IEB-proefvraestel II (tweede vraestel)

'n Volledige oefenvraestel van 150 punte: 12 vrae in 58 dele, 30 onderwerpe, Afdeling A 72 punte en Afdeling B 78. Elke vraag is vir hierdie bladsy gegenereer en elke antwoord is onafhanklik geverifieer.

Die verdeling tussen die afdelings, en hoeveel van die vraestel elke onderwerp werd is, is uit 282 werklike IEB-vrae gemeet — nie geraai nie. Nie een van daardie vrae verskyn hier nie.

Alle IEB-oefening · Skryf hierdie vraestel op tyd · English

Die vraestel

Afdeling A[72 punte]

1[10 punte]

Gegee: sin 34° cos 34° = m. Bepaal sonder 'n sakrekenaar elk van die volgende in terme van m.

(a)
sin 68°
(2)
(b)
cos 22°
(2)
(c)
cos 136°
(3)
(d)
cos 68°
(3)

2[11 punte]

In die diagram: Sirkel met middelpunt O. A $\hat{O}$ B is by die middelpunt en A $\hat{P}$ B by die omtrek, albei op boog AB.

(a)
Gebruik die diagram om die stelling te bewys wat beweer dat die hoek by die middelpunt is twee keer die hoek by die omtrek.
(4)
In die diagram hieronder: O is die middelpunt van die sirkel en AB is verbind. A $\hat{P}$ B = 50°.
(b)
Bepaal, met redes, die grootte van A $\hat{O}$ B.
(2)
(c)
Bepaal, met redes, die grootte van O $\hat{A}$ B.
(3)
(d)
Bepaal, met redes, die grootte van O $\hat{B}$ A.
(2)

3[12 punte]

Die sirkel met middelpunt M het die vergelyking x^{^2} + y^{^2} − 8x − 8y + 6 = 0.

(a)
Bepaal die koördinate van die middelpunt M en die radius van die sirkel.
(3)
(b)
Toon aan dat P(9; 3) op die sirkel lê.
(2)
(c)
Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan die sirkel by P.
(4)
(d)
'n Raaklyn word van Q(1; −1) af aan die sirkel getrek en raak dit by T. Bepaal die lengte van QT.
(3)

4[12 punte]

In die diagram: Sirkel met middelpunt O. AB is 'n koord. OM ⊥ AB.

(a)
Gebruik die diagram om die stelling te bewys wat beweer dat die lyn vanaf die middelpunt loodreg op 'n koord halveer die koord.
(6)
In die diagram hieronder: O is die middelpunt van die sirkel en OM ⊥ AB, met M op AB. O $\hat{A}$ B = 10°.
(b)
Bepaal, met redes, die grootte van O $\hat{M}$ A.
(2)
(c)
Bepaal, met redes, die grootte van O $\hat{M}$ B.
(2)
(d)
Bepaal, met redes, die grootte van A $\hat{O}$ M.
(2)

5[12 punte]

In die diagram (antwoorde korrek tot twee desimale plekke):

A, B en C lê op horisontale grond, en TC is 'n vertikale toring by C.
AB = d, B $\hat{A}$ C = α en A $\hat{B}$ C = β.
Die hoogtehoek van T vanaf A is γ.

(a)
Toon aan dat AC = (d sin β)/(sin(α + β)).
(3)
(b)
Toon vervolgens aan dat TC = (d sin β tan γ)/(sin(α + β)).
(2)
(c)
Bereken TC indien d = 150 m, α = 35°, β = 65° en γ = 38°.
(2)
(d)
Bereken die lengte van BT.
(3)
(e)
Bereken die hoogtehoek van T vanaf B.
(2)

6[15 punte]

Die data hieronder gee die daaglikse reënval in mm op 12 dae: 18; 19; 19; 20; 22; 22; 23; 23; 23; 24; 27; 28

(a)
Bereken die gemiddelde.
(1)
(b)
Bereken die standaardafwyking, korrek tot twee desimale plekke.
(2)
(c)
Hoeveel van die waardes lê binne een standaardafwyking van die gemiddelde?
(2)
(d)
Skryf die vyfgetalopsomming neer.
(3)
(e)
Teken 'n houer-en-punt-diagram van die data.
(2)
(f)
'n Uitskieter is 'n waarde meer as 1.5 × (Q3 − Q1) bo Q3 of onder Q1. Is 28 'n uitskieter? Toon jou berekening.
(3)
(g)
Elke waarde word met 3 vermeerder. Wat gebeur met die gemiddelde en met die standaardafwyking?
(2)

Afdeling B[78 punte]

7[9 punte]

Die spreidingsdiagram toon die aantal afwesighede in 'n kwartaal (x) en 'n leerder se punt uit 100 (y): (0; 97); (2; 89); (4; 79); (6; 71); (9; 61); (11; 25); (12; 46); (13; 48); (14; 42).

(a)
Identifiseer die uitskieter in die data.
(1)
(b)
Die uitskieter word verwyder. Bepaal die vergelyking van die kleinstekwadrate-regressielyn vir die oorblywende data, in die vorm y = A + Bx, met A en B korrek tot drie desimale plekke.
(3)
(c)
Bepaal die korrelasiekoëffisiënt r van die oorblywende data, korrek tot twee desimale plekke.
(1)
(d)
Met hoeveel verander y gemiddeld vir elke toename van 1 in x? Gebruik jou vergelyking.
(2)
(e)
Het die uitskieter die korrelasie sterker of swakker gemaak? Verduidelik.
(2)

8[12 punte]

In die diagram is ABCD 'n parallelogram met A(4; 6), B(3; 1) en C(−2; 2). Sy hoeklyne sny by M.

(a)
Bepaal die koördinate van M, die punt waar die hoeklyne sny.
(2)
(b)
Bepaal vervolgens die koördinate van D.
(2)
(c)
Bepaal die lengte van AB in eenvoudigste wortelvorm.
(2)
(d)
Bepaal of ABCD 'n reghoek is. Toon jou berekening.
(3)
(e)
Bereken die oppervlakte van ΔABC.
(3)

9[13 punte]

(a)
Bewys dat (1 − cos 2x)/(2 sin x) = sin x.
(5)
(b)
Bepaal die waardes van x ∈ [0°; 360°] waarvoor die identiteit in (a) nie geldig is nie.
(4)
(c)
Los vervolgens, of andersins, (1 − cos 2x)/(2 sin x) = −1/2 op vir x ∈ [−90°; 270°].
(4)

10[14 punte]

In die diagram is A(1; 1), B(8; 8) en C(2; 6) die hoekpunte van ΔABC.

(a)
Bepaal die gradiënt van AB.
(2)
(b)
Bepaal θ, die hellingshoek van AB, korrek tot een desimale plek.
(2)
(c)
Bepaal die vergelyking van die lyn deur C wat loodreg op AB is.
(3)
(d)
D(−4; k) lê op dieselfde reguitlyn as A en B. Bepaal k.
(3)
(e)
Bepaal die grootte van hoek B $\hat{A}$ C, korrek tot een desimale plek.
(4)

11[14 punte]

In die diagram: SAT is 'n raaklyn by A aan die sirkel met middelpunt O, en B lê op die sirkel. B $\hat{A}$ T = 64°.

(a)
Bepaal, met redes, die grootte van B $\hat{A}$ S.
(2)
(b)
Bepaal, met redes, die grootte van O $\hat{A}$ S.
(2)
(c)
Bepaal, met redes, die grootte van O $\hat{A}$ T.
(2)
(d)
Bepaal, met redes, die grootte van O $\hat{B}$ A.
(2)
(e)
Bepaal, met redes, die grootte van B $\hat{O}$ A.
(2)
In die diagram hieronder: SAT is 'n raaklyn by A, en ABCD is 'n koordevierhoek. S $\hat{A}$ B = 122°.
(f)
Bepaal, met redes, die grootte van B $\hat{A}$ T.
(2)
(g)
Bepaal, met redes, die grootte van A $\hat{C}$ B.
(2)

12[16 punte]

Gegee: f(x) = cos 2x en g(x) = sin(x − 60°) vir x ∈ [−90°; 270°].

(a)
Skryf die periode van f neer.
(1)
(b)
Skets die grafieke van f en g op die assestelsel wat voorsien word. Benoem alle afsnitte met die asse, draaipunte en eindpunte.
(6)
(c)
Bepaal die waardes van x ∈ [−90°; 270°] waarvoor f(x) = g(x). Toon alle berekeninge.
(5)
(d)
Gebruik jou grafiek om die waardes van x ∈ [−90°; 270°] te bepaal waarvoor f(x) ≤ g(x).
(2)
(e)
Gebruik jou grafiek om die waardes van x ∈ [−90°; 270°] te bepaal waarvoor f(x)/g(x) < 0.
(2)

Memorandum

Elke antwoord hieronder is deur 'n onafhanklike verifieerder bevestig op die oomblik toe die vraag gemaak is.

(a) Antwoord: sin 68° = 2m

sin 68° = 2 sin 34° cos 34° = 2m

(b) Antwoord: cos 22° = 2m

cos 22° = cos(90° − 68°) = sin 68° = 2m

(c) Antwoord: cos 136° = 1 − 8m^{^2}

cos 136° = 1 − 2sin^{^2} 68°
= 1 − 2(2m)^{^2} = 1 − 8m^{^2}

(d) Antwoord: cos 68° = √(1 − 4m^{^2})

cos^{^2} 68° = 1 − sin^{^2} 68° = 1 − 4m^{^2}
68° is 'n skerp hoek, dus cos 68° > 0
cos 68° = √(1 − 4m^{^2})

Identiteite, reduksie en saamgestelde hoeke

(a) Antwoord: Sien die bewys hieronder.

Gegee: Sirkel met middelpunt O. A $\hat{O}$ B is by die middelpunt en A $\hat{P}$ B by die omtrek, albei op boog AB.
Te bewys: A $\hat{O}$ B = 2 × A $\hat{P}$ B
Konstruksie: Verbind PO en verleng dit tot S.
Laat A $\hat{P}$ O = x en B $\hat{P}$ O = y
OA = OP (radii)
∴ O $\hat{A}$ P = x (∠e teenoor gelyke sye)
∴ A $\hat{O}$ S = 2x (buite ∠ van Δ)
Net so B $\hat{O}$ S = 2y
∴ A $\hat{O}$ B = 2x + 2y = 2(x + y)
∴ A $\hat{O}$ B = 2 × A $\hat{P}$ B

(b) Antwoord: A $\hat{O}$ B = 100°

A $\hat{O}$ B = 100° (∠ by middelpunt = 2 × ∠ by omtrek)

(c) Antwoord: O $\hat{A}$ B = 40°

OA = OB (radii)
O $\hat{A}$ B = O $\hat{B}$ A (∠e teenoor gelyke sye)
O $\hat{A}$ B = 40° (som ∠e van Δ)

(d) Antwoord: O $\hat{B}$ A = 40°

O $\hat{B}$ A = 40° (∠e teenoor gelyke sye)

Om die stelling self te bewys, nie om dit te gebruik nie

(a) Antwoord: M(4; 4); r = √26

(x − 4)^{^2} + (y − 4)^{^2} = −6 + 16 + 16
(x − 4)^{^2} + (y − 4)^{^2} = 26
M(4; 4) en r = √(26) = √26

(b) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

(9)^{^2} + (3)^{^2} − 8(9) − 8(3) + 6 = 0
dus lê P op die sirkel

(c) Antwoord: y = 5x − 42

m_{_MP} = (3 − (4))/(9 − (4)) = −1/5
die raaklyn is loodreg op die radius: m = 5
3 = (5)(9) + c, dus c = −42
y = 5x − 42

(d) Antwoord: QT = 2√2 eenhede

QM^{^2} = (1 − (4))^{^2} + (−1 − (4))^{^2} = 34
MT ⊥ QT (radius ⊥ raaklyn), dus QT^{^2} = QM^{^2} − r^{^2}
QT^{^2} = 34 − 26 = 8
QT = 2√2

Die vergelyking van 'n sirkel

(a) Antwoord: Sien die bewys hieronder.

Gegee: Sirkel met middelpunt O. AB is 'n koord. OM ⊥ AB.
Te bewys: AM = MB
Konstruksie: Verbind OA en OB.
In ΔOMA en ΔOMB:
OA = OB (radii)
OM = OM (gemeenskaplik)
O $\hat{M}$ A = O $\hat{M}$ B = 90° (gegee)
∴ ΔOMA ≡ ΔOMB (R-H-S)
∴ AM = MB (≡ Δe)

(b) Antwoord: O $\hat{M}$ A = 90°

O $\hat{M}$ A = 90° (lyn vanaf middelpunt ⊥ op koord)

(c) Antwoord: O $\hat{M}$ B = 90°

O $\hat{M}$ B = 90° (lyn vanaf middelpunt ⊥ op koord)

(d) Antwoord: A $\hat{O}$ M = 80°

A $\hat{O}$ M = 80° (som ∠e van Δ)

Om die stelling self te bewys, nie om dit te gebruik nie

(a) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

A $\hat{C}$ B = 180° − (α + β) (som ∠e van Δ)
AC/(sin β) = d/(sin(180° − (α + β))) (sinusreël)
sin(180° − (α + β)) = sin(α + β)
AC = (d sin β)/(sin(α + β))

(b) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

In ΔACT, A $\hat{C}$ T = 90°: tan γ = TC/AC
TC = AC tan γ = (d sin β tan γ)/(sin(α + β))

(c) Antwoord: TC = 107.85 m

TC = (150 sin 65° tan 38°)/(sin 100°)
= 107.85 m

(d) Antwoord: BT = 138.80 m

BC = (150 sin 35°)/(sin 100°) = 87.36 m (sinusreël)
BT^{^2} = BC^{^2} + TC^{^2} = 87.36^{^2} + 107.85^{^2}
BT = 138.80 m

(e) Antwoord: 50.99°

tan T $\hat{B}$ C = TC/BC = 107.85/87.36
T $\hat{B}$ C = 50.99°

Sinus-, kosinus- en oppervlaktereël (2D)

(a) Antwoord: 22.33

Σx = 268 en n = 12
gemiddelde = 268/12 = 22.33

(b) Antwoord: σ = 2.95

σ² = Σ(x − 22.33)²/12 = 8.72
σ = 2.95

(c) Antwoord: 7

tussen 19.38 en 25.29
7 waardes

(d) Antwoord: 18; 19.5; 22.5; 23.5; 28

minimum 18; Q1 19.5; mediaan 22.5; Q3 23.5; maksimum 28

(e) Antwoord: Sien die diagram hieronder.

die houer van Q1 tot Q3 met die mediaan aangedui; die punte na die minimum en maksimum

(f) Antwoord: Nee: 28 ≤ 29.5

Q3 − Q1 = 23.5 − 19.5 = 4
Q3 + 1.5 × (Q3 − Q1) = 23.5 + 6 = 29.5
28 ≤ 29.5

(g) Antwoord: Die gemiddelde vermeerder met 3; die standaardafwyking bly dieselfde.

elke waarde, en dus hul gemiddelde, skuif met dieselfde bedrag
die afstande vanaf die gemiddelde verander nie

Gemiddelde, mediaan en modus

(a) Antwoord: (11; 25)

(11; 25) lê ver van die neiging van die ander punte

(b) Antwoord: y = 95.879 − 3.901x

A = 95.879
B = −3.901

(c) Antwoord: r = −1.00

r = −1.00

(d) Antwoord: y daal met ongeveer 3.901

B = −3.901 is die verandering in y vir elke 1 wat by x kom

(e) Antwoord: Swakker

met die uitskieter r = −0.92; daarsonder r = −1.00
|r| is kleiner met die uitskieter: dit het die korrelasie verswak

Spreidingsdiagramme

(a) Antwoord: M(1; 4)

die hoeklyne van 'n parallelogram halveer mekaar: M is die middelpunt van AC
M = ((4 + −2)/2; (6 + 2)/2) = (1; 4)

(b) Antwoord: D(−1; 7)

M is ook die middelpunt van BD
D = (2(1) − (3); 2(4) − (1)) = (−1; 7)

(c) Antwoord: AB = √26 eenhede

AB = √((4 − (3))^{^2} + (6 − (1))^{^2}) = √(26)
= √26

(d) Antwoord: Ja: ABCD is 'n reghoek

m_{_AB} × m_{_BC} = (5)(−1/5) = −1
dus AB ⊥ BC en die parallelogram het 'n regte hoek

(e) Antwoord: 13 vierkante eenhede

oppervlakte = (1/2)|x_{_A}(y_{_B} − y_{_C}) + x_{_B}(y_{_C} − y_{_A}) + x_{_C}(y_{_A} − y_{_B})|
= 13

Die middelpunt van 'n lynsegment

(a) Antwoord: Sien die bewys hieronder.

LK = (1 − (1 − 2sin^{^2} x))/(2 sin x)
= (2sin^{^2} x)/(2 sin x)
= sin x
= RK

(b) Antwoord: x = 0° of x = 180° of x = 360°

Die identiteit is nie geldig waar sin x = 0 nie.
sin x = 0: x = k·180°
In [0°; 360°]: x = 0° of x = 180° of x = 360°

(c) Antwoord: x = −30° of x = 210°

sin x = −1/2
x = −30° + k·360° of x = 210° + k·360°
In [−90°; 270°]: x = −30° of x = 210°

Identiteite, reduksie en saamgestelde hoeke

(a) Antwoord: m_{_AB} = 1

m_{_AB} = (8 − (1))/(8 − (1))
= 1

(b) Antwoord: θ = 45.0°

tan θ = 1
θ = 45.0°

(c) Antwoord: y = −x + 8

m = −1/(1) = −1
6 = (−1)(2) + c, dus c = 8
y = −x + 8

(d) Antwoord: k = −4

m_{_AD} = m_{_AB}
(k − (1))/(−4 − (1)) = 1
k = −4

(e) Antwoord: B $\hat{A}$ C = 33.7°

die hellingshoek van AB is 45.0°
m_{_AC} = 5, dus is die hellingshoek van AC 78.7°
B $\hat{A}$ C = 78.7° − 45.0°
B $\hat{A}$ C = 33.7°

Gradiënt

(a) Antwoord: B $\hat{A}$ S = 116°

B $\hat{A}$ S = 116° (∠e op 'n reguit lyn)

(b) Antwoord: O $\hat{A}$ S = 90°

O $\hat{A}$ S = 90° (raaklyn ⊥ radius)

(c) Antwoord: O $\hat{A}$ T = 90°

O $\hat{A}$ T = 90° (raaklyn ⊥ radius)

(d) Antwoord: O $\hat{B}$ A = 26°

B $\hat{A}$ O = 26°
OA = OB (radii)
O $\hat{B}$ A = 26° (∠e teenoor gelyke sye)

(e) Antwoord: B $\hat{O}$ A = 128°

B $\hat{O}$ A = 128° (som ∠e van Δ)

(f) Antwoord: B $\hat{A}$ T = 58°

B $\hat{A}$ T = 58° (∠e op 'n reguit lyn)

(g) Antwoord: A $\hat{C}$ B = 58°

A $\hat{C}$ B = 58° (raaklyn-koordstelling)

Raaklyne, en raaklyne vanaf 'n punt buite

(a) Antwoord: 180°

f(x) = cos 2x herhaal elke 180°

(b) Antwoord: Sien die skets hieronder.

f(x) = cos 2x
f: x-afsnitte (−45°; 0), (45°; 0), (135°; 0), (225°; 0)
f: y-afsnit (0°; 1)
f: draaipunte (0°; 1), (90°; −1), (180°; 1)
f: eindpunte (−90°; −1), (270°; −1)
g(x) = sin(x − 60°)
g: x-afsnitte (60°; 0), (240°; 0)
g: y-afsnit (0°; −√3/2)
g: draaipunte (−30°; −1), (150°; 1)
g: eindpunte (−90°; −1/2), (270°; −1/2)

(c) Antwoord: x = −70° of x = 50° of x = 170° of x = 210°

cos 2x = sin(x − 60°)
sin(x − 60°) = cos(90° − (x − 60°)) = cos(150° − x)
2x = 150° − x + k·360°, dus x = 50° + k·120°
of 2x = −(150° − x) + k·360°, dus x = −150° + k·360°
In [−90°; 270°]: x = −70° of x = 50° of x = 170° of x = 210°

(d) Antwoord: −90° ≤ x ≤ −70° of 50° ≤ x ≤ 170° of 210° ≤ x ≤ 270°

f lê op of onder g, van die skets afgelees
−90° ≤ x ≤ −70° of 50° ≤ x ≤ 170° of 210° ≤ x ≤ 270°

(e) Antwoord: −45° < x < 45° of 60° < x < 135° of 225° < x < 240°

f en g het teenoorgestelde tekens, en g(x) ≠ 0, van die skets afgelees
−45° < x < 45° of 60° < x < 135° of 225° < x < 240°

Trigonometriese grafieke