Mathbench

IEB-proefvraestel II (derde vraestel)

'n Volledige oefenvraestel van 150 punte: 12 vrae in 56 dele, 32 onderwerpe, Afdeling A 75 punte en Afdeling B 75. Elke vraag is vir hierdie bladsy gegenereer en elke antwoord is onafhanklik geverifieer.

Die verdeling tussen die afdelings, en hoeveel van die vraestel elke onderwerp werd is, is uit 282 werklike IEB-vrae gemeet — nie geraai nie. Nie een van daardie vrae verskyn hier nie.

Alle IEB-oefening · Skryf hierdie vraestel op tyd · English

Die vraestel

Afdeling A[75 punte]

1[10 punte]

In die diagram is ΔABC geteken.

  • E is 'n punt op AC en D is 'n punt op BC met AB ∥ ED.
  • F is 'n punt op ED en G is 'n punt op EC met FG ∥ BC.
  • AE = 7 eenhede, BD = 4 eenhede en DC = 8 eenhede.
  • EF : FD = 3 : 2.
A figure on the points A, B, C, D, E, F, G; lines AB, AC, BC, DE, FG.ABCDEFG748
  1. (a)
    Bereken die lengte van EC.
    (3)
  2. (b)
    Bereken die lengte van EG.
    (3)
  3. (c)
    Bereken die lengte van FG.
    (4)
2[12 punte]

Die sirkel met middelpunt M het die vergelyking x^2 + y^2 + 10x + 2y + 1 = 0.

xyOMP(−8; −5)Q(0; 4)
  1. (a)
    Bepaal die koördinate van die middelpunt M en die radius van die sirkel.
    (3)
  2. (b)
    Toon aan dat P(−8; −5) op die sirkel lê.
    (2)
  3. (c)
    Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan die sirkel by P.
    (4)
  4. (d)
    'n Raaklyn word van Q(0; 4) af aan die sirkel getrek en raak dit by T. Bepaal die lengte van QT.
    (3)
3[12 punte]

In die diagram is ABCD 'n parallelogram met A(2; 2), B(2; −2) en C(−2; −2). Sy hoeklyne sny by M.

xyOA(2; 2)B(2; −2)C(−2; −2)D
  1. (a)
    Bepaal die koördinate van M, die punt waar die hoeklyne sny.
    (2)
  2. (b)
    Bepaal vervolgens die koördinate van D.
    (2)
  3. (c)
    Bepaal die lengte van AB in eenvoudigste wortelvorm.
    (2)
  4. (d)
    Bepaal of ABCD 'n reghoek is. Toon jou berekening.
    (3)
  5. (e)
    Bereken die oppervlakte van ΔABC.
    (3)
4[12 punte]

In die diagram: ABCD is 'n koordevierhoek met diagonale AC en BD geteken. ABˆD = 94°; BCˆA = 27°.

A circle; with A, B, C, D on the circumference; chords AB, AC, AD, BC, BD, CD.94°27°ABCD
  1. (a)
    Bepaal, met redes, die grootte van ADˆB.
    (2)
  2. (b)
    Bepaal, met redes, die grootte van DCˆA.
    (2)
  3. (c)
    Bepaal, met redes, die grootte van DAˆB.
    (2)

  4. In die diagram hieronder: O is die middelpunt van die sirkel en OM ⊥ AB, met M op AB. OAˆB = 34°.

    A circle; with A, B on the circumference; centre O; chords AB.34°OABM
  5. (d)
    Bepaal, met redes, die grootte van OMˆA.
    (2)
  6. (e)
    Bepaal, met redes, die grootte van OMˆB.
    (2)
  7. (f)
    Bepaal, met redes, die grootte van AOˆM.
    (2)
5[14 punte]
  1. (a)
    Vereenvoudig volledig tot 'n enkele trigonometriese verhouding: (cos(90° + θ) · sin(90° + θ))/sin(−θ)
    (6)
  2. (b)
    Bepaal sonder 'n sakrekenaar die waarde van sin 19° cos 11° + cos 19° sin 11°.
    (3)
  3. (c)
    Bepaal sonder 'n sakrekenaar die waarde van 2cos^2 22.5° − 1.
    (2)
  4. (d)
    Bepaal die algemene oplossing van sin θ + √3 cos θ = 0.
    (3)
6[15 punte]

Die data hieronder gee die daaglikse reënval in mm op 12 dae: 18; 21; 24; 24; 24; 24; 25; 27; 27; 28; 32; 43

  1. (a)
    Bereken die gemiddelde.
    (1)
  2. (b)
    Bereken die standaardafwyking, korrek tot twee desimale plekke.
    (2)
  3. (c)
    Hoeveel van die waardes lê binne een standaardafwyking van die gemiddelde?
    (2)
  4. (d)
    Skryf die vyfgetalopsomming neer.
    (3)
  5. (e)
    Teken 'n houer-en-punt-diagram van die data.
    (2)
  6. (f)
    'n Uitskieter is 'n waarde meer as 1.5 × (Q3 − Q1) bo Q3 of onder Q1. Is 43 'n uitskieter? Toon jou berekening.
    (3)
  7. (g)
    Elke waarde word met 10 vermeerder. Wat gebeur met die gemiddelde en met die standaardafwyking?
    (2)

Afdeling B[75 punte]

7[10 punte]

In die diagram: O is die middelpunt van die sirkel en AB is verbind. OAˆB = 45°.

A circle; with A, B, P on the circumference; centre O; chords AB, AP, BP.45°OABP
  1. (a)
    Bepaal, met redes, die grootte van OBˆA.
    (2)
  2. (b)
    Bepaal, met redes, die grootte van AOˆB.
    (2)
  3. (c)
    Bepaal, met redes, die grootte van APˆB.
    (2)

  4. In die diagram hieronder: ABC is 'n driehoek met BC verleng tot D. BAˆC = 39°; ABˆC = 93°.

    A circle; with A, B, C on the circumference; chords AB, AC.39°93°ABCD
  5. (d)
    Bepaal, met redes, die grootte van ACˆB.
    (2)
  6. (e)
    Bepaal, met redes, die grootte van DCˆA.
    (2)
8[10 punte]

Die tabel en spreidingsdiagram toon die ouderdom van 'n motor in jare (x) en sy waarde in duisende rande (y): (1; 326); (3; 275); (4; 274); (5; 238); (7; 212); (10; 155); (11; 129).

024681012100150200250300350
  1. (a)
    Gebruik jou sakrekenaar om die vergelyking van die kleinstekwadrate-regressielyn in die vorm y = A + Bx te bepaal. Gee A en B korrek tot drie desimale plekke.
    (3)
  2. (b)
    Bepaal die korrelasiekoëffisiënt r, korrek tot twee desimale plekke.
    (1)
  3. (c)
    Beskryf die sterkte en rigting van die korrelasie.
    (2)
  4. (d)
    Gebruik jou vergelyking om y te voorspel wanneer x = 17.
    (2)
  5. (e)
    Is hierdie voorspelling betroubaar? Verduidelik.
    (2)
9[12 punte]

Gegee: f(x) = cos 2x + 1 en g(x) = −tan x vir x ∈ [0°; 360°].

xy45°90°135°180°225°270°315°360°−3−2−1123
  1. (a)
    Skryf die periode van g neer.
    (1)
  2. (b)
    Skryf die vergelykings van die asimptote van g vir x ∈ [0°; 360°] neer.
    (2)
  3. (c)
    Skets die grafieke van f en g op die assestelsel wat voorsien word. Benoem alle afsnitte met die asse, asimptote, draaipunte en eindpunte.
    (6)
  4. (d)
    Gebruik jou grafiek om die waardes van x ∈ [0°; 360°] te bepaal waarvoor f(x)/g(x) > 0.
    (3)
10[14 punte]

In die diagram is A(−1; −1), B(−2; 1) en C(6; −3) die hoekpunte van ΔABC.

xyOA(−1; −1)B(−2; 1)C(6; −3)
  1. (a)
    Bepaal die gradiënt van AB.
    (2)
  2. (b)
    Bepaal θ, die hellingshoek van AB, korrek tot een desimale plek.
    (2)
  3. (c)
    Bepaal die vergelyking van die lyn deur C wat loodreg op AB is.
    (3)
  4. (d)
    D(−4; k) lê op dieselfde reguitlyn as A en B. Bepaal k.
    (3)
  5. (e)
    Bepaal die grootte van hoek BAˆC, korrek tot een desimale plek.
    (4)
11[14 punte]
  1. (a)
    Bepaal die algemene oplossing van 2sin^2 x + 3sin x + 1 = 0.
    (5)
  2. (b)
    Bewys dat (1 − cos 2x)/(2 sin x) = sin x.
    (5)
  3. (c)
    Los vervolgens (1 − cos 2x)/(2 sin x) = −1/2 op vir x ∈ [0°; 360°].
    (4)
12[15 punte]

In die diagram: ΔABC en ΔDEF met Aˆ = Dˆ, Bˆ = Eˆ en Cˆ = Fˆ.

A figure on the points A, B, C, D, E, F; lines AB, AC, BC, DE, DF, EF.BCAEFD
  1. (a)
    Gebruik die diagram om die stelling te bewys wat beweer dat gelykhoekige driehoeke is gelykvormig.
    (6)

  2. In die diagram hieronder is ΔABC geteken. BAˆC = 90°. D lê op BC met AD ⊥ BC. BD = 12 eenhede en DC = 3 eenhede.

    A figure on the points A, B, C, D; lines AB, AC, AD, BC.BCDA123
  3. (b)
    Bewys dat ΔABD ||| ΔCAD.
    (3)
  4. (c)
    Bewys vervolgens dat AD2 = BD · DC.
    (2)
  5. (d)
    Bereken die lengte van AD.
    (2)
  6. (e)
    Bereken die lengte van AB in eenvoudigste wortelvorm.
    (2)

Memorandum

Elke antwoord hieronder is deur 'n onafhanklike verifieerder bevestig op die oomblik toe die vraag gemaak is.

1

(a) Antwoord: EC = 14 eenhede

  1. CE/EA = CD/DB (lyn ∥ een sy van Δ; ED ∥ AB)
  2. EC/7 = 8/4
  3. EC = 14

(b) Antwoord: EG = 8.4 eenhede

  1. EG/GC = EF/FD = 3/2 (lyn ∥ een sy van Δ; FG ∥ DC)
  2. EG = 3/5 × EC = 3/5 × 14
  3. EG = 8.4

(c) Antwoord: FG = 4.8 eenhede

  1. In ΔEFG en ΔEDC:
  2. Eˆ = Eˆ (gemeenskaplik)
  3. EFˆG = CDˆE (ooreenk. ∠e gelyk; FG ∥ DC)
  4. ∴ ΔEFG ||| ΔEDC (∠∠∠)
  5. FG/DC = EF/ED = 3/5 (∥∥∥ Δe)
  6. FG = 3/5 × 8 = 4.8

Die Eweredigheidstelling

2

(a) Antwoord: M(−5; −1); r = 5

  1. (x + 5)^2 + (y + 1)^2 = −1 + 25 + 1
  2. (x + 5)^2 + (y + 1)^2 = 25
  3. M(−5; −1) en r = √(25) = 5

(b) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

  1. (−8)^2 + (−5)^2 + 10(−8) + 2(−5) + 1 = 0
  2. dus lê P op die sirkel

(c) Antwoord: y = −(3/4)x − 11

  1. m_MP = (−5 − (−1))/(−8 − (−5)) = 4/3
  2. die raaklyn is loodreg op die radius: m = −3/4
  3. −5 = (−3/4)(−8) + c, dus c = −11
  4. y = −(3/4)x − 11

(d) Antwoord: QT = 5 eenhede

  1. QM^2 = (0 − (−5))^2 + (4 − (−1))^2 = 50
  2. MT ⊥ QT (radius ⊥ raaklyn), dus QT^2 = QM^2 − r^2
  3. QT^2 = 50 − 25 = 25
  4. QT = 5

Die vergelyking van 'n sirkel

3

(a) Antwoord: M(0; 0)

  1. die hoeklyne van 'n parallelogram halveer mekaar: M is die middelpunt van AC
  2. M = ((2 + −2)/2; (2 + −2)/2) = (0; 0)

(b) Antwoord: D(−2; 2)

  1. M is ook die middelpunt van BD
  2. D = (2(0) − 2; 2(0) − (−2)) = (−2; 2)

(c) Antwoord: AB = 4 eenhede

  1. AB = √((2 − 2)^2 + (2 − (−2))^2) = √(16)
  2. = 4

(d) Antwoord: Ja: ABCD is 'n reghoek

  1. een van AB en BC is vertikaal en die ander horisontaal
  2. dus AB ⊥ BC en die parallelogram het 'n regte hoek

(e) Antwoord: 8 vierkante eenhede

  1. oppervlakte = (1/2)|x_A(y_B − y_C) + x_B(y_C − y_A) + x_C(y_A − y_B)|
  2. = 8

Die middelpunt van 'n lynsegment

4

(a) Antwoord: ADˆB = 27°

  1. ADˆB = 27° (∠e in dieselfde segment)

(b) Antwoord: DCˆA = 94°

  1. DCˆA = 94° (∠e in dieselfde segment)

(c) Antwoord: DAˆB = 59°

  1. DAˆB = 59° (som ∠e van Δ)

(d) Antwoord: OMˆA = 90°

  1. OMˆA = 90° (lyn vanaf middelpunt ⊥ op koord)

(e) Antwoord: OMˆB = 90°

  1. OMˆB = 90° (lyn vanaf middelpunt ⊥ op koord)

(f) Antwoord: AOˆM = 56°

  1. AOˆM = 56° (som ∠e van Δ)

Hoeke in dieselfde segment

5

(a) Antwoord: cos θ

  1. cos(90° + θ) = −sin θ
  2. sin(90° + θ) = cos θ
  3. sin(−θ) = −sin θ
  4. = cos θ

(b) Antwoord: 1/2

  1. sin 19° cos 11° + cos 19° sin 11° = sin(19° + 11°)
  2. = sin 30° = 1/2

(c) Antwoord: √2/2

  1. 2cos^2 22.5° − 1 = cos 45°
  2. = √2/2

(d) Antwoord: θ = −60° + k·180°, k ∈ ℤ

  1. tan θ = −√3
  2. θ = −60° + k·180°, k ∈ ℤ

Identiteite, reduksie en saamgestelde hoeke

6

(a) Antwoord: 26.42

  1. Σx = 317 en n = 12
  2. gemiddelde = 317/12 = 26.42

(b) Antwoord: σ = 6.02

  1. σ² = Σ(x − 26.42)²/12 = 36.24
  2. σ = 6.02

(c) Antwoord: 10

  1. tussen 20.40 en 32.44
  2. 10 waardes

(d) Antwoord: 18; 24; 24.5; 27.5; 43

  1. minimum 18; Q1 24; mediaan 24.5; Q3 27.5; maksimum 43

(e) Antwoord: Sien die diagram hieronder.

15202530354045182424.527.543
  1. die houer van Q1 tot Q3 met die mediaan aangedui; die punte na die minimum en maksimum

(f) Antwoord: Ja: 43 > 32.75

  1. Q3 − Q1 = 27.5 − 24 = 3.5
  2. Q3 + 1.5 × (Q3 − Q1) = 27.5 + 5.25 = 32.75
  3. 43 > 32.75

(g) Antwoord: Die gemiddelde vermeerder met 10; die standaardafwyking bly dieselfde.

  1. elke waarde, en dus hul gemiddelde, skuif met dieselfde bedrag
  2. die afstande vanaf die gemiddelde verander nie

Gemiddelde, mediaan en modus

7

(a) Antwoord: OBˆA = 45°

  1. OA = OB (radii)
  2. OBˆA = 45° (∠e teenoor gelyke sye)

(b) Antwoord: AOˆB = 90°

  1. AOˆB = 90° (som ∠e van Δ)

(c) Antwoord: APˆB = 45°

  1. APˆB = 45° (∠ by middelpunt = 2 × ∠ by omtrek)

(d) Antwoord: ACˆB = 48°

  1. ACˆB = 48° (som ∠e van Δ)

(e) Antwoord: DCˆA = 132°

  1. DCˆA = 132° (∠e op 'n reguit lyn)

Die hoek by die middelpunt

8

(a) Antwoord: y = 340.988 − 18.973x

  1. A = 340.988
  2. B = −18.973

(b) Antwoord: r = −1.00

  1. r = −1.00

(c) Antwoord: 'n sterk negatiewe korrelasie

  1. r = −1.00: r < 0 en |r| is minstens 0.8

(d) Antwoord: y = 18.45

  1. y = 340.988 − 18.973(17)
  2. y = 18.45

(e) Antwoord: Nee: x lê buite die data (ekstrapolasie)

  1. die data strek van x = 1 tot x = 11; x = 17 lê buite dit

Die lyn van beste passing

9

(a) Antwoord: 180°

  1. g(x) = −tan x herhaal elke 180°

(b) Antwoord: x = 90° en x = 270°

  1. tan x is ongedefinieer waar cos x = 0: x = 90° + k·180°
  2. In [0°; 360°]: x = 90° en x = 270°

(c) Antwoord: Sien die skets hieronder.

xy45°90°135°180°225°270°315°360°−3−2−1123fg
  1. f(x) = cos 2x + 1
  2. f: x-afsnitte (90°; 0), (270°; 0)
  3. f: y-afsnit (0°; 2)
  4. f: draaipunte (90°; 0), (180°; 2), (270°; 0)
  5. f: eindpunte (0°; 2), (360°; 2)
  6. g(x) = −tan x
  7. g: x-afsnitte (0°; 0), (180°; 0), (360°; 0)
  8. g: y-afsnit (0°; 0)
  9. g: asimptote x = 90°, x = 270°
  10. g: eindpunte (0°; 0), (360°; 0)

(d) Antwoord: 90° < x < 180° of 270° < x < 360°

  1. f en g het dieselfde teken, en g(x) ≠ 0, van die skets afgelees
  2. 90° < x < 180° of 270° < x < 360°

Trigonometriese grafieke

10

(a) Antwoord: m_AB = −2

  1. m_AB = (1 − (−1))/(−2 − (−1))
  2. = −2

(b) Antwoord: θ = 116.6°

  1. tan θ = −2
  2. θ = 180° − 63.4°
  3. θ = 116.6°

(c) Antwoord: y = (1/2)x − 6

  1. m = −1/(−2) = 1/2
  2. −3 = (1/2)(6) + c, dus c = −6
  3. y = (1/2)x − 6

(d) Antwoord: k = 5

  1. m_AD = m_AB
  2. (k − (−1))/(−4 − (−1)) = −2
  3. k = 5

(e) Antwoord: BAˆC = 132.5°

  1. die hellingshoek van AB is 116.6°
  2. m_AC = −2/7, dus is die hellingshoek van AC 164.1°
  3. die lyne maak 47.5°; BAˆC is die supplement daarvan: 180° − 47.5°
  4. BAˆC = 132.5°

Gradiënt

11

(a) Antwoord: x = −90° + k·360° of x = −30° + k·360° of x = 210° + k·360°, k ∈ ℤ

  1. 2sin^2 x + 3sin x + 1 = 0
  2. (2sin x + 1)(sin x + 1) = 0
  3. sin x = −1/2 of sin x = −1
  4. x = −90° + k·360° of x = −30° + k·360° of x = 210° + k·360°, k ∈ ℤ

(b) Antwoord: Sien die bewys hieronder.

  1. LK = (1 − (1 − 2sin^2 x))/(2 sin x)
  2. = (2sin^2 x)/(2 sin x)
  3. = sin x
  4. = RK

(c) Antwoord: x = 210° of x = 330°

  1. sin x = −1/2
  2. x = −30° + k·360° of x = 210° + k·360°
  3. In [0°; 360°]: x = 210° of x = 330°

Identiteite, reduksie en saamgestelde hoeke

12

(a) Antwoord: Sien die bewys hieronder.

  1. Gegee: ΔABC en ΔDEF met Aˆ = Dˆ, Bˆ = Eˆ en Cˆ = Fˆ.
  2. Te bewys: AB/DE = AC/DF = BC/EF
  3. Konstruksie: Merk G op AB sodat AG = DE, en H op AC sodat AH = DF. Verbind GH.
  4. In ΔAGH en ΔDEF:
  5. AG = DE (konstruksie)
  6. Aˆ = Dˆ (gegee)
  7. AH = DF (konstruksie)
  8. ∴ ΔAGH ≡ ΔDEF (S-H-S)
  9. ∴ AGˆH = Eˆ = Bˆ (≡ Δe)
  10. ∴ GH ∥ BC (ooreenk. ∠e gelyk)
  11. ∴ AB/AG = AC/AH (lyn ∥ een sy van Δ)
  12. ∴ AB/DE = AC/DF
  13. Net so, deur vanaf B af te sny, AB/DE = BC/EF

(b) Antwoord: Sien die bewys hieronder.

  1. In ΔABD en ΔCAD:
  2. ADˆB = ADˆC = 90° (gegee)
  3. Bˆ + BAˆD = 90° (som ∠e van Δ)
  4. BAˆD + CAˆD = 90° (gegee)
  5. ∴ Bˆ = CAˆD
  6. ∴ ΔABD ||| ΔCAD (∠∠∠)

(c) Antwoord: Sien die bewys hieronder.

  1. BD/AD = AD/DC (∥∥∥ Δe)
  2. ∴ AD2 = BD · DC

(d) Antwoord: AD = 6 eenhede

  1. AD2 = BD · DC = 12 × 3 = 36 (hierbo bewys)
  2. AD = 6

(e) Antwoord: AB = 6√5 eenhede

  1. AB2 = AD2 + BD2 = 36 + 144 = 180 (Pythagoras)
  2. AB = √(180) = 6√5

Om die stelling self te bewys, nie om dit te gebruik nie