy = xP(1; 1/3)ABfg
  1. (a)
    Bepaal die waarde van b.
    (2)
  2. (b)
    Skryf die vergelyking van g in die vorm y = … neer.
    (2)
  3. (c)
    Skryf die definisieversameling van g neer.
    (1)
  4. (d)
    Vir watter waardes van x is g(x) ≥ 1?
    (2)
  5. (e)
    Die lyn x = 1 sny f by A en g by B. Bepaal die lengte van AB.
    (3)
  6. (f)
    h(x) = f(x) − 2. Skryf die vergelyking van die asimptoot van h neer en bepaal die x-afsnit van h, korrek tot twee desimale plekke.
    (3)
10[16 punte]
  1. (a)
    Op hoeveel verskillende maniere kan die letters van die woord LETTERS gerangskik word?
    (3)
  2. (b)
    Die letters van LETTERS word lukraak gerangskik. Wat is die waarskynlikheid dat die rangskikking met T begin en met S eindig?
    (3)
  3. (c)
    6 verskillende motors word in 'n ry parkeerplekke gerangskik. Op hoeveel maniere kan dit gedoen word?
    (1)
  4. (d)
    Op hoeveel maniere kan dit gedoen word indien 2 spesifieke motors in enige volgorde langs mekaar moet wees?
    (3)
  5. (e)
    Die syfers 0; 4; 5; 7; 8 word gebruik om 5-syfergetalle te vorm, sonder herhaling ('n getal kan nie met 0 begin nie). Hoeveel sulke getalle kan gevorm word?
    (2)
  6. (f)
    Hoeveel van hierdie getalle is ewe en groter as 80000?
    (4)
11[17 punte]
  1. (a)
    3x − 14; 5x − 24 en 2x + 6 is die eerste drie terme van 'n rekenkundige ry. Bepaal die waarde van x en die drie terme.
    (3)
  2. (b)
    Watter term van hierdie ry is gelyk aan 220?
    (3)
  3. (c)
    Hoeveel terme van hierdie ry moet bymekaargetel word om 'n som van 598 te gee?
    (4)
  4. (d)
    'n Patroon van kolletjies word prent vir prent gebou. Prente 1 tot 4 het 7; 17; 33; 55 kolletjies, en die getalle kolletjies vorm 'n kwadratiese ry. Hoeveel kolletjies is in prent 20?
    (4)
  5. (e)
    Watter prent het 6123 kolletjies?
    (3)

Memorandum

Elke antwoord hieronder is deur 'n onafhanklike verifieerder bevestig op die oomblik toe die vraag gemaak is.

1

(a) Antwoord: 2x + h − 2

  1. f(x + h) = (x + h)^2 − 2(x + h) − 5
  2. f(x + h) − f(x) = 2xh + h^2 − 2h
  3. (2xh + h^2 − 2h)/h = 2x + h − 2

(b) Antwoord: f′(x) = 2x − 2

  1. f′(x) = lim_(h → 0) (2x + h − 2)
  2. = 2x − 2

(c) Antwoord: (−1; −4); k = 0

  1. g′(x) = −2x + 2 = 4
  2. x = −1
  3. g(−1) = −4, dus is die punt (−1; −4)
  4. −4 = 4(−1) + k, dus k = 0

(d) Antwoord: (−3; 10)

  1. f′(x) = 2x − 2 = −8
  2. x = −3
  3. f(−3) = 10

Die afgeleide uit eerste beginsels

2

(a) Antwoord: f(0) = −2

  1. f(0) = −8/(−4) − 4 = −2

(b) Antwoord: x = 2

  1. −8/(x − 4) = 4
  2. −8 = 4(x − 4)
  3. x = 2

(c) Antwoord: Sien die skets hieronder.

xyOx = 4y = −4(0; −2)(2; 0)f
  1. asimptote: x = 4 en y = −4
  2. y-afsnit (0; −2); x-afsnit (2; 0)

(d) Antwoord: x ∈ ℝ, x ≠ 4

  1. f is slegs by x = 4 ongedefinieer

(e) Antwoord: 2 < x < 4

  1. van die grafiek afgelees: die x-afsnit is x = 2 en die asimptoot x = 4 word nooit ingesluit nie
  2. 2 < x < 4

(f) Antwoord: g(x) = −8/(x − 7) − 2

  1. g(x) = f(x − 3) + 2
  2. g(x) = −8/(x − 7) − 2

Die hiperbool

3

(a) Antwoord: x = 2.26

  1. laat t = 3^x: t^2 − 10t − 24 = 0
  2. (t − 12)(t + 2) = 0
  3. 3^x = −2 het geen oplossing nie
  4. 3^x = 12, dus x = log_3 12 = 2.26

(b) Antwoord: x = 2

  1. 3^x · (3 + 1/3) = 30
  2. 3^x · 10/3 = 30
  3. 3^x = 9
  4. x = 2

(c) Antwoord: log 6 = p + q

  1. log 6 = log(2 × 3)
  2. = p + q

(d) Antwoord: x = 2

  1. √(x + 14) = x + 2
  2. x + 14 = x^2 + 4x + 4
  3. x^2 + 3x − 10 = 0
  4. (x − 2)(x + 5) = 0
  5. toets x = −5: √(−5 + 14) = 3 maar −5 + 2 = −3, dus word x = −5 verwerp
  6. x = 2

Eksponensiële grafieke

4

(a) Antwoord: x = −1, y = 2

  1. 2^(x + y) = 2^(1), dus x + y = 1
  2. 3^(x − y) = 3^(−3), dus x − y = −3
  3. tel op: 2x = −2, dus x = −1
  4. y = 1 − (−1) = 2

(b) Antwoord: k < −41/4

  1. x^2 + 3x − 4 = −2x + k
  2. x^2 + 5x − 4 − k = 0
  3. geen snypunt nie: Δ < 0
  4. (5)^2 − 4(1)(−4 − k) < 0
  5. k < −41/4

(c) Antwoord: 50 km/h

  1. laat die bus teen v km/h ry: 75/v − 75/(v + 25) = 1/2
  2. 75(v + 25) − 75v = (1/2)v(v + 25)
  3. v^2 + 25v − 3750 = 0
  4. (v − 50)(v + 75) = 0
  5. v = 50 (v = −75 word verwerp: 'n spoed is positief)

Gelyktydige vergelykings

5

(a) Antwoord: R12 902.35

  1. i = 11%/12 en n = 240
  2. 1250000 = x[1 − (1 + 0.009167)^(−240)]/0.009167
  3. x = R12 902.35

(b) Antwoord: R677 857.43

  1. na 168 betalings
  2. balans = 1250000(1 + i)^168 − 12902.35[(1 + i)^168 − 1]/i
  3. = R677 857.43

(c) Antwoord: 11.57%

  1. 1 + i_eff = (1 + 0.11/12)^12
  2. i_eff = 11.57%

(d) Antwoord: 126 betalings

  1. 1250000 = 16800[1 − (1 + i)^(−n)]/i
  2. (1 + i)^(−n) = 0.317956
  3. n = 125.57
  4. 126 betalings

Leen: die huidigewaarde-annuïteit

6

(a) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

  1. die sy langs die muur is 56 − 2x
  2. A = x(56 − 2x) = 56x − 2x^2

(b) Antwoord: 14 m by 28 m; oppervlakte 392 m²

  1. dA/dx = 56 − 4x = 0
  2. x = 14 m
  3. die sy langs die muur is 28 m
  4. A = 14 × 28 = 392 m²

(c) Antwoord: −20 m²/m

  1. dA/dx by x = 19
  2. = −20 m²/m

Optimalisering

7

(a) Antwoord: f′(x) = x^2 − 8x + 16

  1. f′(x) = a(x − (4))^2, wat die x-as by C raak
  2. 16 = a(4)^2, dus a = 1
  3. f′(x) = x^2 − 8x + 16

(b) Antwoord: f(x) = (1/3)x^3 − 4x^2 + 16x + 6

  1. f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d met f′(x) = 3ax^2 + 2bx + c = x^2 − 8x + 16
  2. a = 1/3, b = −4, c = 16
  3. f(0) = d = 6
  4. f(x) = (1/3)x^3 − 4x^2 + 16x + 6

(c) Antwoord: 'n Buigpunt

  1. f′(4) = 0, maar f′ verander nie van teken by x = 4 nie
  2. dus het f daar 'n horisontale buigpunt

(d) Antwoord: x = 1 of x = 7

  1. 1(x − (4))^2 = 9
  2. (x − (4))^2 = 9
  3. x = 1 of x = 7

Om die grafiek van f' te lees

8

(a) Antwoord: x = −4 of x = 5/3

  1. (3x − 5)(x + 4)^2 = 0
  2. 3x − 5 = 0 of x + 4 = 0
  3. x = −4 of x = 5/3

(b) Antwoord: x = −1.85 of x = 0.18

  1. 3x^2 + 5x − 1 = 0
  2. x = (−(5) ± √((5)^2 − 4(3)(−1)))/(2(3))
  3. x = (−5 ± √(37))/6
  4. x = −1.85 of x = 0.18

(c) Antwoord: x < −1.85 of x > 0.18

  1. die kritieke waardes is x = −1.85 en x = 0.18
  2. x < −1.85 of x > 0.18

(d) Antwoord: p = 25/3

  1. x^2 − 10x + 3p = 0
  2. Δ = (−10)^2 − 4(1)(3p) = 100 − 12p
  3. Δ = 0 vir gelyke wortels: 100 − 12p = 0
  4. p = 25/3

Kwadratiese rye en figuurpatrone

9

(a) Antwoord: b = 1/3

  1. P lê op f: b^1 = 1/3
  2. b = 1/3

(b) Antwoord: y = log_(1/3) x

  1. g is die refleksie van f in y = x: x = (1/3)^y
  2. y = log_(1/3) x

(c) Antwoord: x > 0

  1. die definisieversameling van g is die waardeversameling van f

(d) Antwoord: 0 < x ≤ 1/3

  1. g(x) = 1 wanneer x = (1/3)^1 = 1/3
  2. g is dalend (0 < b < 1), dus draai die ongelykheidsteken om
  3. 0 < x ≤ 1/3

(e) Antwoord: AB = 1/3 eenhede

  1. A(1; 1/3): f(1) = (1/3)^1 = 1/3
  2. B(1; 0): g(1) = log_(1/3) 1 = 0
  3. AB = 1/3 − 0 = 1/3

(f) Antwoord: y = −2; x-afsnit (−0.63; 0)

  1. f se asimptoot y = 0 skuif 2 af: y = −2
  2. (1/3)^x − 2 = 0, dus (1/3)^x = 2
  3. x = log_(1/3) 2 = −0.63

Eksponensiële grafieke

10

(a) Antwoord: 1260

  1. 7 letters, met E 2 keer, T 2 keer
  2. 7!/(2! × 2!) = 1260

(b) Antwoord: 1/21

  1. plaas T eerste en S laaste: 60 rangskikkings van die ander 5 letters
  2. P = 60/1260 = 1/21

(c) Antwoord: 720

  1. 6! = 720

(d) Antwoord: 240

  1. hanteer die 2 as een blok: 5 eenhede, 5! maniere
  2. die blok self op 2! maniere
  3. 5! × 2! = 240

(e) Antwoord: 96

  1. 4 × 4 × 3 × 2 × 1
  2. = 96

(f) Antwoord: 12

  1. die eerste syfer is minstens 8, die laaste syfer ewe
  2. tel elke keuse van eerste en laaste syfer, en vul dan die middel
  3. = 12

Die fundamentele telbeginsel

11

(a) Antwoord: x = 8; die terme is 10; 16; 22

  1. T_2 − T_1 = T_3 − T_2
  2. 2(5x − 24) = (3x − 14) + (2x + 6)
  3. 5x − 40 = 0
  4. x = 8

(b) Antwoord: T_(36)

  1. 10 + (n − 1)(6) = 220
  2. n − 1 = 35
  3. n = 36

(c) Antwoord: 13 terme

  1. n/2[2(10) + (n − 1)(6)] = 598
  2. 6n^2 + 14n − 1196 = 0
  3. n = 13 (n is 'n natuurlike getal)

(d) Antwoord: 1223 kolletjies

  1. tweede verskil 6: a = 3
  2. T_n = 3n^2 + n + 3
  3. T_(20) = 1223

(e) Antwoord: prent 45

  1. 3n^2 + n + 3 = 6123
  2. 3n^2 + n − 6120 = 0
  3. n = 45 (n > 0)

Rekenkundige rye