IEB-proefvraestel II

'n Volledige oefenvraestel van 150 punte: 11 vrae in 56 dele, 31 onderwerpe, Afdeling A 70 punte en Afdeling B 80. Elke vraag is vir hierdie bladsy gegenereer en elke antwoord is onafhanklik geverifieer.

Die verdeling tussen die afdelings, en hoeveel van die vraestel elke onderwerp werd is, is uit 415 werklike IEB-vrae gemeet — nie geraai nie. Nie een van daardie vrae verskyn hier nie.

Alle IEB-oefening · Laai die vraestel as PDF af · Skryf hierdie vraestel op tyd · English

Laai hierdie vraestel af

Die vraestel om te druk, en sy memorandum as 'n aparte lêer sodat jy dit kan skryf sonder dat die antwoorde voor jou lê. In Engels en Afrikaans.

Vrae (Engels) 13 bladsye, 0.3 MB
Memorandum (Engels) 12 bladsye, 0.3 MB
Vrae (Afrikaans) 13 bladsye, 0.3 MB
Memorandum (Afrikaans) 12 bladsye, 0.3 MB

Die vraestel

Afdeling A[70 punte]

VRAAG 1

Die spreidingsdiagram toon die aantal ure (x) wat 'n leerder gestudeer het en die leerder se toetspunt uit 50 (y): (1; 9); (2; 13); (3; 12); (4; 0); (5; 19); (6; 23); (10; 33); (11; 35); (12; 40).

(a)
Identifiseer die uitskieter in die data.
(1)
(b)
Die uitskieter word verwyder. Bepaal die vergelyking van die kleinstekwadrate-regressielyn vir die oorblywende data, in die vorm y = A + Bx, met A en B korrek tot drie desimale plekke.
(3)
(c)
Bepaal die korrelasiekoëffisiënt r van die oorblywende data, korrek tot twee desimale plekke.
(1)
(d)
Met hoeveel verander y gemiddeld vir elke toename van 1 in x? Gebruik jou vergelyking.
(2)
(e)
Het die uitskieter die korrelasie sterker of swakker gemaak? Verduidelik.
(2)

[9]

VRAAG 2

In die diagram:

O is die middelpunt van die sirkel.
PA en PB is raaklyne aan die sirkel by A en B onderskeidelik.
C is 'n punt op die sirkel sodat AC ∥ PB.
A $\hat{C}$ B = x

Gee alle relevante redes vir jou bewerings.

(a)
Druk P $\hat{B}$ A in terme van x uit.
(2)
(b)
Druk A $\hat{P}$ B in terme van x uit.
(3)
(c)
Is ΔABC 'n gelykbenige driehoek? Verduidelik.
(4)
(d)
Bewys dat PAOB 'n koordevierhoek is.
(3)
(e)
Indien x = 38°, bepaal die grootte van A $\hat{O}$ B.
(2)

[14]

VRAAG 3

(a)
Vereenvoudig volledig tot 'n enkele trigonometriese verhouding: (cos(180° + θ) · cos(90° + θ))/sin(360° − θ)
(6)
(b)
Bepaal sonder 'n sakrekenaar die waarde van cos 113° cos 37° − sin 113° sin 37°.
(3)
(c)
Bepaal sonder 'n sakrekenaar die waarde van cos^{^2} 75° − sin^{^2} 75°.
(2)
(d)
Bepaal die algemene oplossing van √3 sin θ = cos θ.
(3)

[14]

VRAAG 4

In die diagram:

Die reguit lyn deur A(2; −9) en B(7; 6) is geteken.
P(−4; 3) is 'n punt wat nie op AB lê nie.

(a)
Bepaal die vergelyking van die lyn AB.
(2)
(b)
Die lyn AB sny die x-as by C en die y-as by D. Bereken die oppervlakte van ΔOCD, waar O die oorsprong is.
(3)
(c)
F is die voetpunt van die loodlyn vanaf P op AB. Bepaal die vergelyking van PF.
(3)
(d)
Bepaal die koördinate van F.
(3)
(e)
Bepaal die kortste afstand vanaf P tot by die lyn AB, in eenvoudigste wortelvorm.
(2)
(f)
Bereken die oppervlakte van ΔPAB.
(2)

[15]

VRAAG 5

Gegee: f(x) = sin x + 1 en g(x) = cos 2x vir x ∈ [−90°; 270°].

(a)
Bepaal die algemene oplossing van f(x) = g(x).
(5)
(b)
Skryf vervolgens die waardes van x ∈ [−90°; 270°] neer waarvoor f(x) = g(x).
(2)
(c)
Skets die grafieke van f en g op die assestelsel wat voorsien word. Benoem alle afsnitte met die asse, draaipunte en eindpunte.
(6)
(d)
Gebruik jou grafiek om die waardes van x ∈ [−90°; 270°] te bepaal waarvoor f(x)·g(x) ≥ 0.
(3)
(e)
Skryf die waardeversameling van h(x) = 2g(x) − 1 neer.
(2)

[18]

Afdeling B[80 punte]

VRAAG 6

In die diagram:

Sirkel P het middelpunt P(3; 4) en gaan deur die oorsprong.
Sirkel Q het die vergelyking (x + 5)^{^2} + (y + 2)^{^2} = 25.

(a)
Bepaal die vergelyking van sirkel P.
(2)
(b)
Bereken die afstand PQ tussen die middelpunte.
(2)
(c)
Toon aan dat die sirkels mekaar uitwendig raak.
(2)
(d)
Bepaal die koördinate van T, die punt waar die sirkels mekaar raak.
(3)
(e)
Bepaal die vergelyking van die gemeenskaplike raaklyn aan die sirkels by T.
(3)

[12]

VRAAG 7

In die diagram:

ABCD is 'n koordevierhoek in die sirkel met middelpunt O.

Gee alle relevante redes vir jou bewerings.

(a)
Gebruik die diagram om die stelling te bewys wat lui dat die teenoorstaande hoeke van 'n koordevierhoek supplementêr is.
(5)
In die diagram hieronder is ABCD 'n koordevierhoek. AB word verleng na E en DC word verleng na F sodat EF ∥ BC.
(b)
Bewys dat A $\hat{E}$ F = A $\hat{B}$ C.
(1)
(c)
Bewys vervolgens dat ADFE 'n koordevierhoek is.
(4)
(d)
Indien A $\hat{D}$ C = 79°, bepaal die grootte van A $\hat{E}$ F.
(2)

[12]

VRAAG 8

In die diagram:

Die sirkel met middelpunt M gaan deur die oorsprong O.
Die sirkel sny die x-as by A(−6; 0) en die y-as by B(0; −10).

(a)
Verduidelik waarom AB 'n middellyn van die sirkel is.
(2)
(b)
Bepaal die koördinate van die middelpunt M en die radius van die sirkel.
(3)
(c)
Toon aan dat die vergelyking van die sirkel geskryf kan word as x^{^2} + y^{^2} + 6x + 10y = 0.
(2)
(d)
Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan die sirkel by O.
(3)
(e)
Die lyn y = −x sny die sirkel by O en by C. Bepaal die koördinate van C.
(3)

[13]

VRAAG 9

In die diagram:

AB is 'n middellyn van die sirkel met middelpunt O.
Die raaklyn aan die sirkel by C ontmoet AB verleng by D.
${\hat{C}}_{3}$ = x

Gee alle relevante redes vir jou bewerings.

(a)
Druk C $\hat{A}$ B in terme van x uit.
(2)
(b)
Druk ${\hat{C}}_{2}$ in terme van x uit.
(3)
(c)
Bewys dat ΔDCB ||| ΔDAC.
(3)
(d)
Bewys vervolgens dat DC^{^2} = DB · DA.
(2)
(e)
Indien DB = 2 eenhede en DC = 4 eenhede, bereken die radius van die sirkel.
(3)

[13]

VRAAG 10

Die ogief (kumulatiewe frekwensiekromme) hieronder toon die tyd in minute wat 60 mense by 'n kliniek gewag het.

(a)
Hoeveel datawaardes stel die ogief voor?
(1)
(b)
Skat die mediaan.
(2)
(c)
Skat die interkwartielvariasiewydte.
(3)
(d)
Hoeveel van die datawaardes lê tussen 20 en 40?
(2)
(e)
Die laagste waarde is 1 en die hoogste is 47. Teken 'n houer-en-punt-diagram van die data.
(3)
(f)
Watter persentasie van die datawaardes is 10 of meer?
(2)
(g)
Is die data skeef? Gebruik die kwartiele om te verduidelik.
(2)

[15]

VRAAG 11

In die diagram (antwoorde korrek tot twee desimale plekke):

A, B, C en D lê op die sirkel.
AB = 5 cm, AD = 9 cm en BC = 6 cm.
B $\hat{A}$ D = 55°.

(a)
Bereken die lengte van BD.
(3)
(b)
Skryf die grootte van B $\hat{C}$ D neer. Gee 'n rede.
(2)
(c)
Bereken die grootte van B $\hat{D}$ C.
(3)
(d)
Bereken die lengte van CD.
(3)
(e)
Bereken die oppervlakte van ABCD.
(4)

[15]

Memorandum

Elke antwoord hieronder is deur 'n onafhanklike verifieerder bevestig op die oomblik toe die vraag gemaak is.

VRAAG 1

(a) Antwoord: (4; 0)

(4; 0) lê ver van die neiging van die ander punte

(b) Antwoord: y = 5.892 + 2.737x

A = 5.892
B = 2.737

(c) Antwoord: r = 0.99

(d) Antwoord: y styg met ongeveer 2.737

B = 2.737 is die verandering in y vir elke 1 wat by x kom

(e) Antwoord: Swakker

met die uitskieter r = 0.91; daarsonder r = 0.99
|r| is kleiner met die uitskieter: dit het die korrelasie verswak

Spreidingsdiagramme

VRAAG 2

(a) Antwoord: P $\hat{B}$ A = x

P $\hat{B}$ A = A $\hat{C}$ B = x (raaklyn-koordstelling)

(b) Antwoord: A $\hat{P}$ B = 180° − 2x

PA = PB (raaklyne vanaf gemeensk. pt)
P $\hat{A}$ B = P $\hat{B}$ A = x (∠e teenoor gelyke sye)
∴ A $\hat{P}$ B = 180° − 2x (som ∠e van Δ)

(c) Antwoord: Ja: BA = BC, dus is ΔABC gelykbenig

C $\hat{A}$ B = A $\hat{B}$ P = x (verwis. ∠e; AC ∥ PB)
A $\hat{C}$ B = x (gegee)
∴ C $\hat{A}$ B = A $\hat{C}$ B
∴ BA = BC (sye teenoor gelyke ∠e)

(d) Antwoord: PAOB is 'n koordevierhoek

O $\hat{A}$ P = 90° (raaklyn ⊥ radius)
O $\hat{B}$ P = 90° (raaklyn ⊥ radius)
∴ O $\hat{A}$ P + O $\hat{B}$ P = 180°
∴ PAOB is 'n koordevierhoek (teenoorst. ∠e van vierhoek supp)

(e) Antwoord: A $\hat{O}$ B = 76°

A $\hat{O}$ B = 2 × A $\hat{C}$ B = 76° (∠ by middelpunt = 2 × ∠ by omtrek)

Raaklyne, en raaklyne vanaf 'n punt buite

VRAAG 3

(a) Antwoord: −cos θ

cos(180° + θ) = −cos θ
cos(90° + θ) = −sin θ
sin(360° − θ) = −sin θ
= −cos θ

(b) Antwoord: −√3/2

cos 113° cos 37° − sin 113° sin 37° = cos(113° + 37°)
= cos 150° = −√3/2

(c) Antwoord: −√3/2

cos^{^2} 75° − sin^{^2} 75° = cos 150°
= −√3/2

(d) Antwoord: θ = 30° + k·180°, k ∈ ℤ

tan θ = 1/√3

Identiteite, reduksie en saamgestelde hoeke

VRAAG 4

(a) Antwoord: y = 3x − 15

m = (6 − (−9))/(7 − 2) = 3
−9 = (3)(2) + c, dus c = −15

(b) Antwoord: 75/2 vierkante eenhede

C(5; 0) en D(0; −15)
oppervlakte = ½ × 5 × 15 = 75/2

(c) Antwoord: y = −(1/3)x + 5/3

PF ⊥ AB: m_{_PF} = −1/(3) = −1/3
3 = (−1/3)(−4) + c, dus c = 5/3

(d) Antwoord: F(5; 0)

3x − 15 = −(1/3)x + 5/3
x = 5, y = 0

(e) Antwoord: PF = 3√10 eenhede

PF^{^2} = (−4 − 5)^{^2} + (3 − 0)^{^2} = 90
PF = 3√10

(f) Antwoord: 75 vierkante eenhede

AB = 5√10 en die hoogte is PF = 3√10
oppervlakte = ½ × AB × PF = 75

Die vergelyking van 'n reguit lyn

VRAAG 5

(a) Antwoord: x = k·180° of x = −30° + k·360° of x = 210° + k·360°

sin x + 1 = cos 2x
1 + sin x = 1 − 2sin^{^2} x
2sin^{^2} x + sin x = 0
sin x(2 sin x + 1) = 0
sin x = 0: x = k·180°
of sin x = −1/2: x = −30° + k·360° of x = 210° + k·360°

(b) Antwoord: x = −30° of x = 0° of x = 180° of x = 210°

k = …, −1, 0, 1, … in x = k·180° of x = −30° + k·360° of x = 210° + k·360°
In [−90°; 270°]: x = −30° of x = 0° of x = 180° of x = 210°

(c) Antwoord: Sien die skets hieronder.

f(x) = sin x + 1
f: x-afsnitte (−90°; 0), (270°; 0)
f: y-afsnit (0°; 1)
f: draaipunte (90°; 2)
f: eindpunte (−90°; 0), (270°; 0)
g(x) = cos 2x
g: x-afsnitte (−45°; 0), (45°; 0), (135°; 0), (225°; 0)
g: y-afsnit (0°; 1)
g: draaipunte (0°; 1), (90°; −1), (180°; 1)
g: eindpunte (−90°; −1), (270°; −1)

(d) Antwoord: x = −90° of −45° ≤ x ≤ 45° of 135° ≤ x ≤ 225° of x = 270°

f en g het dieselfde teken, of een van hulle is 0, van die skets afgelees

(e) Antwoord: −3 ≤ y ≤ 1

−1 ≤ g(x) ≤ 1
−3 ≤ 2g(x) − 1 ≤ 1

Trigonometriese grafieke

VRAAG 6

(a) Antwoord: (x − 3)^{^2} + (y − 4)^{^2} = 25

dit gaan deur O: r = PO = √((3)^{^2} + (4)^{^2}) = 5

(b) Antwoord: PQ = 10 eenhede

PQ = √((−5 − 3)^{^2} + (−2 − 4)^{^2})
= 10

(c) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

r_{_P} + r_{_Q} = 5 + 5 = 10 = PQ
∴ die sirkels raak mekaar uitwendig

(d) Antwoord: T(−1; 1)

T lê op PQ, 5 eenhede van P af: 5/10 van die pad na Q
(3 + (5/10)(−8); 4 + (5/10)(−6)) = (−1; 1)

(e) Antwoord: y = −(4/3)x − 1/3

m_{_PQ} = 3/4, dus het die raaklyn m = −4/3
1 = (−4/3)(−1) + c, dus c = −1/3

Die vergelyking van 'n sirkel

VRAAG 7

(a) Antwoord: Sien die bewys hieronder.

Te bewys: B $\hat{A}$ D + B $\hat{C}$ D = 180°
Konstruksie: Verbind OB en OD.
${\hat{O}}_{1}$ = 2 × B $\hat{A}$ D (∠ by middelpunt = 2 × ∠ by omtrek)
refleks B $\hat{O}$ D = 2 × B $\hat{C}$ D (∠ by middelpunt = 2 × ∠ by omtrek)
${\hat{O}}_{1}$ + refleks B $\hat{O}$ D = 360° (∠e om 'n punt)
∴ 2 × B $\hat{A}$ D + 2 × B $\hat{C}$ D = 360°
∴ B $\hat{A}$ D + B $\hat{C}$ D = 180°

(b) Antwoord: A $\hat{E}$ F = A $\hat{B}$ C

A $\hat{E}$ F = A $\hat{B}$ C (ooreenk. ∠e; BC ∥ EF)

(c) Antwoord: ADFE is 'n koordevierhoek

A $\hat{B}$ C + A $\hat{D}$ C = 180° (teenoorst. ∠e van koordevierhoek)
A $\hat{E}$ F = A $\hat{B}$ C (bewys)
∴ A $\hat{E}$ F + A $\hat{D}$ F = 180°
∴ ADFE is 'n koordevierhoek (teenoorst. ∠e van vierhoek supp)

(d) Antwoord: A $\hat{E}$ F = 101°

A $\hat{B}$ C = 180° − A $\hat{D}$ C = 101° (teenoorst. ∠e van koordevierhoek)
∴ A $\hat{E}$ F = 101° (bewys)

Om die stelling self te bewys, nie om dit te gebruik nie

VRAAG 8

(a) Antwoord: Sien die verduideliking hieronder.

A $\hat{O}$ B = 90°: die asse is loodreg op mekaar
AB onderspan 'n regte hoek by O, 'n punt op die sirkel, dus is AB 'n middellyn (omgekeerde ∠ in halfsirkel)

(b) Antwoord: M(−3; −5); r = √34

M is die middelpunt van AB: ((−6 + 0)/2; (0 + (−10))/2) = (−3; −5)
r = MO = √((−3)^{^2} + (−5)^{^2}) = √34

(c) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

(x + 3)^{^2} + (y + 5)^{^2} = 34
x^{^2} + 6x + 9 + y^{^2} + 10y + 25 = 34
x^{^2} + y^{^2} + 6x + 10y = 0

(d) Antwoord: y = −(3/5)x

m_{_MO} = (−5 − 0)/(−3 − 0) = 5/3
die raaklyn is loodreg op die radius MO: m = −3/5
dit gaan deur O: y = −(3/5)x

(e) Antwoord: C(2; −2)

stel y = −x in: x^{^2} + (−x)^{^2} + 6x − 10x = 0
2x(x − 2) = 0
x = 0 (die punt O) of x = 2

Die middelpunt van 'n lynsegment

VRAAG 9

(a) Antwoord: C $\hat{A}$ B = x

C $\hat{A}$ B = ${\hat{C}}_{3}$ = x (raaklyn-koordstelling)

(b) Antwoord: ${\hat{C}}_{2}$ = 90° − x

A $\hat{C}$ B = 90° (∠ in halfsirkel)
${\hat{C}}_{1}$ = C $\hat{A}$ O = x (∠e teenoor gelyke sye)
∴ ${\hat{C}}_{2}$ = 90° − x

(c) Antwoord: ΔDCB ||| ΔDAC

In ΔDCB en ΔDAC:
C $\hat{D}$ B = A $\hat{D}$ C (gemeenskaplik)
${\hat{C}}_{3}$ = C $\hat{A}$ B = x (bewys)
∴ ΔDCB ||| ΔDAC (∠∠∠)

(d) Antwoord: DC^{^2} = DB · DA

DC/DA = DB/DC (||| Δe)
∴ DC^{^2} = DB · DA

(e) Antwoord: r = 3 eenhede

4^{^2} = 2(2 + 2r) (bewys)
16 = 4 + 4r
∴ r = 3 eenhede

Die hoek in 'n halfsirkel

VRAAG 10

(a) Antwoord: 60

die ogief eindig by 'n kumulatiewe frekwensie van 60

(b) Antwoord: ongeveer 17.9

die mediaan is by 'n kumulatiewe frekwensie van 60/2 = 30
lees oor na die ogief en af: ongeveer 17.9

(c) Antwoord: ongeveer 18.0

Q1 by 15: ongeveer 13.5; Q3 by 45: ongeveer 31.5
Q3 − Q1 = 31.5 − 13.5 = 18.0

(d) Antwoord: 19

lees die ogief by 20 en by 40: 37 en 56
56 − 37 = 19

(e) Antwoord: Sien die houer-en-punt-diagram hieronder.

minimum 1, Q1 ≈ 13.5, mediaan ≈ 17.9, Q3 ≈ 31.5, maksimum 47

(f) Antwoord: 95%

3 waardes lê onder 10, dus is 57 waardes 10 of meer
57/60 × 100 = 95%

(g) Antwoord: Skeef na regs (positief)

Q3 − mediaan ≈ 13.6 en mediaan − Q1 ≈ 4.4
die boonste helfte van die houer is langer

Kumulatiewe frekwensiekrommes

VRAAG 11

(a) Antwoord: BD = 7.37 cm

BD^{^2} = AB^{^2} + AD^{^2} − 2(AB)(AD) cos B $\hat{A}$ D (kosinusreël)
= 5^{^2} + 9^{^2} − 2(5)(9) cos 55°

(b) Antwoord: B $\hat{C}$ D = 125° (teenoorst. ∠e van koordevierhoek)

B $\hat{C}$ D = 180° − 55° = 125° (teenoorst. ∠e van koordevierhoek)

(c) Antwoord: B $\hat{D}$ C = 41.80°

(sin B $\hat{D}$ C)/BC = (sin B $\hat{C}$ D)/BD (sinusreël)
sin B $\hat{D}$ C = (6 sin 125°)/7.37

(d) Antwoord: CD = 2.06 cm

C $\hat{B}$ D = 180° − 125° − 41.80° = 13.20° (som ∠e van Δ)
CD/(sin C $\hat{B}$ D) = BD/(sin B $\hat{C}$ D) (sinusreël)
CD = (7.37 sin 13.20°)/(sin 125°) = 2.06 cm

(e) Antwoord: oppervlakte ABCD = 23.48 cm²

oppervlakte ΔABD = (1/2)(5)(9) sin 55° (oppervlakreël)
oppervlakte ΔBCD = (1/2)(6)(7.37) sin 13.20° (oppervlakreël)

Sinus-, kosinus- en oppervlaktereël (2D)