IEB-proefvraestel II (tweede vraestel)

(a) Antwoord: P$\hat{\mathrm{T}}$A = 42°

1. P$\hat{\mathrm{T}}$A = T$\hat{\mathrm{B}}$A = 42° (raaklyn-koordstelling)

(b) Antwoord: T$\hat{\mathrm{O}}$A = 84°

1. T$\hat{\mathrm{O}}$A = 2 × T$\hat{\mathrm{B}}$A = 84° (∠ by middelpunt = 2 × ∠ by omtrek)

(c) Antwoord: O$\hat{\mathrm{T}}$A = 48°

1. O$\hat{\mathrm{T}}$P = 90° (raaklyn ⊥ radius)
2. ∴ O$\hat{\mathrm{T}}$A = 90° − P$\hat{\mathrm{T}}$A = 48°

(d) Antwoord: T$\hat{\mathrm{D}}$A = 138°

1. T$\hat{\mathrm{D}}$A = 180° − T$\hat{\mathrm{B}}$A = 138° (teenoorst. ∠e van koordevierhoek)

(e) Antwoord: refleks T$\hat{\mathrm{O}}$A = 276°

1. refleks T$\hat{\mathrm{O}}$A = 360° − 84° = 276° (∠e om 'n punt)

(a) Antwoord: y = 10.873 + 7.708x

1. A = 10.873
2. B = 7.708

(b) Antwoord: r = 1.00

(c) Antwoord: 'n sterk positiewe korrelasie

1. r = 1.00: r > 0 en |r| is minstens 0.8

(d) Antwoord: y = 280.65

1. y = 10.873 + 7.708(35)

(e) Antwoord: Nee: x lê buite die data (ekstrapolasie)

1. die data strek van x = 7 tot x = 29; x = 35 lê buite dit

(a) Antwoord: sin 324° = −k

1. sin 324° = sin(360° − 36°) = −sin 36° = −k

(b) Antwoord: tan 36° = k/√(1 − k^{^2})

1. cos^{^2} 36° = 1 − sin^{^2} 36° = 1 − k^{^2}
2. 36° is 'n skerp hoek, dus cos 36° > 0
3. tan 36° = (sin 36°)/(cos 36°) = k/√(1 − k^{^2})

(c) Antwoord: cos 72° = 1 − 2k^{^2}

1. cos 72° = 1 − 2sin^{^2} 36°
2. = 1 − 2k^{^2}

(d) Antwoord: sin 77° cos 41° − cos 77° sin 41° = k

1. sin 77° cos 41° − cos 77° sin 41° = sin(77° − 41°)
2. = sin 36° = k

(a) Antwoord: M(1; 3)

1. die hoeklyne van 'n vierkant halveer mekaar: M is die middelpunt van AC
2. M = ((−1 + 3)/2; (2 + 4)/2) = (1; 3)

(b) Antwoord: y = −2x + 5

1. m_{_AC} = (4 − 2)/(3 − (−1)) = 1/2
2. die hoeklyne van 'n vierkant is loodreg: m_{_BD} = −2
3. deur M: 3 = (−2)(1) + c, dus c = 5

(c) Antwoord: B(2; 1) en D(0; 5)

1. die hoeklyne van 'n vierkant is ewe lank en halveer mekaar: MB = MD = MA
2. MA^{^2} = (−1 − 1)^{^2} + (2 − 3)^{^2} = 5
3. op BD: (x − 1)^{^2} + (−2x + 2)^{^2} = 5
4. x = 2 of x = 0

(d) Antwoord: 10 vierkante eenhede

1. AC^{^2} = 4 × MA^{^2} = 20
2. die hoeklyne is ewe lank en loodreg: oppervlakte = ½ × AC × BD = ½ × AC^{^2} = 10

(e) Antwoord: θ = 26.6°

1. tan θ = m_{_AC} = 1/2

(a) Antwoord: Sien die bewys hieronder.

1. Te bewys: B$\hat{\mathrm{A}}$T = A$\hat{\mathrm{C}}$B
2. Konstruksie: Trek die middellyn AD en verbind DB.
3. D$\hat{\mathrm{A}}$T = 90° (raaklyn ⊥ radius)
4. A$\hat{\mathrm{B}}$D = 90° (∠ in halfsirkel)
5. ∴ B$\hat{\mathrm{A}}$T = 90° − D$\hat{\mathrm{A}}$B
6. A$\hat{\mathrm{D}}$B = 90° − D$\hat{\mathrm{A}}$B (som ∠e van Δ)
7. ∴ B$\hat{\mathrm{A}}$T = A$\hat{\mathrm{D}}$B
8. A$\hat{\mathrm{D}}$B = A$\hat{\mathrm{C}}$B (∠e in dieselfde segment)
9. ∴ B$\hat{\mathrm{A}}$T = A$\hat{\mathrm{C}}$B

(b) Antwoord: P$\hat{\mathrm{A}}$D = A$\hat{\mathrm{E}}$D

1. P$\hat{\mathrm{A}}$B = A$\hat{\mathrm{C}}$B (raaklyn-koordstelling)
2. A$\hat{\mathrm{C}}$B = A$\hat{\mathrm{E}}$D (ooreenk. ∠e; DE ∥ BC)
3. ∴ P$\hat{\mathrm{A}}$D = A$\hat{\mathrm{E}}$D

(c) Antwoord: PQ is 'n raaklyn aan die sirkel deur A, D en E

1. P$\hat{\mathrm{A}}$D = A$\hat{\mathrm{E}}$D (bewys)
2. ∴ PQ is 'n raaklyn aan die sirkel deur A, D en E (omgekeerde raaklyn-koordstelling)

(d) Antwoord: AE = 6 eenhede

1. AE/EC = AD/DB = 2 (lyn ∥ een sy van Δ; DE ∥ BC)
2. ∴ AE = (4/6) × 9 = 6 eenhede

(a) Antwoord: a = 3 en p = −60°

1. die grootste waarde van f is 3, dus a = 3
2. cos(x + p) is die grootste waar x + p = 0°
3. 60° + p = 0°, dus p = −60°

(b) Antwoord: −3 ≤ y ≤ 3

1. f strek van −3 tot 3

(c) Antwoord: Sien die skets hieronder.

1. g(x) = 3 sin x
2. g: x-afsnitte (−180°; 0), (0°; 0), (180°; 0)
3. g: y-afsnit (0°; 0)
4. g: draaipunte (−90°; −3), (90°; 3)
5. g: eindpunte (−180°; 0), (180°; 0)

(d) Antwoord: x = −105° of x = 75°

1. 3 cos(x − 60°) = 3 sin x
2. cos(x − 60°) = cos(90° − x)
3. x − 60° = 90° − x + k·360°, dus x = 75° + k·180°
4. of x − 60° = −(90° − x) + k·360°, wat −60° = −90° + k·360° gee: geen oplossing nie
5. In [−180°; 180°]: x = −105° of x = 75°

(e) Antwoord: −30° < x < 0° of 150° < x < 180°

1. f en g het teenoorgestelde tekens, van die skets afgelees

(a) Antwoord: FG : GC = 5 : 4

1. In ΔCBF: DG ∥ BF
2. ∴ FG : GC = 5 : 4 (lyn ∥ een sy van Δ; DG ∥ BF)

(b) Antwoord: AF = FG

1. In ΔADG: AE = ED en EF ∥ DG
2. ∴ AF = FG (lyn deur middelpt ∥ aan tweede sy)

(c) Antwoord: AF : FC = 5 : 9

1. AF = FG = 5k en GC = 4k (bewys)
2. ∴ AF : FC = 5 : 9

(d) Antwoord: 5 : 9

1. oppervlakte ΔABF : oppervlakte ΔCBF = 5 : 9 (dieselfde hoogte)

(a) Antwoord: M(0; 4); r = √17

1. x^{^2} + (y − 4)^{^2} = 1 + 16
2. x^{^2} + (y − 4)^{^2} = 17
3. M(0; 4) en r = √(17) = √17

(b) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

1. (1)^{^2} + (8)^{^2} + 0(1) − 8(8) − 1 = 0
2. dus lê P op die sirkel

(c) Antwoord: y = −(1/4)x + 33/4

1. m_{_MP} = (8 − 4)/(1 − 0) = 4
2. die raaklyn is loodreg op die radius: m = −1/4
3. 8 = (−1/4)(1) + c, dus c = 33/4

(d) Antwoord: QT = 9 eenhede

1. QM^{^2} = (−7 − 0)^{^2} + (11 − 4)^{^2} = 98
2. MT ⊥ QT (radius ⊥ raaklyn), dus QT^{^2} = QM^{^2} − r^{^2}
3. QT^{^2} = 98 − 17 = 81
4. QT = 9

(a) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

1. m_{_AB} = (−4 − 2)/(−4 − (−2)) = 3
2. m_{_BC} = (−6 − (−4))/(2 − (−4)) = −1/3
3. m_{_AB} × m_{_BC} = (3)(−1/3) = −1, dus AB ⊥ BC

(b) Antwoord: M(0; −2)

1. A$\hat{\mathrm{B}}$C = 90°, dus onderspan AC 'n regte hoek by B: AC is 'n middellyn (omgekeerde ∠ in halfsirkel)
2. M is die middelpunt van AC: ((−2 + 2)/2; (2 + (−6))/2) = (0; −2)

(c) Antwoord: x^{^2} + (y + 2)^{^2} = 20

1. r^{^2} = MA^{^2} = (−2 − 0)^{^2} + (2 − (−2))^{^2} = 20

(d) Antwoord: y = (1/2)x − 7

1. m_{_MC} = −2
2. die raaklyn is loodreg op die radius MC: m = 1/2
3. −6 = (1/2)(2) + c, dus c = −7

(e) Antwoord: 20 vierkante eenhede

1. AB = 2√10 en BC = 2√10
2. oppervlakte = ½ × AB × BC (die regte hoek is by B) = 20

(a) Antwoord: CDHE is 'n koordevierhoek

1. H$\hat{\mathrm{D}}$C = 90° (gegee)
2. H$\hat{\mathrm{E}}$C = 90° (gegee)
3. ∴ H$\hat{\mathrm{D}}$C + H$\hat{\mathrm{E}}$C = 180°
4. ∴ CDHE is 'n koordevierhoek (teenoorst. ∠e van vierhoek supp)

(b) Antwoord: ABDE is 'n koordevierhoek

1. A$\hat{\mathrm{D}}$B = A$\hat{\mathrm{E}}$B = 90° (gegee)
2. ∴ ABDE is 'n koordevierhoek (lyn onderspan gelyke ∠e)

(c) Antwoord: D$\hat{\mathrm{A}}$C = 90° − x

1. A$\hat{\mathrm{D}}$C = 90° (gegee)
2. ∴ D$\hat{\mathrm{A}}$C = 90° − x (som ∠e van Δ)

(d) Antwoord: ${\hat{\mathrm{D}}}_1$ = B$\hat{\mathrm{A}}$C

1. ${\hat{\mathrm{D}}}_1$ = B$\hat{\mathrm{A}}$E (buite ∠ van koordevierhoek)

(e) Antwoord: ΔCDE ||| ΔCAB

1. In ΔCDE en ΔCAB:
2. D$\hat{\mathrm{C}}$E = A$\hat{\mathrm{C}}$B (gemeenskaplik)
3. ${\hat{\mathrm{D}}}_1$ = C$\hat{\mathrm{A}}$B (bewys)
4. ∴ ΔCDE ||| ΔCAB (∠∠∠)

(f) Antwoord: CB = 30 eenhede

1. CD/CA = CE/CB (||| Δe)
2. ∴ CB = (18 · 25)/15 = 30 eenhede

(a) Antwoord: 21.08

1. middelpunte: 5, 15, 25, 35, 45
2. Σ f·x = 1075 en n = 51
3. gemiddelde = 1075/51 = 21.08

(b) Antwoord: 10 ≤ x < 20

1. die hoogste frekwensie is 16

(c) Antwoord: Sien die ogief hieronder.

1. kumulatiewe frekwensies: 10, 26, 41, 45, 51
2. stip elkeen teen die boonste grens van sy klas, vanaf (0; 0)

(d) Antwoord: ongeveer 19.7

1. die mediaan is by 'n kumulatiewe frekwensie van 51/2 = 25.5
2. lees oor na die ogief en af: ongeveer 19.7

(e) Antwoord: ongeveer 16.5

1. Q1 by 12.75: ongeveer 11.7; Q3 by 38.25: ongeveer 28.2
2. Q3 − Q1 = 28.2 − 11.7 = 16.5

(f) Antwoord: Skeef na regs (positief)

1. gemiddelde 21.08 en mediaan ongeveer 19.7
2. gemiddelde > mediaan

(a) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

1. AT maak 'n hoek α en die pad 'n hoek θ met die horisontaal: P$\hat{\mathrm{A}}$T = α − θ
2. die horisontaal by P maak 90° met PT, en PA lê θ daaronder: A$\hat{\mathrm{P}}$T = 90° + θ
3. A$\hat{\mathrm{T}}$P = 180° − (α − θ) − (90° + θ) = 90° − α (som ∠e van Δ)

(b) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

1. In ΔAPT: PT/(sin P$\hat{\mathrm{A}}$T) = AP/(sin A$\hat{\mathrm{T}}$P) (sinusreël)
2. PT = (d sin(α − θ))/(sin(90° − α))
3. sin(90° − α) = cos α, dus PT = (d sin(α − θ))/(cos α)

(c) Antwoord: PT = 9.81 m

1. PT = (26 sin 20°)/(cos 25°)
2. = 9.81 m

(d) Antwoord: BT = 47.86 m

1. AT = (d sin(90° + θ))/(sin(90° − α)) = (26 cos 5°)/(cos 25°) = 28.58 m (sinusreël)
2. B$\hat{\mathrm{A}}$T = 180° − 20° = 160° (∠e op 'n reguit lyn)
3. BT^{^2} = 20^{^2} + 28.58^{^2} − 2(20)(28.58) cos 160° (kosinusreël)

(e) Antwoord: 16.78°

1. (sin A$\hat{\mathrm{B}}$T)/AT = (sin B$\hat{\mathrm{A}}$T)/BT (sinusreël)
2. A$\hat{\mathrm{B}}$T = 11.78°
3. die pad styg teen 5°: die hoogtehoek is 11.78° + 5° = 16.78°