Mathbench

IEB-proefvraestel I

'n Volledige oefenvraestel van 150 punte: 10 vrae in 53 dele, 31 onderwerpe, Afdeling A 75 punte en Afdeling B 75. Elke vraag is vir hierdie bladsy gegenereer en elke antwoord is onafhanklik geverifieer.

Die verdeling tussen die afdelings, en hoeveel van die vraestel elke onderwerp werd is, is uit 282 werklike IEB-vrae gemeet — nie geraai nie. Nie een van daardie vrae verskyn hier nie.

Alle IEB-oefening · Skryf hierdie vraestel op tyd · English

Die vraestel

Afdeling A[75 punte]

1[13 punte]
  1. (a)
    Los op vir x in terme van p: x^2 − 3p^2 = −2px
    (3)
  2. (b)
    Indien x^2 + 12x + 34 = (x − m)^2 + p, bepaal die waardes van m en p.
    (3)
  3. (c)
    Skryf vervolgens die minimum waarde van x^2 + 12x + 34 neer.
    (1)
  4. (d)
    Los op vir x: x^2 ≤ −4x − 3
    (3)
  5. (e)
    Toon aan dat die wortels van 2x^2 − px = 3 reëel en ongelyk is vir alle reële waardes van p.
    (3)
2[14 punte]

In die diagram hieronder is die grafiek van f(x) = a/(x + p) + q met sy asimptote geteken. A(−1; −5) lê op f.

xyOx = −2y = 3A(−1; −5)f
  1. (a)
    Skryf die waardes van p en q neer.
    (2)
  2. (b)
    Bepaal die waarde van a.
    (2)
  3. (c)
    Bepaal die vergelykings van die simmetrie-asse van f.
    (2)
  4. (d)
    Die simmetrie-as y = −x + 1 sny die grafiek van f by B en D. Bepaal die koördinate van B en D en laat jou antwoorde waar nodig in wortelvorm.
    (3)
  5. (e)
    Skryf die definisieversameling van f neer.
    (1)
  6. (f)
    Vir watter waardes van x is f(x) < 0?
    (2)
  7. (g)
    Die grafiek van f word 1 eenheid na regs en 2 eenhede op geskuif om g te vorm. Skryf die vergelyking van g neer.
    (2)
3[16 punte]
  1. (a)
    Los op vir x in terme van y: 3^(x + 3) · 81^y = 3^y
    (3)
  2. (b)
    Los op vir x: √(x + 53) = x − 3
    (5)
  3. (c)
    Los op vir x: log_2 (x^2 − 3x − 16) = 1
    (4)
  4. (d)
    Los op vir x: 2^(2x) + 1(2^x) − 6 = 0
    (4)
4[16 punte]
  1. (a)
    Gegee f(x) = −x^2 − 6x − 6. Gebruik eerste beginsels om f′(x) te bepaal.
    (5)
  2. (b)
    Bepaal dy/dx indien y = (x^2 + 4x + 5)/√x.
    (4)
  3. (c)
    Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan f by x = 2.
    (4)
  4. (d)
    Bepaal die gemiddelde gradiënt van f tussen x = 2 en x = 4.
    (3)
5[16 punte]

Jy kan bekostig om R5 500 per maand op 'n huislening terug te betaal. Gee antwoorde korrek tot twee desimale plekke.

  1. (a)
    Die bank gee 'n effektiewe jaarlikse rentekoers van 11.57% aan. Bepaal die ekwivalente nominale jaarlikse koers, maandeliks saamgestel, korrek tot twee desimale plekke.
    (3)
  2. (b)
    Gebruik hierdie nominale koers en bereken die grootste lening wat terugbetalings van R5 500 per maand in 30 jaar kan afbetaal. Die eerste betaling word een maand nadat die lening toegestaan is, gedoen.
    (4)
  3. (c)
    Die huis wat jy wil hê, kos R670 000. Hoeveel moet jy as deposito betaal?
    (2)
  4. (d)
    Aan die einde van jaar 9, onmiddellik na die betaling op daardie tydstip, betaal jy 'n enkelbedrag van R100 000 in die lening. Bereken die uitstaande balans onmiddellik na die enkelbedrag.
    (4)
  5. (e)
    Jy hou aan om R5 500 per maand te betaal. Hoeveel verdere betalings is nodig om die lening af te betaal? (Die laaste betaling mag kleiner wees.)
    (3)

Afdeling B[75 punte]

6[13 punte]

In die diagram hieronder is die parabool f met draaipunt T(−2; 6) en y-afsnit (0; 2), en die reguit lyn g, geteken. Die grafieke sny by A en B.

xyOT(−2; 6)(0; 2)ABfg
  1. (a)
    Bepaal die vergelyking van f in die vorm f(x) = a(x − p)^2 + q.
    (3)
  2. (b)
    g(x) = −4x − 7. Bepaal die koördinate van A en B, die punte waar f en g sny.
    (5)
  3. (c)
    Vir watter waardes van x is f(x) < g(x)?
    (2)
  4. (d)
    Skryf die waardeversameling van f neer.
    (1)
  5. (e)
    Vir watter waardes van t sal f(x) = t geen reële wortels hê nie?
    (2)
7[14 punte]

In die diagram hieronder is die grafiek van f(x) = x^3 − 6x^2 + d geteken, waar d 'n konstante is. (0; 0) is 'n stasionêre punt van f.

xyO(0; 0)f
  1. (a)
    Bepaal die waarde van d.
    (2)
  2. (b)
    Bepaal die koördinate van die ander stasionêre punt van f.
    (4)
  3. (c)
    Bepaal die x-koördinaat van die buigpunt van f.
    (2)
  4. (d)
    Vir watter waardes van k sal f(x) = k presies een reële wortel hê?
    (3)
  5. (e)
    Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan f by x = 0.
    (3)
8[14 punte]
  1. (a)
    'n PIN bestaan uit 5 syfers wat uit 0 tot 9 gekies word. Hoeveel verskillende PIN's kan gemaak word indien syfers herhaal mag word?
    (2)
  2. (b)
    Hoeveel verskillende PIN's kan gemaak word indien geen syfer meer as een keer gebruik mag word nie?
    (2)
  3. (c)
    'n PIN word ewekansig gekies, en syfers mag herhaal. Wat is die waarskynlikheid dat minstens een syfer meer as een keer voorkom? Gee jou antwoord as 'n desimale getal, waar nodig korrek tot vier desimale plekke.
    (3)
  4. (d)
    Hoeveel PIN's, waarin syfers mag herhaal, begin met 'n syfer groter as 4 en eindig met 'n onewe syfer?
    (3)
  5. (e)
    Hoeveel 3-letter-rangskikkings kan uit die letters van die woord GARDEN gemaak word, indien geen letter meer as een keer gebruik word nie?
    (2)
  6. (f)
    Hoeveel van hierdie rangskikkings begin met 'n klinker?
    (2)
9[17 punte]

Gegee: f(x) = −x^3 − 6x^2 − 9x − 4

xyO
  1. (a)
    Toon aan dat x = −4 'n wortel van f(x) = 0 is, en bepaal vervolgens die x-afsnitte van f.
    (3)
  2. (b)
    Bepaal die koördinate van die draaipunte van f.
    (4)
  3. (c)
    Skets die grafiek van f op die assestelsel wat voorsien word. Toon alle afsnitte met die asse en die draaipunte.
    (4)
  4. (d)
    Vir watter waardes van x is die grafiek van f konkaaf op?
    (2)
  5. (e)
    Vir watter waardes van x is f dalend?
    (2)
  6. (f)
    Vir watter waardes van k sal f(x) = k drie verskillende reële wortels hê?
    (2)
10[17 punte]

Beskou die rekenkundige reeks −1 − 4 − 7 − 10 + … − 91

  1. (a)
    Bepaal 'n formule vir T_n, die algemene term van die reeks.
    (2)
  2. (b)
    Bepaal die aantal terme in die reeks.
    (3)
  3. (c)
    Bereken die som van die reeks.
    (3)
  4. (d)
    Skryf die reeks in sigma-notasie.
    (2)
  5. (e)
    Die eerste vyf terme van 'n kwadratiese ry is 6; 21; 42; 69; 102; … Bepaal T_n, die n-de term.
    (4)
  6. (f)
    Bepaal of 2182 'n term van hierdie kwadratiese ry is.
    (3)

Memorandum

Elke antwoord hieronder is deur 'n onafhanklike verifieerder bevestig op die oomblik toe die vraag gemaak is.

1

(a) Antwoord: x = −3p of x = p

  1. x^2 + 2px − 3p^2 = 0
  2. (x + 3p)(x − p) = 0
  3. x = −3p of x = p

(b) Antwoord: m = −6 en p = −2

  1. (x − m)^2 + p = x^2 − 2mx + m^2 + p
  2. −2m = 12, dus m = −6
  3. m^2 + p = 34, dus p = −2

(c) Antwoord: −2

  1. (x − m)^2 ≥ 0, dus is die kleinste waarde p = −2

(d) Antwoord: −3 ≤ x ≤ −1

  1. x^2 + 4x + 3 ≤ 0
  2. (x + 3)(x + 1) ≤ 0
  3. kritieke waardes: x = −3 en x = −1
  4. −3 ≤ x ≤ −1

(e) Antwoord: Sien die bewys hieronder.

  1. 2x^2 − px − 3 = 0
  2. Δ = (−p)^2 − 4(2)(−3) = p^2 + 24
  3. p^2 ≥ 0, dus Δ ≥ 24 > 0
  4. dus is die wortels reëel en ongelyk vir alle reële waardes van p

Kwadratiese rye en figuurpatrone

2

(a) Antwoord: p = 2 en q = 3

  1. die asimptote is x = −2 en y = 3
  2. x + p = 0 by x = −2, dus p = 2; q = 3

(b) Antwoord: a = −8

  1. −5 = a/(−1 + 2) + 3
  2. a = (−5 − 3)(−1 + 2) = −8

(c) Antwoord: y = x + 5 en y = −x + 1

  1. albei gaan deur die punt waar die asimptote sny, (−2; 3)
  2. y = (x + 2) + 3 en y = −(x + 2) + 3

(d) Antwoord: (−2 − √8; 3 + √8) en (−2 + √8; 3 − √8)

  1. −8/(x + 2) + 3 = −x + 1
  2. (x + 2)^2 = 8
  3. x = −2 ± √8
  4. (−2 − √8; 3 + √8) en (−2 + √8; 3 − √8)

(e) Antwoord: x ∈ ℝ, x ≠ −2

  1. f is slegs by x = −2 ongedefinieer

(f) Antwoord: −2 < x < 2/3

  1. van die grafiek afgelees: die x-afsnit is x = 2/3 en die asimptoot x = −2 word nooit ingesluit nie
  2. −2 < x < 2/3

(g) Antwoord: g(x) = −8/(x + 1) + 5

  1. g(x) = f(x − 1) + 2
  2. g(x) = −8/(x + 1) + 5

Die hiperbool

3

(a) Antwoord: x = −3y − 3

  1. 3^(x + 3) · 3^(4y) = 3^(y)
  2. x + 3 + 4y = y
  3. x = −3y − 3

(b) Antwoord: x = 11

  1. x + 53 = x^2 − 6x + 9
  2. x^2 − 7x − 44 = 0
  3. (x − 11)(x + 4) = 0
  4. toets x = −4: √(−4 + 53) = 7 maar −4 − 3 = −7, dus word x = −4 verwerp
  5. x = 11

(c) Antwoord: x = −3 of x = 6

  1. x^2 − 3x − 16 = 2^1
  2. x^2 − 3x − 18 = 0
  3. (x + 3)(x − 6) = 0
  4. x = −3 of x = 6

(d) Antwoord: x = 1

  1. laat t = 2^x: t^2 + t − 6 = 0
  2. (t − 2)(t + 3) = 0
  3. 2^x = −3 het geen oplossing nie
  4. 2^x = 2, dus x = 1

Eksponensiële grafieke

4

(a) Antwoord: f′(x) = −2x − 6

  1. f(x + h) = −(x + h)^2 − 6(x + h) − 6
  2. = −x^2 − 2xh − h^2 − 6x − 6h − 6
  3. f(x + h) − f(x) = −2xh − h^2 − 6h
  4. f′(x) = lim_(h → 0) (−2xh − h^2 − 6h)/h
  5. = lim_(h → 0) (−2x − h − 6)
  6. = −2x − 6

(b) Antwoord: dy/dx = (3/2)x^(1/2) + 2x^(−1/2) − (5/2)x^(−3/2)

  1. y = x^(3/2) + 4x^(1/2) + 5x^(−1/2)
  2. dy/dx = (3/2)x^(1/2) + 2x^(−1/2) − (5/2)x^(−3/2)

(c) Antwoord: y = −10x − 2

  1. f(2) = −22, dus is die punt (2; −22)
  2. m = f′(2) = −10
  3. y + 22 = −10(x − 2)
  4. y = −10x − 2

(d) Antwoord: −12

  1. f(2) = −22 en f(4) = −46
  2. (−46 − (−22))/(4 − (2)) = −12

Die afgeleide uit eerste beginsels

5

(a) Antwoord: 11.00%

  1. 1 + 0.1157 = (1 + i/12)^12
  2. i = 12[(1 + 0.1157)^(1/12) − 1]
  3. i = 11.00%

(b) Antwoord: R577 534.90

  1. i = 11.00%/12 en n = 360
  2. HW = 5500[1 − (1 + i)^(−360)]/i
  3. = R577 534.90

(c) Antwoord: R92 465.10

  1. deposito = R670 000 − R577 534.90
  2. = R92 465.10

(d) Antwoord: R439 813.20

  1. na 108 betalings: R577 534.90(1 + i)^108 − 5500[(1 + i)^108 − 1]/i = R539 813.20
  2. R539 813.20 − R100 000 = R439 813.20

(e) Antwoord: 145 betalings

  1. 439813.2 = 5500[1 − (1 + i)^(−n)]/i
  2. n = 144.72
  3. 145 betalings

Nominale en effektiewe koerse

6

(a) Antwoord: f(x) = −(x + 2)^2 + 6

  1. f(x) = a(x + 2)^2 + 6
  2. vervang (0; 2): 2 = a(2)^2 + 6
  3. a = −1
  4. f(x) = −(x + 2)^2 + 6

(b) Antwoord: A(−3; 5) en B(3; −19)

  1. −(x + 2)^2 + 6 = −4x − 7
  2. −x^2 + 9 = 0
  3. −(x + 3)(x − 3) = 0
  4. x = −3 of x = 3
  5. A(−3; 5) en B(3; −19)

(c) Antwoord: x < −3 of x > 3

  1. by A en B van die grafiek afgelees
  2. x < −3 of x > 3

(d) Antwoord: y ≤ 6

  1. die draaipunt is n maksimum: y = 6

(e) Antwoord: t > 6

  1. die lyn y = t moet die parabool heeltemal mis
  2. t > 6

Die parabool

7

(a) Antwoord: d = 0

  1. f(0) = 0
  2. 0 + d = 0
  3. d = 0

(b) Antwoord: (4; −32)

  1. f′(x) = 3x^2 − 12x = 0
  2. 3(x − (0))(x − (4)) = 0
  3. x = 4
  4. f(4) = −32

(c) Antwoord: x = 2

  1. f′′(x) = 6x − 12 = 0
  2. x = 2

(d) Antwoord: k < −32 of k > 0

  1. die draaiwaardes is −32 en 0
  2. een wortel wanneer die lyn y = k bo die maksimum of onder die minimum verbygaan
  3. k < −32 of k > 0

(e) Antwoord: y = 0

  1. f(0) = 0 en f′(0) = 0
  2. y = 0

Stasionêre punte

8

(a) Antwoord: 100000

  1. 10 × 10 × 10 × 10 × 10
  2. = 100000

(b) Antwoord: 30240

  1. 10 × 9 × 8 × 7 × 6
  2. = 30240

(c) Antwoord: 0.6976

  1. P(niks herhaal) = 30240/100000
  2. P(minstens een herhaal) = 1 − 30240/100000 = 0.6976

(d) Antwoord: 25000

  1. eerste: 5 keuses; laaste: 5 keuses; die middelste 3: 10 elk
  2. 5 × 10 × 10 × 10 × 5 = 25000

(e) Antwoord: 120

  1. 6 × 5 × 4
  2. = 120

(f) Antwoord: 40

  1. 2 klinkers vir die eerste letter, dan 5 × 4
  2. 2 × 20 = 40

Die fundamentele telbeginsel

9

(a) Antwoord: (−4; 0) en (−1; 0)

  1. f(−4) = 0, dus is (x + 4) 'n faktor
  2. f(x) = −(x + 4)(x + 1)^2
  3. (−4; 0) en (−1; 0)

(b) Antwoord: (−3; −4) en (−1; 0)

  1. f′(x) = −3x^2 − 12x − 9
  2. −3x^2 − 12x − 9 = 0
  3. x = −3 of x = −1
  4. (−3; −4) en (−1; 0)

(c) Antwoord: Sien die skets hieronder.

xyO(−4; 0)(−3; −4)(−1; 0)(0; −4)f
  1. y-afsnit (0; −4); x-afsnitte (−4; 0), (−1; 0)
  2. draaipunte (−3; −4), (−1; 0)

(d) Antwoord: x < −2

  1. f′′(x) = −6x − 12
  2. f′′(x) > 0: −6x − 12 > 0
  3. x < −2

(e) Antwoord: x < −3 of x > −1

  1. f′(x) < 0
  2. x < −3 of x > −1

(f) Antwoord: −4 < k < 0

  1. die lyn y = k moet die grafiek drie keer sny: tussen die draaiwaardes
  2. −4 < k < 0

Stasionêre punte

10

(a) Antwoord: T_n = −3n + 2

  1. a = −1 en d = −4 − (−1) = −3
  2. T_n = −1 + (n − 1)(−3) = −3n + 2

(b) Antwoord: 31 terme

  1. −3n + 2 = −91
  2. −3n = −93
  3. n = 31

(c) Antwoord: S_(31) = −1426

  1. S_n = n/2(a + l)
  2. S_(31) = 31/2(−1 − 91)
  3. = −1426

(d) Antwoord: Σ_(n=1)^(31) (−3n + 2)

  1. die terme is T_n = −3n + 2, van n = 1 tot n = 31
  2. Σ_(n=1)^(31) (−3n + 2)

(e) Antwoord: T_n = 3n^2 + 6n − 3

  1. eerste verskille: 15; 21; 27; 33
  2. tweede verskil: 6, dus 2a = 6 en a = 3
  3. 3a + b = 15, dus b = 6
  4. a + b + c = 6, dus c = −3
  5. T_n = 3n^2 + 6n − 3

(f) Antwoord: Nee: 2182 is nie 'n term nie

  1. 3n^2 + 6n − 3 = 2182
  2. 3n^2 + 6n − 2185 = 0
  3. n = 26.01, nie 'n natuurlike getal nie

Rekenkundige rye