Hoofstuk 2 — Getalbegrip

Antwoord: D

Verduideliking

Irrasionaal beteken: kan nie as ’n breuk $\frac{p}{q}$ geskryf word nie. Toets elkeen.

• A $\sqrt{9} = 3 = \frac31$ — rasionaal.
• B $\frac{22}{7}$ is reeds ’n breuk — rasionaal. (Dit is naby $\pi$, maar dit is nie $\pi$ nie.)
• C $0.\overline{3} = \frac13$ — ’n repeterende desimaal is altyd rasionaal.
• D $\sqrt{5}$ — 5 is nie ’n volkome vierkant nie, en $\sqrt5$ kan nie as enige breuk geskryf word nie. Irrasionaal ✓

Onthou: $\sqrt{n}$ is slegs rasionaal wanneer $n$ ’n volkome vierkant is. En $\frac{22}{7}$ is ’n benadering van $\pi$, nie $\pi$ self nie — hoe dan ook, dit is rasionaal.

---

Antwoord: B

Verduideliking

$-7$ is ’n heelgetal, en $-7 = \frac{-7}{1}$ maak dit ook rasionaal. Albei dele van B is waar.

Waarom die ander verkeerd is:

• A — natuurlike getalle is $\{1,2,3,\ldots\}$, almal positief. $-7$ is nie een nie.
• C — kry "heelgetal" reg maar sê "nie rasionaal nie". Elke heelgetal is rasionaal: skryf dit oor 1.
• D — telgetalle is $\{0,1,2,\ldots\}$, dus is $-7$ nie ’n telgetal nie; en dit is ’n heelgetal. Twee keer verkeerd.

Onthou: Elke heelgetal is outomaties rasionaal. Die geneste struktuur $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ beteken dat enigiets in ’n kleiner versameling ook in elke groter een is.

---

Antwoord: A

Verduideliking

In KABV is $\mathbb{N} = \{1,2,3,\ldots\}$ — nul is nie ’n natuurlike getal nie.

$\mathbb{Z} = \{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}$ lys nul uitdruklik ✓

Waarom die ander verkeerd is:

• B — $0 \notin \mathbb{N}$ onder KABV.
• C — $0 = \frac01$, dus is nul rasionaal, nie irrasionaal nie.
• D — nul is beide ’n heelgetal en rasionaal.

Onthou: Nul is binne $\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Q}$, maar buite $\mathbb{N}$. Sommige lande tel 0 as natuurlik; die NBT volg KABV, wat dit nie doen nie.

---

Antwoord: D

Verduideliking

Vereenvoudig elkeen voordat jy dit beoordeel.

• A $\pi = 3.14159\ldots$ — dit herhaal nooit nie en eindig nooit nie. Irrasionaal.
• B $\sqrt2 = 1.41421\ldots$ — 2 is nie ’n volkome vierkant nie. Irrasionaal.
• C $e = 2.71828\ldots$ — irrasionaal.
• D $\sqrt[3]{8} = 2$, aangesien $2^3=8$. Net die heelgetal 2 — rasionaal ✓

Onthou: ’n Wortel lyk net irrasionaal. $\sqrt[3]{8}$ is eintlik 2. Vereenvoudig altyd eers — enige wortel van ’n volkome mag is rasionaal.

---

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Vereenvoudig. $\sqrt{12} = \sqrt{4\times3} = 2\sqrt3$

Stap 2 — Tel op. $\sqrt3 + 2\sqrt3 = 3\sqrt3$

Stap 3 — Klassifiseer. $\sqrt3$ is irrasionaal, en ’n nie-nul rasionale getal maal ’n irrasionale getal is steeds irrasionaal. Dus is $3\sqrt3$ irrasionaal.

Waarom die ander verkeerd is: A, B en C is geneste kategorieë (elke natuurlike getal is ’n heelgetal, elke heelgetal is rasionaal), dus staan of val hulle almal op een vraag — kan $3\sqrt3$ as ’n breuk geskryf word? Dit kan nie, dus misluk al drie saam. Hulle is verleidelik wanneer die netjiese koëffisiënte die antwoord laat voel asof dit tot ’n heelgetal moet opruim.

Onthou: Vereenvoudig voordat jy klassifiseer. Twee irrasionale getalle kan tot ’n rasionale getal optel — maar net as hulle mekaar uitkanselleer, soos $\sqrt3 + (-\sqrt3) = 0$. Hier versterk hulle mekaar eerder.

---

Afdeling 2 — Ordening en Vergelyking van Getalle

Wanneer jy getalle in verskillende vorme vergelyk (breuke, desimale, wortelvorme), skakel alles na dieselfde vorm om — gewoonlik desimale — of kwadreer om positiewe wortelvorme sonder ’n sakrekenaar te vergelyk.

---

Antwoord: A

Verduideliking

Skakel alles na desimale om, en orden dan.

$$0.6 = 0.600 \qquad \frac{5}{8} = 0.625 \qquad \frac{2}{3} = 0.6\overline{6} \approx 0.667$$

$$0.600 < 0.625 < 0.667 \quad\Rightarrow\quad 0.6 < \frac{5}{8} < \frac{2}{3}$$

Waarom die ander verkeerd is: elke verkeerde volgorde beliggaam ’n bepaalde gewoonte om breuke op hulle voorkoms te beoordeel —

• D verwissel die twee breuke: die "8 is groter as 3, dus klop $\frac{5}{8}$ vir $\frac{2}{3}$"-lokval. Groter noemer = kleiner stukke.
• B plaas $\frac{2}{3}$ eerste — die fout om ’n breuk as sy syfers te lees ("twee punt drie-agtig") in plaas daarvan om te deel.
• C parkeer die gewone desimaal 0.6 heel bo, asof ’n skoon desimaal "morsige" breuke moet uitstof. Net omskakeling besleg die rangorde.

Onthou: Skakel alles na desimale om (tot drie plekke indien nodig) en orden dan. Elke verkeerde opsie hier kom daarvan dat rangorde op voorkoms in plaas van op waarde bepaal word.

---

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Kwadreer albei (albei is positief, dus hou kwadrering die ongelykheid die regte kant toe).

$$(\sqrt{5})^2 = 5 \qquad (\sqrt{3}+0.5)^2 = 3 + \sqrt{3} + 0.25 = 3.25 + \sqrt{3}$$

Stap 2 — Vergelyk 5 met $3.25+\sqrt3$. Dit beteken om $\sqrt3$ met $1.75$ te vergelyk. Kwadreer weer: $3$ teenoor $3.0625$.

Aangesien $3 < 3.0625$, kry ons $\sqrt3 < 1.75$, dus $3.25+\sqrt3 < 5$, en daarom is $\sqrt5$ groter.

Waarom die ander verkeerd is: die gaping hier is vlymdun — $2.232$ teenoor $2.236$ —

• B is wat skatting gee: rond $\sqrt3$ op na 1.75 en die ongelykheid slaan om. ’n Gaping van 0.004 is veel kleiner as die afrondingsfout.
• C ("gelyk") is dieselfde storie tot 2 desimale plekke.
• D ("onmoontlik sonder ’n sakrekenaar") — die kwadreringsargument hierbo is die sakrekenaarvrye bewys.

Onthou: Kwadreer albei kante om wortelvorme te verwyder (geldig wanneer albei positief is). Wanneer waardes so na aan mekaar is, kan benadering nie vertrou word nie, maar presiese vergelyking wel.

---

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Skakel na desimale om.

$1.4 = 1.400$

$\dfrac{3}{2} = 1.500$

$\sqrt{2} \approx 1.4142\ldots$

Stap 2 — Vergelyk.

$$1.400 < 1.414\ldots < 1.500 \implies 1.4 < \sqrt{2} < \frac{3}{2}$$

Waarom die ander verkeerd is:

• B plaas $\sqrt{2}$ onder 1.4 — die verkeerd onthoude maatstaf ($\sqrt{2}$ "omtrent 1.2"). In werklikheid $1.4^2 = 1.96 < 2$, dus $\sqrt{2} > 1.4$, gewaarborg.
• C plaas $\sqrt{2}$ bo $\frac{3}{2}$ — gewoonlik word $\sqrt{2}$ met $\sqrt{3} \approx 1.732$ verwar. Kontroleer: $1.5^2 = 2.25 > 2$, dus $\sqrt{2} < 1.5$.
• D is intern onmoontlik: dit plaas $\frac{3}{2} = 1.5$ onder 1.4. Een oogopslag na die twee rasionale waardes maak dit dood voordat $\sqrt{2}$ eers ter sprake kom.

Onthou: $\sqrt{2} \approx 1.414$ is ’n maatstaf wat die moeite werd is om te memoriseer — en wanneer die geheue wankel, pen kwadrering van die grense ($1.4^2 = 1.96$, $1.5^2 = 2.25$) $\sqrt{2}$ met sekerheid tussen hulle vas.

---

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Begrens $\sqrt{7}$ en $\sqrt{11}$ met volkome vierkante.

$7 > (2.6)^2 = 6.76$, dus $\sqrt{7} > 2.6$.

$3 < \sqrt{11} < 4$ aangesien $9 < 11 < 16$.

Stap 2 — Toets opsie D: $3$.

Is $\sqrt{7} < 3 < \sqrt{11}$? Kwadrering: $7 < 9 < 11$. Ja — $\sqrt{7} < \sqrt{9} = 3 < \sqrt{11}$. ✓

Stap 3 — Kontroleer dat die ander buite die interval lê.

A) $\dfrac{5}{2} = 2.5 < 2.6 < \sqrt{7}$ — te klein.

B) $\dfrac{10}{3} \approx 3.33$ en $(10/3)^2 = 100/9 \approx 11.11 > 11$, wat $\frac{10}{3} > \sqrt{11}$ bevestig — te groot.

C) $3\sqrt{2} = \sqrt{18} > \sqrt{11}$ — te groot.

Onthou: Om te kontroleer of ’n waarde $v$ aan $\sqrt{a} < v < \sqrt{b}$ voldoen, kwadreer net alles: kontroleer $a < v^2 < b$. Geen sakrekenaar nodig nie.

---

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Herskryf albei met dieselfde eksponent.

$$2^{30} = (2^3)^{10} = 8^{10}$$

$$3^{20} = (3^2)^{10} = 9^{10}$$

Stap 2 — Vergelyk.

Aangesien $8 < 9$ en die eksponent 10 dieselfde is (en positief):

$$8^{10} < 9^{10} \implies 2^{30} < 3^{20}$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A is die "groter eksponent wen"-instink — 30 klop tog seker 20? Maar die grondtalle verskil, en die krag van die grondtal kan die eksponenttelling oortref: herskryf met ’n gemeenskaplike eksponent, en die stryd is $8^{10}$ teenoor $9^{10}$ — en 9 wen.
• B ("gelyk") verwar ooreenstemmende eksponente met ooreenstemmende waardes: albei kante word iets$^{10}$, maar die "iets" is 8 en 9.
• C is die oorgee-opsie — die faktoriseringstruuk hierbo is presies die sakrekenaarvrye metode wat die NBT van jou verwag om te vind.

Onthou: Om $a^m$ met $b^n$ te vergelyk, forseer ’n gemeenskaplike eksponent met $\gcd(m,n)$: $2^{30} = (2^3)^{10}$, $3^{20} = (3^2)^{10}$. Die vergelyking val terug op die grondtalle, 8 teenoor 9.

---

Antwoord: C

Verduideliking

Kwadreer elkeen (al drie is positief):

$$\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 = 1.25 \qquad \left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2 = 1.5 \qquad \left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^2 = \frac{4+2\sqrt3}{4} = 1 + \frac{\sqrt3}{2} \approx 1.866$$

Orden hulle: $1.25 < 1.5 < 1.866$, dus $$\frac{\sqrt{5}}{2} < \sqrt{\frac{3}{2}} < \frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A en B laat albei die kruisterm val wanneer hulle kwadreer: $(\sqrt3+1)^2$ word as $3+1=4$ geneem, wat die derde uitdrukking na 1 laat kwadreer en dit die kleinste laat lyk. Die volledige uitbreiding is $4+2\sqrt3$.
• D vergelyk die rou getalle onder die wortels, en vergeet dat die noemer in $\frac{\sqrt5}{2}$ sy kwadraat vierdeel.

Onthou: Kwadrering verander ’n vergelyking van wortelvorme in gewone getalle — maar $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, kruisterm ingesluit, elke keer.

---

Afdeling 3 — Rekenkunde: BODMAS en Breuke

BODMAS: Brackets — hakies, Orders — magte en wortels, Division — deling, Multiplication — vermenigvuldiging (van links na regs), Addition — optel, Subtraction — aftrek (van links na regs). Deling en vermenigvuldiging het gelyke voorrang — werk van links na regs. Dieselfde geld vir optel en aftrek.

---

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Vermenigvuldiging voor optel/aftrek.

$$3 + \underbrace{2 \times 4}_{= 8} - 1 = 3 + 8 - 1$$

Stap 2 — Van links na regs.

$$3 + 8 - 1 = 11 - 1 = 10$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A (19) is suiwer van links na regs gelees: $3 + 2 = 5$, dan $5 \times 4 = 20$, dan $-1$. Die algemeenste BODMAS-mislukking wat daar is.
• D (12) doen die vermenigvuldiging korrek maar tel dan die 1 by in plaas daarvan om dit af te trek: $3 + 8 + 1$. Tekenfoute steek graag weg agter ’n vermenigvuldiging wat korrek hanteer is.
• C (18) oorleef geen konsekwente volgorde van bewerkings hoegenaamd nie — dit is wat verskyn wanneer hakies halfpad deur die berekening verbeel word. Skryf die vermenigvuldiging se resultaat (8) neer voordat jy aan die optelling raak, en daar is nêrens waar dit vandaan kan kom nie.

Onthou: Vermenigvuldiging voor optel en aftrek, altyd — dan streng van links na regs tussen gelykes. Skryf die tussenproduk neer; die meeste BODMAS-foute gebeur in die kop, nie op die bladsy nie.

---

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Vermenigvuldiging eerste.

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2 \times 3}{3 \times 4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

Stap 2 — Optelling.

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

Waarom die ander verkeerd is:

• C ($\frac{7}{8}$) is die links-na-regs-fout in breukklere: $\left(\frac{1}{2} + \frac{2}{3}\right) \times \frac{3}{4} = \frac{7}{6} \times \frac{3}{4} = \frac{7}{8}$. BODMAS skakel nie af omdat die getalle breukstrepe gekry het nie.
• B ($\frac{5}{6}$) is $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ — die produk $\frac{6}{12}$ is verkeerd vereenvoudig na $\frac{1}{3}$ in plaas van $\frac{1}{2}$. Vereenvoudig deur teller en noemer deur dieselfde getal te deel.
• A ($\frac{3}{4}$) eggo net die laaste breuk in die vraag — ’n opsie sonder werk.

Onthou: Vermenigvuldiging voor optel, selfs wanneer alles ’n breuk is. Vermenigvuldig die tellers, vermenigvuldig die noemers, vereenvoudig versigtig — $\frac{6}{12}$ is $\frac{1}{2}$, en die hele uitdrukking val ineen tot $\frac12 + \frac12 = 1$.

---

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Deling eerste (dieselfde voorrang as vermenigvuldiging, pas dit voor aftrekking toe).

$$\frac{1}{3} \div \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Stap 2 — Aftrekking.

$$\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A ($\frac{5}{12}$) is $\frac{3}{4} - \frac{1}{3}$ — die deling het heeltemal verdwyn; net die twee sigbare breuke is verwerk.
• B ($\frac{7}{12}$) behandel "$\div \frac{2}{3}$" as "$\div 2$": $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$, dan $\frac{3}{4} - \frac{1}{6} = \frac{7}{12}$. Die resiprook van $\frac{2}{3}$ is $\frac{3}{2}$, nie $\frac{1}{2}$ nie.
• C ($\frac{1}{2}$) is die tussenresultaat $\frac{1}{3} \div \frac{2}{3}$ wat as die finale antwoord gerapporteer word — die aftrekstap is nooit voltooi nie.

Onthou: Om deur ’n breuk te deel beteken om met sy resiprook te vermenigvuldig: $\div \frac{a}{b} = \times \frac{b}{a}$. Doen die deling eerste (dit oortref aftrekking), skryf die resultaat neer, en voltooi dan die uitdrukking.

---

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Magte eerste. $2^3 = 8$

Stap 2 — Eerste breuk. $\dfrac{8-1}{8+1} = \dfrac{7}{9}$

Stap 3 — Tel op (albei is reeds oor 9): $$\frac{7}{9} + \frac{3}{9} = \frac{10}{9}$$

Waarom die ander verkeerd is:

• B ($\frac89$) het $\frac39$ tot $\frac19$ verwring. Vereenvoudiging mag nie die waarde verander nie.
• C ($\frac43$) het die eerste breuk onderstebo gebou.
• D ($\frac{7}{12}$) het alles tot $\frac{8-1}{8+1+3}$ saamgedruk, en die een breuk se teller in die ander se noemer opgeneem.

Onthou: Magte eerste ($2^3 = 8$, nie 6 nie, en nie $2^{3-1}$ nie), vereenvoudig elke breuk op sy eie, en tel dan oor ’n gemene noemer op. Breuke smelt nooit saam bloot omdat hulle langs mekaar staan nie.

---

Antwoord: D

Verduideliking

Bo (kleinste gemene noemer 6): $\ \frac12 + \frac13 = \frac56$

Onder (kleinste gemene noemer 12): $\ \frac14 + \frac16 = \frac{5}{12}$

Deel — vermenigvuldig met die resiprook: $$\frac{5/6}{5/12} = \frac{5}{6} \times \frac{12}{5} = 2$$

Waarom die ander verkeerd is:

• B (1) het die ooreenstemmende 5’e uitgekanselleer en gestop, en geïgnoreer dat $\frac16 \div \frac1{12} = 2$ oorbly.
• C ($\frac32$) het die breuke verkeerd oor die streep gepaar. Terme in die teller bly in die teller.
• A ($\frac54$) het die verkeerde breuk omgekeer. Skryf "$\times \frac{12}{5}$" uit voordat jy vermenigvuldig.

Onthou: ’n Breukstreep is ’n delingsteken. Voltooi die bokant, voltooi die onderkant, en vermenigvuldig dan met die resiprook. Verwag netjiese ineenstortings — maar verdien hulle stap vir stap.

---

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Verdeel die algemene term. $$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$

Stap 2 — Skryf die som uit en kyk hoe dit ineenstort. $$\left(1 - \frac12\right) + \left(\frac12 - \frac13\right) + \cdots + \left(\frac19 - \frac1{10}\right)$$

Alles in die middel kanselleer uit, en laat eerste minus laaste oor: $$1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$$

Waarom die ander verkeerd is — al drie laat die teleskoop verkeerd ineenstort:

• B ($\frac1{10}$) rapporteer die stuk wat afgetrek word, nie die resultaat nie.
• C ($\frac{10}{11}$) het een term te ver geloop.
• D ($\frac89$) het een term te vroeg gestop.

Onthou: Ná enige teleskopiese ineenstorting, kontroleer die twee eindpunte — sodra die middel uitkanselleer, is hulle die enigste plekke waar dinge nog verkeerd kan loop.

---

Afdeling 4 — Persentasies, Verhoudings en Eweredighede

Persentasievrae op die NBT behels byna altyd een van drie dinge: om ’n persentasie van ’n hoeveelheid te vind, om ’n persentasie om te keer (om die oorspronklike te vind), of om verhoudings te kombineer. Bemeester die vergelyking $\text{deel} = \% \times \text{geheel}$.

---

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Gebruik die vermenigvuldigermetode.

’n Vermeerdering van 15% beteken vermenigvuldig met $1 + 0.15 = 1.15$.

$$240 \times 1.15 = 276$$

Waarom die ander verkeerd is:

• B (R255) tel vyftien rand by, nie vyftien persent nie — R255 = 240 + 15. Persentasies skaal met die basis: 15 % van R240 is R36.
• C (R288) pas ’n vermeerdering van 20 % toe ($240 \times 1.2$) — ’n koers wat weggegly het.
• D (R264) pas 10 % toe ($240 \times 1.1$) — die "ronde koers"-refleks wat die gegewe 15 % oorheers.

Onthou: ’n Vermeerdering van 15 % beteken vermenigvuldig met 1.15 (’n vermindering, met 0.85). Een vermenigvuldiger, een vermenigvuldiging — en toets die grootte: die vermeerdering moet R36 wees, sigbaar meer as B se R15 en minder as C se R48.

---

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Stel die vergelyking op.

$$0.30 \times x = 45$$

Stap 2 — Los op.

$$x = \frac{45}{0.30} = \frac{45}{\frac{3}{10}} = 45 \times \frac{10}{3} = 150$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A (13.5) vermenigvuldig in plaas van deel: $45 \times 0.30$ vind 30 % van 45 — die vraag het jou reeds gesê 45 is die 30 %.
• B (135) deel deur $\frac{1}{3}$, en vervang stilweg 30 % met "’n derde". Naby, maar 30 % is $\frac{3}{10}$, nie $\frac{1}{3}$ nie — die gaping van R15 tussen 135 en 150 is die prys van daardie benadering.
• D (15) neem ’n derde van die deel ($45 \div 3$) — dit deel in die regte gees, maar op ’n heeltemal verkeerde lesing.

Toets of die wenner sin maak: 30 % van 150 = 45 ✓.

Onthou: "Deel = % × geheel" herrangskik tot "geheel = deel ÷ %". En behandel "30 % ≈ ’n derde" slegs as skatting — die NBT prys die verskil in die opsies in.

---

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Vind die totale aantal dele.

$$3 + 5 = 8 \text{ dele}$$

Stap 2 — Vind een deel.

$$\text{Een deel} = \frac{40}{8} = 5$$

Stap 3 — Vind die seuns.

$$\text{Seuns} = 3 \times 5 = 15$$

Waarom die ander verkeerd is:

• D (25) is die aantal dogters — die regte metode wat die verkeerde vraag beantwoord. Onderstreep wat gevra word voordat jy klaarmaak.
• C (20) verdeel die klas in die helfte, en ignoreer die verhouding heeltemal.
• B (10) druip die rekonstruksietoets onmiddellik: 10 seuns beteken 30 dogters, ’n verhouding van 1 : 3, nie 3 : 5 nie.

Onthou: Tel die dele op (8), deel die totaal om een deel te kry (5), vermenigvuldig met die seuns se aandeel (3). Rekonstrueer dan: dogters $= 25$, en $15 + 25 = 40$ ✓ met verhouding $15{:}25 = 3{:}5$ ✓ — ’n kontrole van vyf sekondes wat ook "die verkeerde persoon beantwoord"-foute soos D vang.

---

Antwoord: B

Verduideliking

Ná ’n afslag van 20 % is die prys 80 % van die oorspronklike, dus:

$$0.80 \times \text{oorspronklik} = 360 \quad\Rightarrow\quad \text{oorspronklik} = \frac{360}{0.80} = \text{R}450$$

Kontroleer: $450 \times 0.8 = 360$ ✓

Waarom die ander verkeerd is:

• A (R432) tel 20 % by die afslagprys. Die 20 % het van die groter oorspronklike prys afgekom, dus kan 20 % van die kleiner prys dit nie herstel nie.
• D (R288) gee weer afslag — die masjien word vorentoe gedraai in plaas van agtertoe.
• C (R480) deel deur 0.75, wat "20 % af" in "’n kwart af" verander.

Onthou: Die oorspronklike is vermenigvuldig met 0.80, herstel dit dus deur deur 0.80 te deel. Moet nooit die persentasie weer bytel nie — en pas altyd die afslag weer toe om te kontroleer.

---

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Stel op.

Laat die drie getalle $2k$, $3k$, $5k$ wees.

$$2k + 3k + 5k = 200 \implies 10k = 200 \implies k = 20$$

Stap 2 — Vind die grootste.

$$5k = 5 \times 20 = 100$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A (60) is die middelste getal ($3k$) en D (40) is die kleinste ($2k$) — albei is korrekte waardes uit die korrekte bewerking, gekoppel aan die verkeerde woord. "Grootste" doen die werklike werk in hierdie vraag.
• C (80) neem $\frac{2}{5}$ van die totaal — ’n breuk gebou uit die verhouding se buitenste syfers (2 en 5) in plaas van uit deel-oor-som ($\frac{5}{10}$).

Onthou: Met drie verhoudingsdele, een veranderlike: $2k + 3k + 5k = 200$ gee $k = 20$, dus is die dele 40, 60, 100. Elke deel se aandeel van die geheel is (sy syfers)/(som van die syfers) — die grootste is $\frac{5}{10} = 50\%$, en die helfte van 200 is 100 ✓.

---

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Laat $y$ in albei verhoudings ooreenstem. Dit is 4 in die eerste en 2 in die tweede, skaal dus die tweede op: $$y:z = 2:5 = 4:10$$

Stap 2 — Skakel hulle aanmekaar. $x:y:z = 3:4:10$

Stap 3 — Lees af. $x:z = 3:10$

Waarom die ander verkeerd is:

• A ($3:5$) neem die buitenste getalle soos hulle staan. Maar $x$ se 3 word teen $y=4$ gemeet en $z$ se 5 teen $y=2$ — twee verskillende maatstawwe.
• C ($15:8$) vermenigvuldig kruislings, dieselfde maatstaffout.
• B ($6:5$) skommel getalle sonder enige gedeelde $y$ hoegenaamd.

Onthou: Skaal albei verhoudings totdat die gedeelde middelterm ooreenstem, en lees dan die endes af. Of vermenigvuldig die breuke: $\frac{x}{z} = \frac34 \cdot \frac25 = \frac{3}{10}$.

---

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Vind die suur. Dit verander nooit wanneer water bygevoeg word nie. $$40\% \times 50 = 20 \text{ liter}$$

Stap 2 — Stel die nuwe konsentrasie op met $w$ liter water bygevoeg: $$\frac{20}{50+w} = 0.25$$

Stap 3 — Los op. $20 = 12.5 + 0.25w \Rightarrow w = 30$

Kontroleer: $\frac{20}{80} = 25\%$ ✓

Waarom die ander verkeerd is — al drie is getalle wat regstreeks uit die vraag gelig is:

• A (20) is die hoeveelheid suur, die een ding wat nooit verander nie.
• B (25) en C (40) eggo die twee persentasies. Persentasies is nie volumes nie.

Onthou: Anker op wat konstant bly (die suur) en laat die totaal verander. Kontroleer dan jou antwoord as ’n konsentrasie — eggo-opsies kan dit nie oorleef nie.

---

Afdeling 5 — Pariteit: Onewe en Ewe Uitdrukkings

’n Getal is ewe as dit deur 2 deelbaar is, en onewe as dit nie is nie. Sleutelreëls: - ewe ± ewe = ewe; onewe ± onewe = ewe; ewe ± onewe = onewe - ewe × enigiets = ewe; onewe × onewe = onewe

---

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Toets elkeen met $n = 4$ (ewe).

A) $4 + 2 = 6$ — ewe.

B) $4 + 1 = 5$ — onewe. ✓

C) $2(4) = 8$ — ewe.

D) $4^2 = 16$ — ewe.

Stap 2 — Bewys dat B altyd onewe is.

$n$ is ewe beteken $n = 2k$ vir een of ander heelgetal $k$. Dan is $n + 1 = 2k + 1$ — altyd onewe.

Onthou: Ewe + onewe = onewe. $n$ ewe, $1$ onewe → $n + 1$ onewe. Al die ander opsies tel ewe getalle op of vermenigvuldig hulle, wat die resultaat ewe hou.

---

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Pas die pariteitsreëls toe.

A) $p + q$: onewe + ewe = onewe. Nie altyd ewe nie.

B) $p - q$: onewe − ewe = onewe. Nie altyd ewe nie.

C) $p \cdot q$: onewe × ewe = ewe. ✓ (Enige veelvoud van ’n ewe getal is ewe.)

D) $p^2 + q$: $(p^2)$ — onewe² = onewe. onewe + ewe = onewe. Nie altyd ewe nie.

Onthou: Vermenigvuldiging met ’n ewe getal gee altyd ’n ewe resultaat — die faktor 2 in $q$ maak die produk deelbaar deur 2, ongeag $p$.

---

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Toets elkeen.

A) $m^2 + n$: onewe² = onewe; onewe + onewe = ewe. Altyd ewe, nie onewe nie.

B) $m + n$: onewe + onewe = ewe. Altyd ewe.

C) $m \cdot n$: onewe × onewe = onewe. Altyd onewe. ✓

D) $m - n$: onewe − onewe = ewe. Altyd ewe.

Stap 2 — Formele bewys vir C.

$m = 2a+1$, $n = 2b+1$ vir heelgetalle $a, b$.

$mn = (2a+1)(2b+1) = 4ab + 2a + 2b + 1 = 2(2ab + a + b) + 1$

Dit is van die vorm $2k + 1$ — altyd onewe.

Onthou: Die produk van twee onewe getalle is altyd onewe. Opsies A, B en D is almal altyd ewe wanneer albei insette onewe is — ’n resultaat wat baie studente verras.

---

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Skryf as $n$, $n+1$, $n+2$.

Toets opsie D: $p + q = n + (n+1) = 2n + 1$ — altyd onewe. Skakel uit.

Toets opsie A: $p + q + r = 3n + 3 = 3(n+1)$. As $n = 2$: $3(3) = 9$ (onewe). Nie altyd ewe nie. Skakel uit.

Toets opsie C: As $n = 2$: $4 + 9 + 16 = 29$ (onewe). Skakel uit.

Toets opsie B: $pqr = n(n+1)(n+2)$. Onder enige 3 opeenvolgende heelgetalle is ten minste een ewe. ’n Ewe faktor maak die hele produk ewe. ✓

Onthou: Onder enige stel opeenvolgende heelgetalle is ten minste een ewe. Daarom is hulle produk altyd ewe. Trouens, $n(n+1)(n+2)$ is altyd deelbaar deur $3! = 6$.

Waarom die ander verkeerd is: A is $3q$, wat net ewe is wanneer $q$ dit is. D is altyd ONEWE — twee opeenvolgende heelgetalle is een ewe en een onewe. C werk vir $1, 2, 3$ maar nie vir $2, 3, 4$ nie: $4 + 9 + 16 = 29$. Een teenvoorbeeld is genoeg om ’n “altyd” te sneuwel.

---

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Onthou wanneer ’n som onewe is.

$x + y$ is onewe ⟺ presies een van $x$, $y$ is onewe (verskillende pariteite).

Stap 2 — Pas toe op $a + b$.

$a + b$ is onewe → $a$ en $b$ het verskillende pariteite. Dus is die een ewe en die ander onewe.

Stap 3 — Bevestig met $a - b$.

$a - b = a + (-b)$. Die pariteit van $-b$ is gelyk aan die pariteit van $b$. Dus beteken $a - b$ onewe dat $a$ en $b$ ook verskillende pariteite het — konsekwent.

Stap 4 — Kontroleer opsie D.

As $a$ ewe is en $b$ onewe: $a^2$ ewe, $b^2$ onewe, $a^2 + b^2$ = onewe. Dus is D vals (dit sou onewe wees, nie ewe nie).

Onthou: Dat $a + b$ en $a - b$ albei gelyktydig onewe is, dwing verskillende pariteite af. Kontroleer opsie D versigtig — dat $a^2 + b^2$ "ewe" is, klink aanneemlik maar is eintlik vals wanneer die pariteite verskil.

---

Afdeling 6 — Laaste Syfer van Groot Magte

Die eenhedesyfer van $n^k$ volg ’n herhalende siklus. Om die eenhedesyfer van $n^k$ te vind: 1. Vind die siklus van eenhedesyfers vir magte van $n$ (siklusse van lengte 1, 2 of 4). 2. Vind $k \bmod \text{sikluslengte}$. 3. Die res gee die posisie in die siklus (res 0 beteken die laaste posisie).

Waarom die ander verkeerd is: A en B gee albei ’n EWE som — ewe + ewe en onewe + onewe. D misluk juis vir die paar wat wél werk: ’n onewe kwadraat plus ’n ewe kwadraat is onewe.

---

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Vind die siklus van eenhedesyfers.

$7^1 = 7$, $7^2 = 49$, $7^3 = 343$, $7^4 = 2401$ — dus is die siklus 7, 9, 3, 1, lengte 4.

Stap 2 — Vind $7^{20}$ se plek. $20 \div 4 = 5$ res 0, wat die laaste posisie beteken: syfer 1.

Waarom die ander verkeerd is: C (7), D (9) en B (3) is posisies 1, 2 en 3 van dieselfde siklus. Die hele vraag draai om een konvensie: res 0 beteken die laaste posisie, want $7^4, 7^8, 7^{12}$ eindig almal waar $7^4$ eindig.

Onthou: Magte van 7 (en 3) herhaal elke 4. Enige eksponent wat deur 4 deelbaar is, land op 1. Anker dit met $7^4 = 2401$ wanneer jy ook al die konvensie betwyfel.

---

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Vind die siklus.

$3^1 = 3$ → 3; $3^2 = 9$ → 9; $3^3 = 27$ → 7; $3^4 = 81$ → 1.

Siklus: 3, 9, 7, 1 (lengte 4).

Stap 2 — Vind die posisie van $3^{100}$.

$$100 \div 4 = 25 \text{ res } 0$$

Res 0 → laaste posisie in die siklus → eenhedesyfer 1.

Waarom die ander verkeerd is: A (3), D (9) en C (7) is siklusposisies 1, 2 en 3 — die volledige spyskaart van foute met die hantering van die res. Die verleidelikste is A: "magte van 3 eindig op 3." Dit is waar — een keer elke vier eksponente. 100 is ’n veelvoud van 4, dus sit $3^{100}$ aan die einde van die siklus, nie aan sy begin nie.

Onthou: Magte van 3 en 7 deel ’n siklus van lengte 4 en land albei op 1 wanneer die eksponent ’n veelvoud van 4 is. Die koeëlvaste vorm: $3^{100} = (3^4)^{25} = 81^{25}$, en ’n getal wat op 1 eindig, eindig steeds op 1 tot watter mag ook al verhef ✓.

---

Antwoord: A

Verduideliking

Albei siklusse het lengte 4, dus dien een deling vir albei: $103 = 4 \times 25 + 3$, posisie 3.

• Die siklus van 2 is 2, 4, 8, 6 → posisie 3 gee 8
• Die siklus van 3 is 3, 9, 7, 1 → posisie 3 gee 7

Tel op: $8 + 7 = 15$, dus is die eenhedesyfer 5.

Waarom die ander verkeerd is:

• C (3) het albei siklusse een posisie te vroeg gelees.
• D (7) het 103 as ’n veelvoud van 4 hanteer, en op albei siklusse se endes geland.
• B (1) het die een siklus reg gelees en die ander na sy begin teruggestel. Dieselfde eksponent beteken dieselfde posisie in albei.

Onthou: Vind elke eenhedesyfer, tel hulle op, en neem dan die eenhedesyfer van daardie klein sommetjie. Bereken die res net een keer wanneer die siklusse ’n lengte deel.

---

Antwoord: B

Verduideliking

Die siklus van 7 het lengte 4, dus het jy die boonste eksponent $7^7$ modulo 4 nodig.

Aangesien $7 \equiv 3 \pmod 4$ en $7^2 \equiv 1 \pmod 4$: $$7^7 = (7^2)^3 \times 7 \equiv 1 \times 3 = 3 \pmod 4$$

Posisie 3 in die siklus 7, 9, 3, 1 gee eenhedesyfer 3.

Waarom die ander verkeerd is:

• C (7) plat die toring af tot $(7^7)^7 = 7^{49}$. ’n Toring word van bo af gelees: $7^{(7^7)}$ is ’n geweldig groter getal.
• A (1) en D (9) kom van verwarde rekenkunde op die boonste eksponent. Doen die klein berekening eerlik.

Onthou: ’n Toring $a^{b^c}$ beteken $a^{(b^c)}$, nooit $(a^b)^c$ nie. Verminder die boonste eksponent modulo die siklus se lengte, en lees dan die siklus — twee piepklein berekeninge vervang ’n astronomiese getal.

---

Afdeling 7 — Tel en Permutasies

Fundamentele reël: As gebeurtenis A op $m$ maniere kan gebeur en gebeurtenis B op $n$ maniere, dan kan A gevolg deur B op $m \times n$ maniere gebeur.

Permutasie (volgorde maak saak, geen herhaling nie): $n \times (n-1) \times \cdots$ vir soveel plekke as wat nodig is.

Kombinasie (volgorde maak nie saak nie): $\dbinom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$.

---

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Tel die keuses vir elke posisie.

Posisie 1: 4 boeke om uit te kies. Posisie 2: 3 oorblywende boeke. Posisie 3: 2 oorblywende boeke. Posisie 4: 1 oorblywende boek.

Stap 2 — Vermenigvuldig.

$$4 \times 3 \times 2 \times 1 = 4! = 24$$

Waarom die ander verkeerd is:

• D (256) is $4^4$ — elke rakposisie kry al vier boeke, asof een boek op verskeie plekke tegelyk kon staan. Magte tel mét herhaling; rangskikkings verklein die poel elke keer.
• B (16) is $4^2$ — ’n half-onthoude "vermenigvuldig die 4 met iets"-instink.
• A (4) tel die boeke, nie die rangskikkings nie — die opsie sonder werk.

Onthou: Om $n$ verskillende voorwerpe in ’n ry te rangskik gee $n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1$; hier $4! = 24$. Die krimpende faktore (4, 3, 2, 1) is die handtekening van "geen herhaling nie" — as jou faktore nie krimp nie, het jy klone toegelaat.

---

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Tel die keuses vir elke syferposisie.

Honderdesyfer: 5 keuses. Tienesyfer: 4 oorblywende keuses. Eenhedesyfer: 3 oorblywende keuses.

Stap 2 — Vermenigvuldig.

$$5 \times 4 \times 3 = 60$$

Waarom die ander verkeerd is:

• C (125) is $5^3$ — herhaling toegelaat, vyf keuses vir elke plek. Die woorde "geen syfer mag herhaal word nie" is presies wat $5 \times 5 \times 5$ in $5 \times 4 \times 3$ verander.
• D (120) is $5!$ — die rangskikking van al vyf syfers, maar die getal het net drie posisies.
• B (15) is $5 \times 3$ — die twee sigbare getalle vermenigvuldig, sonder enige telmodel daaragter.

Onthou: Dit is die permutasie $P(5,3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$: een faktor per posisie, wat elke keer met een krimp. Pas die aantal faktore by die aantal plekke aan, en laat "geen herhaling nie" hulle krimp.

---

Antwoord: B

Verduideliking

Volgorde maak saak — die twee rolle is verskillend. President: 5 keuses. Visepresident: 4 oor.

$$5 \times 4 = 20$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A (10) is die komitee-telling $\binom52$ — slegs reg as die rolle onderling verwisselbaar was. President-Thabo/VP-Amina verskil van die omgekeerde, dus tel elke paar twee keer.
• C (25) is $5^2$, wat een student albei ampte laat beklee.
• D (15) tel die keuses op. Opeenvolgende keuses vermenigvuldig altyd.

Onthou: Benoemde rolle → volgorde maak saak → permutasie. Onbenoemde komitee → volgorde maak nie saak nie → kombinasie. Die faktor 2 tussen 20 en 10 is presies die twee ordeninge van elke paar.

---

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Tel die letters.

L, E, V, E, L — vyf letters: L verskyn twee keer, E verskyn twee keer, V verskyn een keer.

Stap 2 — Gebruik die formule vir rangskikkings met herhalings.

$$\frac{5!}{2! \times 2!} = \frac{120}{2 \times 2} = \frac{120}{4} = 30$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A (120) is $5!$ — al vyf letters word as verskillend behandel, asof die twee L’e verskillende kleure was. Om identiese letters om te ruil lewer dieselfde woord, dus tel 120 elke rangskikking vier keer.
• C (60) deel deur net een $2!$ — die herhaalde L’e is hanteer, die herhaalde E’e vergeet. Elke herhaalde letter het sy eie faktoriaal nodig.
• D (20) deel deur $3! = 6$ — die vier herhaalde letters (L, L, E, E) word in een groep "herhalings" saamgegooi. Die deler is per letter: $2! \times 2! = 4$, nie $3!$ nie.

Onthou: Rangskikkings met herhalings: $\frac{n!}{k_1!\,k_2!\cdots}$ — een faktoriaal vir elke letter afsonderlik getel. LEVEL: $\frac{5!}{2!\,2!} = 30$. Tel die letters op ’n lys voordat jy aan die formule raak.

---

Antwoord: D

Verduideliking

Rooies: kies 2 uit 4 → $\binom{4}{2} = 6$

Nie-rooies: kies 1 uit die ander 5 (3 blou + 2 groen) → $\binom{5}{1} = 5$

Vermenigvuldig: $6 \times 5 = 30$

Waarom die ander verkeerd is — elkeen bederf een faktor:

• A (20) het $4 \times 5$ gebruik: om ’n paar rooies te kies is nie dieselfde as om een te kies nie.
• B (24) het $6 \times 4$ gebruik: die nie-rooi poel is 5, groenes ingesluit.
• C (36) het $6 \times 6$ gebruik — die eerste faktor is hergebruik.

Onthou: Vir "presies $k$ van tipe X": $\binom{|X|}{k} \times \binom{\text{ander}}{\text{res}}$. Benoem elke faktor terwyl jy dit neerskryf — elke verkeerde opsie hier is ’n verkeerd benoemde faktor.

---

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Vul die beperkte plek eerste. Ewe beteken die eenhedesyfer is 2, 4 of 6 — 3 keuses.

Stap 2 — Vul die res uit die 4 syfers wat oorbly: $4 \times 3 \times 2 = 24$

Stap 3 — Vermenigvuldig: $3 \times 24 = 72$

Waarom die ander verkeerd is:

• A (48) het net 2 ewe syfers getel, en die 6 misgekyk.
• D (96) het 4 getel, en ’n onewe syfer op die ewe hoop ingevee.
• B (60) is ’n permutasie met drie plekke wat die struktuur heeltemal geïgnoreer het.

Onthou: Vul die mees beperkte plek eerste, dan die vrye plekke. Wanneer ’n beperking ’n eienskap noem, lys die elemente wat dit werklik het — om daardie versameling verkeerd te tel is die hele spel.

---

Afdeling 8 — Gemiddeld, Mediaan en Geweegde Gemiddeld

Gemiddeld = som van alle waardes ÷ aantal waardes. Mediaan = middelste waarde wanneer die data gesorteer is (vir ’n ewe aantal, neem die gemiddeld van die twee middelste waardes). Geweegde gemiddeld = $\dfrac{\sum (\text{gewig} \times \text{waarde})}{\sum \text{gewigte}}$.

---

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Tel die waardes op.

$$60 + 72 + 68 + 75 + 80 = 355$$

Stap 2 — Deel deur 5.

$$\text{Gemiddeld} = \frac{355}{5} = 71$$

Waarom die ander verkeerd is: C (72) en D (75) is waardes wat in die datastel sit — eggo-aas vir enigeen wat "die middel met die oog skat". B (70) is die ronde getal naaste aan die waarheid, die beloning vir die skatting van die som in plaas daarvan om dit te bereken. Nie een van die drie is gelyk aan $355 \div 5$ nie, en daardie deling is die enigste gesag.

Onthou: Bou die som in ’n lopende ketting op — $60 + 72 = 132$; $+68 = 200$; $+75 = 275$; $+80 = 355$ — en deel dan een keer: $355 \div 5 = 71$. Om geketting op te tel met ’n kontrolepunt by elke stap is hoe jy "skoon lykende" verkeerde opsies sonder ’n sakrekenaar klop.

---

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Sorteer die data in stygende volgorde.

$$1, 3, 4, 6, 7, 8, 9$$

Stap 2 — Vind die middelste waarde. Daar is 7 waardes; die mediaan is die $\frac{7+1}{2} = 4$de waarde.

$$1, 3, 4, \underbrace{6}_{\text{4th}}, 7, 8, 9 \implies \text{mediaan} = 6$$

Waarom die ander verkeerd is:

• B (5) is die middelbereik $\frac{1+9}{2}$ — halfpad tussen die minimum en die maksimum. Die mediaan is die middelste lid, nie die middel van die eindpunte nie.
• D (7) eggo die aantal waardes (sewe datapunte) — en is boonop toevallig ook een van die datapunte, wat sy aaswaarde verdubbel.
• A (4) verwar die middelste posisie (4de) met die waarde 4 — posisie en waarde is verskillende geldeenhede.

Onthou: Sorteer altyd eers: $1,3,4,\mathbf{6},7,8,9$ → die 4de van 7 waardes is die mediaan, 6. Elke verkeerde opsie hier is ’n ander "middelagtige" getal — net sortering sê vir jou watter middel die mediaan werklik is.

---

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Vind die vereiste totaal.

$$\text{Totaal} = \text{gemiddeld} \times n = 15 \times 4 = 60$$

Stap 2 — Trek die bekende waardes af.

$$60 - 12 - 18 - 14 = 16$$

Waarom die ander verkeerd is:

• B (15) eggo die gemiddeld self — "as die gemiddeld 15 is, is die ontbrekende getal seker 15" is ’n raaiskoot, nie ’n berekening nie. (Dit sou net reg wees as die ander drie presies 15 gemiddeld het; hulle gemiddeld is $\frac{44}{3} \approx 14.7$.)
• A (14) eggo ’n getal wat reeds in die data is.
• C (17) is ’n eenmalige rekenfout in $60 - 44$. Die aftrekketting $60 - 12 - 18 - 14$, een getal op ’n slag gedoen ($48, 30, 16$), laat geen ruimte daarvoor nie.

Onthou: "Gemiddeld × aantal = totaal" is die meesterset: teikentotaal 60, bekende som 44, ontbrekende waarde 16. Verifieer: $\frac{12+18+14+16}{4} = \frac{60}{4} = 15$ ✓.

---