Mathbench

IEB-proefvraestel I (derde vraestel)

'n Volledige oefenvraestel van 150 punte: 11 vrae in 53 dele, 32 onderwerpe, Afdeling A 76 punte en Afdeling B 74. Elke vraag is vir hierdie bladsy gegenereer en elke antwoord is onafhanklik geverifieer.

Die verdeling tussen die afdelings, en hoeveel van die vraestel elke onderwerp werd is, is uit 282 werklike IEB-vrae gemeet — nie geraai nie. Nie een van daardie vrae verskyn hier nie.

Alle IEB-oefening · Skryf hierdie vraestel op tyd · English

Die vraestel

Afdeling A[76 punte]

1[9 punte]

'n Geslote silindriese blik moet 250 cm³ hou. Sy radius is r cm en sy hoogte h cm. (V = πr^2h en die totale buite-oppervlakte is S = 2πr^2 + 2πrh)

rh
  1. (a)
    Toon aan dat S = 2πr^2 + 500/r.
    (3)
  2. (b)
    Bepaal, korrek tot twee desimale plekke, die radius waarvoor die buite-oppervlakte 'n minimum is.
    (4)
  3. (c)
    Bereken die minimum buite-oppervlakte, korrek tot twee desimale plekke.
    (2)
2[12 punte]

Jy wil oor 12 jaar R570 000 hê. Jou spaarrekening verdien 9.5% per jaar, maandeliks saamgestel. Gee antwoorde korrek tot twee desimale plekke.

  1. (a)
    Bereken die gelyke maandelikse deposito wat die doel bereik, as die eerste deposito oor een maand gedoen word en die laaste een aan die einde van die 12 jaar.
    (4)
  2. (b)
    Jy deponeer eerder 'n enkelbedrag van R230 000 nou en niks meer nie. Na hoeveel maande sal die rekening vir die eerste keer minstens R570 000 bevat?
    (4)
  3. (c)
    Jy deponeer eerder R230 000 nou en R800 aan die einde van elke maand. Wat sal die rekening aan die einde van die 12 jaar bevat?
    (4)
3[13 punte]

Die som van die eerste n terme van 'n ry word gegee deur S_n = −2n^2 − 3n.

  1. (a)
    Bepaal die eerste drie terme van die ry.
    (3)
  2. (b)
    Toon aan dat die ry rekenkundig is, en bepaal T_n.
    (3)
  3. (c)
    Watter term van die ry is gelyk aan −77?
    (2)
  4. (d)
    In 'n ander rekenkundige reeks is die konstante verskil −3. Die som van die eerste n terme is −234 en die som van die eerste 2n terme is −900. Bepaal n en die eerste term van hierdie reeks.
    (5)
4[14 punte]
  1. (a)
    Indien 2^x = k, skryf 8^x in terme van k.
    (2)
  2. (b)
    Skryf 2^(2x − 1) in terme van k.
    (2)
  3. (c)
    Indien log 2 = p en log 3 = q, bepaal log 18 in terme van p en q.
    (2)
  4. (d)
    Bepaal log 4.5 in terme van p en q.
    (2)
  5. (e)
    Los op vir x: log_x 27 = 3
    (2)
  6. (f)
    Los op vir x: log_5 (x − 2) + log_5 (x + 22) = 2
    (4)
5[14 punte]
  1. (a)
    Los op vir x in terme van p: x^2 + 12p^2 = 7px
    (3)
  2. (b)
    Indien x^2 + 2x − 6 = (x − m)^2 + p, bepaal die waardes van m en p.
    (3)
  3. (c)
    Skryf vervolgens die minimum waarde van x^2 + 2x − 6 neer.
    (1)
  4. (d)
    Los op vir x: x^2 ≤ 3x + 10
    (3)
  5. (e)
    Bepaal die waarde(s) van p waarvoor die wortels van x(x − 8) = 4p reëel en gelyk is.
    (4)
6[14 punte]

In die diagram hieronder is die grafiek van f(x) = a/(x + p) + q met sy asimptote geteken. A(3; 2) lê op f.

xyOx = 2y = −1A(3; 2)f
  1. (a)
    Skryf die waardes van p en q neer.
    (2)
  2. (b)
    Bepaal die waarde van a.
    (2)
  3. (c)
    Bepaal die vergelykings van die simmetrie-asse van f.
    (2)
  4. (d)
    Die simmetrie-as y = x − 3 sny die grafiek van f by B en D. Bepaal die koördinate van B en D en laat jou antwoorde waar nodig in wortelvorm.
    (3)
  5. (e)
    Skryf die waardeversameling van f neer.
    (1)
  6. (f)
    Vir watter waardes van x is f(x) > 0?
    (2)
  7. (g)
    Die grafiek van f word 1 eenheid na regs en 1 eenheid af geskuif om g te vorm. Skryf die vergelyking van g neer.
    (2)

Afdeling B[74 punte]

7[12 punte]

Die grafiek van y = f′(x), die afgeleide van 'n derdegraadse funksie f, is hieronder geteken. Dit raak die x-as by C(2; 0) en sny die y-as by (0; 4).

xyOC(2; 0)(0; 4)f′
  1. (a)
    Bepaal die vergelyking van f′.
    (3)
  2. (b)
    Gegee dat f(0) = −6, bepaal f(x).
    (4)
  3. (c)
    Is x = 2 'n draaipunt van f, of 'n buigpunt? Gee 'n rede.
    (2)
  4. (d)
    Bepaal die x-waardes waar die raaklyn aan f 'n gradiënt van 1 het.
    (3)
8[13 punte]
  1. (a)
    Gegee f(x) = 2x^2 + 4x − 6. Bepaal (f(x + h) − f(x))/h, die gemiddelde tempo van verandering van f oor die interval [x; x + h], in sy eenvoudigste vorm.
    (3)
  2. (b)
    Bepaal vervolgens f′(x).
    (2)
  3. (c)
    Die lyn y = 2x + k is 'n raaklyn aan die grafiek van g(x) = x^2 − 4x − 7. Bepaal die koördinate van die punt waar die lyn aan g raak, en die waarde van k.
    (5)
  4. (d)
    By watter punt op f is die raaklyn ewewydig aan die lyn y = 12x?
    (3)
9[15 punte]
  1. (a)
    Bereken Σ_(n=1)^(16) (2n + 7).
    (3)
  2. (b)
    Bepaal die waarde van p indien Σ_(n=1)^(p) (4n + 5) = 774.
    (4)
  3. (c)
    Bereken Σ_(n=1)^(∞) (−6(1/4)^(n − 1)).
    (3)
  4. (d)
    Bepaal die waarde van p indien Σ_(n=1)^(∞) ((4/5)^n) + Σ_(n=1)^(p) (6n + 4) = 990.
    (5)
10[16 punte]
  1. (a)
    Op hoeveel verskillende maniere kan die letters van die woord PEPPERS gerangskik word?
    (3)
  2. (b)
    Die letters van PEPPERS word lukraak gerangskik. Wat is die waarskynlikheid dat die rangskikking met S begin en met R eindig?
    (3)
  3. (c)
    8 verskillende motors word in 'n ry parkeerplekke gerangskik. Op hoeveel maniere kan dit gedoen word?
    (1)
  4. (d)
    Op hoeveel maniere kan dit gedoen word indien 4 spesifieke motors in enige volgorde langs mekaar moet wees?
    (3)
  5. (e)
    Die syfers 1; 3; 4; 5; 6; 9 word gebruik om 5-syfergetalle te vorm, sonder herhaling ('n getal kan nie met 0 begin nie). Hoeveel sulke getalle kan gevorm word?
    (2)
  6. (f)
    Hoeveel van hierdie getalle is ewe en groter as 90 000?
    (4)
11[18 punte]
  1. (a)
    P(A) = 0.45 en P(B) = 0.1. Bepaal P(A of B) indien A en B onderling uitsluitend is.
    (2)
  2. (b)
    Bepaal P(A of B) indien A en B onafhanklik is.
    (3)
  3. (c)
    'n Tolletjie land op rooi (R), blou (B) of groen (G) met waarskynlikhede 0.45, 0.35 en 0.2. Dit word twee keer gedraai, en die draaie is onafhanklik. Teken 'n boomdiagram om al die uitkomste en hul waarskynlikhede te toon.
    (3)
  4. (d)
    Bereken die waarskynlikheid van een blou en een groen, in enige volgorde.
    (3)
  5. (e)
    Bereken die waarskynlikheid van minstens een rooi.
    (2)
  6. (f)
    In 'n groep van 50 leerders neem 25 skaak, 23 neem drama en 13 neem albei. 'n Leerder word ewekansig gekies. Bereken die waarskynlikheid dat die leerder skaak of drama neem.
    (2)
  7. (g)
    Is die gebeurtenisse 'neem skaak' en 'neem drama' onafhanklik? Toon jou berekening.
    (3)

Memorandum

Elke antwoord hieronder is deur 'n onafhanklike verifieerder bevestig op die oomblik toe die vraag gemaak is.

1

(a) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

  1. h = 250/(πr^2)
  2. S = 2πr^2 + 2πr(250/(πr^2))
  3. S = 2πr^2 + 500/r

(b) Antwoord: r = 3.41 cm

  1. dS/dr = 4πr − 500/r^2 = 0
  2. r^3 = 250/(2π)
  3. r = 3.41 cm

(c) Antwoord: S = 219.69 cm²

  1. S = 2π(3.4139)^2 + 500/3.4139
  2. S = 219.69 cm²

Optimalisering

2

(a) Antwoord: R2 135.83

  1. i = 9.5%/12 en n = 144
  2. 570 000 = x[(1 + i)^144 − 1]/i
  3. x = R2 135.83

(b) Antwoord: 116 maande

  1. 230 000(1 + i)^n ≥ 570 000
  2. n ≥ log(570 000/230 000)/log(1 + i) = 115.09
  3. 116 maande

(c) Antwoord: R929 436.18

  1. 230 000(1 + i)^144 + 800[(1 + i)^144 − 1]/i
  2. = R929 436.18

Spaar: die toekomstigewaarde-annuïteit

3

(a) Antwoord: −5; −9; −13

  1. S_1 = −5, S_2 = −14, S_3 = −27
  2. T_1 = S_1 = −5; T_2 = S_2 − S_1 = −9; T_3 = S_3 − S_2 = −13

(b) Antwoord: T_n = −4n − 1

  1. T_2 − T_1 = −4 en T_3 − T_2 = −4: 'n konstante verskil, dus rekenkundig
  2. T_n = −5 + (n − 1)(−4) = −4n − 1

(c) Antwoord: T_(19)

  1. −4n − 1 = −77
  2. n = 19

(d) Antwoord: n = 12 en a = −3

  1. S_n = n/2[2a + (n − 1)(−3)] = −234 en S_(2n) = n[2a + (2n − 1)(−3)] = −900
  2. S_(2n) − 2S_n = −3n^2 = −432
  3. n^2 = 144, dus n = 12
  4. 12/2[2a − 33] = −234, dus a = −3

Rekenkundige rye

4

(a) Antwoord: 8^x = k^3

  1. 8^x = (2^x)^3
  2. = k^3

(b) Antwoord: 2^(2x − 1) = k^2/2

  1. 2^(2x − 1) = (2^x)^2 ÷ 2
  2. = k^2/2

(c) Antwoord: log 18 = p + 2q

  1. log 18 = log(2 × 3^2)
  2. = p + 2q

(d) Antwoord: log 4.5 = −p + 2q

  1. log 4.5 = log(3^2/2)
  2. = −p + 2q

(e) Antwoord: x = 3

  1. x^3 = 27
  2. x = 3 ('n grondtal is positief en nie 1 nie)

(f) Antwoord: x = 3

  1. log_5 [(x − 2)(x + 22)] = 2
  2. (x − 2)(x + 22) = 25
  3. x^2 + 20x − 69 = 0
  4. x = 3 of x = −23
  5. x = −23 gee die log van 'n negatiewe getal, dus x = 3

Eksponensiële grafieke

5

(a) Antwoord: x = 3p of x = 4p

  1. x^2 − 7px + 12p^2 = 0
  2. (x − 3p)(x − 4p) = 0
  3. x = 3p of x = 4p

(b) Antwoord: m = −1 en p = −7

  1. (x − m)^2 + p = x^2 − 2mx + m^2 + p
  2. −2m = 2, dus m = −1
  3. m^2 + p = −6, dus p = −7

(c) Antwoord: −7

  1. (x − m)^2 ≥ 0, dus is die kleinste waarde p = −7

(d) Antwoord: −2 ≤ x ≤ 5

  1. x^2 − 3x − 10 ≤ 0
  2. (x + 2)(x − 5) ≤ 0
  3. kritieke waardes: x = −2 en x = 5
  4. −2 ≤ x ≤ 5

(e) Antwoord: p = −4

  1. x^2 − 8x − 4p = 0
  2. Δ = (−8)^2 − 4(1)(−4p) = 64 + 16p
  3. Δ = 0 vir gelyke wortels: 64 + 16p = 0
  4. p = −4

Kwadratiese rye en figuurpatrone

6

(a) Antwoord: p = −2 en q = −1

  1. die asimptote is x = 2 en y = −1
  2. x + p = 0 by x = 2, dus p = −2; q = −1

(b) Antwoord: a = 3

  1. 2 = a/(3 − 2) − 1
  2. a = (2 + 1)(3 − 2) = 3

(c) Antwoord: y = x − 3 en y = −x + 1

  1. albei gaan deur die punt waar die asimptote sny, (2; −1)
  2. y = (x − 2) − 1 en y = −(x − 2) − 1

(d) Antwoord: (2 − √3; −1 − √3) en (2 + √3; −1 + √3)

  1. 3/(x − 2) − 1 = x − 3
  2. (x − 2)^2 = 3
  3. x = 2 ± √3
  4. (2 − √3; −1 − √3) en (2 + √3; −1 + √3)

(e) Antwoord: y ∈ ℝ, y ≠ −1

  1. f neem nooit die waarde van sy horisontale asimptoot, y = −1, aan nie

(f) Antwoord: 2 < x < 5

  1. van die grafiek afgelees: die x-afsnit is x = 5 en die asimptoot x = 2 word nooit ingesluit nie
  2. 2 < x < 5

(g) Antwoord: g(x) = 3/(x − 3) − 2

  1. g(x) = f(x − 1) − 1
  2. g(x) = 3/(x − 3) − 2

Die hiperbool

7

(a) Antwoord: f′(x) = x^2 − 4x + 4

  1. f′(x) = a(x − (2))^2, wat die x-as by C raak
  2. 4 = a(2)^2, dus a = 1
  3. f′(x) = x^2 − 4x + 4

(b) Antwoord: f(x) = (1/3)x^3 − 2x^2 + 4x − 6

  1. f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d met f′(x) = 3ax^2 + 2bx + c = x^2 − 4x + 4
  2. a = 1/3, b = −2, c = 4
  3. f(0) = d = −6
  4. f(x) = (1/3)x^3 − 2x^2 + 4x − 6

(c) Antwoord: 'n Buigpunt

  1. f′(2) = 0, maar f′ verander nie van teken by x = 2 nie
  2. dus het f daar 'n horisontale buigpunt

(d) Antwoord: x = 1 of x = 3

  1. 1(x − (2))^2 = 1
  2. (x − (2))^2 = 1
  3. x = 1 of x = 3

Om die grafiek van f' te lees

8

(a) Antwoord: 4x + 2h + 4

  1. f(x + h) = 2(x + h)^2 + 4(x + h) − 6
  2. f(x + h) − f(x) = 4xh + 2h^2 + 4h
  3. (4xh + 2h^2 + 4h)/h = 4x + 2h + 4

(b) Antwoord: f′(x) = 4x + 4

  1. f′(x) = lim_(h → 0) (4x + 2h + 4)
  2. = 4x + 4

(c) Antwoord: (3; −10); k = −16

  1. g′(x) = 2x − 4 = 2
  2. x = 3
  3. g(3) = −10, dus is die punt (3; −10)
  4. −10 = 2(3) + k, dus k = −16

(d) Antwoord: (2; 10)

  1. f′(x) = 4x + 4 = 12
  2. x = 2
  3. f(2) = 10

Die afgeleide uit eerste beginsels

9

(a) Antwoord: 384

  1. 'n rekenkundige reeks: a = 9, d = 2, n = 16
  2. S_(16) = 16/2[2(9) + (15)(2)] = 384

(b) Antwoord: p = 18

  1. a = 9, d = 4: p/2[2(9) + (p − 1)(4)] = 774
  2. 4p^2 + 14p − 1548 = 0
  3. p = 18 (p is 'n natuurlike getal)

(c) Antwoord: −8

  1. 'n meetkundige reeks met a = −6 en r = 1/4; −1 < r < 1
  2. S_(∞) = −6/(1 − (1/4)) = −8

(d) Antwoord: p = 17

  1. die eerste som: a = r = 4/5, dus S_(∞) = (4/5)/(1 − 4/5) = 4
  2. die tweede: p/2[2(10) + (p − 1)(6)] = 986
  3. 6p^2 + 14p − 1972 = 0
  4. p = 17

Sigma-notasie

10

(a) Antwoord: 420

  1. 7 letters, met E 2 keer, P 3 keer
  2. 7!/(2! × 3!) = 420

(b) Antwoord: 1/42

  1. plaas S eerste en R laaste: 10 rangskikkings van die ander 5 letters
  2. P = 10/420 = 1/42

(c) Antwoord: 40 320

  1. 8! = 40 320

(d) Antwoord: 2880

  1. hanteer die 4 as een blok: 5 eenhede, 5! maniere
  2. die blok self op 4! maniere
  3. 5! × 4! = 2880

(e) Antwoord: 720

  1. 6 × 5 × 4 × 3 × 2
  2. = 720

(f) Antwoord: 48

  1. die eerste syfer is minstens 9, die laaste syfer ewe
  2. tel elke keuse van eerste en laaste syfer, en vul dan die middel
  3. = 48

Die fundamentele telbeginsel

11

(a) Antwoord: 0.55

  1. onderling uitsluitend: P(A en B) = 0
  2. P(A of B) = 0.45 + 0.1 = 0.55

(b) Antwoord: 0.505

  1. onafhanklik: P(A en B) = 0.45 × 0.1 = 0.045
  2. P(A of B) = 0.45 + 0.1 − 0.045 = 0.505

(c) Antwoord: Sien die boom hieronder.

0.45R0.45RRR: 0.20250.35BRB: 0.15750.2GRG: 0.090.35B0.45RBR: 0.15750.35BBB: 0.12250.2GBG: 0.070.2G0.45RGR: 0.090.35BGB: 0.070.2GGG: 0.04
  1. drie takke vir die eerste draai, drie uit elkeen vir die tweede
  2. elke uitkoms se waarskynlikheid is die produk langs sy takke

(d) Antwoord: 0.14

  1. P(BG) + P(GB) = 0.35 × 0.2 + 0.2 × 0.35
  2. = 0.14

(e) Antwoord: 0.6975

  1. 1 − P(geen rooi) = 1 − (0.55)^2
  2. = 0.6975

(f) Antwoord: 7/10

  1. n(skaak of drama) = 25 + 23 − 13 = 35
  2. P = 35/50 = 7/10

(g) Antwoord: Nee, hulle is nie onafhanklik nie

  1. P(skaak) × P(drama) = 1/2 × 23/50 = 23/100
  2. P(albei) = 13/50
  3. nie gelyk nie: nie onafhanklik nie

Die waarskynlikheidsreëls