Algebraïese Prosesse — NBT

Q1Basies

Onderwerp: Gemeenskaplike faktor + verskil van vierkante

Faktoriseer volledig: $3x^2 - 12$

A) $(3x-6)(x+2)$

B) $3(x-2)(x+2)$

C) $3(x-4)(x+1)$

D) $(x-2)(3x+6)$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Haal die gemeenskaplike faktor uit. Albei terme is deelbaar deur 3. $3x^2 - 12 = 3(x^2-4)$

Stap 2 — Faktoriseer wat oorbly. $x^2-4$ is ’n verskil van twee vierkante, $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ . $3x^2-12 = 3(x-2)(x+2)$

Waarom die ander verkeerd is:

A en D versteek steeds ’n 3 binne ’n hakie: $(3x-6)=3(x-2)$ . Nie volledig gefaktoriseer nie.
C — brei dit uit: $(x-4)(x+1)=x^2-3x-4$ . Dit is nie $x^2-4$ nie.

Onthou: "Faktoriseer volledig" beteken kontroleer elke hakie weer. Kan enigiets nog verder gedeel word?

Q2Basies

Onderwerp: Drieterm-faktorisering

Faktoriseer: $x^2 + 5x + 6$

A) $(x+1)(x+6)$

B) $(x+6)(x-1)$

C) $(x-2)(x-3)$

D) $(x+2)(x+3)$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

Vir $x^2+bx+c$ , vind twee getalle wat vermenigvuldig tot $c$ en optel tot $b$ . Hier is $c=6$ , $b=5$ .

Faktorpare van 6: $(1,6)$ en $(2,3)$ . Watter een tel op tot 5? $2+3=5$ ✓

$x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)$

Kontroleer: $(x+2)(x+3) = x^2+5x+6$ ✓

Waarom die ander verkeerd is:

A gebruik $(1,6)$ — vermenigvuldig tot 6, maar tel op tot 7, nie 5 nie.
C gebruik $(-2,-3)$ — vermenigvuldig tot $+6$ , maar tel op tot $-5$ . Dit gee $x^2-5x+6$ .
B gebruik $(6,-1)$ — vermenigvuldig tot $-6$ , nie $+6$ nie.

Onthou: As $b$ en $c$ albei positief is, is albei faktore positief. Om eers die tekens te kontroleer, halveer jou opsies.

Q3Basies

Onderwerp: Verskil van vierkante met koëffisiënte

Faktoriseer volledig: $9x^2 - 16y^2$

A) $(3x-4y)(3x+4y)$

B) $(9x-16y)(x+y)$

C) $(3x-4y)^2$

D) $(9x+4y)(x-4y)$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Vind die vierkante: $9x^2=(3x)^2$ en $16y^2=(4y)^2$ . Dus $a=3x$ en $b=4y$ , en $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ :

$9x^2-16y^2 = (3x-4y)(3x+4y)$

Kontroleer: $(3x-4y)(3x+4y) = 9x^2+12xy-12xy-16y^2 = 9x^2-16y^2$ ✓ Die middelterme kanselleer — dit gebeur altyd by ’n verskil van vierkante.

Waarom die ander verkeerd is:

B en D — as jy enige van die twee uitbrei, bly daar ’n $xy$ -term oor. Die oorspronklike het geen $xy$ -term nie.
C is ’n volkome vierkant, nie ’n verskil van vierkante nie: $(3x-4y)^2 = 9x^2-24xy+16y^2$ .

Onthou: ’n Verskil van vierkante benodig twee terme, ’n minus tussen hulle, en albei terme volkome vierkante. ’n Plus tussen twee vierkante ( $9x^2+16y^2$ ) kan glad nie gefaktoriseer word nie.

Q4Basies

Onderwerp: Faktorisering deur groepering (vier terme)

Faktoriseer volledig: $ax + ay + bx + by$

A) $abxy$

B) $(a+x)(b+y)$

C) $(a+b)(x+y)$

D) $(a-b)(x-y)$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

Vier terme, geen algehele gemeenskaplike faktor nie — groepeer hulle dus in pare wat wel ’n faktor deel.

$ax+ay+bx+by = a(x+y) + b(x+y)$

Nou is $(x+y)$ gemeenskaplik aan albei helftes. Haal dit uit:

$= (a+b)(x+y)$

Kontroleer: $(a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by$ ✓

Waarom die ander verkeerd is:

B paar die verkeerde terme. Brei dit uit: $ab+ay+bx+xy$ — glad nie soos die oorspronklike nie.
D het die regte vorm maar verkeerde tekens. Dit beantwoord $ax-ay-bx+by$ .
A vermenigvuldig net alles saam. Dit is nie faktorisering nie.

Onthou: Met vier terme, verdeel hulle in twee pare, faktoriseer elke paar, en haal dan die hakie uit wat hulle deel.

Q5Intermediêr

Onderwerp: Som van kubusse

Faktoriseer volledig: $x^3 + 27$

A) $(x+3)^3$

B) $(x+3)(x^2+3x+9)$

C) $(x+3)(x^2-3x+9)$

D) $(x+3)(x^2-6x+9)$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

$27 = 3^3$ , dus is dit ’n som van kubusse met $a=x$ en $b=3$ :

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ $x^3+27 = (x+3)(x^2-3x+9)$

Let op die tekens: die hakie $(x+3)$ behou die oorspronklike teken, maar die middelterm van die drieterm verander na die teenoorgestelde teken, $-3x$ .

Waarom die ander verkeerd is:

B het vergeet dat die middelteken verander. Dit brei uit tot $x^3+6x^2+18x+27$ .
D gebruik $-6x$ , wat by $(x-3)^2$ hoort, ’n ander uitbreiding.
A verwar "kubus van ’n som" met "som van kubusse". $(x+3)^3 = x^3+9x^2+27x+27$ .

Onthou: Leer albei kubusidentiteite saam: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \qquad a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ Die hakie pas by die oorspronklike teken; die drieterm se middelterm het altyd die teenoorgestelde teken.

Q6Intermediêr

Onderwerp: Drieterm met leidende koëffisiënt ≠ 1

Faktoriseer: $2x^2 + 5x - 3$

A) $(2x-1)(x+3)$

B) $(2x+1)(x-3)$

C) $(2x-3)(x+1)$

D) $(2x+3)(x-1)$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Wanneer die leidende koëffisiënt nie 1 is nie, vind twee getalle wie se produk $a\times c$ is en wie se som $b$ is.

Hier is $a\times c = 2\times(-3) = -6$ en $b=5$ . Die paar is $6$ en $-1$ .

Verdeel die middelterm en groepeer: $2x^2 + 6x - x - 3 = 2x(x+3) - 1(x+3) = (2x-1)(x+3)$

Kontroleer: $(2x-1)(x+3) = 2x^2+5x-3$ ✓

Waarom die ander verkeerd is: al drie gee die verkeerde middelterm.

B: $(2x+1)(x-3)=2x^2-5x-3$
C: $(2x-3)(x+1)=2x^2-x-3$
D: $(2x+3)(x-1)=2x^2+x-3$

Onthou: Brei jou antwoord altyd uit om te kontroleer. By $a\neq1$ lyk verskeie hakie-rangskikkings reg, en net een is.

Q7Intermediêr

Onderwerp: Faktorisering van ’n kubiese uitdrukking deur groepering

Faktoriseer volledig: $x^3 - 3x^2 - 4x + 12$

A) $(x-3)(x-4)(x+1)$

B) $(x+3)(x-2)(x+2)$

C) $(x-3)(x^2-4)$

D) $(x-3)(x-2)(x+2)$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

Vier terme, geen algehele gemeenskaplike faktor nie — groepeer dus in pare: $x^3-3x^2-4x+12 = x^2(x-3) - 4(x-3) = (x-3)(x^2-4)$

Nou is $x^2-4$ ’n verskil van vierkante, gaan dus voort: $(x-3)(x-2)(x+2)$

Waarom die ander verkeerd is:

C is ’n korrekte tussenstap, maar $x^2-4$ faktoriseer nog verder. Die vraag sê volledig.
B het ’n tekenfout: $(x+3)(x^2-4) = x^3+3x^2-4x-12$ .
A brei uit tot $x^3-6x^2+5x+12$ — nie die oorspronklike nie.

Onthou: Kontroleer ná groepering elke hakie weer vir nog ’n patroon. Die verskil van vierkante is die een wat mense mis.

Q8Gevorderd

Onderwerp: Kwadraties in vermomming (substitusie-insig)

Faktoriseer volledig: $x^4 - 13x^2 + 36$

A) $(x-4)(x+4)(x-9)(x+9)$

B) $(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)$

C) $(x-2)(x+2)(x^2-9)$

D) $(x^2-4)(x^2-9)$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

Slegs ewe magte van $x$ kom voor, dus is dit ’n kwadraat in vermomming. Laat $y=x^2$ :

$y^2 - 13y + 36 = (y-4)(y-9)$

Vervang terug $y=x^2$ : $(x^2-4)(x^2-9)$

Albei hakies is verskille van vierkante, gaan dus voort: $(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)$

Waarom die ander verkeerd is:

D hou op net ná die terugvervanging. Korrek, maar nie volledig gefaktoriseer nie.
C faktoriseer die eerste hakie en vergeet die tweede.
A neem $y=4$ en $y=9$ en skryf $x=4$ en $x=9$ . Maar $y=x^2$ , dus gee $x^2=4$ $x=\pm2$ en $x^2=9$ gee $x=\pm3$ .

Onthou: Net ewe magte? Vervang $y=x^2$ . Wanneer jy terugruil, onthou dat jy ’n vierkantswortel moet neem, nie die getal net oorskryf nie.

Afdeling 1.2 — Lineêre en Kwadratiese Vergelykings

Twee gewoontes wat byna elke slordige fout in hierdie afdeling voorkom: 1. Herrangskik altyd na standaardvorm voordat jy faktoriseer ( $ax^2+bx+c=0$ , alles aan die een kant, nul aan die ander). 2. Kontroleer altyd jou finale antwoord deur dit terug te vervang in die oorspronklike vergelyking — nie jou herrangskikte weergawe nie, maar die oorspronklike. Dit vang tekenfoute asook vreemde wortels.

Q9Basies

Onderwerp: Lineêre vergelyking met breuke

Los op vir $x$ : $\dfrac{3x-2}{4} = \dfrac{x+6}{2}$

A) $x = 14$

B) $x = 10$

C) $x = 2$

D) $x = -14$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Skaf die breuke af. Kruisvermenigvuldig: $2(3x-2) = 4(x+6)$

Stap 2 — Brei uit. $6x - 4 = 4x + 24$

Stap 3 — Versamel terme. Enige term wat oor die gelykaanteken beweeg, verander van teken. $6x - 4x = 24 + 4 \quad\Rightarrow\quad 2x = 28 \quad\Rightarrow\quad x = 14$

Kontroleer in die oorspronklike: LK $=\frac{40}{4}=10$ , RK $=\frac{20}{2}=10$ ✓

Waarom die ander verkeerd is:

B ( $x=10$ ) het ’n tekenverandering vergeet: $6x-4x = 24-4$ in plaas van $24+4$ .
C ( $x=2$ ) het verkeerd om kruisvermenigvuldig: $4(3x-2)=2(x+6)$ .
D ( $x=-14$ ) het die tekens op albei konstantes omgeruil.

Onthou: Wanneer ’n term oor die gelykaanteken beweeg, sê die tekenverandering hardop: "minus vier word plus vier." Tekenfoute is die algemeenste algebrafout wat daar is.

Q10Basies

Onderwerp: Oplos van ’n kwadratiese vergelyking deur faktorisering

Los op vir $x$ : $x^2 - 7x + 10 = 0$

A) $x = -2$ of $x = -5$

B) $x = 2$ of $x = -5$

C) $x = 2$ of $x = 5$

D) $x = -2$ of $x = 5$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

Reeds in standaardvorm, faktoriseer dus. Twee getalle wat vermenigvuldig tot $+10$ en optel tot $-7$ : dit is $-2$ en $-5$ .

$x^2-7x+10 = (x-2)(x-5) = 0$

Nulproduk-reël: as twee dinge tot nul vermenigvuldig, moet een van hulle nul wees. $x=2 \quad\text{or}\quad x=5$

Waarom die ander verkeerd is: elkeen los ’n ander vergelyking op.

A los $x^2+7x+10=0$ op
B los $x^2+3x-10=0$ op
D los $x^2-3x-10=0$ op

Hulle gebruik almal die getalle 2 en 5 met die verkeerde tekens.

Onthou: Kontroleer die tekens voordat jy iets neerskryf. In $x^2+bx+c=0$ : as $c$ positief is, deel albei faktore die teken van $b$ . As $c$ negatief is, het die faktore teenoorgestelde tekens. Hier is $c=+10$ , $b=-7$ , dus is albei faktore negatief.

Q11Basies

Onderwerp: Kwadratiese formule met ’n wortelvorm-antwoord

Los op vir $x$ (laat jou antwoord in eenvoudigste wortelvorm): $x^2 - 6x + 4 = 0$

A) $x = 6 \pm \sqrt{5}$

B) $x = 3 \pm \sqrt{5}$

C) $x = 3 \pm \sqrt{20}$

D) $x = 3 \pm \sqrt{13}$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

Dit sal nie faktoriseer nie, gebruik dus die kwadratiese formule met $a=1$ , $b=-6$ , $c=4$ :

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36-16}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2}$

Vereenvoudig die wortelvorm: $\sqrt{20} = \sqrt{4\times5} = 2\sqrt5$ .

$x = \frac{6 \pm 2\sqrt5}{2}$

Deel elke term deur 2 — dit is die stap wat mense afjaag:

$x = 3 \pm \sqrt5$

Waarom die ander verkeerd is:

C het vergeet om die wortelvorm deur $2a$ te deel: $\dfrac{6 \pm \sqrt{20}}{2}$ het $3 \pm \sqrt{20}$ geword.
D het $b^2 + 4ac$ vir die diskriminant gebruik in plaas van $b^2 - 4ac$ , wat $\sqrt{52}$ en dus $3 \pm \sqrt{13}$ gee.
A het die wortelvorm gedeel maar nie die 6 nie.

Onthou: Die breukstreep geld vir elke term daarbo. Vra ná die kwadratiese formule: het ek beide die heelgetal en die wortelvorm deur $2a$ gedeel?

Q12Intermediêr

Onderwerp: Voltooiing van die vierkant

Skryf $x^2 + 8x + 3$ in die vorm $(x+p)^2 + q$ .

A) $(x+4)^2 - 19$

B) $(x+4)^2 + 3$

C) $(x+8)^2 - 13$

D) $(x+4)^2 - 13$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

Jy wil $x^2+8x$ herskryf as ’n volkome vierkant plus ’n korreksie.

Stap 1 — Halveer die koëffisiënt van $x$ . Die helfte van 8 is 4, probeer dus $(x+4)^2$ . Brei dit uit: $(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16$

Stap 2 — Korrigeer die konstante. Jy het $+16$ maar wil $+3$ hê, trek dus 16 af en tel 3 by: $x^2+8x+3 = (x+4)^2 - 16 + 3 = (x+4)^2 - 13$

Waarom die ander verkeerd is:

C gebruik $p=8$ — die oorspronklike koëffisiënt in plaas van die helfte daarvan.
B plak net die $+3$ aan, en ignoreer die ekstra $+16$ wat $(x+4)^2$ inbring.
A het die regte metode maar glip op die rekenkunde: $3-16=-13$ , nie $-19$ nie.

Onthou: Twee bewegings elke keer: (1) halveer $b$ om $p$ te kry; (2) $q = c - p^2$ .

Q13Intermediêr

Onderwerp: Herrangskikking voor die oplossing

Los op vir $x$ : $x^2 = 5x - 6$

A) $x = 2$ of $x = 3$

B) $x = -6$ of $x = -1$

C) $x = -2$ of $x = -3$

D) $x = -2$ of $x = 3$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Die sleutelstap kom vóór die faktorisering: dit is nie in standaardvorm nie. Skuif alles na een kant.

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Faktoriseer nou. Twee getalle wat tot $+6$ vermenigvuldig en tot $-5$ optel: dit is $-2$ en $-3$ . $(x-2)(x-3) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 2 \ \text{or}\ x = 3$

Kontroleer: $x=2$ gee LK $=4$ , RK $=4$ ✓

Waarom die ander verkeerd is:

B het dit as $x(x-5)=-6$ gelaat en $x=-6$ , $x-5=-6$ gestel. Die nulproduk-reël werk slegs wanneer die produk nul is.
C het $x^2+5x+6=0$ gefaktoriseer — daar is glad nie herrangskik nie.
D het die teken op net een faktor omgeruil.

Onthou: "Los die kwadratiese vergelyking op" is twee opdragte: (1) kry dit in standaardvorm, (2) faktoriseer. Om stap 1 oor te slaan, veroorsaak hier meer verkeerde antwoorde as enigiets anders.

Q14Intermediêr

Onderwerp: Rasionale vergelykings en beperkings

Los op vir $x$ : $\dfrac{3}{x-2} = \dfrac{1}{x+1}$

A) $x = \dfrac{5}{2}$

B) Geen oplossing nie, omdat $x \neq 2$

C) $x = \dfrac{7}{2}$

D) $x = -\dfrac{5}{2}$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Let op die beperkings. Noemers mag nie nul wees nie, dus $x \neq 2$ en $x \neq -1$ .

Stap 2 — Kruisvermenigvuldig. $3(x+1) = 1(x-2)$

Stap 3 — Brei uit en los op. $3x + 3 = x - 2 \quad\Rightarrow\quad 2x = -5 \quad\Rightarrow\quad x = -\frac{5}{2}$

$-\frac52$ is nie ’n beperkte waarde nie, dus is dit geldig. Kontroleer: LK $=-\frac23$ , RK $=-\frac23$ ✓

Waarom die ander verkeerd is:

A het ’n teken omgeruil: $3x-x = -2+3$ in plaas van $-2-3$ .
C het die verkeerde pare kruisvermenigvuldig: $3(x-2)=1(x+1)$ .
B verwar ’n beperking met geen oplossing nie. $x\neq2$ sluit slegs daardie een waarde uit. Die vergelyking het steeds elders ’n antwoord.

Onthou: Beperkings keer net dat jy deur nul deel. Noem hulle, los soos gewoonlik op, en verwerp jou antwoord slegs as dit op ’n beperkte waarde beland.

Q15Gevorderd

Onderwerp: Vergelykings wat deur substitusie opgelos kan word

Los op vir $x$ : $x - 4\sqrt{x} - 5 = 0$

A) $x = 1$

B) $x = 25$ of $x = 1$

C) $x = 25$

D) $x = -1$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

Aangesien $x = (\sqrt{x})^2$ , laat $y=\sqrt{x}$ . Die vergelyking word ’n gewone kwadratiese vergelyking:

$y^2 - 4y - 5 = 0 \quad\Rightarrow\quad (y-5)(y+1)=0 \quad\Rightarrow\quad y=5 \text{ or } y=-1$

Nou die stap wat hierdie vraag werklik toets: $y=\sqrt{x}$ , en ’n vierkantswortel is nooit negatief nie. Verwerp dus $y=-1$ .

Dit laat $\sqrt{x}=5$ , dus $x=25$ .

Kontroleer: $25 - 4\sqrt{25} - 5 = 25-20-5 = 0$ ✓

Waarom die ander verkeerd is:

B het $y=-1$ behou en dit gekwadreer om $x=1$ te kry. Toets dit: $1-4-5=-8\neq0$ . Dit is ’n vreemde wortel — dit pas by die herrangskikte vergelyking maar nie by die oorspronklike nie.
A behou slegs daardie ongeldige wortel.
D gee $y$ , nie $x$ nie.

Onthou: Enige substitusie wat ’n vierkantswortel behels, kan vals antwoorde oplewer. Toets elkeen altyd in die oorspronklike vergelyking.

Q16Gevorderd

Onderwerp: Gelyktydige vergelykings (lineêr en kwadraties)

Los gelyktydig op vir $x$ en $y$ : $\quad y = x + 1 \quad$ en $\quad y = x^2 - 5$

A) $(3;2)$ en $(-2;-3)$

B) $(3;4)$ en $(-2;-1)$

C) slegs $(3;4)$

D) $(-3;-2)$ en $(2;3)$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

Albei vergelykings begin met " $y =$ ", stel dus die regterkante gelyk: $x + 1 = x^2 - 5$

Herrangskik na standaardvorm en faktoriseer: $x^2 - x - 6 = 0 \quad\Rightarrow\quad (x-3)(x+2)=0 \quad\Rightarrow\quad x = 3 \text{ or } x = -2$

Moenie hier ophou nie. "Los gelyktydig op" vra volledige koördinaatpare. Vervang elke $x$ terug in $y=x+1$ :

$x=3 \Rightarrow y=4 \Rightarrow (3;4)$
$x=-2 \Rightarrow y=-1 \Rightarrow (-2;-1)$

Waarom die ander verkeerd is:

D het ’n tekenfout gemaak met die vorming van die kwadratiese vergelyking ( $x^2+x-6=0$ ) en dit deurgevoer.
C het een wortel gevind en opgehou. ’n Kwadratiese vergelyking het gewoonlik twee.
A het die regte $x$ -waardes maar het $y=x-1$ in plaas van $y=x+1$ gebruik.

Onthou: Drie stappe elke keer: (1) kombineer tot een vergelyking, (2) los dit op (verwag twee antwoorde), (3) vervang elke antwoord terug om sy maat te kry.

Afdeling 1.3 — Die Faktorstelling

Die een idee om vas te lê:

Faktorstelling: $(x-a)$ is ’n faktor van $f(x)$ as en slegs as $f(a) = 0$ .

"As en slegs as" beteken die substitusie is ’n volledige bewys, in albei rigtings. As $f(a)=0$ , dan is $(x-a)$ ’n faktor — geen ekstra kontrole nodig nie. En as $(x-a)$ ’n faktor is, dan moet $f(a)$ 0 wees.

Die detail wat mense verkeerd kry: vir die faktor $(x-a)$ vervang jy $x=a$ — die waarde wat die hakie nul maak. Dus vir $(x+2)$ , vervang $x=-2$ , nie $x=+2$ nie.

Q17Basies

Onderwerp: Toepassing van die faktorstelling

Gegee $f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ , evalueer $f(1)$ en noem gevolglik of $(x-1)$ ’n faktor van $f(x)$ is.

A) $f(1) = 0$ , maar meer inligting is nodig voordat afgelei kan word dat $(x-1)$ ’n faktor is

B) $f(1) = 0$ ; nee, $(x-1)$ is nie ’n faktor van $f(x)$ nie

C) $f(1) = 4$ ; nee, $(x-1)$ is nie ’n faktor van $f(x)$ nie

D) $f(1) = 0$ ; ja, $(x-1)$ is ’n faktor van $f(x)$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Vervang $x=1$ , term vir term. $f(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$

Stap 2 — Pas die faktorstelling toe. $f(1)=0$ , dus is $(x-1)$ ’n faktor. Geen verdere kontrole nodig nie.

Waarom die ander verkeerd is:

C het ’n teken laat glip (het $+2$ in plaas van $-2$ vir die $x^2$ -term gebruik) en ’n nie-nul waarde gekry.
B doen die berekening reg, en noem dan die teenoorgestelde gevolgtrekking.
A twyfel aan die stelling. "As en slegs as" beteken die toets is op sy eie afdoende.

Onthou: Met die faktorstelling is die berekening die bewys. Wys $f(a)=0$ en jy is klaar.

Q18Intermediêr

Onderwerp: Toepassing van die faktorstelling op $(x+2)$

Gebruik die faktorstelling om te bepaal of $(x+2)$ ’n faktor van $f(x) = x^3 - 7x - 6$ is.

A) $f(-2) = -28$ ; nee, $(x+2)$ is nie ’n faktor van $f(x)$ nie

B) $f(-2) = 0$ ; ja, $(x+2)$ is ’n faktor van $f(x)$

C) $f(2) = -12$ ; nee, $(x+2)$ is nie ’n faktor van $f(x)$ nie

D) $f(-2) = 0$ , maar lang deling van polinome is steeds nodig om seker te wees

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Vind die waarde om te vervang. $(x+2)=0$ gee $x=-2$ , nie $+2$ nie. Dit is die detail wat die meeste in hierdie onderwerp getoets word.

Stap 2 — Vervang, en behou elke teken. $f(-2) = (-2)^3 - 7(-2) - 6 = -8 + 14 - 6 = 0$

Stap 3 — Lei af. $f(-2)=0$ , dus is $(x+2)$ ’n faktor.

Waarom die ander verkeerd is:

C het $x=+2$ vervang: $8-14-6=-12$ . Een tekenfout draai die hele gevolgtrekking om.
A het $x=-2$ gebruik maar $-7(-2)$ as $-14$ in plaas van $+14$ hanteer. Minus maal minus is plus.
D twyfel aan die stelling. $f(-2)=0$ is die bewys — geen lang deling nodig nie.

Onthou: Skryf dit neer voordat jy vervang: "die hakie is $(x+2)$ , dus gebruik ek $x=-2$ ." Om die waarde eers te noem, elimineer die algemeenste fout in hierdie onderwerp.

Q19Intermediêr

Onderwerp: Vind ’n onbekende koëffisiënt met die faktorstelling

Gegee dat $(x - 2)$ ’n faktor van $f(x) = x^3 + kx^2 + 2x - 24$ is, vind die waarde van $k$ .

A) $k = 3$

B) $k = 9$

C) $k = 12$

D) $k = -3$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Maak van die faktor ’n vergelyking. $(x-2)$ is ’n faktor, dus $f(2)=0$ .

Stap 2 — Vervang $x=2$ , en behou $k$ . $f(2) = 8 + 4k + 4 - 24 = 4k - 12$

Stap 3 — Stel dit gelyk aan nul en los op. $4k - 12 = 0 \quad\Rightarrow\quad 4k = 12 \quad\Rightarrow\quad k = 3$

Kontroleer: $f(2) = 8+12+4-24 = 0$ ✓

Waarom die ander verkeerd is:

B het $x=-2$ in plaas van $+2$ vervang, wat $4k-36=0$ en $k=9$ gee.
D het $4k=-12$ in plaas van $+12$ geskryf. Die getal verander van teken wanneer dit oor die gelykaanteken beweeg.
C het $4k=12$ gekry en toe vergeet om deur 4 te deel.

Onthou: Twee afsonderlike stappe: vervang om ’n uitdrukking in $k$ te kry, dan los op. Moenie albei gelyktydig probeer doen nie.

Q20Intermediêr

Onderwerp: Vind al die wortels van ’n kubiese uitdrukking

Gegee dat $(x-1)$ ’n faktor van $f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ is, vind al die wortels van $f(x) = 0$ .

A) slegs $x = 1$

B) $x = 1,\ x = -3,\ x = 2$

C) $x = 1,\ x = 3,\ x = -2$

D) $x = -1,\ x = 3,\ x = -2$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Deel die bekende faktor uit. $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x-1)(x^2 - x - 6)$ Kontroleer deur uit te brei — dit neem sekondes en vang delingsfoute.

Stap 2 — Faktoriseer die kwadratiese uitdrukking ook. Twee getalle wat tot $-6$ vermenigvuldig en tot $-1$ optel: $-3$ en $2$ . $x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$

Stap 3 — Lees al drie wortels af. $f(x) = (x-1)(x-3)(x+2) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 1,\ 3,\ -2$

Waarom die ander verkeerd is:

B het die kwadratiese uitdrukking as $(x+3)(x-2)$ gefaktoriseer, wat uitbrei tot $x^2+x-6$ — verkeerde middelteken.
D het $(x-1)$ gelees asof dit $x=-1$ gee. Dit gee $x=+1$ .
A het ná die gegewe faktor opgehou, en gemis dat die kwadratiese uitdrukking ook faktoriseer.

Onthou: ’n Kubiese uitdrukking is ’n tweefase-faktorisering. Gebruik die gegewe faktor om ’n kwadratiese uitdrukking te kry, en faktoriseer dan daardie een. Jy is eers klaar by drie lineêre hakies.

Q21Gevorderd

Onderwerp: Gelyktydige voorwaardes op ’n polinoom

Die kubiese uitdrukking $f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 6$ het $(x-1)$ en $(x+2)$ as faktore. Vind die waardes van $a$ en $b$ .

A) $a = 1,\ b = 4$

B) $a = 4,\ b = 1$

C) $a = 4,\ b = -1$

D) $a = 4$ , en $b$ kan nie uit hierdie inligting bepaal word nie

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

Twee onbekendes beteken jy het twee vergelykings nodig — en jy het presies twee faktore gekry. Maak van elkeen ’n vergelyking.

Vergelyking (i) — uit $(x-1)$ : $f(1)=0$ . $1 + a + b - 6 = 0 \quad\Rightarrow\quad a + b = 5$

Vergelyking (ii) — uit $(x+2)$ : $f(-2)=0$ . $-8 + 4a - 2b - 6 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2a - b = 7$

Tel (i) en (ii) op — die $+b$ en $-b$ kanselleer: $3a = 12 \quad\Rightarrow\quad a = 4, \quad\text{dan}\quad b = 1$

Kontroleer: $f(1)=0$ ✓ en $f(-2)=0$ ✓

Waarom die ander verkeerd is:

A het 4 en 1 gevind maar verwar watter een $a$ en watter een $b$ is. Benoem jou antwoorde.
C het $b = 4-5 = -1$ in plaas van $5-4 = 1$ bereken.
D sê $b$ kan nie gevind word nie. Twee onbekendes benodig twee vergelykings, en twee faktore gee presies dít.

Onthou: Tel jou onbekendes, en tel dan jou stukke inligting. Jy het een vergelyking per onbekende nodig, en ’n goed opgestelde vraag gee jou presies soveel.

Q22Gevorderd

Onderwerp: Logiese afleiding uit polinoomwortels ("moet waar wees")

$f(x)$ is ’n kubiese polinoom. Jy word meegedeel dat $f(2) = 0$ , $f(-1) = 0$ en $f(3) = 0$ . Watter van die volgende stellings oor $f(x)$ moet waar wees?

A) $f(x) = (x-2)(x+1)(x-3)$

B) $f(x)$ kan ’n vierde wortel hê waarvan ons nie meegedeel is nie

C) $f(x)$ het presies een reële wortel

D) $f(x) = k(x-2)(x+1)(x-3)$ vir een of ander nie-nul konstante $k$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

’n "Moet waar wees"-vraag. Drie opsies sal redelik lyk tensy jy skei wat jy weet van wat jy aanneem.

Volgens die faktorstelling beteken die drie gegewe nulpunte dat $(x-2)$ , $(x+1)$ en $(x-3)$ almal faktore is. Hulle produk is reeds kubies.

$f(x)$ is ook kubies, dus is daar geen ruimte vir enigiets meer nie. $f(x)$ kan slegs van daardie produk verskil deur ’n konstante vermenigvuldiger $k$ — wat die grafiek rek maar nie verskuif waar dit die $x$ -as sny nie. En $k\neq0$ , anders sou $f$ glad nie kubies wees nie.

$f(x) = k(x-2)(x+1)(x-3)$

Waarom die ander verkeerd is:

A sou slegs reg wees as jy geweet het die leidende koëffisiënt is 1. Jy is nie so meegedeel nie — $f(x)=2(x-2)(x+1)(x-3)$ pas ook by elke gegewe voorwaarde. "Moet waar wees" moet geld vir elke polinoom wat by die beskrywing pas.
C weerspreek wat jy gegee is: drie nulpunte beteken drie reële wortels, nie een nie.
B breek ’n basiese reël: ’n polinoom van graad $n$ het hoogstens $n$ wortels. ’n Kubiese polinoom kan nie ’n vierde hê nie.

Onthou: Vir "moet waar wees", probeer ’n teenvoorbeeld teen elke opsie bou en verwerp enige een wat jy kan breek. Hou twee feite gereed: ’n polinoom van graad $n$ het hoogstens $n$ wortels, en om al die wortels te ken, lê die polinoom slegs tot op ’n konstante vermenigvuldiger vas.

Afdeling 1.4 — Ongelykhede

Die een reël wat meer as enige ander in hierdie afdeling saak maak:

Wanneer albei kante van ’n ongelykheid met ’n negatiewe getal vermenigvuldig of deur ’n negatiewe getal gedeel word, keer die ongelykheidsteken om ( $<$ word $>$ , $\leq$ word $\geq$ , en omgekeerd).

Waarom gebeur dit? Dink aan ’n eenvoudige ware stelling: $2 < 5$ . Vermenigvuldig albei kante met $-1$ : jy sou $-2 < -5$ kry, wat onwaar is ( $-2$ is eintlik groter as $-5$ op die getallelyn). Om die stelling waar te hou, moet die teken omkeer: $-2 > -5$ ✓. Dit is nie ’n arbitrêre reël om te memoriseer nie — dit is die enigste manier om die ongelykheid die waarheid te laat vertel.

Q23Basies

Onderwerp: Lineêre ongelykheid (geen tekenomkering nodig nie)

Los op vir $x$ : $3x - 5 < 7$

A) $x < 4$

B) $x > 4$

C) $x < \dfrac{2}{3}$

D) $x < -4$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Behandel dit soos ’n vergelyking: skuif die konstante oor, en deel dan. $3x < 12 \quad\Longrightarrow\quad x < 4$

Ons het slegs deur ’n positiewe getal gedeel, dus keer die teken nie om nie.

Waarom die ander verkeerd is:

B het die teken omgekeer, maar daar is nie deur iets negatiefs gedeel nie. Die reël is nie geaktiveer nie.
C het $3x < 7-5$ in plaas van $7+5$ geskryf. Die $-5$ word $+5$ wanneer dit oorbeweeg.
D het korrek gedeel, en toe die teken van die antwoord sonder rede omgekeer.

Onthou: Sluit elke ongelykheid af deur te vra: het ek êrens met ’n negatiewe getal vermenigvuldig of gedeel? Indien nie, moet die teken presies lyk soos aan die begin.

Q24Basies

Onderwerp: Lineêre ongelykheid (tekenomkering vereis)

Los op vir $x$ : $-2x + 3 \geq 11$

A) $x \geq 4$

B) $x \geq -4$

C) $x \leq -4$

D) $x \leq 4$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Isoleer die $x$ -term. $-2x \geq 8$

Stap 2 — Deel deur $-2$ . Dit is negatief, dus keer die teken om ( $\geq$ word $\leq$ ): $x \leq -4$

Kontroleer met $x=-10$ : $-2(-10)+3 = 23 \geq 11$ ✓ En met $x=0$ : $3 \geq 11$ is onwaar, korrek uitgesluit.

Waarom die ander verkeerd is: tussen hulle dek hulle elke manier om hier te glip.

B het korrek gedeel maar vergeet om die teken om te keer.
D het die teken omgekeer maar die negatief in die deling verloor.
A het albei gelyktydig verkeerd gedoen.

Onthou: Maak die omkering en die deling twee afsonderlike handelinge. Skryf "keer om!" die oomblik wat jy besluit om deur ’n negatiewe getal te deel, en doen dan die rekenkunde daaronder. Om albei gelyktydig te doen, is waar die foute vandaan kom.

Q25Intermediêr

Onderwerp: Kwadratiese ongelykheid (streng, "kleiner as")

Los op vir $x$ : $x^2 - x - 6 < 0$

A) $-3 < x < 2$

B) $x < -2$ of $x > 3$

C) $-2 < x < 3$

D) $2 < x < 3$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Faktoriseer. $(x-3)(x+2) < 0$

Stap 2 — Vind die kritieke waardes. $x=3$ en $x=-2$ .

Stap 3 — Stel jou die parabool voor. Dit open opwaarts, en sny by $-2$ en $3$ . ’n Opwaartse parabool lê slegs onder die x-as tussen sy wortels. Ons wil $<0$ hê, neem dus die middel: $-2 < x < 3$

Toets $x=0$ : $(0-3)(0+2) = -6 < 0$ ✓

Waarom die ander verkeerd is:

B is die buitenste gebied — dit beantwoord $x^2-x-6 > 0$ , die teenoorgestelde ongelykheid.
A het die hakies verkeerd gelees: $(x-3)$ gee $x=+3$ , nie $-3$ nie.
D het een kritieke waarde reg en een verkeerd gekry.

Onthou: Skets eers die parabool. Open dit op of af? Waar sny dit? Vir ’n opwaartse parabool is onder die as tussen die wortels; bo is die twee buitenste vlerke.

Q26Intermediêr

Onderwerp: Kwadratiese ongelykheid (nie-streng, "groter as of gelyk aan")

Los op vir $x$ : $x^2 - 5x + 6 \geq 0$

A) $x \leq 2$ of $x \geq 3$

B) $2 \leq x \leq 3$

C) $x < 2$ of $x > 3$

D) $x \leq -2$ of $x \geq -3$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Faktoriseer. $(x-2)(x-3) \geq 0$ , kritieke waardes $x=2$ en $x=3$ .

Stap 2 — Stel jou die parabool voor. Weer opwaarts, maar nou wil ons $y \geq 0$ hê — op of bo die as. Vir ’n opwaartse parabool is dit die twee buitenste gebiede, en "of gelyk aan" beteken die wortels is ingesluit: $x \leq 2 \quad \text{or} \quad x \geq 3$

Kontroleer $x=2$ : $(0)(-1) = 0 \geq 0$ ✓ dus hoort 2 wel daar.

Waarom die ander verkeerd is:

B is die gebied tussen die wortels — dit beantwoord $\leq 0$ .
C het die regte gebiede maar streng tekens, en sluit $x=2$ en $x=3$ verkeerdelik uit.
D het die kritieke waardes verkeerd gelees as $-2$ en $-3$ .

Onthou: Vra elke keer twee vrae: (1) binne of buite die wortels? (2) is die grenspunte ingesluit? Die tweede word bepaal bloot deur of die oorspronklike teken "of gelyk aan" sê.

Q27Intermediêr

Onderwerp: Rasionale ongelykheid

Los op vir $x$ : $\dfrac{x-2}{x+1} > 0$

A) $x < -1$ of $x \geq 2$

B) $-1 < x < 2$

C) $x \leq -1$ of $x > 2$

D) $x < -1$ of $x > 2$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

Wat dit anders maak: die uitdrukking is ongedefinieer waar die noemer nul is. Daardie waarde kan nooit in die oplossing wees nie, ongeag wat die teken sê.

Stap 1 — Vind albei kritieke waardes, en let op elkeen se tipe.

Teller nul: $x=2$ — die uitdrukking is gelyk aan nul hier.
Noemer nul: $x=-1$ — die uitdrukking is ongedefinieer hier. Harde beperking: $x\neq-1$ .

Stap 2 — Toets een waarde in elke gebied.

Gebied	Toets	Waarde	Teken
$x < -1$	$x=-2$	$\dfrac{-4}{-1}=4$	positief ✓
$-1 < x < 2$	$x=0$	$\dfrac{-2}{1}=-2$	negatief
$x > 2$	$x=3$	$\dfrac{1}{4}$	positief ✓

Ons wil positief hê, dus: $x < -1 \quad \text{or} \quad x > 2$

Waarom die ander verkeerd is:

B is die middelste gebied — dit beantwoord $< 0$ .
A sluit $x=2$ in, maar daar is die breuk presies 0, wat ’n streng $>0$ nie slaag nie.
C sluit $x=-1$ in, waar die uitdrukking glad nie bestaan nie. Daardie waarde kan nooit in enige oplossing wees nie.

Onthou: Sorteer eers jou kritieke waardes in twee soorte. Tellernulle mag ingesluit word, afhangend van die teken. Noemernulle word altyd uitgesluit, maak nie saak wat nie.

Q28Gevorderd

Onderwerp: Redenering oor ongelykhede sonder oplossing ("altyd/nooit waar")

Los op vir $x$ : $x^2 + 4 < 0$

A) Elke reële waarde van $x$ bevredig hierdie ongelykheid

B) Geen reële waarde van $x$ bevredig hierdie ongelykheid nie — die oplossingsversameling is leeg

C) $-2 < x < 2$

D) $x < -2$ of $x > 2$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

Moenie nog faktoriseer nie. Vra eers of dit hoegenaamd waar kan wees.

Vir enige reële $x$ is ’n vierkant nooit negatief nie: $x^2 \geq 0$ . Dus: $x^2 + 4 \;\geq\; 4$

$x^2+4$ is altyd ten minste 4. Dit kan nooit kleiner as 0 wees nie, dus werk geen reële waarde van $x$ nie. Die oplossingsversameling is leeg.

(Algebraïes sou jy $x^2 < -4$ nodig hê, en $\sqrt{-4}$ is nie ’n reële getal nie — die vingerafdruk van "geen reële oplossings".)

Waarom die ander verkeerd is:

C en D volg die standaard kritieke-waarde-roetine sonder om te kontroleer of dit van toepassing is. Hulle werk stilweg met $x^2-4$ in plaas van $x^2+4$ , wat nooit die $x$ -as sny nie.
A noem die regte feit ( $x^2\geq0$ ) maar lei die teenoorgestelde gevolgtrekking daaruit af.

Onthou: Voordat jy deur enige ongelykheid ploeter, vra drie sekondes lank: kan dit waar wees vir alle, sommige, of geen reële getalle nie? Ken hierdie op sig: $x^2 \geq 0$ altyd; $x^2 + (\text{positief})$ is altyd positief; $\sqrt{x}$ is slegs reëel vir $x\geq0$ .

Afdeling 1.5 — Eksponente en Wortelvorme

Twee ononderhandelbare gewoontes voordat jy enigiets anders doen: 1. Altyd dieselfde grondtal. Wanneer jy verskillend-lykende getalle in ’n eksponentvraag sien ( $4, 8, 16$ of $9, 27$ of $6, 2, 3$ ), is jou eerste skuif om te vra: "kan ek al hierdie herskryf as magte van dieselfde kleiner grondtal?" Byna elke eksponentvraag op die NBT val inmekaar sodra jy dit doen. 2. ’n Rasionale eksponent (breukeksponent) is twee opdragte op mekaar gestapel. $a^{m/n}$ beteken "neem die $n$ -de wortel, en verhef dan tot die mag $m$ " (of die ander volgorde — albei gee dieselfde antwoord). Die noemer is die wortel; die teller is die mag. Om hierdie te verwar, is die algemeenste eksponentfout wat studente maak.

Q29Basies

Onderwerp: Eksponentwette (vermenigvuldiging en deling van magte)

Vereenvoudig: $\dfrac{x^5 \cdot x^3}{x^4}$

A) $x^4$

B) $x^{12}$

C) $x^2$

D) $x^{60}$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Die reëls: dieselfde grondtal vermenigvuldig → tel die eksponente op. Dieselfde grondtal gedeel → trek af.

Alles is ’n mag van $x$ , kombineer dus in een skuif: $\frac{x^5 \cdot x^3}{x^4} = x^{5+3-4} = x^{4}$

Waarom die ander verkeerd is:

B ( $x^{12}$ ) het al drie opgetel ( $5+3+4$ ), en die breukstreep as nog ’n vermenigvuldiging hanteer. Dit beteken aftrek.
C ( $x^2$ ) het $5-3$ afgetrek asof die punt deel beteken, en toe die $x^4$ heeltemal geïgnoreer.
D ( $x^{60}$ ) het die eksponente vermenigvuldig. Daardie reël geld slegs vir ’n mag van ’n mag, soos $(x^5)^3$ .

Onthou: Kyk na die simbool voordat jy aan die eksponente raak. $\times$ → tel op. $\div$ of ’n breukstreep → trek af. Hakies (mag van ’n mag) → vermenigvuldig.

Q30Basies

Onderwerp: Negatiewe eksponente

Skryf $\dfrac{1}{x^{-3}}$ met ’n positiewe eksponent.

A) $x^{-3}$

B) $-x^3$

C) $x^3$

D) $\dfrac{1}{x^3}$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

Die reël: ’n negatiewe eksponent maak nie ’n waarde negatief nie. Dit beteken omkeer — neem die resiprook. Dus $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ , en $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$ .

$\frac{1}{x^{-3}} = x^3$

In woorde: "1 oor (1 oor $x^3$ )" is net $x^3$ . Om deur ’n breuk te deel, keer dit om.

Waarom die ander verkeerd is:

A het die eksponent oorgeskryf sonder om om te keer. Die opdrag sê "positiewe eksponent" — as joune steeds negatief is, is jy nie klaar nie.
B dink ’n negatiewe eksponent gee ’n negatiewe waarde. Dit doen nie. $x^{-3}$ en $x^3$ het altyd dieselfde teken.
D het twee keer omgekeer, wat die eerste omkering kanselleer. A en D is dieselfde getal, op twee maniere geskryf — albei is gelyk aan $\frac{1}{x^3}$ , die resiprook van die regte antwoord. Om die notasie reg te laat lyk, maak nie ’n waarde reg wat onderstebo is nie.

Onthou: ’n Negatiewe eksponent beteken neem die resiprook, niks meer nie. Dit sê niks oor die teken van die antwoord nie. Herskryf $a^{-n}$ dadelik as $\frac{1}{a^n}$ , voor enigiets anders.

Q31Basies

Onderwerp: Breukeksponente (rasionale eksponente)

Evalueer: $8^{2/3}$

A) $\dfrac{16}{3}$

B) $4$

C) $64$

D) $8$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

Die reël: in $a^{m/n}$ is die noemer die wortel en die teller die mag.

Dus vir $8^{2/3}$ : eers die kubuswortel (noemer 3), dan kwadreer (teller 2). $8^{2/3} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^{2} = 2^{2} = 4$

Om die wortel eerste te doen, hou die getalle klein — $\sqrt[3]{8}=2$ is oombliklik, terwyl $8^2=64$ en dan $\sqrt[3]{64}$ moeiliker is om raak te sien.

Waarom die ander verkeerd is:

C ( $64$ ) het slegs die grondtal gekwadreer en nooit die kubuswortel geneem nie.
A ( $\frac{16}{3}$ ) het $8 \times \frac23$ vermenigvuldig in plaas van 8 tot daardie mag te verhef.
D ( $8$ ) het ’n vierkantswortel in plaas van ’n kubuswortel geneem: $(\sqrt8)^2 = 8$ .

Onthou: "Noemer = wortel, teller = mag." As jy die keuse het, doen altyd die wortel eerste.

Q32Basies

Onderwerp: Vereenvoudiging en kombinering van wortelvorme

Vereenvoudig: $\sqrt{12} + \sqrt{27}$

A) $\sqrt{12} + \sqrt{27}$ (kan nie verder vereenvoudig word nie)

B) $\sqrt{39}$

C) $6\sqrt{3}$

D) $5\sqrt{3}$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

Die reël: jy kan wortelvorme eers optel wanneer hulle dieselfde getal onder die wortel het — net soos breuke ’n gemeenskaplike noemer nodig het. Vereenvoudig dus eers elkeen deur volkome-vierkant-faktore uit te haal.

$\sqrt{12} = \sqrt{4\times3} = 2\sqrt{3} \qquad \sqrt{27} = \sqrt{9\times3} = 3\sqrt{3}$

Nou is hulle gelyksoortige terme, kombineer hulle dus soos jy $2x+3x$ sou: $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$

Waarom die ander verkeerd is:

B ( $\sqrt{39}$ ) neem aan dat $\sqrt{a}+\sqrt{b} = \sqrt{a+b}$ en tel $12+27$ op. Nooit waar nie. Toets dit: $\sqrt4+\sqrt9 = 5$ , maar $\sqrt{13} \approx 3.6$ .
C ( $6\sqrt3$ ) het $2\sqrt3+3\sqrt3$ bereik en toe die koëffisiënte vermenigvuldig in plaas daarvan om dit op te tel. Dieselfde fout as om $2x+3x=6x$ te skryf.
A noem dit onvereenvoudigbaar omdat 12 en 27 onverwant lyk. Albei versteek ’n faktor van $\sqrt3$ .

Onthou: Wortelvorme kombineer soos algebraïese terme, maar eers nadat elkeen vereenvoudig is. Vra altyd: is daar ’n volkome vierkant (4, 9, 16, 25, …) wat binne skuil? En onthou: $\sqrt{a}+\sqrt{b} \neq \sqrt{a+b}$ — nooit ooit nie.

Q33Intermediêr

Onderwerp: Rasionalisering van ’n binoomnoemer

Rasionaliseer die noemer en gee jou antwoord in die eenvoudigste vorm: $\dfrac{2}{\sqrt{5}-1}$

A) $\dfrac{2\sqrt{5}+2}{4}$

B) $\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$

C) $\dfrac{\sqrt{5}+1}{3}$

D) $\dfrac{2}{\sqrt{5}+1}$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

Die reël: vermenigvuldig bo en onder met die konjugaat — dieselfde uitdrukking met die middelteken omgekeer, $\sqrt5+1$ . Dit werk omdat $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ die wortelvorm uitwis.

$\frac{2}{\sqrt{5}-1} \times \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1} = \frac{2(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \frac{2(\sqrt{5}+1)}{4}$

Bo en onder deel nou ’n faktor van 2. Kanselleer dit: $= \frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Waarom die ander verkeerd is:

A is die korrekte waarde een stap te vroeg — die 2 en die 4 kanselleer steeds, en die vraag vra vir die eenvoudigste vorm. Rasionalisering is nie klaar terwyl daar nog ’n gemeenskaplike faktor oor is nie.
C het die vierkante opgetel in plaas van afgetrek: $5+1=6$ . ’n Verskil van vierkante is altyd ’n aftrekking.
D het slegs die noemer met die konjugaat vermenigvuldig. Jy mag ’n breuk slegs met $\frac{\text{iets}}{\text{dieselfde iets}}=1$ vermenigvuldig — om net die onderkant te doen, verander die waarde daarvan.

Onthou: Drie kontroles: (1) konjugaat = dieselfde terme, omgekeerde middelteken; (2) vermenigvuldig beide bo en onder; (3) kanselleer enige gemeenskaplike faktor wat oorbly.

Q34Intermediêr

Onderwerp: Eksponente met meervoudige grondtalle ("dieselfde grondtal"-insig)

Vereenvoudig: $\dfrac{6^{x+1}}{2^{x} \cdot 3^{x-1}}$

A) $18$

B) $12$

C) $9$

D) $36$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Die insig: 6 is nie ’n nuwe grondtal nie — dit is $2\times3$ . Herskryf dit en die uitdrukking verdeel in twee delings met dieselfde grondtal, en die $x$ ’e kanselleer.

$6^{x+1} = (2\cdot3)^{x+1} = 2^{x+1} \cdot 3^{x+1}$

Groepeer nou elke grondtal met sy maat:

$\frac{2^{x+1} \cdot 3^{x+1}}{2^{x} \cdot 3^{x-1}} = \frac{2^{x+1}}{2^{x}} \times \frac{3^{x+1}}{3^{x-1}} = 2^{1} \times 3^{2} = 18$

Waarom die ander verkeerd is:

B ( $12$ ) het elke eksponentverskil met die verkeerde grondtal gepaar — die 2 met grondtal 2 en die 1 met grondtal 3.
C ( $9$ ) het die 6 teen die 2 gekanselleer asof hulle gewone getalle is. Magte met verskillende grondtalle kan nie so gekombineer word nie.
D ( $36$ ) het dieselfde eksponentverskil vir albei grondtalle gebruik. Elke grondtal het ’n ander eksponent daaronder, dus gee elkeen ’n ander resultaat.

Onthou: Wanneer grondtalle veelvoude van mekaar is ( $6=2\times3$ , $12=2^2\times3$ ), breek elke grondtal eers op in sy priemmagte. Die uitdrukking val gewoonlik inmekaar tot ’n gewone getal en die veranderlike kanselleer.

Q35Intermediêr

Onderwerp: Vergelykings met wortelvorme (en die kontrole vir vreemde wortels)

Los op vir $x$ : $\sqrt{x+3} = x - 3$

A) $x = 1$

B) $x = 1$ of $x = 6$

C) $x = 6$

D) Geen reële oplossing nie

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

Die goue reël van wortelvormvergelykings: kwadrering kan antwoorde skep wat by die gekwadreerde vergelyking pas maar nie by die oorspronklike nie, omdat kwadrering tekeninligting versteek (beide 2 en $-2$ kwadreer tot 4). Elke kandidaat moet dus in die oorspronklike gekontroleer word.

Stap 1 — Kwadreer albei kante. $x + 3 = x^2 - 6x + 9$

Stap 2 — Herrangskik en faktoriseer. $x^2 - 7x + 6 = (x-1)(x-6) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 1 \text{ or } 6$

Stap 3 — Kontroleer albei in die oorspronklike.

$x=1$ : LK $=\sqrt4=2$ , RK $=-2$ . $2 \neq -2$ , dus verwerp. Dit is ’n vreemde wortel.
$x=6$ : LK $=\sqrt9=3$ , RK $=3$ ✓ aanvaar.

Dus slegs $x=6$ .

Waarom die ander verkeerd is:

B het korrek opgelos maar die kontrole oorgeslaan — die wortelvormfout wat die meeste getoets word.
A het gekontroleer maar die verkeerde een verwerp.
D het $(x-3)^2$ as $x^2-9$ in plaas van $x^2-6x+9$ uitgebrei. Hou $(a-b)^2$ en $(a-b)(a+b)$ in aparte laaie.

Onthou: Kwadrering is ’n "miskien"-stap, nie ’n omkeerbare een nie. Elke antwoord wat dit oplewer, is slegs ’n kandidaat totdat jy gesien het dat dit die oorspronklike vergelyking bevredig.

Q36Gevorderd

Onderwerp: Algebraïese insig met eksponente (faktoriseer voordat jy deel)

Vereenvoudig: $\dfrac{2^{n+2} - 2^{n+1}}{2^{n}}$

A) $\dfrac{1}{2}$

B) $1$

C) $2^{n+1}$

D) $2$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

Jy kan nie oor ’n aftrekking heen kanselleer nie. Maar albei terme in die teller deel ’n gemeenskaplike faktor — dit is ’n faktoriseringsvraag in ’n eksponentkostuum.

Stap 1 — Haal die kleiner mag uit, $2^{n+1}$ . $2^{n+2} - 2^{n+1} = 2^{n+1}(2 - 1) = 2^{n+1}$

Stap 2 — Deel deur $2^n$ . $\frac{2^{n+1}}{2^{n}} = 2^{1} = 2$

Die hele ding val inmekaar tot die konstante 2 — dieselfde "lyk of dit van $n$ afhang maar doen nie"-patroon as Q34.

Waarom die ander verkeerd is:

B ( $1$ ) het die voorste syfers ( $2-1$ ) afgetrek asof hierdie gelyksoortige terme is. $2^{n+2}$ en $2^{n+1}$ is verskillende magte.
C ( $2^{n+1}$ ) het korrek gefaktoriseer en toe opgehou, en die noemer vergeet.
A ( $\frac12$ ) het die finale aftrekking agterstevoor gedoen: $2^{n-(n+1)} = 2^{-1}$ . Dit is altyd (bo) − (onder).

Onthou: Magte van dieselfde grondtal wat deur $+$ of $-$ verbind word? Haal die kleiner mag uit. Die vermenigvuldig-/deel-eksponentwette geld slegs wanneer die magte deur $\times$ of $\div$ verbind word.

Q37Gevorderd

Onderwerp: Ontnesting van geneste wortelvorme (insig / struktuurherkenning)

Vereenvoudig: $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$

A) Kan nie tot die vorm $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ vereenvoudig word nie

B) $1 + \sqrt{6}$

C) $4 + \sqrt{3}$

D) $2 + \sqrt{3}$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

’n Geneste wortelvorm soos hierdie kan soms as $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ herskryf word. Vra: wat sou $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ moes wees sodat die kwadrering daarvan $7+4\sqrt3$ gee?

Stap 1 — Kwadreer die teikenvorm. $\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$ Pas die gewone dele en die wortelvormdele afsonderlik by mekaar: $a + b = 7 \qquad 2\sqrt{ab} = 4\sqrt{3}$

Stap 2 — Los op vir $ab$ . Deel deur 2: $\sqrt{ab} = 2\sqrt3$ . Kwadreer die hele regterkant: $ab = (2\sqrt3)^2 = 4 \times 3 = 12$

Stap 3 — Twee getalle met som 7 en produk 12. Dit is weer die drieterm-patroon: $t^2 - 7t + 12 = (t-3)(t-4) \Rightarrow a,b = 3,4$ $\sqrt{7+4\sqrt3} = \sqrt4+\sqrt3 = 2+\sqrt3$

Verifieer deur terug te kwadreer: $(2+\sqrt3)^2 = 4+4\sqrt3+3$ ✓

Waarom die ander verkeerd is:

B het vergeet om die koëffisiënt te kwadreer: $ab = 2\times3 = 6$ in plaas van $4\times3=12$ .
C het $a=4$ , $b=3$ gevind en toe $a+\sqrt b$ in plaas van $\sqrt a+\sqrt b$ geskryf. Daardie getalle gaan onder die wortels.
A sê dit kan nie gedoen word nie. Waar vir die meeste geneste wortelvorme, maar nie vir hierdie een nie — die sein is dat $7^2-4^2(3) = 1$ ’n volkome vierkant is.

Onthou: $\sqrt{p+q\sqrt r}$ ontnes wanneer jy twee getalle met som $p$ en produk $\frac{q^2r}{4}$ kan vind. Dieselfde "som en produk"-soektog as die faktorisering van ’n drieterm.

Afdeling 1.6 — Logaritmes

Die een omskakeling wat byna alles oopsluit: $\log_a N = x \quad \Longleftrightarrow \quad a^{x} = N$ Wanneer ’n log-uitdrukking jou verwar, skakel dit om na hierdie eksponensiële vorm — die mis lig gewoonlik onmiddellik.

Die drie logaritmewette — en die een gewoonte wat jou beskerm teen die uitdink van vals wette: $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y \qquad \log_a\!\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y \qquad \log_a(x^n) = n\log_a x$ Let op die patroon: ’n produk binne die log word ’n som buite dit; ’n kwosiënt word ’n verskil; ’n mag word ’n vermenigvuldigende koëffisiënt. Die wette skakel slegs ooit multiplikatiewe struktuur (binne) om na additiewe struktuur (buite) — nooit andersom nie, en daar is glad geen wet vir $\log(x+y)$ of $\log(x-y)$ nie. As jy jouself ooit betrap op die "vereenvoudiging" van ’n optelling of aftrekking binne ’n logaritme, hou op — dit is die algemeenste manier waarop studente reëls uitdink wat nie bestaan nie.

Q38Basies

Onderwerp: Evaluering van logaritmes (logs as eksponentvrae)

Evalueer: $\log_2 32$

A) $4$

B) $16$

C) $5$

D) $6$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

Lees dit as die vraag wat dit vra: $\log_2 32$ beteken "watter mag van 2 gee 32?"

$2^1=2,\quad 2^2=4,\quad 2^3=8,\quad 2^4=16,\quad 2^5=32$

Dus $\log_2 32 = 5$ .

(Of: hoeveel keer kan jy 32 halveer om by 1 uit te kom? $32 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1$ — tel die pyle, nie die getalle nie. Vyf.)

Waarom die ander verkeerd is:

A ( $4$ ) het die halveringsketting by 2 gestop in plaas van heeltemal tot by 1 te gaan.
B ( $16$ ) het net $32 \div 2$ bereken. ’n Log vra vir ’n eksponent; dit is nie ’n bewerking op die twee getalle wat jy sien nie.
D ( $6$ ) het die begingetal as ’n stap getel. Tel die bewegings tussen getalle, nie die getalle self nie.

Onthou: Vertaal $\log_a N$ in gewone Afrikaans — " $a$ tot watter mag gee $N$ ?" Klim dan óf die magte van $a$ op, óf deel $N$ deur $a$ totdat jy 1 bereik. Hoe ook al, tel die bewegings, nie die getalle nie.

Q39Basies

Onderwerp: Evaluering van logaritmes van breuke (negatiewe resultate)

Evalueer: $\log_5 \dfrac{1}{25}$

A) $-2$

B) $2$

C) $-\dfrac{1}{2}$

D) $\dfrac{1}{2}$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Vertaal eers: watter mag van 5 gee $\frac{1}{25}$ ?

’n Resiprook beteken ’n negatiewe eksponent: $\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$ . Dus: $\log_5\frac{1}{25} = -2$

Die moeite werd om te onthou: as die getal binne ’n log ’n breuk kleiner as 1 is, is die antwoord negatief.

Waarom die ander verkeerd is:

B ( $2$ ) het $\log_5 25$ geantwoord en die breuk geïgnoreer. ’n Positiewe mag van 5 kan nooit ’n getal kleiner as 1 gee nie.
D ( $\frac12$ ) neem aan dat ’n resiprook binne ’n resiproke antwoord gee. Geen sodanige reël bestaan nie.
C ( $-\frac12$ ) is daardie selfde fout met die korrekte minusteken bygevoeg — half reg, steeds verkeerd.

Onthou: Die log van ’n breuk kleiner as 1 is altyd negatief. Die verband tussen die getal en sy log is "grondtal en eksponent", nooit "resiprook en resiprook" nie.

Q40Intermediêr

Onderwerp: Toepassing van die kwosiëntwet

Vereenvoudig: $\log_2 40 - \log_2 5$

A) $\log_2 200$

B) $3$

C) $8$

D) $\log_2 35$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

Twee logs, dieselfde grondtal, verbind deur aftrekking — dit is die kwosiëntwet: $\log_2 40 - \log_2 5 = \log_2\left(\frac{40}{5}\right) = \log_2 8$

Evalueer dit nou: watter mag van 2 gee 8? $2^3=8$ , dus is die antwoord 3.

Waarom die ander verkeerd is:

D ( $\log_2 35$ ) het die getalle binne afgetrek ( $40-5$ ). Daar is geen wet vir optel of aftrek binne ’n log nie.
C ( $8$ ) het korrek saamgevoeg tot $\log_2 8$ en toe opgehou, en die getal binne gegee in plaas van die log se waarde.
A ( $\log_2 200$ ) het met die verkeerde bewerking saamgevoeg. Aftrekking van logs beteken deling binne; optelling beteken vermenigvuldiging.

Onthou: Dieselfde grondtal verbind deur $+$ of $-$ ? Voeg hulle saam — plus maak ’n produk, minus maak ’n kwosiënt — en evalueer dan altyd die enkele log wat oorbly.

Q41Intermediêr

Onderwerp: Oplos van logaritmiese vergelykings

Los op vir $x$ : $\log_2(x+3) = 4$

A) $x = 1$

B) $x = 5$

C) $x = 13$

D) $x = 19$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Skakel om na eksponensiële vorm. $\log_a(N)=k$ beteken $a^k = N$ . $\log_2(x+3) = 4 \quad\Longleftrightarrow\quad x + 3 = 2^{4} = 16$

Stap 2 — Isoleer $x$ . $x = 16 - 3 = 13$

Kontroleer: $\log_2 16 = 4$ ✓

Waarom die ander verkeerd is:

B ( $5$ ) het $x+3 = 2\times4$ geskryf. Die grondtal word tot die mag verhef, nie daarmee vermenigvuldig nie.
A ( $1$ ) het die log heeltemal geskrap en $x+3=4$ opgelos. Die grondtal is nie versiering nie.
D ( $19$ ) het $x+3=16$ bereik en toe $x = 16+3$ geskryf. Die 3 verander van teken wanneer dit oorbeweeg.

Onthou: Elke logvergelyking is twee stappe: (1) herskryf $\log_a(\ldots)=k$ as $(\ldots)=a^k$ ; (2) los dit op met gewone algebra. Die lognotasie maak slegs vir stap 1 saak.

Q42Intermediêr

Onderwerp: Logaritmes met verwante grondtalle (weer die "dieselfde grondtal"-insig)

Evalueer: $\log_4 8$

A) $2$

B) $\dfrac{3}{2}$

C) $\dfrac{2}{3}$

D) $\log_4 8$ kan nie as ’n eenvoudige breuk geskryf word nie — dit is irrasioneel

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

4 en 8 is albei magte van 2 ( $4=2^2$ , $8=2^3$ ) — dieselfde gemeenskaplike-grondtal-truuk as Q34, nou binne ’n log.

Laat $\log_4 8 = y$ en skakel om na eksponensiële vorm: $4^{y} = 8 \quad\Rightarrow\quad 2^{2y} = 2^{3}$

Dieselfde grondtal, dus stem die eksponente ooreen: $2y = 3 \quad\Rightarrow\quad y = \frac{3}{2}$

Toets of dit sin maak: $4^1 = 4 < 8 < 16 = 4^2$ , dus moet die antwoord tussen 1 en 2 lê ✓

Waarom die ander verkeerd is:

A ( $2$ ) het geraai uit "4 gaan twee keer in 8" — dit is om die grondtal te vermenigvuldig, nie om dit tot ’n mag te verhef nie.
C ( $\frac23$ ) het $2y=3$ korrek opgestel en toe die breuk omgekeer.
D neem aan dat geen mooi antwoord bestaan nie omdat 8 nie ’n heelgetalmag van 4 is nie. Om albei as magte van 2 te herskryf, onthul een.

Onthou: Vreemd-lykende grondtalle is gewoonlik magte van dieselfde klein priemgetal. Voordat jy ’n log opgee, vra: kan ek albei getalle as magte van 2 (of 3, of 5) skryf?

Q43Gevorderd

Onderwerp: Uitdrukking van logaritmes in terme van gegewe waardes (vlotheid met logwette)

As $\log_a 2 = p$ en $\log_a 3 = q$ , druk $\log_a 12$ uit in terme van $p$ en $q$ .

A) $2pq$

B) $p^2 + q$

C) $4p + q$

D) $2p + q$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

Breek 12 op in die stukke wat jy gekry het. $12 = 2^2 \times 3$ . Pas dan die produkwet toe, en dan die magwet:

$\log_a 12 = \log_a(2^{2} \times 3) = \log_a(2^{2}) + \log_a 3 = 2\log_a 2 + \log_a 3$

Vervang $p$ en $q$ : $= 2p + q$

Waarom die ander verkeerd is:

B ( $p^2+q$ ) het die logwaarde gekwadreer. Die magwet bring die eksponent uit as ’n koëffisiënt, wat $2p$ gee, nie $p^2$ nie.
A ( $2pq$ ) het die logs met mekaar vermenigvuldig. ’n Produk binne ’n log word ’n som buite — logs word nooit vermenigvuldig nie.
C ( $4p+q$ ) het $2^2=4$ as die koëffisiënt gebruik. Dit is die eksponent (2) wat vorentoe kom, nie die waarde van die mag nie.

Onthou: Sê elke wet hardop terwyl jy dit gebruik: ’n produk binne word ’n som buite; ’n mag binne word ’n koëffisiënt buite.

Q44Gevorderd

Onderwerp: Logiese redenering oor logaritmewette ("altyd waar")

Vir alle $x > 0$ en $y > 0$ , watter van die volgende stellings is altyd waar?

A) $\log(xy) = \log x + \log y$

B) $(\log x)(\log y) = \log(x + y)$

C) $\log(x-y) = \log x - \log y$

D) $\log(x+y) = \log x + \log y$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Die vinnigste manier om ’n "altyd waar"-bewering te toets: kies maklike getalle en kontroleer albei kante. Een teenvoorbeeld maak ’n stelling vir altyd dood.

Toets elkeen met $x=10$ , $y=10$ (aangesien $\log 10 = 1$ presies):

A: LK $=\log 100 = 2$ . RK $=1+1=2$ ✓ oorleef — dit is die egte produkwet.
B: LK $=(1)(1)=1$ . RK $=\log 20 \approx 1.30$ ✗
C: LK $=\log(0)$ , wat ongedefinieer is ✗
D: LK $=\log 20 \approx 1.30$ . RK $=2$ ✗

Slegs A oorleef.

Waarom die ander verkeerd is:

C en D is die vals wette: hulle neem aan dat $+$ of $-$ deur ’n log kan beweeg. Logs verander slegs vermenigvuldiging in optelling, nooit andersom nie.
B vermenigvuldig twee logs met mekaar. Geen logwet doen dit nie.

Onthou: Vir "altyd waar"-vrae, moenie onder tydsdruk probeer bewys nie — toets dit met maklike getalle ( $\log 10 = 1$ , $\log 100 = 2$ ). Een teenvoorbeeld is genoeg om ’n opsie uit te skakel.

Afdeling 1.7 — Rye en Reekse

Die een toets wat hulle uitmekaar hou:

Rekenkundig (RR): opeenvolgende terme verskil met ’n konstante hoeveelheid — $T_{n+1} - T_n = d$ (die konstante verskil) is elke keer dieselfde. Groei is additief: $5, 8, 11, 14,\dots$
Meetkundig (MR): opeenvolgende terme is verwant deur ’n konstante vermenigvuldiger — $\dfrac{T_{n+1}}{T_n} = r$ (die gemene verhouding) is elke keer dieselfde. Groei is multiplikatief: $5, 10, 20, 40, \dots$

Die vier formules wat jy uit jou kop moet ken: $\text{AP: } T_n = a + (n-1)d \qquad S_n = \frac{n}{2}\big[2a + (n-1)d\big]$ $\text{GP: } T_n = a \cdot r^{\,n-1} \qquad S_n = \frac{a(r^{\,n}-1)}{r-1} \quad (r\neq1)$ En sigma-notasie $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (\cdots)$ is niks meer as ’n afkorting vir "tel die uitdrukking in die hakies op, deur $k = 1$ te vervang, dan $k=2$ , ..., al die pad tot by $k = n$ ." Dit lyk formeel, maar dit is net ’n kompakte opdrag om ’n som term vir term uit te skryf.

Q45Basies

Onderwerp: $n$ de term van ’n rekenkundige ry

Vind die 10de term van die rekenkundige ry $5, 8, 11, 14, \ldots$

A) $27$

B) $35$

C) $30$

D) $32$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Identifiseer $a$ en $d$ . Eerste term $a=5$ ; elke term is 3 meer, dus $d=3$ .

Stap 2 — Gebruik $T_n = a + (n-1)d$ . Lees dit as ’n sin: begin by $a$ , neem dan $(n-1)$ stappe van grootte $d$ . Daar is een stap minder as wat daar terme is, want die eerste term het geen stappe nodig nie.

$T_{10} = 5 + (9)(3) = 32$

Waarom die ander verkeerd is:

B ( $35$ ) het $a + nd$ gebruik — tien stappe in plaas van nege. Die algemeenste RR-fout.
C ( $30$ ) het $10\times3$ bereken en die eerste term heeltemal vergeet.
A ( $27$ ) het die bygetelde hoeveelheid gevind maar opgehou, en nooit $a$ weer bygetel nie.

Onthou: Twee kontrolepunte: is die vermenigvuldiger $(n-1)$ en nie $n$ nie? En het jy $a$ aan die einde weer bygetel?

Q46Basies

Onderwerp: $n$ de term van ’n meetkundige ry

Vind die 6de term van die meetkundige ry $3, 6, 12, 24, \ldots$

A) $96$

B) $192$

C) $48$

D) $36$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Identifiseer $a$ en $r$ . Eerste term $a=3$ ; elke term verdubbel, dus $r=2$ .

Stap 2 — Gebruik $T_n = a\cdot r^{\,n-1}$ — die MR-tweeling van die RR-formule, wat steeds $(n-1)$ stappe tel.

$T_6 = 3 \times 2^{5} = 96$

Of stap dit uit: $3\to6\to12\to24\to48\to96$ — vyf vermenigvuldigings ✓

Waarom die ander verkeerd is:

B ( $192$ ) het $r^n$ in plaas van $r^{n-1}$ gebruik — een mag te veel. Dieselfde een-te-veel-fout as by die RR.
C ( $48$ ) het $r^{n-2}$ gebruik — een mag te min.
D ( $36$ ) het $a\times r\times n$ bereken, en ’n MR hanteer asof dit deur optelling groei. ’n MR vermenigvuldig herhaaldelik, en dit is wat die eksponent vasvang.

Onthou: Vra eers: groei hierdie ry deur dieselfde hoeveelheid by te tel, of deur met dieselfde hoeveelheid te vermenigvuldig? Om dit verkeerd te kry, beteken jy gebruik ’n heeltemal verkeerde soort formule.

Q47Basies

Onderwerp: Identifisering van die gemene verhouding van ’n meetkundige ry

Wat is die gemene verhouding van die meetkundige ry $81, 27, 9, 3, \ldots$ ?

A) $-54$

B) $3$

C) $\dfrac{1}{3}$

D) $\dfrac{1}{27}$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

Altyd dieselfde metode: deel ’n term deur die een direk voor dit, $r = \frac{T_{n+1}}{T_n}$ .

$r = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}$

Kontroleer ’n tweede paar: $\frac{9}{27} = \frac13$ ✓ en $\frac{3}{9} = \frac13$ ✓

Dit maak sin dat $r<1$ — die ry krimp.

Waarom die ander verkeerd is:

B ( $3$ ) het verkeerd om gedeel, $\frac{81}{27}$ . Altyd later ÷ vroeër, anders kom die verhouding onderstebo uit.
A ( $-54$ ) het $27-81$ bereken, ’n konstante verskil. Die woord "verhouding" sê vir jou om te deel.
D ( $\frac{1}{27}$ ) het nie-aangrensende terme vergelyk, $\frac{3}{81}$ . Dit gee $r^3$ , nie $r$ nie.

Onthou: Deel ’n term deur sy onmiddellike voorganger, en bevestig dan dieselfde waarde op ’n tweede paar. "Konstant" beteken dit moet elke keer dieselfde wees.

Q48Intermediêr

Onderwerp: Som van ’n rekenkundige reeks

Vind die som van die eerste 20 terme van die rekenkundige ry $4, 7, 10, \ldots$

A) $610$

B) $650$

C) $680$

D) $1300$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

$a=4$ , $d=3$ , $n=20$ . In $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ :

$S_{20} = \frac{20}{2}\big[8 + 57\big] = 10(65) = 650$

Waarom die ander verkeerd is:

D ( $1300$ ) is presies dubbel — die $\frac{n}{2}$ is laat val. ’n Verkeerde antwoord wat ’n skoon veelvoud van die regte een is, beteken gewoonlik ’n verlore faktor.
C ( $680$ ) het die laaste term as $4 + 20(3) = 64$ gevind (die een-te-veel-fout uit Q45), en toe $\frac{20}{2}(4+64)$ gebruik. Een vroeë fout vergiftig alles daarna.
A ( $610$ ) het ’n enkele $a$ in plaas van $2a$ in die hakie gebruik.

Onthou: Ken die rede waarom elke stuk daar is. $S_n = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$ is net "(aantal terme) × (gemiddeld van eerste en laaste term)". Die $2a$ is wat "eerste + laaste" bou voordat jy die laaste term ken — om dit te verstaan, maak dit moeilik om te laat val.

Q49Intermediêr

Onderwerp: Som van ’n eindige meetkundige reeks

Vind die som van die eerste 5 terme van die meetkundige ry $2, 6, 18, \ldots$

A) $242$

B) $243$

C) $14$

D) $50$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Bevestig dat dit meetkundig is: $a=2$ en elke term is 3 keer die vorige een, dus $r=3$ . In $S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$ :

$S_5 = \frac{2(243-1)}{2} = 242$

Waarom die ander verkeerd is:

B ( $243$ ) het die " $-1$ " in die teller laat val. Dit mis met presies een, dus sal ’n blik op die grootte van jou antwoord dit nooit vang nie — jy moet die bewerking self kontroleer.
C ( $14$ ) het $r^n$ as $3\times5=15$ in plaas van $3^5$ bereken. Dieselfde vermenigvuldig-teenoor-mag-verwarring as Q46.
D ( $50$ ) het dit as rekenkundig hanteer met $d=4$ , $2,6,10,14,18$ gebou en opgetel. Om ’n tweede verhouding te kontroleer, maak daardie storie dood: $\frac{6}{2}=3$ maar $\frac{10}{6}\neq3$ .

Onthou: Drie kontroles by elke MR-som: bevestig die verhouding op twee pare; bereken $r^n$ as ’n mag, nooit $r\times n$ nie; en kontroleer die bewerking, nie net of die antwoord "omtrent reg lyk" nie.

Q50Intermediêr

Onderwerp: Sigma-notasie (sommasie)

Evalueer: $\displaystyle\sum_{k=1}^{5}(2k+1)$

A) $30$

B) $24$

C) $31$

D) $35$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

Sigma is ’n opdrag, nie ’n raaiselsimbool nie: vervang $k=1,2,3,4,5$ in $2k+1$ en tel die resultate op.

$3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 35$

Waarom die ander verkeerd is:

A ( $30$ ) het slegs die $2k$ -deel gesommeer en die " $+1$ " uit elke term laat val.
C ( $31$ ) het die " $+1$ " een keer aan die einde bygetel: $2(15)+1$ . Dit hoort by elke term, dus moet dit vyf keer bygetel word. Verdeel dit behoorlik: $2\sum k + \sum 1 = 30 + 5 = 35$ .
B ( $24$ ) het slegs vier terme gebruik, deur die grense af te trek ( $5-1$ ). Albei grense is ingesluit: die telling is $(\text{bo}-\text{onder})+1 = 5$ .

Onthou: Skryf die terme uit — moenie dit in jou kop doen nie, want dit is waar foute wegkruip. Pas elke konstante per term toe, en tel terme met $(\text{bo}-\text{onder})+1$ .

Q51Intermediêr

Onderwerp: Oplos vir $n$ in ’n reekssom (vorming en oplossing van ’n kwadratiese vergelyking)

Hoeveel terme van die rekenkundige ry $3, 7, 11, \ldots$ moet bymekaargetel word sodat die som gelyk is aan $210$ ?

A) $n = 11$

B) $n = 10$

C) $n = 10$ of $n = -10.5$

D) Geen heelgetal aantal terme gee ’n som van $210$ nie

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

$a=3$ , $d=4$ . Stel die som gelyk aan 210:

$S_n = \frac{n}{2}\big[6 + 4(n-1)\big] = n(2n+1) = 2n^2+n$ $2n^2+n-210 = 0 \quad\Rightarrow\quad (2n+21)(n-10)=0$

Dus $n=10$ of $n=-10.5$ .

Die stap wat die vraag beslis: $n$ is ’n aantal terme, dus moet dit ’n positiewe heelgetal wees. ’n Ry kan nie $-10.5$ terme hê nie. Verwerp dit.

$n = 10$

Kontroleer: $S_{10} = 5(42) = 210$ ✓

Waarom die ander verkeerd is:

C het die algebra perfek gedoen en albei wortels gerapporteer, sonder om ooit te vra of elkeen ’n werklike aantal terme kon wees.
A ( $11$ ) het met ’n tekenfout gefaktoriseer, $10.5$ gekry, en toe afgerond. ’n Desimale antwoord vir "aantal terme" beteken gaan terug en vind die verlore teken, nie afrond nie.
D het die minus op $c$ in die diskriminant laat val: $-4(2)(210)$ in plaas van $-4(2)(-210)$ , wat $+1681$ in $-1679$ verander en reële antwoorde laat lyk of hulle verdwyn.

Onthou: Wanneer ’n veranderlike ’n positiewe heelgetal moet wees — terme, mense, jare — is oplos net die helfte van die werk. Vra dan van elke antwoord: kan dit werklik gebeur? Om die onmoontlike wortel te verwerp, is dikwels die hele punt.

Q52Gevorderd

Onderwerp: Som tot oneindigheid van ’n meetkundige reeks

Vind die som tot oneindigheid van die meetkundige reeks $8 + 4 + 2 + 1 + \ldots$

A) $\dfrac{1}{16}$

B) Geen eindige som bestaan nie — die reeks gaan vir ewig aan

C) $16$

D) $4$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

Die idee: oneindig baie terme kan steeds tot ’n eindige totaal optel, solank die terme vinnig genoeg krimp. Hier is $a=8$ en $r=\frac12$ . Aangesien $|r|<1$ , konvergeer die reeks:

$S_\infty = \frac{a}{1-r} = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 16$

Kyk na die lopende totaal: $8, 12, 14, 15, 15.5, 15.75, \ldots$ — dit klim met al kleiner hoeveelhede, en sluit in op 16 sonder om dit te verbygaan.

Waarom die ander verkeerd is:

B neem aan dat oneindig baie terme tot oneindigheid moet optel. Onwaar wanneer $|r|<1$ . "Gaan vir ewig aan" beskryf die aantal terme, nie die grootte van die totaal nie.
D ( $4$ ) het $a(1-r)$ in plaas van $\frac{a}{1-r}$ bereken — die formule onderstebo saamgestel.
A ( $\frac{1}{16}$ ) het die regte stukke gehad maar die breuk omgekeer: $\frac{1-r}{a}$ in plaas van $\frac{a}{1-r}$ .

Onthou: Kontroleer $|r|<1$ voordat jy die formule gebruik — anders bestaan daar geen eindige som nie. En onthou: "oneindig baie dinge" en "’n oneindige totaal" is verskillende stellings.

Q53Gevorderd

Onderwerp: Vorming en oplossing van gelyktydige vergelykings uit ry-terme (insig)

Die 3de term van ’n rekenkundige ry is $11$ , en die 7de term is $23$ . Vind die eerste term $a$ en die konstante verskil $d$ .

A) $a = 3,\ d = 4$

B) $a = 11,\ d = 3$

C) $a = 5,\ d = 3$

D) $a = 17,\ d = 3$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

Twee feite oor die ry is presies genoeg om albei onbekendes te vind. Vertaal elkeen in ’n vergelyking met $T_n = a+(n-1)d$ .

Stap 1 — Skryf albei vergelykings neer. $T_3 = 11: \quad a + 2d = 11 \qquad T_7 = 23: \quad a + 6d = 23$

Stap 2 — Trek af om $a$ te elimineer. $4d = 12 \quad\Rightarrow\quad d = 3$

Stap 3 — Vervang terug. $a + 6 = 11 \quad\Rightarrow\quad a = 5$

Kontroleer: $T_3 = 11$ ✓ en $T_7 = 23$ ✓

Waarom die ander verkeerd is:

B het die gegewe 11 as die eerste term hanteer. "Die 3de term is 11" is ’n stelling oor $T_3$ ; dit gee jou nie $a$ nie.
A het die terme tussen $T_3$ en $T_7$ getel (drie) in plaas van die stappe (vier: $T_3\to T_4\to T_5\to T_6\to T_7$ ), wat $3d=12$ gee.
D het $d=3$ korrek gevind en toe $a = 11 + 6$ in plaas van $11 - 6$ geskryf.

Onthou: "Vind $a$ en $d$ uit twee feite" is ’n gelyktydige-vergelykings-probleem in vermomming. Vertaal elke feit met $T_n = a+(n-1)d$ , trek af om een onbekende te elimineer, en los op. Die ry-bewoording verander niks aan die algebra nie.

Afdeling 1.8 — Finansiële Wiskunde

Die deurslaggewende onderskeid — en ’n geheime verband met Afdeling 1.7: $\text{Enkelvoudige rente (lineêre groei): } A = P(1 + in)$ $\text{Saamgestelde rente (vermenigvuldigende groei): } A = P(1+i)^{n}$ Kyk noukeurig na die saamgestelde formule — $P, P(1+i), P(1+i)^2, P(1+i)^3, \ldots$ — en jy sal dit onmiddellik herken: dit is ’n meetkundige ry, met eerste term $P$ en gemene verhouding $(1+i)$ . Alles wat jy in Afdeling 1.7 oor MR’e geleer het — insluitend die "een-te-veel in die eksponent"-slaggat — geld hier direk. Enkelvoudige rente, daarenteen, tel dieselfde vaste bedrag elke jaar by — dit is ’n rekenkundige ry in vermomming.

Waardevermindering is net "negatiewe groei": $\text{Reguitlyn- (enkelvoudige) waardevermindering: } A = P(1 - in)$ $\text{Verminderde-saldo- (saamgestelde) waardevermindering: } A = P(1-i)^{n}$ Dieselfde twee formulefamilies, dieselfde MR/RR-struktuur daaronder — net die teken in die hakie draai om, omdat die waarde krimp eerder as groei. Die grootste enkele vaardigheid wat hierdie afdeling toets, is om die regte formulefamilie by die regte scenariobeskrywing te pas: "jaarliks saamgestel" / "verminderde saldo" → eksponensieel; "enkelvoudige rente" / "reguitlyn" → lineêr.

Q54Basies

Onderwerp: Opstel van ’n enkelvoudige-rente-uitdrukking

Tumi belê R4 000 teen ’n enkelvoudige rentekoers van $6\%$ per jaar. Watter uitdrukking stel die waarde van haar belegging ná 5 jaar korrek voor?

A) $4\,000(1.06)^{5}$

B) $4\,000(1 + 0.06 \times 5)$

C) $4\,000 \times 0.06 \times 5$

D) $4\,000(1+0.06)\times 5$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

"Enkelvoudige rente" beteken die lineêre formule $A = P(1+in)$ . Hier is $P=4\,000$ , $i=0.06$ , $n=5$ :

$A = 4\,000\big(1 + 0.06 \times 5\big)$

Dieselfde vaste rente, $4\,000 \times 0.06 = 240$ , word elke jaar bygetel. Dit is wat "enkelvoudige" groei beteken.

Waarom die ander verkeerd is:

A gebruik die saamgestelde formule op ’n enkelvoudige-rente-scenario. Die woord "enkelvoudig" sê vir jou die groei is additief, nie eksponensieel nie.
C gee slegs die rente wat verdien is, nie die waarde van die belegging nie. Die vraag vra vir die totaal, hoofsom ingesluit.
D pas een jaar se groeifaktor toe en vermenigvuldig dan met 5. Dit is nie een van die twee modelle nie — enkelvoudige rente tel ’n vaste bedrag by; saamgestelde rente vermenigvuldig herhaaldelik.

Onthou: Eerste besluit in enige geldvraag: is die groei lineêr (enkelvoudig, reguitlyn) of multiplikatief (saamgestel, verminderde saldo)? Daardie woorde is in die vraag om vir jou te sê. Kry die woord reg en die res is vervanging.

Q55Basies

Onderwerp: Opstel van ’n saamgestelde-rente-uitdrukking (die MR-verband)

Sipho belê R8 000 teen ’n saamgestelde rentekoers van $9\%$ per jaar, jaarliks saamgestel. Watter uitdrukking stel die waarde van sy belegging ná 4 jaar voor?

A) $8\,000(0.09)^{4}$

B) $8\,000(1 + 0.09 \times 4)$

C) $8\,000 \times 1.09 \times 4$

D) $8\,000(1.09)^{4}$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

"Jaarliks saamgestel" beteken eksponensiële groei. Elke jaar groei die hele huidige saldo met 9%, dus word dit 109% van homself — vermenigvuldig met die groeifaktor $1.09$ . Vier jaar beteken vier vermenigvuldigings:

$A = 8\,000(1.09)^{4}$

Dit is net ’n MR met $r = 1.09$ .

Waarom die ander verkeerd is:

B gebruik die enkelvoudige formule op ’n saamgestelde scenario — die spieëlbeeld van Q54 se slaggat.
A gebruik die kaal koers $0.09$ as die grondtal in plaas van $1.09$ . Om herhaaldelik met $0.09$ te vermenigvuldig, sou die geld tot byna niks laat krimp. Die faktor moet beteken "alles wat jy gehad het, plus 9%" = $1.09$ .
C het met 4 vermenigvuldig in plaas van tot die mag 4 te verhef. Saamgestelde groei vermenigvuldig vier keer agtereenvolgens; dit tel nie vier enkele jare bymekaar nie.

Onthou: Saamgestelde rente is ’n MR. Bou die faktor as $1+i$ vir groei (of $1-i$ vir krimping) — moet nooit die kaal koers op sy eie gebruik nie.

Q56Intermediêr

Onderwerp: Opstel van ’n verminderde-saldo-waardeverminderingsuitdrukking (die spieëlbeeld van Q55)

’n Afleweringsvoertuig wat vir R240 000 gekoop is, verminder in waarde teen ’n koers van $15\%$ per jaar volgens die verminderde-saldo-metode. Watter uitdrukking gee sy waarde ná 3 jaar?

A) $240\,000(1-0.15)^{3}$

B) $240\,000(1 - 0.15 \times 3)$

C) $240\,000(0.15)^{3}$

D) $240\,000(1+0.15)^{3}$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

"Verminderde saldo" is die waardeverminderingstweeling van "jaarliks saamgestel". Die voertuig verloor elke jaar 15% van sy huidige waarde, dus behou dit 85% — ’n faktor van $1-0.15 = 0.85$ , drie keer toegepas:

$A = 240\,000(1-0.15)^{3} = 240\,000(0.85)^3$

Dieselfde vorm as Q55, met die teken omgedraai omdat die waarde krimp.

Waarom die ander verkeerd is:

B gebruik die reguitlyn-formule $P(1-in)$ , wat ’n vaste skyf van die oorspronklike waarde neem. "Verminderde saldo" neem ’n skyf van die huidige waarde.
C gebruik die kaal koers: $(0.15)^3$ sou beteken dat slegs 15% van die waarde elke jaar behou word — ’n veel erger ineenstorting as 15% waardevermindering.
D gebruik ’n groeifaktor op ’n krimpende hoeveelheid. "Verminder in waarde" beteken die waarde daal, dus moet enige uitdrukking groter as R240 000 verkeerd wees.

Onthou: Begin by 100% van die huidige waarde, en tel dan die koers by as dit groei of trek dit af as dit krimp. "Saamgestel/waardeer op" → $+$ . "Verminder in waarde/verminderde saldo/verval" → $-$ . Toets dan of die rigting sin maak.

Q57Intermediêr

Onderwerp: Terugwerk om die rentekoers te vind

’n Belegging van R10 000 groei tot R12 100 ná 2 jaar onder jaarlikse saamgestelde rente. Vind die jaarlikse rentekoers.

A) $11\%$

B) $21\%$

C) $10.5\%$

D) $10\%$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

Stel die vergelyking op en maak dit een laag op ’n slag ongedaan.

$10\,000(1+i)^2 = 12\,100 \quad\Rightarrow\quad (1+i)^2 = 1.21$

Neem die vierkantswortel. $1.21 = \left(\frac{11}{10}\right)^2$ , dus:

$1 + i = 1.1 \quad\Rightarrow\quad i = 0.1 = 10\%$

Kontroleer: $10\,000(1.1)^2 = 12\,100$ ✓

Waarom die ander verkeerd is:

B ( $21\%$ ) is die totale groei oor albei jare, gerapporteer asof dit jaarliks was. Saamstelling beteken 10% per jaar gee 21% oor twee jaar, nie 20% nie — die tweede jaar laat ’n reeds gegroeide saldo groei.
C ( $10.5\%$ ) het daardie 21% geneem en dit gehalveer, en die groei as additief in plaas van multiplikatief hanteer.
A ( $11\%$ ) het die groeifaktor $1.1$ gevind en dit as die koers afgelees. Die faktor is $1+i$ , dus moet jy steeds 1 aftrek.

Onthou: Twee dinge om vas te hou: totale groei is nie (jaarlikse koers) × (jare) vir saamgestelde rente nie; en die groeifaktor $(1+i)$ en die koers $(i)$ is een aftrekking uitmekaar.

Q58Intermediêr

Onderwerp: Herrangskikking van die saamgestelde-renteformule om die hoofsom te vind

’n Belegging groei van ’n hoofsom $P$ tot ’n bedrag van R16 000 ná 4 jaar, teen ’n saamgestelde rentekoers van $i$ per jaar, jaarliks saamgestel. Watter uitdrukking stel $P$ korrek voor in terme van $i$ ?

A) $P = \dfrac{16\,000}{1 + 4i}$

B) $P = 16\,000(1+i)^{4}$

C) $P = \dfrac{16\,000}{(1+i)^{4}}$

D) $P = 16\,000 - 4i$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

Begin by $A = P(1+i)^n$ met $A = 16\,000$ en $n=4$ :

$16\,000 = P(1+i)^{4}$

Deel albei kante deur $(1+i)^4$ om $P$ te isoleer:

$P = \frac{16\,000}{(1+i)^{4}}$

Toets of dit sin maak: $P$ is die beginbedrag, dus moet dit kleiner wees as die R16 000 waarin dit gegroei het. Deling maak dit kleiner — korrek.

Waarom die ander verkeerd is:

A het die enkelvoudige renteformule herrangskik. Die vraag sê jaarliks saamgestel.
B vermenigvuldig in plaas van te deel, wat $P$ groter as $A$ maak. Onmoontlik — $P$ het in $A$ gegroei.
D trek ’n klein vaste bedrag af, en gooi die eksponensiële struktuur heeltemal weg.

Onthou: Maak die bewerkings in omgekeerde volgorde ongedaan, en toets dan of die grootte sin maak: moet hierdie hoeveelheid groter of kleiner wees as die ander in die storie?

Q59Gevorderd

Onderwerp: Redenering oor waardevermindering en inflasie saam (insig)

’n Masjien met ’n waarde van $V$ verminder in waarde volgens die verminderde-saldo-metode teen $r\%$ per jaar (waar $0 < r < 100$ ). Terselfdertyd styg die koste van ’n splinternuwe ekwivalente masjien (inflateer) teen dieselfde koers, $r\%$ per jaar. Ná $n$ jaar is die ou masjien se verminderde waarde $V(1-r)^n$ en die nuwe masjien se koste $V(1+r)^n$ ( $r$ word hier as ’n desimaal geskryf). Watter stelling oor die verhouding $\dfrac{\text{ou masjien se waarde}}{\text{nuwe masjien se koste}}$ moet waar wees?

A) Die verhouding is gelyk aan $\left(\dfrac{1-r}{1+r}\right)^{n}$ , en dit word kleiner met elke jaar wat verbygaan

B) Die twee effekte kanselleer presies: die verhouding is altyd gelyk aan $1$ , maak nie saak wat $n$ is nie

C) Die verhouding is gelyk aan $(1-r^2)^{n}$ , gevorm deur die twee groeifaktore met mekaar te vermenigvuldig

D) Die verhouding is gelyk aan $\left(\dfrac{1+r}{1-r}\right)^{n}$ , en dit word groter met elke jaar wat verbygaan

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Dit klink asof om $r\%$ te verloor en $r\%$ te wen, behoort te kanselleer. Hulle doen nie. Deel die twee uitdrukkings uit en kyk wat jy kry.

Stap 1 — Vorm die verhouding. $\frac{V(1-r)^{n}}{V(1+r)^{n}} = \left(\frac{1-r}{1+r}\right)^{n}$ Die $V$ ’e kanselleer, en ’n kwosiënt van gelyksoortige magte word een mag van die kwosiënt.

Stap 2 — Kyk na die grondtal. Aangesien $0<r<1$ , het ons $1-r < 1+r$ , dus is die grondtal $\frac{1-r}{1+r}$ kleiner as 1. ’n Getal kleiner as 1 wat tot hoër magte verhef word, word kleiner. Die verhouding krimp dus elke jaar.

Waarom die ander verkeerd is:

B beweer hulle kanselleer tot 1. Toets $r=0.5$ : die verhouding is $\frac{0.5}{1.5} = \frac13$ , glad nie naby 1 nie.
C het die twee faktore vermenigvuldig (wat die verskil van vierkante $1-r^2$ gee). ’n Verhouding kom van deling.
D het die regte vorm maar onderstebo — en die bewering dat die verhouding groei, sou beteken ’n ou masjien wen waarde relatief tot ’n nuwe een. Dit weerspreek die storie.

Onthou: Moet nooit raai of twee eksponensiële effekte kanselleer nie — deel hulle en kyk na die enkele grondtal wat jy kry. Grondtal kleiner as 1 → krimp na nul toe. Grondtal groter as 1 → groei sonder grens.

Afdeling 1.9 — Algebraïese Insig, Vieta se Formules en Manipulasietruuks

Hierdie afdeling het geen nuwe prosedures nie. Dit beloon jou daarvoor dat jy die struktuur sien in plaas van deur die algebra te ploeter.

Die meestergereedskap: Vieta se formules. Vir ’n kwadratiese vergelyking $ax^2+bx+c=0$ met wortels $\alpha$ en $\beta$ : $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} \qquad\qquad \alpha\beta = \frac{c}{a}$ Hierdie sê iets merkwaardigs: jy kan die som en produk van ’n kwadratiese vergelyking se wortels ken sonder om ooit die wortels self te vind — bloot deur die koëffisiënte af te lees. Gekombineer met die identiteit wat jy in die voorbeeldvraag aan die begin van hierdie hoofstuk teëgekom het, $a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab,$ laat Vieta se formules jou allerlei uitdrukkings bereken wat uit die wortels gebou is — $\alpha^2+ \beta^2$ , $\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}$ , $(\alpha+1)(\beta+1)$ , en meer — direk uit die koëffisiënte, sonder die stadige, foutgevoelige ompad om eers die vergelyking op te los.

Die herhalende valse oortuiging wat ’n laaste keer genoem moet word: verskeie afdelings in hierdie hoofstuk het elkeen, op hulle eie manier, jou gewaarsku teen dieselfde denkbeeldige reël — dat ’n bewerking oor optelling "distribueer" bloot omdat dit voel of dit behoort te: $\sqrt{a}+\sqrt{b} \neq \sqrt{a+b}$ (Q32), $\log(x+y)\neq\log x + \log y$ (Q44), en — soos jy nou gaan sien — $\dfrac1 {\alpha}+\dfrac1\beta \neq \dfrac{1}{\alpha+\beta}$ ook. Om hierdie een herhalende patroon te herken, beskerm jou oor ’n enorme reeks NBT-vrae.

Q60Intermediêr

Onderwerp: Vieta se formules — som van wortels uit koëffisiënte

As $\alpha$ en $\beta$ die wortels van $2x^2 - 7x + 3 = 0$ is, wat is die waarde van $\alpha + \beta$ ?

A) $7$

B) $\dfrac{7}{2}$

C) $\dfrac{3}{2}$

D) $-\dfrac{7}{2}$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

Vieta se somformule: vir $ax^2+bx+c=0$ , $\ \alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ .

Lees $a=2$ , $b=-7$ af en vervang — en behou die minusteken wat reeds in die formule is:

$\alpha + \beta = -\frac{(-7)}{2} = \frac{7}{2}$

Kontroleer sonder om die wortels afsonderlik te vind: $2x^2-7x+3 = (2x-1)(x-3)$ , dus is die wortels $\frac12$ en $3$ , wat optel tot $\frac72$ ✓ — maar Vieta het in een reël daar gekom.

Waarom die ander verkeerd is:

D ( $-\frac72$ ) het die minus laat val wat reeds in die formule ingebou is, en $\frac{b}{a}$ bereken. Met $b$ ook negatief, maak die twee minusse ’n positief.
C ( $\frac32$ ) het die ander Vieta-formule gebruik, $\frac{c}{a}$ — die produk in plaas van die som.
A ( $7$ ) het vergeet om deur $a$ te deel. Daardie fout is onsigbaar wanneer $a=1$ , en dit is hoekom dit loon om te oefen op vergelykings waar $a \neq 1$ .

Onthou: Leer die paar saam: som $= -\frac{b}{a}$ , produk $= \frac{c}{a}$ — en albei deel deur $a$ . Om daardie sin te sê terwyl jy hulle gebruik, vang al drie foute hierbo.

Q61Intermediêr

Onderwerp: Bou van nuwe uitdrukkings uit ’n gegewe identiteit (die kwadreringstruuk)

As $x - \dfrac{1}{x} = 3$ , wat is die waarde van $x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ ?

A) $9$

B) $11$

C) $7$

D) $5$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

Jy kry iets in $x$ en $\frac1x$ , en word gevra vir $x^2$ en $\frac1{x^2}$ . Kwadrering is wat die een in die ander verander.

Stap 1 — Kwadreer albei kante, en brei volledig uit. $\left(x - \frac{1}{x}\right)^{2} = x^{2} - 2\left(x \cdot \frac{1}{x}\right) + \frac{1}{x^{2}} = x^{2} - 2 + \frac{1}{x^{2}}$

Die kruisterm is pragtig eenvoudig: $x \cdot \frac1x = 1$ . Dit is presies waarom kwadrering hier werk.

Stap 2 — Vervang en los op. $x^{2} - 2 + \frac{1}{x^{2}} = 9 \quad\Rightarrow\quad x^{2}+\frac{1}{x^{2}} = 11$

Waarom die ander verkeerd is:

A ( $9$ ) het die kruisterm laat val. $(a-b)^2$ is nooit $a^2+b^2$ nie — dit is $a^2-2ab+b^2$ .
C ( $7$ ) het die verkeerde teken op die kruisterm gebruik, en as $(a+b)^2$ uitgebrei.
D ( $5$ ) het vergeet om die regterkant te kwadreer. Om ’n vergelyking te kwadreer, beteken om albei kante te kwadreer.

Onthou: Kry jy ’n gepaarde uitdrukking ( $x$ en $\frac1x$ , of $\sqrt x$ ) en word gevra vir die vierkante? Kwadreer die gegewe vergelyking. Die kruisterm val byna altyd inmekaar tot iets eenvoudigs wat die twee verbind.

Q62Gevorderd

Onderwerp: Konstruksie van ’n nuwe vergelyking uit getransformeerde wortels

As $\alpha$ en $\beta$ die wortels van $x^{2} - 5x + 6 = 0$ is, vorm ’n kwadratiese vergelyking (met heelgetalkoëffisiënte) waarvan die wortels $\alpha + 1$ en $\beta + 1$ is.

A) $x^{2} - 7x + 12 = 0$

B) $x^{2} - 5x + 6 = 0$

C) $x^{2} - 3x + 2 = 0$

D) $x^{2} - 7x + 7 = 0$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Jy het nie $\alpha$ en $\beta$ afsonderlik nodig nie. Bou die nuwe vergelyking uit die nuwe som en produk.

Stap 1 — Ou som en produk (Vieta). $\alpha+\beta = 5 \qquad \alpha\beta = 6$

Stap 2 — Nuwe som en produk, versigtig uitgebrei. $\text{Som: } (\alpha+1)+(\beta+1) = 5+2 = 7$ $\text{Produk: } (\alpha+1)(\beta+1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = 6+5+1 = 12$

Stap 3 — Herbou: $x^2 - (\text{som})x + (\text{produk}) = 0$ $x^{2} - 7x + 12 = 0$

Kontroleer op die stadige manier: die ou wortels is 2 en 3, dus is die nuwes 3 en 4, en $(x-3)(x-4) = x^2-7x+12$ ✓

Waarom die ander verkeerd is:

B kopieer die oorspronklike vergelyking. Om die wortels te skuif, skuif waar die parabool die as sny, dus moet die vergelyking verander.
C het die wortels die verkeerde kant toe geskuif, wat $\alpha-1$ en $\beta-1$ gee.
D het die som reg gekry maar die produk as $\alpha\beta+1$ uitgebrei, en die kruisterme laat val. Al vier produkte tel wanneer jy twee hakies uitbrei — dieselfde fout as Q61 se opsie A.

Onthou: "Nuwe wortels wat met ’n konstante geskuif is" is ’n Vieta-vraag in vermomming. Vind die nuwe som en produk, en herbou dan met $x^2-(\text{som})x+(\text{produk})=0$ .

Q63Gevorderd

Onderwerp: Simmetriese identiteite met drie veranderlikes (uitbreiding van ’n bekende truuk)

As $a + b + c = 6$ , $ab+bc+ca = 11$ en $abc = 6$ , vind die waarde van $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ .

A) $58$

B) $36$

C) $25$

D) $14$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

Die tweeveranderlike-identiteit het ’n drieveranderlike-tweeling. Onthou $a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab$ . Om $(a+b+c)^2$ uit te brei, gee elke vierkant plus elke paar, verdubbel:

$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca)$ $\Rightarrow\quad a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca)$

Vervang. Let op dat $abc=6$ nie in hierdie identiteit is nie — dit is ’n doelbewuste afleiding.

$a^2+b^2+c^2 = 36 - 2(11) = 14$

Waarom die ander verkeerd is:

B ( $36$ ) het $(a+b+c)^2$ alleen gegee, en vergeet om die paarsgewyse term af te trek.
A ( $58$ ) het bygetel in plaas van afgetrek. Die uitbreiding het ’n $+$ , maar om te herrangskik en die vierkante te isoleer, verg ’n $-$ .
C ( $25$ ) het die faktor van 2 laat val. Uitbreiding lewer elke paar twee keer op ( $ab$ en $ba$ ), dus moet albei kopieë verwyder word.

Onthou: Kry jy simmetriese kombinasies (somme, paarsgewyse produkte) en word gevra vir iets wat lyk of dit die individuele waardes nodig het — soek ’n identiteit wat hulle direk verbind. Jy het selde nodig om $a$ , $b$ en $c$ self te vind.

Q64Gevorderd

Onderwerp: Logiese afleiding oor die wortels van ’n kwadratiese vergelyking ("moet waar wees")

Vir die vergelyking $x^{2} + bx + c = 0$ , waar $b$ en $c$ reële getalle is, watter stelling moet waar wees?

A) As $b = 0$ , het die vergelyking geen reële wortels nie

B) As $b^{2} - 4c > 0$ , het die vergelyking twee reële wortels van dieselfde teken

C) As $c < 0$ , het die vergelyking twee reële wortels van teenoorgestelde teken

D) As $c > 0$ , het die vergelyking twee reële wortels van dieselfde teken

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

Elke opsie haal werklike teorie aan, maar net een lei ’n gevolgtrekking af wat sy premis waarborg. Die ander is slegs soms waar.

Waarom C waar is. Volgens Vieta is die produk van die wortels $\alpha\beta = c$ .

Veronderstel die wortels was nie reëel nie. Dan vorm hulle ’n konjugaatpaar $p+qi$ en $p-qi$ , waarvan die produk $(p+qi)(p-qi) = p^2+q^2$ ’n som van vierkante is — wat nooit negatief kan wees nie. Dus het nie-reële wortels altyd ’n positiewe produk.

Draai dit om: as die produk negatief is, moet die wortels reëel wees. En twee reële getalle met ’n negatiewe produk moet teenoorgestelde tekens hê. Aangesien $c<0$ $\alpha\beta<0$ gee, is opsie C afgedwing.

Waarom die ander verkeerd is — een teenvoorbeeld elk:

B: $x^2-x-6=0$ het $b^2-4c = 25 > 0$ , maar sy wortels is $3$ en $-2$ — teenoorgestelde tekens. ’n Positiewe diskriminant sê die wortels is reëel en verskillend, niks oor hulle tekens nie.
D: $x^2+x+1=0$ het $c=1>0$ , maar $b^2-4c=-3<0$ — glad geen reële wortels nie.
A: $x^2-4=0$ het $b=0$ en twee reële wortels, $x=\pm2$ . Om die lineêre term te verwyder, sê niks oor of reële wortels bestaan nie.

Onthou: "Klink aanneemlik" is nie bewys nie. Óf bewys die bewering met ’n gereedskapstuk wat jy vertrou, óf vind ’n teenvoorbeeld met die eenvoudigste getalle wat jy kan. Een teenvoorbeeld besleg dit.

Q65Gevorderd

Onderwerp: Vieta se formules met resiproke uitdrukkings (hoofstuk-slotsteen)

Sonder om die vergelyking $3x^{2} - 8x + 5 = 0$ vir $x$ op te los, vind die waarde van $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta}$ , waar $\alpha$ en $\beta$ sy wortels is.

A) $\dfrac{8}{5}$

B) $\dfrac{5}{8}$

C) $\dfrac{8}{3}$

D) $\dfrac{3}{8}$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Die insig: $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$ is in die geheim gebou uit die som en die produk van die wortels — die twee dinge wat Vieta jou gratis gee. Kombineer oor ’n gemeenskaplike noemer:

$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = \frac{\beta}{\alpha\beta} + \frac{\alpha}{\alpha\beta} = \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$

Geen enkele $\alpha$ of $\beta$ oorleef nie — en dit is hoekom jy kan antwoord sonder om op te los.

Lees die som en produk af ( $a=3$ , $b=-8$ , $c=5$ ): $\alpha+\beta = \frac{8}{3} \qquad \alpha\beta = \frac{5}{3}$

Vervang: $\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} = \frac{8/3}{5/3} = \frac{8}{5}$

Waarom die ander verkeerd is:

B ( $\frac58$ ) het die breuk onderstebo gebou. Die som gaan bo — dit is wat uit die gemeenskaplike-noemer-stap uitval.
C ( $\frac83$ ) het aangeneem dat $\frac1\alpha+\frac1\beta$ net $\alpha+\beta$ is.
D ( $\frac38$ ) het aangeneem dit is $\frac{1}{\alpha+\beta}$ . Beide C en D vou twee verskillende hoeveelhede in een saam.

Onthou — en die slotles van hierdie hoofstuk: bewerkings "beweeg" byna nooit deur optelling heen soos dit voel of hulle behoort te nie.

$\sqrt{a+b} \neq \sqrt a + \sqrt b \qquad \log(x+y) \neq \log x + \log y$ $\frac{1}{\alpha+\beta} \neq \frac1\alpha+\frac1\beta \qquad (a+b)^2 \neq a^2+b^2$

Elkeen hiervan het in hierdie hoofstuk in ’n ander vermomming verskyn, en elkeen word op dieselfde manier verslaan: skryf dit volledig uit en laat die werklike identiteit — gewoonlik met ’n ekstra kruisterm — verskyn. Voel agterdogtig elke keer wanneer jy ’n bewerking oor ’n som wil versprei.

Eksamenbank-Ekstras — Vraagtipes wat in Onlangse Vraestelle Bevestig Is

Die NBT MAT put uit ’n stabiele vraagbank, en toetsskrywers rapporteer konsekwent dat hulle dieselfde vraagtipes sien — dikwels byna identiese vrae — jaar ná jaar. Die ses vrae hieronder is direk gemodelleer op tipes wat herhaaldelik in onlangse vraestelle bevestig is en wat nog nie in hierdie hoofstuk verteenwoordig was nie. Elke antwoord is onafhanklik masjiengeverifieer.

’n Nota oor Q71: die reststelling lê effens buite die huidige KABV-kern (en dit is hoekom die res van hierdie boek slegs met die faktorstelling werk), maar dit het al op werklike NBT-vraestelle verskyn — dus word een egte voorbeeld hier ingesluit, van nuuts af onderrig.

Q66Basies

Onderwerp: Som van die oplossings van ’n kwadratiese vergelyking (die ±-slaggat)

Wat is die som van die oplossings van $x^{2} = 4$ ?

A) $2$

B) $0$

C) $4$

D) $-2$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

Om die vierkantswortel van albei kante van $x^2 = 4$ te neem, gee twee oplossings:

$x = +2 \quad \text{or} \quad x = -2$

Die vraag vra vir hulle som: $(+2) + (-2) = 0$ .

Waarom A verkeerd is: $2$ is wat jy kry as jy die negatiewe wortel heeltemal vergeet — die algemeenste enkele fout met hierdie vraagtipe. $(-2) \times (-2) = 4$ net so seker as $2 \times 2 = 4$ . Waarom D verkeerd is: $-2$ is die spieëlbeeld-fout — die negatiewe wortel alleen. Waarom C verkeerd is: $4$ eggo die regterkant van die vergelyking — daar is nooit ’n wortel geneem nie.

Onthou: $x^2 = k$ (met $k > 0$ ) het altyd twee oplossings, $x = \pm\sqrt{k}$ . Wanneer ’n vraag ook al "oplossings" (meervoud) van ’n gekwadreerde vergelyking sê, moet jou radar piep: albei wortels is ter sprake. Hierdie presiese vraag is berug daarvoor dat dit slordige lesers verslaan — en ten minste een KI-kletsbot.

Waarom die ander verkeerd is: A en D neem elk een wortel en stop — $x^2 = 4$ het twee. C vind albei maar tel $2 + 2$ , en ignoreer dat een van hulle negatief is. Twee wortels wat mekaar se negatiewes is, tel altyd tot nul op.

Q67Intermediêr

Onderwerp: Selfgedefinieerde bewerkings

Vir reële getalle $a$ en $b$ word die bewerking $\diamond$ gedefinieer deur

$a \diamond b = a^{2} - 3b$

Vind die waarde van $(2 \diamond 1) \diamond 3$ .

A) $10$

B) $-2$

C) $-8$

D) $8$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

Werk van binne na buite. Die reël sê: kwadreer die eerste getal, trek drie keer die tweede af.

Eers die binneste hakie: $2 \diamond 1 = 2^{2} - 3(1) = 4 - 3 = 1$

Voer daardie resultaat dan in as die nuwe eerste getal: $1 \diamond 3 = 1^{2} - 3(3) = 1 - 9 = -8$

Waarom D verkeerd is: $8$ kom daarvan om die minusteken in die finale aftrekking te laat val. Waarom A verkeerd is: $10$ kom van die berekening $2 \diamond (1 \diamond 3)$ — groepering van regs af in plaas daarvan om die hakies te respekteer. Waarom B verkeerd is: $-2$ laat die koëffisiënt in " $3b$ " val tydens die tweede toepassing: $1^2 - 3 = -2$ in plaas van $1^2 - 3(3) = -8$ .

Onthou: ’n "Uitgedinkte bewerking"-vraag is suiwer vervanging: die simbool $\diamond$ is net ’n kostuum. Plaas die eerste waarde waar die reël ook al $a$ wys, die tweede waar dit $b$ wys — en evalueer altyd eers die bewerking in die hakies. Hierdie vrae toets noukeurige lees, nie nuwe wiskunde nie.

Waarom die ander verkeerd is: A tel $3b$ by waar die definisie dit aftrek. B trek 3 af in plaas van $3b$ . D verloor die minusteken by die laaste stap: $1 - 9$ is $-8$ , nie $8$ nie.

Q68Gevorderd

Onderwerp: Som en produk van twee getalle — bou van $x^2 + y^2$

Twee getalle het ’n som van $m$ en ’n produk van $n$ . Watter uitdrukking gee die som van die vierkante van die twee getalle?

A) $m^{2} + 2n$

B) $m^{2} - 2n$

C) $m^{2} - n$

D) $m - 2n$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

Noem die getalle $x$ en $y$ , dus $x + y = m$ en $xy = n$ . Ons wil $x^2 + y^2$ hê.

Kwadreer die som — dit is die skuif wat die hele vraag oopsluit: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = m^2$

Die uitbreiding bevat presies wat ons wil hê ( $x^2 + y^2$ ) plus ’n indringer ( $2xy = 2n$ ). Sit die indringer uit:

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = m^{2} - 2n$

Waarom A verkeerd is: ’n tekenfout toe $2xy$ oorgeskuif is. Waarom C verkeerd is: vergeet dat die kruisterm in die uitbreiding $2xy$ is, nie $xy$ nie. Waarom D verkeerd is: $m - 2n$ laat $m$ ongekwadreer — die identiteit begin by $(x+y)^2 = m^2$ , en daardie vierkant moet in die antwoord oorleef.

Onthou: $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$ is een van die mees hergebruikte identiteite in die hele eksamenbank — dit skakel "som en produk"-inligting in een reël om na "som van vierkante". Dit is weer Vieta se wêreld (vergelyk Q65): simmetriese uitdrukkings in twee getalle kan altyd uit hulle som en produk herbou word.

Waarom die ander verkeerd is: A tel by waar die uitbreiding aftrek: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ , dus moet die $2ab$ AFGETREK word. C trek af maar laat die faktor 2 val. D kwadreer die som glad nie.

Q69Gevorderd

Onderwerp: Faktorstelling met twee voorwaardes (gelyktydige vergelykings)

Beide $(x+1)$ en $(x-2)$ is faktore van

$f(x) = 2x^{4} - kx^{2} + bx - 4$

Vind die waarde van $k$ .

A) $4$

B) $-6$

C) $2$

D) $-4$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Die faktorstelling, twee keer. Elke faktor gee een vergelyking, en twee onbekendes benodig presies twee.

Uit $(x+1)$ — vervang $x=-1$ : $2 - k - b - 4 = 0 \implies k + b = -2 \qquad (1)$

Uit $(x-2)$ — vervang $x=2$ : $32 - 4k + 2b - 4 = 0 \implies 2k - b = 14 \qquad (2)$

Tel hulle op sodat $b$ kanselleer: $\ 3k = 12 \implies k = 4$

Waarom die ander verkeerd is:

B ( $-6$ ) is die waarde van $b$ , nie $k$ nie.
D het $-k(-1)^2$ as $+k$ geëvalueer — ’n tekenfout in vergelyking (1).
C ( $k=2$ ) slaag nie die kontrole nie: dit dwing $b=-4$ af, en dan $2k-b = 8 \neq 14$ .

Onthou: Elke bekende faktor gee een gratis vergelyking via $f(c)=0$ . Twee onbekendes benodig twee faktore — tel dan op of trek af om die een uit te skakel wat jy nie wil hê nie.

Q70Gevorderd

Onderwerp: Eksponensiële vergelyking met twee verskillende priemgrondtalle

Die heelgetalle $x$ en $y$ bevredig

$2^{x+2} + 2^{x} = 5^{y+1} - 5^{y}$

Vind die waarde van $x - y$ .

A) $0$

B) $3$

C) $1$

D) $2$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

Logs sal hier nie help nie. Die truuk is om die gemeenskaplike mag aan elke kant uit te haal.

Links: $\ 2^{x+2} + 2^{x} = 2^{x}(4+1) = 5 \cdot 2^{x}$

Regs: $\ 5^{y+1} - 5^{y} = 5^{y}(5-1) = 4 \cdot 5^{y}$

Dus $5 \cdot 2^x = 4 \cdot 5^y$ , wat herrangskik tot: $2^{x-2} = 5^{y-1}$

Nou beslis die priemgrondtalle dit. ’n Mag van 2 kan slegs gelyk wees aan ’n mag van 5 as albei gelyk is aan 1 — dus is albei eksponente nul: $x = 2, \qquad y = 1, \qquad x - y = 1$

Kontroleer: $16+4 = 20$ en $25-5 = 20$ ✓

Waarom die ander verkeerd is:

D ( $2$ ) gee $x$ alleen — die aftrekking het nooit gebeur nie.
B ( $3$ ) gee $x+y$ , die verkeerde kombinasie.
A ( $0$ ) neem $x=y$ aan op grond van simmetrie, maar die konstantes 5 en 4 verskil, en dit is presies wat die eksponente verskuif.

Onthou: Gemengde priemgrondtalle? Faktoriseer elke kant in (getal) × (priemmag). Die enigste manier waarop $2^m = 5^n$ kan geld, is $m = n = 0$ — "die grondtalle is priem" is die sleutel, nie versiering nie.

Q71Gevorderd

Onderwerp: Die reststelling met twee voorwaardes (gelyktydige vergelykings)

Wanneer $f(x) = 2x^{4} - kx^{2} + bx$ deur $(x+1)$ gedeel word, is die res $-3$ . Wanneer $f(x)$ deur $(x-1)$ gedeel word, is die res $5$ . Vind die waarde van $k$ .

A) $-1$

B) $4$

C) $2$

D) $1$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

Dit gebruik die reststelling — die faktorstelling se nabye familielid:

Om $f(x)$ deur $(x-c)$ te deel, laat res $f(c)$ .

Die faktorstelling is net die geval waar daardie res nul is. Die twee feite word dus $f(-1) = -3$ en $f(1) = 5$ .

Vervang $x=-1$ : $\ 2 - k - b = -3 \qquad (1)$

Vervang $x=1$ : $\ 2 - k + b = 5 \qquad (2)$

Tel hulle op sodat $b$ kanselleer: $\ 4 - 2k = 2 \implies k = 1$

Waarom die ander verkeerd is:

B ( $4$ ) is die waarde van $b$ , nie $k$ nie.
A het $-k(-1)^2$ as $+k$ geëvalueer. Die vierkant maak $(-1)^2 = +1$ , dus bly die term $-k$ .
C ( $2$ ) is $2k$ — een deling te vroeg gestop.

Onthou: Nul is nie spesiaal nie. Vervang die wortel van die deler en stel die resultaat gelyk aan die genoemde res — elke delingsfeit word een vergelyking. Dieselfde geraamte as Q69, waar die reste toevallig nul was.

Gemengde Oefening — Hoofstuk 1

Hierdie 30 vrae put uit al nege onderwerpe in hierdie hoofstuk. Daar is geen afdelingetikette en geen moeilikheidsgraadmerkers nie — net soos die werklike NBT MAT. Werk deur hulle in een sitting, sonder om na die hoofstuk terug te gaan. Mik vir nie meer as 3 minute per vraag nie. Die memorandum volg ná al 30 vrae.

M1Basies

Faktoriseer volledig: $6x^2 - x - 2$

A) $(2x+1)(3x-2)$

B) $(2x-1)(3x+2)$

C) $(6x+1)(x-2)$

D) $(3x+1)(2x-2)$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Soek twee getalle wat vermenigvuldig tot $6 \times (-2) = -12$ en optel tot $-1$ : hulle is $3$ en $-4$ .

Stap 2 — Verdeel die middelterm: $6x^2 + 3x - 4x - 2$ .

Stap 3 — Groepeer: $3x(2x+1) - 2(2x+1) = (2x+1)(3x-2)$ .

Waarom die ander verkeerd is:

B tekens omgeruil — dit brei uit na $6x^2+x-2$ , met middelterm $+x$ .
C net die buitenste paar — dit brei uit na $6x^2-11x-2$ .
D nie volledig gefaktoriseer nie: $(2x-2)$ het steeds ’n gemene faktor van 2, en dit brei uit na $6x^2-4x-2$ .

Onthou: Met ’n leidende koëffisiënt moet jy die middelterm verdeel eerder as om hakies te raai. Brei jou antwoord altyd in jou kop weer uit om die middelterm te toets.

M2Intermediêr

Faktoriseer volledig: $x^3 - 4x^2 - x + 4$

A) $(x+1)(x-1)(x+4)$

B) $(x^2+4)(x-1)$

C) $(x-2)(x+2)(x-4)$

D) $(x-1)(x+1)(x-4)$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Groepeer in pare: $x^2(x-4) - 1(x-4)$ .

Stap 2 — Haal die gemene hakie uit: $(x-4)(x^2-1)$ .

Stap 3 — $x^2-1$ is ’n verskil van kwadrate: $(x-1)(x+1)(x-4)$ .

Waarom die ander verkeerd is:

A tekenfout op die laaste faktor — gee $(x+4)$ in plaas van $(x-4)$ .
B hanteer $x^2-1$ as $x^2+4$ ; dit laat ook ’n kwadratiese term ongefaktoriseer.
C faktoriseer $x^2-4$ eerder as $x^2-1$ .

Onthou: Vier terme sonder ’n gemene faktor is die teken om in pare te groepeer. Toets dan of enige hakie verder faktoriseer — $x^2-1$ doen byna altyd.

M3Basies

Los op vir $x$ : $\;3(2x-1) = 2(x+5) + 3$

A) $x = 2$

B) $x = 3$

C) $x = 4$

D) $x = 5$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Brei albei kante uit: $6x - 3 = 2x + 10 + 3$ .

Stap 2 — Vereenvoudig regs: $6x - 3 = 2x + 13$ .

Stap 3 — Bring saam: $4x = 16$ , dus $x = 4$ .

Waarom die ander verkeerd is:

A het die konstantes as $16-3$ saamgetel in plaas van $16+3$ — ’n teken is laat val toe $-3$ oorgedra is.
B het $2(x+5)$ as $2x+5$ uitgebrei en ’n 5 verloor.
D het 16 verkeerd deur 4 gedeel, of $3(2x-1)$ as $6x-1$ uitgebrei.

Onthou: Brei volledig uit voordat jy enigiets saambring. Die meeste foute in ’n lineêre vergelyking gebeur in die hakies, nie in die algebra daarna nie.

M4Intermediêr

Los op: $2x^2 + 3x - 9 = 0$

A) $x = 3$ of $x = -\dfrac{3}{2}$

B) $x = \dfrac{3}{2}$ of $x = -3$

C) $x = -3$ of $x = \dfrac{2}{3}$

D) $x = 3$ of $x = -\dfrac{9}{2}$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Faktoriseer: $2x^2+3x-9 = (2x-3)(x+3)$ .

Stap 2 — Stel elke faktor gelyk aan nul: $2x-3=0$ of $x+3=0$ .

Stap 3 — Dus $x = \dfrac{3}{2}$ of $x = -3$ .

Waarom die ander verkeerd is:

A die wortels van die regte faktore, maar met albei tekens omgeruil.
C lees die faktore as $(x+3)(3x-2)$ — die 2 en 3 is in die breukwortel omgeruil.
D het die konstante $-9$ deur 2 gedeel in plaas van te faktoriseer.

Onthou: Toets ’n kwadratiese vergelyking se wortels deur hulle op te tel: hulle moet $-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{3}{2}$ gee. Hier is $\dfrac{3}{2}+(-3) = -\dfrac{3}{2}$ ✓

M5Intermediêr

Gegee $p(x) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6$ , watter van die volgende is ’n faktor van $p(x)$ ?

A) $(x-2)$

B) $(x+3)$

C) $(x-3)$

D) $(x+4)$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Die faktorstelling: $(x-c)$ is ’n faktor presies wanneer $p(c) = 0$ .

Stap 2 — Toets $x=3$ : $2(27) - 3(9) - 11(3) + 6 = 54 - 27 - 33 + 6 = 0$ ✓

Stap 3 — Dus is $(x-3)$ ’n faktor.

Waarom die ander verkeerd is:

A $p(2) = 16-12-22+6 = -12 \neq 0$ .
B $p(-3) = -54-27+33+6 = -42 \neq 0$ .
D $p(-4) = -128-48+44+6 = -126 \neq 0$ .

Onthou: Vir $(x-c)$ vervang jy $x=c$ ; vir $(x+c)$ vervang jy $x=-c$ . Om daardie teken om te ruil is verreweg die algemeenste faktorstelling-fout.

M6Intermediêr

Los op: $x^2 + x - 12 \leq 0$

A) $x < -4$ of $x > 3$

B) $-4 < x < 3$

C) $x \leq -4$ of $x \geq 3$

D) $-4 \leq x \leq 3$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Faktoriseer: $(x+4)(x-3) \leq 0$ .

Stap 2 — Die kritieke waardes is $x=-4$ en $x=3$ .

Stap 3 — ’n Parabool wat opwaarts oopmaak lê TUSSEN sy wortels onder die as, dus $-4 \leq x \leq 3$ .

Waarom die ander verkeerd is:

A die wortels is reg maar die ongelykheid is omgekeer — dit is waar die parabool positief is.
B die tekens van albei wortels is omgeruil.
C streng ongelykhede, maar $\leq$ sluit die wortels self in.

Onthou: Skets die parabool. $\leq 0$ beteken op of onder die $x$ -as, wat vir ’n opwaartse parabool die interval tussen die wortels is, eindpunte ingesluit.

M7Basies

Vereenvoudig: $\dfrac{3^{n+2} - 3^n}{2 \cdot 3^n}$

A) $1$

B) $4$

C) $8$

D) $\dfrac{1}{4}$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Haal die gemene faktor $3^n$ bo uit: $3^n(3^2 - 1) = 3^n \cdot 8$ .

Stap 2 — Die breuk word $\dfrac{8 \cdot 3^n}{2 \cdot 3^n}$ .

Stap 3 — $3^n$ kanselleer: $\dfrac{8}{2} = 4$ .

Waarom die ander verkeerd is:

A het $3^n$ gekanselleer maar vergeet om die 8 deur die 2 te deel.
C hanteer $3^{n+2}$ as $3^n + 3^2$ eerder as $3^n \times 3^2$ .
D het die eksponente afgetrek in plaas van te faktoriseer.

Onthou: $3^{n+2}$ beteken $3^n \times 9$ , nooit $3^n + 9$ nie. Haal die kleinste mag uit en die veranderlike eksponent verdwyn.

M8Intermediêr

Los op vir $x$ : $\;\sqrt{2x+1} = x - 1$

A) slegs $x = 0$

B) $x = 0$ of $x = 4$

C) slegs $x = 4$

D) Geen reële oplossing nie

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Kwadreer albei kante: $2x + 1 = (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$ .

Stap 2 — Herrangskik: $x^2 - 4x = 0$ , dus $x(x-4)=0$ en $x = 0$ of $x = 4$ .

Toets albei. $x=0$ : LK $=\sqrt{1}=1$ , RK $=-1$ . Dit misluk. $x=4$ : LK $=\sqrt{9}=3$ , RK $=3$ ✓

Stap 3 — Slegs $x = 4$ .

Waarom die ander verkeerd is:

A die vreemde wortel — kwadrering het dit ingebring en die toets verwerp dit.
B hou albei wortels; $x=0$ voldoen nie aan die oorspronklike vergelyking nie.
D rekenfout met die uitbreiding van $(x-1)^2$ .

Onthou: Om albei kante te kwadreer kan wortels skep wat die oorspronklike vergelyking nooit gehad het nie. Ná kwadrering is jy eers klaar wanneer jy elke wortel teruggestel het.

M9Basies

Evalueer: $\log_5 125$

A) $2$

B) $5$

C) $25$

D) $3$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — $\log_5 125$ vra: 5 tot watter mag gee 125?

Stap 2 — $5^3 = 125$ .

Stap 3 — Dus is die antwoord 3.

Waarom die ander verkeerd is:

A gelees as $125 \div 5$ en weer gedeel — nie wat ’n logaritme doen nie.
B $5^2 = 25$ , nie 125 nie.
C $5^4 = 625$ , te groot.

Onthou: Lees elke logaritme as ’n vraag oor ’n mag: $\log_b a = c$ beteken $b^c = a$ . Sê dit hardop so en die meeste log-vrae word blote rekenkunde.

M10Intermediêr

Los op: $\log_2(x+3) + \log_2(x-1) = 5$

A) $x = 5$ of $x = -7$

B) slegs $x = -7$

C) slegs $x = 5$

D) $x = 7$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Kombineer die logaritmes: $\log_2[(x+3)(x-1)] = 5$ .

Stap 2 — Maak die log ongedaan: $(x+3)(x-1) = 2^5 = 32$ .

Stap 3 — Brei uit: $x^2 + 2x - 35 = 0$ , dus $(x+7)(x-5)=0$ en $x = 5$ of $x = -7$ .

Toets die definisieversameling. $x=-7$ maak $x-1$ negatief, en jy kan nie die log van ’n negatiewe getal neem nie. Slegs $x = 5$ .

Waarom die ander verkeerd is:

A die verwerpte wortel — dit los die kwadratiese vergelyking op maar nie die oorspronklike een nie.
B hou albei wortels sonder om die definisieversameling te toets.
D het die logaritmes se argumente opgetel in plaas van vermenigvuldig.

Onthou: $\log A + \log B = \log(AB)$ — vermenigvuldig, nooit optel nie. En elke log-vergelyking het aan die einde ’n definisietoets nodig: elke argument moet streng positief wees.

M11Basies

Die 5de term van ’n rekenkundige ry is $17$ en die konstante verskil is $3$ . Wat is die eerste term?

A) $a = 5$

B) $a = 2$

C) $a = 8$

D) $a = 3$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Die $n$ de term van ’n rekenkundige ry is $T_n = a + (n-1)d$ .

Stap 2 — Hier is $T_5 = a + 4d = 17$ en $d = 3$ .

Stap 3 — Dus $a + 12 = 17$ , wat $a = 5$ gee.

Waarom die ander verkeerd is:

B het $a + 5d$ gebruik — dit is $T_6$ , nie $T_5$ nie.
C het die konstante verskil bygetel in plaas van afgetrek.
D het $a = 17 + 12$ opgelos.

Onthou: $T_5$ gebruik $4d$ , nie $5d$ nie: jy neem vier stappe om van die 1ste term by die 5de te kom. ’n Fout van een hier is die algemeenste fout met rekenkundige rye.

M12Intermediêr

Die eerste drie terme van ’n meetkundige ry is $x+3$ , $x$ en $x-2$ . Vind die waarde van $x$ .

A) $x = 4$

B) $x = 6$

C) $x = 8$

D) $x = 3$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — In ’n meetkundige ry is opeenvolgende verhoudings gelyk: $\dfrac{x}{x+3} = \dfrac{x-2}{x}$ .

Stap 2 — Kruisvermenigvuldig: $x^2 = (x+3)(x-2) = x^2 + x - 6$ .

Stap 3 — Die $x^2$ kanselleer: $0 = x - 6$ , dus $x = 6$ .

Waarom die ander verkeerd is:

A hanteer die ry as rekenkundig — gelyke verskille eerder as gelyke verhoudings.
C het kruisvermenigvuldig maar $(x+3)(x-2)$ as $x^2-6$ uitgebrei.
D tekenfout op die konstante term.

Onthou: Meetkundig beteken gelyke VERHOUDINGS. Om $\dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{T_3}{T_2}$ te stel werk vir enige drie opeenvolgende terme en maak die vraag algebra.

M13Intermediêr

R8 000 word teen 6% per jaar belê, maandeliks saamgestel. Watter uitdrukking gee die waarde van die belegging ná 2 jaar?

A) $8000(1.06)^{24}$

B) $8000(1.005)^{2}$

C) $8000(1.06)^{2}$

D) $8000(1.005)^{24}$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Maandeliks saamgestel beteken die koers word deur 12 gedeel en die aantal periodes met 12 vermenigvuldig.

Stap 2 — Maandelikse koers: $\dfrac{0.06}{12} = 0.005$ , dus is die faktor $1.005$ .

Stap 3 — Periodes: $2 \times 12 = 24$ .

Stap 4 — $A = 8000(1.005)^{24}$ .

Waarom die ander verkeerd is:

A gebruik die jaarlikse koers met die maandelikse aantal periodes — 12 keer per jaar teen 6% elke maand.
B het die koers gedeel maar vergeet om die periodes te vermenigvuldig.
C ignoreer die maandelikse saamstelling heeltemal.

Onthou: Deel die koers en vermenigvuldig die periodes, altyd saam. Om die een sonder die ander te verander is die klassieke saamgestelde-rente-fout.

M14Gevorderd

Die wortels van $3x^2 - 7x + k = 0$ is $\alpha$ en $\beta$ . As $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} = \dfrac{7}{4}$ , vind $k$ .

A) $k = 3$

B) $k = 7$

C) $k = 2$

D) $k = 4$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Vir $3x^2-7x+k=0$ : $\alpha+\beta = \dfrac{7}{3}$ en $\alpha\beta = \dfrac{k}{3}$ .

Stap 2 — $\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta} = \dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} = \dfrac{7/3}{k/3} = \dfrac{7}{k}$ .

Stap 3 — Stel $\dfrac{7}{k} = \dfrac{7}{4}$ , dus $k = 4$ .

Waarom die ander verkeerd is:

A gebruik $\alpha\beta = k$ en vergeet om deur die leidende koëffisiënt 3 te deel.
B lees $k$ van die middelste koëffisiënt af.
C keer die som-oor-produk-verband om.

Onthou: $\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}$ is altyd $\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$ — som oor produk. Leer daardie een herrangskikking en hierdie hele familie vrae val inmekaar.

M15Intermediêr

Gegee dat $(x + 3)$ ’n faktor van $p(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + a$ is, vind die waarde van $a$ .

A) $a = -6$

B) $a = 6$

C) $a = -30$

D) $a = 0$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — $(x+3)$ is ’n faktor, dus volgens die faktorstelling is $p(-3) = 0$ .

Stap 2 — $p(-3) = (-27) + 2(9) - 5(-3) + a = -27 + 18 + 15 + a = 6 + a$ .

Stap 3 — Dus $6 + a = 0$ en $a = -6$ .

Waarom die ander verkeerd is:

B het $x = 3$ in plaas van $x = -3$ vervang.
C tekenfout by $-5(-3)$ , hanteer as $-15$ .
D het $a = 6$ opgelos sonder om dit oor te dra.

Onthou: $(x+3)$ ’n faktor beteken vervang $x = -3$ . Skryf die vervanging neer voordat jy uitreken — die teken is waar dit skeefloop.

M16Intermediêr

Druk $2x^2 - 8x + 3$ uit in die vorm $a(x - p)^2 + q$ .

A) $2(x-4)^2 - 29$

B) $2(x-2)^2 - 5$

C) $(x-2)^2 - 5$

D) $2(x-2)^2 + 3$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Haal die 2 uit die $x$ -terme: $2(x^2 - 4x) + 3$ .

Stap 2 — Voltooi die vierkant binne-in: $x^2-4x = (x-2)^2 - 4$ .

Stap 3 — Dus $2[(x-2)^2 - 4] + 3 = 2(x-2)^2 - 8 + 3 = 2(x-2)^2 - 5$ .

Waarom die ander verkeerd is:

A vergeet om die $-4$ met die 2 buite te vermenigvuldig.
C halveer $-8$ in plaas van $-4$ toe die vierkant voltooi is.
D los die 2 binne die hakie.

Onthou: Die getal wat jy binne die hakie aftrek word met die koëffisiënt buite vermenigvuldig. Brei jou antwoord weer uit om te sien of jy by die oorspronklike uitkom.

M17Intermediêr

Evalueer: $\displaystyle\sum_{k=1}^{5}(3k - 1)$

A) $35$

B) $45$

C) $40$

D) $30$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Skryf die terme neer: $k=1,\dots,5$ gee $2, 5, 8, 11, 14$ .

Stap 2 — Tel hulle op: $2+5+8+11+14 = 40$ .

Stap 3 — (Of: $3\sum k - \sum 1 = 3(15) - 5 = 40$ .)

Waarom die ander verkeerd is:

A het $3k$ opgetel en vergeet om die vyf $-1$ 'e af te trek.
B trek 1 een keer af eerder as een keer per term.
D gebruik $k=0$ tot $5$ en tel ’n ekstra term by.

Onthou: $\sum(3k-1) = 3\sum k - \sum 1$ , en $\sum 1$ oor vyf terme is 5, nie 1 nie. Vir vyf terme is dit vinniger om hulle uit te skryf as om ’n formule te gebruik.

M18Intermediêr

’n Motor word vir R120 000 gekoop en verminder in waarde teen 15% per jaar volgens die verminderde-saldo-metode. Watter uitdrukking gee sy waarde ná 4 jaar?

A) $120\,000(0.85)^4$

B) $120\,000 - 4(0.15)(120\,000)$

C) $120\,000(1.15)^4$

D) $120\,000 \times (0.85) \times 4$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Verminderende saldo beteken jy behou elke jaar $100\% - 15\% = 85\%$ van die waarde.

Stap 2 — Dit is ’n faktor van $0.85$ per jaar, vier keer toegepas.

Stap 3 — $V = 120\,000(0.85)^4$ .

Waarom die ander verkeerd is:

B reguitlyn-waardevermindering — dieselfde randbedrag elke jaar, wat nie is wat verminderende saldo beteken nie.
C gebruik ’n groeifaktor; die motor verloor waarde, wen dit nie.
D pas een jaar se waardevermindering toe en vermenigvuldig dan met 4.

Onthou: Verminderende saldo is ’n MAG, reguitlyn is ’n VEELVOUD. Waardevermindering teen $r$ gee ’n faktor van $(1-r)$ tot die mag van die aantal jare.

M19Intermediêr

Faktoriseer: $8x^3 - 27$

A) $(2x-3)(4x^2 - 6x + 9)$

B) $(2x-3)(4x^2 + 6x + 9)$

C) $(2x+3)(4x^2 - 6x + 9)$

D) $(2x-3)(2x^2 + 6x + 9)$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Dit is ’n verskil van kubusse: $(2x)^3 - 3^3$ .

Stap 2 — Die identiteit is $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ met $a=2x$ , $b=3$ .

Stap 3 — $(2x-3)(4x^2 + 6x + 9)$ .

Waarom die ander verkeerd is:

A gebruik die tekens van die SOM van kubusse.
C die middelterm van die drieterm het die verkeerde teken — daardie patroon hoort by $a^3+b^3$ .
D kwadreer die hakie in plaas van om die identiteit te gebruik.

Onthou: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ . Die hakie pas by die oorspronklike teken; die drieterm se middelterm is altyd die TEENOORGESTELDE teken.

M20Gevorderd

As $x = \sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$ , watter van die volgende is gelyk aan $x$ ?

A) $\sqrt{3} + \sqrt{2}$

B) $\sqrt{5} + \sqrt{6}$

C) $2 + \sqrt{3}$

D) $1 + \sqrt{6}$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Soek $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$ .

Stap 2 — Pas by $5 + 2\sqrt{6}$ : ons benodig $a+b = 5$ en $ab = 6$ , dus $a=3$ , $b=2$ .

Stap 3 — Dus is $5+2\sqrt6 = (\sqrt3+\sqrt2)^2$ en die vierkantswortel is $\sqrt3+\sqrt2$ .

Waarom die ander verkeerd is:

B kwadreer na $11 + 2\sqrt{30}$ , nie $5 + 2\sqrt6$ nie.
C kwadreer na $7 + 4\sqrt3$ .
D kwadreer na $7 + 2\sqrt6$ — regte wortelvorm, verkeerde konstante.

Onthou: Om $\sqrt{p + 2\sqrt{q}}$ uit te pak, soek twee getalle wat tot $p$ optel en tot $q$ vermenigvuldig. Kwadreer dan jou antwoord om te bevestig.

M21Intermediêr

Los op: $2^{x+1} = 5$ . Gee die presiese antwoord.

A) $x = \dfrac{\log 5}{\log 2}$

B) $x = \dfrac{\log 5}{\log 2} + 1$

C) $x = \dfrac{\log 5}{\log 2} - 1$

D) $x = \log 5 - \log 2$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Neem logaritmes van albei kante: $(x+1)\log 2 = \log 5$ .

Stap 2 — Dus $x + 1 = \dfrac{\log 5}{\log 2}$ .

Stap 3 — Daarom is $x = \dfrac{\log 5}{\log 2} - 1$ .

Waarom die ander verkeerd is:

A het $2^x = 5$ opgelos — die $+1$ in die eksponent is vergeet.
B het die $+1$ na die verkeerde kant geskuif. Uit $x + 1 = \dfrac{\log 5}{\log 2}$ moet die 1 afgetrek word, nie bygetel nie.
D $\dfrac{\log 5}{\log 2}$ is ’n kwosiënt, nie ’n verskil nie; $\log 5 - \log 2 = \log 2.5$ .

Onthou: $\dfrac{\log a}{\log b}$ en $\log a - \log b$ is heeltemal verskillend. Die basisveranderingsreël gebruik deling.

M22Intermediêr

Die som van die eerste $n$ terme van ’n rekenkundige reeks is $S_n = 2n^2 + 3n$ . Wat is die 5de term van die reeks?

A) $23$

B) $17$

C) $19$

D) $21$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — $T_n = S_n - S_{n-1}$ .

Stap 2 — $S_5 = 2(25)+3(5) = 65$ en $S_4 = 2(16)+3(4) = 44$ .

Stap 3 — $T_5 = 65 - 44 = 21$ .

Waarom die ander verkeerd is:

A het $n=5$ in $S_n$ vervang — dit is die SOM van vyf terme, nie die 5de term nie.
B gebruik $S_5 - S_3$ .
C differensieer die formule in plaas van om die verskil te neem.

Onthou: ’n Term is die verskil van twee opeenvolgende somme: $T_n = S_n - S_{n-1}$ . $S_5$ op sy eie is die totaal van die eerste vyf terme.

M23Basies

Los op: $2(3 - x) < 4x - 10$

A) $x > \dfrac{8}{3}$

B) $x < \dfrac{8}{3}$

C) $x > -\dfrac{8}{3}$

D) $x < 8$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Brei uit: $6 - 2x < 4x - 10$ .

Stap 2 — Bring saam: $6 + 10 < 4x + 2x$ , dus $16 < 6x$ .

Stap 3 — Deel deur 6: $x > \dfrac{8}{3}$ .

Waarom die ander verkeerd is:

B ongelykheid omgekeer — om deur ’n POSITIEWE 6 te deel draai dit nie om nie.
C het $\dfrac{16}{6}$ nie vereenvoudig nie.
D het $2(3-x)$ as $6-x$ uitgebrei.

Onthou: Slegs vermenigvuldiging of deling deur ’n NEGATIEWE getal draai ’n ongelykheid om. Hier deel jy deur $+6$ , dus bly die teken soos dit is.

M24Intermediêr

Vir die meetkundige reeks $5 + 5x + 5x^2 + \cdots$ om ’n eindige som tot oneindig te hê, watter voorwaarde op $x$ word vereis?

A) $x < 1$

B) $-1 < x < 1$

C) $|x| > 1$

D) $0 < x < 1$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — ’n Meetkundige reeks konvergeer presies wanneer $|r| < 1$ .

Stap 2 — Hier is $r = x$ .

Stap 3 — Dus is die voorwaarde $-1 < x < 1$ .

Waarom die ander verkeerd is:

A laat $x \leq -1$ toe, waar die reeks divergeer.
C die voorwaarde vir DIVERGENSIE.
D sluit die geldige negatiewe verhoudings en $x=0$ uit.

Onthou: $|r|<1$ beteken $-1 < r < 1$ — negatiewe gemene verhoudings konvergeer ook, hulle alterneer net. Moenie stilweg aanvaar $r$ is positief nie.

M25Intermediêr

Los op: $4^x - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$

A) $x = 1$ of $x = 4$

B) $x = 2$ of $x = 8$

C) $x = 1$ of $x = 2$

D) $x = 2$ of $x = 4$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Let op dat $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ . Stel $y = 2^x$ .

Stap 2 — Die vergelyking word $y^2 - 6y + 8 = 0$ , dus $(y-2)(y-4)=0$ .

Stap 3 — $y = 2 \Rightarrow 2^x = 2 \Rightarrow x=1$ ; $y = 4 \Rightarrow 2^x = 4 \Rightarrow x=2$ .

Waarom die ander verkeerd is:

A het by die $y$ -waardes gestop en hulle as $x$ gerapporteer.
B het net een wortel gevind.
D hanteer $4^x$ as $4 \cdot x$ .

Onthou: $4^x = (2^x)^2$ maak dit ’n kwadratiese vergelyking. Ná jy vir $y$ opgelos het, moet jy nog steeds $2^x = y$ oplos — die $y$ -waardes is nie die antwoord nie.

M26Intermediêr

$(x - 2)$ is ’n faktor van $p(x) = x^3 + kx^2 - x - 2$ . Vind $k$ .

A) $k = -1$

B) $k = 1$

C) $k = 2$

D) $k = -2$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — $(x-2)$ is ’n faktor, dus $p(2) = 0$ .

Stap 2 — $p(2) = 8 + 4k - 2 - 2 = 4k + 4$ .

Stap 3 — $4k + 4 = 0$ gee $k = -1$ .

Waarom die ander verkeerd is:

B het $x=-2$ vervang.
C het die konstante $-2$ laat val met die uitreken.
D het $4k = 4$ opgelos.

Onthou: $(x-2)$ ’n faktor beteken vervang $x = +2$ . Reken elke term uit, die konstante ingesluit, voordat jy oplos.

M27Intermediêr

Vereenvoudig: $\log_4 9 \cdot \log_3 8$

A) $6$

B) $2$

C) $\dfrac{3}{2}$

D) $3$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Verander na ’n gemeenskaplike basis: $\log_4 9 = \dfrac{\log 9}{\log 4}$ en $\log_3 8 = \dfrac{\log 8}{\log 3}$ .

Stap 2 — Skryf in terme van $\log 2$ en $\log 3$ : $\dfrac{2\log 3}{2\log 2} \cdot \dfrac{3\log 2}{\log 3}$ .

Stap 3 — Alles kanselleer behalwe 3.

Waarom die ander verkeerd is:

A vermenigvuldig die 2 en 3 uit die magte sonder om te kanselleer.
B kanselleer een faktor te veel.
C hou die 2 in die noemer van die eerste breuk.

Onthou: Skryf eers 9 as $3^2$ , 8 as $2^3$ en 4 as $2^2$ . Produkte van logaritmes soos hierdie val byna altyd tot ’n heelgetal inmekaar.

M28Intermediêr

In ’n kwadratiese ry is $T_1 = 3$ , $T_2 = 10$ , en die tweede verskil is $6$ . Vind $T_3$ .

A) $21$

B) $23$

C) $19$

D) $25$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Die eerste verskil is $T_2 - T_1 = 10 - 3 = 7$ .

Stap 2 — Die tweede verskil is konstant op 6, dus is die volgende eerste verskil $7 + 6 = 13$ .

Stap 3 — $T_3 = T_2 + 13 = 10 + 13 = 23$ .

Waarom die ander verkeerd is:

A het die tweede verskil direk by $T_2$ getel.
C hou die eerste verskil op 7.
D tel 6 twee keer by.

Onthou: In ’n kwadratiese ry is die TWEEDE verskil konstant. Bou die volgende eerste verskil daaruit en tel dit dan by die vorige term.

M29Gevorderd

R2 000 word teen 10% per jaar belê, jaarliks saamgestel. Ná hoeveel volledige jare oorskry die belegging vir die eerste keer R3 000?

A) $n = 4$

B) $n = 6$

C) $n = 5$

D) $n = 7$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Die waarde ná $n$ jaar is $2000(1.1)^n$ ; ons benodig dit bo 3000.

Stap 2 — $1.1^n > 1.5$ .

Stap 3 — $1.1^4 = 1.4641$ (steeds onder) en $1.1^5 = 1.6105$ (bo).

Stap 4 — Dit oorskry dus R3 000 die eerste keer ná 5 volle jare.

Waarom die ander verkeerd is:

A $1.1^4 = 1.4641$ , wat R2 928 gee — steeds kort van R3 000.
B skiet verby; dit het reeds by $n=5$ 3000 oorskry.
D nog verder verby die antwoord.

Onthou: Vir 'volle jare' toets heelgetalle rondom jou skatting. Rond OP: die teiken word eers oorskry wanneer die jaar voltooi is.

M30Gevorderd

Die wortels van $x^2 - 4x + 1 = 0$ is $\alpha$ en $\beta$ . Vind $\alpha^3 + \beta^3$ .

A) $52$

B) $44$

C) $60$

D) $48$

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Uit $x^2-4x+1=0$ : $\alpha+\beta = 4$ en $\alpha\beta = 1$ .

Stap 2 — Gebruik $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta)$ .

Stap 3 — $= 4^3 - 3(1)(4) = 64 - 12 = 52$ .

Waarom die ander verkeerd is:

B gebruik $(\alpha+\beta)^3$ alleen en vergeet die korreksieterm.
C trek $3\alpha\beta$ af sonder die faktor $(\alpha+\beta)$ .
D kubeer die produk in plaas van die som.

Onthou: $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta)$ . Die moeite werd om te memoriseer — dit maak ’n moeilik lykende vraag twee vervangings.

Hoofstuk 1: Algebraïese Prosesse

Afdeling 1.1 — Faktorisering

Afdeling 1.2 — Lineêre en Kwadratiese Vergelykings

Afdeling 1.3 — Die Faktorstelling

Afdeling 1.4 — Ongelykhede

Afdeling 1.5 — Eksponente en Wortelvorme

Afdeling 1.6 — Logaritmes

Afdeling 1.7 — Rye en Reekse

Afdeling 1.8 — Finansiële Wiskunde

Afdeling 1.9 — Algebraïese Insig, Vieta se Formules en Manipulasietruuks

Eksamenbank-Ekstras — Vraagtipes wat in Onlangse Vraestelle Bevestig Is

Gemengde Oefening — Hoofstuk 1