Mathbench

IEB-proefvraestel I

'n Volledige oefenvraestel van 150 punte: 11 vrae in 49 dele, 30 onderwerpe, Afdeling A 73 punte en Afdeling B 77. Elke vraag is vir hierdie bladsy gegenereer en elke antwoord is onafhanklik geverifieer.

Die verdeling tussen die afdelings, en hoeveel van die vraestel elke onderwerp werd is, is uit 415 werklike IEB-vrae gemeet — nie geraai nie. Nie een van daardie vrae verskyn hier nie.

Alle IEB-oefening · Laai die vraestel as PDF af · Skryf hierdie vraestel op tyd · English

Laai hierdie vraestel af

Die vraestel om te druk, en sy memorandum as 'n aparte lêer sodat jy dit kan skryf sonder dat die antwoorde voor jou lê. In Engels en Afrikaans.

Die vraestel

Afdeling A[73 punte]

VRAAG 1
  1. (a)
    Los op vir x in terme van p: x^2 + 12p^2 = −7px
    (3)
  2. (b)
    Indien x^2 − 6x − 7 = (x − m)^2 + p, bepaal die waardes van m en p.
    (3)
  3. (c)
    Skryf vervolgens die minimum waarde van x^2 − 6x − 7 neer.
    (1)
  4. (d)
    Los op vir x: x(x − 1) ≤ 0
    (3)
  5. (e)
    Bepaal die waarde(s) van k waarvoor 3x^2 + kx + 3 = 0 gelyke wortels het.
    (3)

[13]

VRAAG 2

Die aantal mense wat van 'n gerug gehoor het t dae ná die begin word gegee deur N(t) = a·b^t. Aan die begin is dit 80, en ná 3 dae is dit 270.

  1. (a)
    Bepaal die waardes van a en b.
    (3)
  2. (b)
    Bereken N(4).
    (2)
  3. (c)
    Bepaal die vergelyking van die inverse van N in die vorm y = …
    (3)
  4. (d)
    Na hoeveel dae sal N vir die eerste keer meer as 950 wees? Gee jou antwoord korrek tot twee desimale plekke.
    (3)
  5. (e)
    Hoe lank neem dit vir N om te verdubbel? Gee jou antwoord korrek tot twee desimale plekke.
    (2)

[13]

VRAAG 3
  1. (a)
    Bepaal dy/dx indien y = (x^3 − 9)/x^2.
    (4)
  2. (b)
    Gegee f(x) = 2x^3 + 15x^2 + 31x + 3. Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan f by die punt waar x = −3.
    (4)
  3. (c)
    Bepaal die x-koördinaat van die ander punt op f waar die raaklyn ewewydig is aan die raaklyn by x = −3.
    (3)
  4. (d)
    Die lyn y = 67x + k is 'n raaklyn aan f. Bepaal die moontlike waardes van k.
    (4)

[15]

VRAAG 4

'n Huislening van R600 000 word oor 25 jaar in gelyke maandelikse betalings terugbetaal. Die rentekoers is 8.75% per jaar, maandeliks saamgestel, en die eerste betaling word een maand nadat die lening toegestaan is, gedoen. Gee antwoorde korrek tot twee desimale plekke.

  1. (a)
    Bereken die maandelikse terugbetaling.
    (4)
  2. (b)
    Bereken die uitstaande balans aan die einde van jaar 9, onmiddellik na die betaling op daardie tydstip.
    (4)
  3. (c)
    Bepaal die effektiewe jaarlikse rentekoers van die lening.
    (3)
  4. (d)
    Indien jy eerder R7 400 per maand betaal, hoeveel betalings sal dit neem om die lening af te betaal? (Die laaste betaling mag kleiner wees.)
    (4)

[15]

VRAAG 5
  1. (a)
    5x − 24; 4x − 15 en 2x is die eerste drie terme van 'n rekenkundige ry. Bepaal die waarde van x en die drie terme.
    (3)
  2. (b)
    Watter term van hierdie ry is gelyk aan 87?
    (3)
  3. (c)
    Hoeveel terme van hierdie ry moet bymekaargetel word om 'n som van 1302 te gee?
    (4)
  4. (d)
    'n Patroon van kolletjies word prent vir prent gebou. Prente 1 tot 4 het 5; 11; 21; 35 kolletjies, en die getalle kolletjies vorm 'n kwadratiese ry. Hoeveel kolletjies is in prent 20?
    (4)
  5. (e)
    Watter prent het 5835 kolletjies?
    (3)

[17]

Afdeling B[77 punte]

VRAAG 6

'n Bal word van die dak van 'n gebou 10 m hoog gegooi. Dit bereik sy grootste hoogte van 19 m op 'n horisontale afstand van 2 m van die gebou af. In die diagram is die voet van die gebou by die oorsprong en lê die grond langs die x-as.

xyO(0; 10)M(2; 19)L
  1. (a)
    Bepaal die vergelyking van die baan van die bal in die vorm y = a(x − p)^2 + q.
    (3)
  2. (b)
    Bereken die hoogte van die bal 3 m horisontaal van die gebou af.
    (2)
  3. (c)
    Bereken, korrek tot twee desimale plekke, hoe ver van die gebou af die bal by L die grond tref.
    (3)

[8]

VRAAG 7

'n Reghoekige tuin word teen 'n reguit muur gebou. Die ander drie sye word met 120 m heining omhein. Die twee sye loodreg op die muur is elk x m lank.

xx
  1. (a)
    Toon aan dat die oppervlakte van die tuin A = 120x − 2x^2 is.
    (2)
  2. (b)
    Bepaal die afmetings van die tuin met die grootste oppervlakte, en daardie oppervlakte.
    (5)
  3. (c)
    Bepaal die tempo waarteen die oppervlakte ten opsigte van x verander wanneer x = 53.
    (2)

[9]

VRAAG 8

2 seuns en 5 meisies moet in 'n ry van 7 stoele sit. Thabo is een van die seuns en Mia een van die meisies.

  1. (a)
    Op hoeveel verskillende maniere kan die 7 leerders gerangskik word?
    (1)
  2. (b)
    Op hoeveel maniere kan hulle gerangskik word indien daar aan elke ent van die ry 'n meisie moet wees?
    (3)
  3. (c)
    Op hoeveel maniere kan hulle gerangskik word indien Thabo en Mia nie langs mekaar mag wees nie?
    (3)
  4. (d)
    Op hoeveel maniere kan hulle gerangskik word indien al die meisies langs mekaar moet wees?
    (3)
  5. (e)
    Indien die leerders hul plekke in 'n ewekansige volgorde inneem, wat is vervolgens die waarskynlikheid dat Thabo en Mia langs mekaar is?
    (3)

[13]

VRAAG 9

Die grafiek van g(x) = a/(x + p) + q het die lyne y = x − 6 en y = −x − 2 as sy simmetrie-asse, en gaan deur die punt (11; −5).

  1. (a)
    Bepaal die waardes van p en q.
    (3)
  2. (b)
    Bepaal die waarde van a.
    (2)
  3. (c)
    Skryf die definisieversameling en die waardeversameling van g neer.
    (2)
  4. (d)
    Die parabool f het sy draaipunt waar die asimptote van g mekaar sny, en gaan deur (5; 23). Bepaal die vergelyking van f.
    (3)
  5. (e)
    Bepaal die koördinate van die punte waar die simmetrie-as y = −x − 2 die grafiek van g sny.
    (4)

[14]

VRAAG 10
  1. (a)
    Los op vir x in terme van y: 3^(x + 3) · 81^y = 3^y
    (3)
  2. (b)
    Los op vir x: √(x + 53) = x − 3
    (5)
  3. (c)
    Los op vir x: log_2 (x^2 − 3x − 16) = 1
    (4)
  4. (d)
    Los op vir x: 2^(2x) + 2^x − 6 = 0
    (4)

[16]

VRAAG 11

Gegee: f(x) = x^3 − 6x^2 + 9x − 4

xyO
  1. (a)
    Toon aan dat x = 4 'n wortel van f(x) = 0 is, en bepaal vervolgens die x-afsnitte van f.
    (3)
  2. (b)
    Bepaal die koördinate van die draaipunte van f.
    (4)
  3. (c)
    Skets die grafiek van f op die assestelsel wat voorsien word. Toon alle afsnitte met die asse en die draaipunte.
    (4)
  4. (d)
    Vir watter waardes van x is die grafiek van f konkaaf op?
    (2)
  5. (e)
    Vir watter waardes van x is f dalend?
    (2)
  6. (f)
    Vir watter waardes van k sal f(x) = k drie verskillende reële wortels hê?
    (2)

[17]

Memorandum

Elke antwoord hieronder is deur 'n onafhanklike verifieerder bevestig op die oomblik toe die vraag gemaak is.

VRAAG 1

(a) Antwoord: x = −4p of x = −3p

  1. x^2 + 7px + 12p^2 = 0
  2. (x + 4p)(x + 3p) = 0

(b) Antwoord: m = 3 en p = −16

  1. (x − m)^2 + p = x^2 − 2mx + m^2 + p
  2. −2m = −6, dus m = 3
  3. m^2 + p = −7, dus p = −16

(c) Antwoord: −16

  1. (x − m)^2 ≥ 0, dus is die kleinste waarde p = −16

(d) Antwoord: 0 ≤ x ≤ 1

  1. x^2 − x ≤ 0
  2. x(x − 1) ≤ 0
  3. kritieke waardes: x = 0 en x = 1

(e) Antwoord: k = −6 of k = 6

  1. Δ = k^2 − 4(3)(3) = k^2 − 36
  2. k^2 − 36 = 0
  3. k = ±6

Kwadratiese rye en figuurpatrone

VRAAG 2

(a) Antwoord: a = 80 en b = 1.5

  1. N(0) = a·b^0 = a, dus a = 80
  2. 80·b^3 = 270
  3. b^3 = 27/8, dus b = 1.5

(b) Antwoord: N(4) = 405

  1. N(4) = 80 × (1.5)^4 = 405

(c) Antwoord: y = log_(1.5)(x/80)

  1. ruil x en y om: x = 80 × (1.5)^y
  2. (1.5)^y = x/80

(d) Antwoord: t = 6.10 dae

  1. 80 × (1.5)^t = 950
  2. t = log_(1.5)(950/80)
  3. t = 6.10

(e) Antwoord: 1.71 dae

  1. (1.5)^t = 2
  2. t = log_(1.5) 2 = 1.71
  3. dieselfde vanaf enige begintyd

Eksponensiële grafieke

VRAAG 3

(a) Antwoord: dy/dx = 1 + 18x^(−3)

  1. y = x − 9x^(−2)

(b) Antwoord: y = −5x − 24

  1. f′(x) = 6x^2 + 30x + 31
  2. m = f′(−3) = −5; f(−3) = −9
  3. y + 9 = −5(x + 3)

(c) Antwoord: x = −2

  1. f′(x) = −5
  2. 6x^2 + 30x + 36 = 0
  3. x = −3 of x = −2; die ander punt: x = −2

(d) Antwoord: k = −16 of k = 327

  1. f′(x) = 67: 6x^2 + 30x − 36 = 0
  2. x = 1 of x = −6
  3. k = f(x) − (67)x: 51 − (67) = −16 en −75 − (−402) = 327

Differensiasie volgens reël

VRAAG 4

(a) Antwoord: R4 932.86

  1. i = 8.75%/12 en n = 300
  2. 600 000 = x[1 − (1 + 0.007292)^(−300)]/0.007292
  3. x = R4 932.86

(b) Antwoord: R508 833.01

  1. na 108 betalings
  2. balans = 600 000(1 + i)^108 − 4932.86[(1 + i)^108 − 1]/i
  3. = R508 833.01

(c) Antwoord: 9.11%

  1. 1 + i_eff = (1 + 0.0875/12)^12
  2. i_eff = 9.11%

(d) Antwoord: 124 betalings

  1. 600 000 = 7400[1 − (1 + i)^(−n)]/i
  2. (1 + i)^(−n) = 0.408784
  3. n = 123.13

Leen: die huidigewaarde-annuïteit

VRAAG 5

(a) Antwoord: x = 6; die terme is 6; 9; 12

  1. T_2 − T_1 = T_3 − T_2
  2. 2(4x − 15) = (5x − 24) + (2x)
  3. x − 6 = 0
  4. x = 6

(b) Antwoord: T_(28)

  1. 6 + (n − 1)(3) = 87
  2. n − 1 = 27
  3. n = 28

(c) Antwoord: 28 terme

  1. n/2[2(6) + (n − 1)(3)] = 1302
  2. 3n^2 + 9n − 2604 = 0
  3. n = 28 (n is 'n natuurlike getal)

(d) Antwoord: 803 kolletjies

  1. tweede verskil 4: a = 2
  2. T_n = 2n^2 + 3
  3. T_(20) = 803

(e) Antwoord: prent 54

  1. 2n^2 + 3 = 5835
  2. 2n^2 − 5832 = 0
  3. n = 54 (n > 0)

Rekenkundige rye

VRAAG 6

(a) Antwoord: y = −9/4(x − 2)^2 + 19

  1. y = a(x − 2)^2 + 19
  2. by (0; 10): 10 = a(−2)^2 + 19
  3. a = −9/4

(b) Antwoord: 67/4 m

  1. y = −9/4(3 − 2)^2 + 19
  2. y = 67/4 m

(c) Antwoord: 4.91 m

  1. −9/4(x − 2)^2 + 19 = 0
  2. (x − 2)^2 = 76/9
  3. x = 2 + √(76/9)
  4. x = 4.91 m

Om 'n grafiek by iets werkliks te pas

VRAAG 7

(a) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

  1. die sy langs die muur is 120 − 2x
  2. A = x(120 − 2x) = 120x − 2x^2

(b) Antwoord: 30 m by 60 m; oppervlakte 1800 m²

  1. dA/dx = 120 − 4x = 0
  2. x = 30 m
  3. die sy langs die muur is 60 m
  4. A = 30 × 60 = 1800 m²

(c) Antwoord: −92 m²/m

  1. dA/dx by x = 53
  2. = −92 m²/m

Optimalisering

VRAAG 8

(a) Antwoord: 5040

  1. 7! = 5040

(b) Antwoord: 2400

  1. die twee ente: 5 × 4 keuses
  2. die ander 5: 5!
  3. 5 × 4 × 5! = 2400

(c) Antwoord: 3600

  1. Thabo en Mia saam, as een eenheid: 6! × 2! = 1440
  2. nie saam nie: 5040 − 1440 = 3600

(d) Antwoord: 720

  1. die 5 meisies as een blok: 3 eenhede, 3! maniere
  2. die meisies binne die blok: 5! maniere
  3. 3! × 5! = 720

(e) Antwoord: 2/7

  1. P(nie langs mekaar nie) = 3600/5040
  2. P(langs mekaar) = 1 − 3600/5040 = 2/7

Die fundamentele telbeginsel

VRAAG 9

(a) Antwoord: p = −2 en q = −4

  1. die simmetrie-asse sny waar die asimptote sny
  2. x − 6 = −x − 2, dus x = 2 en y = −4
  3. x = −p = 2 gee p = −2; y = q = −4

(b) Antwoord: a = −9

  1. −5 = a/(11 − 2) − 4

(c) Antwoord: definisieversameling: x ∈ ℝ, x ≠ 2; waardeversameling: y ∈ ℝ, y ≠ −4

  1. die vertikale asimptoot is x = 2; die horisontale een y = −4

(d) Antwoord: f(x) = 3(x − 2)^2 − 4

  1. draaipunt (2; −4): f(x) = k(x − 2)^2 − 4
  2. 23 = k(5 − 2)^2 − 4, dus k = 3

(e) Antwoord: (−1; −1) en (5; −7)

  1. −9/(x − 2) − 4 = −x − 2
  2. (x − 2)^2 = 9
  3. x = 2 ± 3

Die hiperbool

VRAAG 10

(a) Antwoord: x = −3y − 3

  1. 3^(x + 3) · 3^(4y) = 3^(y)
  2. x + 3 + 4y = y

(b) Antwoord: x = 11

  1. x + 53 = x^2 − 6x + 9
  2. x^2 − 7x − 44 = 0
  3. (x − 11)(x + 4) = 0
  4. toets x = −4: √(−4 + 53) = 7 maar −4 − 3 = −7, dus word x = −4 verwerp

(c) Antwoord: x = −3 of x = 6

  1. x^2 − 3x − 16 = 2^1
  2. x^2 − 3x − 18 = 0
  3. (x + 3)(x − 6) = 0

(d) Antwoord: x = 1

  1. laat t = 2^x: t^2 + t − 6 = 0
  2. (t − 2)(t + 3) = 0
  3. 2^x = −3 het geen oplossing nie
  4. 2^x = 2, dus x = 1

Eksponensiële grafieke

VRAAG 11

(a) Antwoord: (1; 0) en (4; 0)

  1. f(4) = 0, dus is (x − 4) 'n faktor
  2. f(x) = (x − 4)(x − 1)^2

(b) Antwoord: (1; 0) en (3; −4)

  1. f′(x) = 3x^2 − 12x + 9
  2. 3x^2 − 12x + 9 = 0
  3. x = 1 of x = 3

(c) Antwoord: Sien die skets hieronder.

xyO(4; 0)(1; 0)(3; −4)(0; −4)f
  1. y-afsnit (0; −4); x-afsnitte (1; 0), (4; 0)
  2. draaipunte (1; 0), (3; −4)

(d) Antwoord: x > 2

  1. f′′(x) = 6x − 12
  2. f′′(x) > 0: 6x − 12 > 0

(e) Antwoord: 1 < x < 3

  1. f′(x) < 0

(f) Antwoord: −4 < k < 0

  1. die lyn y = k moet die grafiek drie keer sny: tussen die draaiwaardes

Stasionêre punte