Hoofstuk 2 — Getalbegrip

Antwoord: D

Verduideliking

Irrasionaal beteken: kan nie as ’n breuk $\frac{p}{q}$ geskryf word nie. Toets elkeen.

• A $\sqrt{9} = 3 = \frac31$ — rasionaal.
• B $\frac{22}{7}$ is reeds ’n breuk — rasionaal. (Dit is naby $\pi\mathclose{,}$ maar dit is nie $\pi$ nie.)
• C $0.\overline{3} = \frac13$ — ’n repeterende desimaal is altyd rasionaal.
• D $\sqrt{5}$ — 5 is nie ’n volkome vierkant nie, en $\sqrt5$ kan nie as enige breuk geskryf word nie. Irrasionaal ✓

Onthou: $\sqrt{n}$ is slegs rasionaal wanneer $n$ ’n volkome vierkant is. En $\frac{22}{7}$ is ’n benadering van $\pi\mathclose{,}$ nie $\pi$ self nie — hoe dan ook, dit is rasionaal.

---

Antwoord: B

Verduideliking

$-7$ is ’n heelgetal, en $-7 = \frac{-7}{1}$ maak dit ook rasionaal. Albei dele van B is waar.

Waarom die ander verkeerd is:

• A — natuurlike getalle is $\{1,2,3,\ldots\}\mathclose{,}$ almal positief. $-7$ is nie een nie.
• C — kry "heelgetal" reg maar sê "nie rasionaal nie". Elke heelgetal is rasionaal: skryf dit oor 1.
• D — telgetalle is $\{0,1,2,\ldots\}\mathclose{,}$ dus is $-7$ nie ’n telgetal nie; en dit is ’n heelgetal. Twee keer verkeerd.

Onthou: Elke heelgetal is outomaties rasionaal. Die geneste struktuur $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ beteken dat enigiets in ’n kleiner versameling ook in elke groter een is.

---

Antwoord: A

Verduideliking

In KABV is $\mathbb{N} = \{1,2,3,\ldots\}$ — nul is nie ’n natuurlike getal nie.

$\mathbb{Z} = \{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}$ lys nul uitdruklik ✓

Waarom die ander verkeerd is:

• B — $0 \notin \mathbb{N}$ onder KABV.
• C — $0 = \frac01\mathclose{,}$ dus is nul rasionaal, nie irrasionaal nie.
• D — nul is beide ’n heelgetal en rasionaal.

Onthou: Nul is binne $\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Q}\mathclose{,}$ maar buite $\mathbb{N}\mathclose{.}$ Sommige lande tel 0 as natuurlik; die NBT volg KABV, wat dit nie doen nie.

---

Antwoord: D

Verduideliking

Vereenvoudig elkeen voordat jy dit beoordeel.

• A $\pi = 3.14159\ldots$ — dit herhaal nooit nie en eindig nooit nie. Irrasionaal.
• B $\sqrt2 = 1.41421\ldots$ — 2 is nie ’n volkome vierkant nie. Irrasionaal.
• C $e = 2.71828\ldots$ — irrasionaal.
• D $\sqrt[3]{8} = 2\mathclose{,}$ aangesien $2^3=8\mathclose{.}$ Net die heelgetal 2 — rasionaal ✓

Onthou: ’n Wortel lyk net irrasionaal. $\sqrt[3]{8}$ is eintlik 2. Vereenvoudig altyd eers — enige wortel van ’n volkome mag is rasionaal.

---

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Vereenvoudig. $\sqrt{12} = \sqrt{4\times3} = 2\sqrt3$

Stap 2 — Tel op. $\sqrt3 + 2\sqrt3 = 3\sqrt3$

Stap 3 — Klassifiseer. $\sqrt3$ is irrasionaal, en ’n nie-nul rasionale getal maal ’n irrasionale getal is steeds irrasionaal. Dus is $3\sqrt3$ irrasionaal.

Waarom die ander verkeerd is: A, B en C is geneste kategorieë (elke natuurlike getal is ’n heelgetal, elke heelgetal is rasionaal), dus staan of val hulle almal op een vraag — kan $3\sqrt3$ as ’n breuk geskryf word? Dit kan nie, dus misluk al drie saam. Hulle is verleidelik wanneer die netjiese koëffisiënte die antwoord laat voel asof dit tot ’n heelgetal moet opruim.

Onthou: Vereenvoudig voordat jy klassifiseer. Twee irrasionale getalle kan tot ’n rasionale getal optel — maar net as hulle mekaar uitkanselleer, soos $\sqrt3 + (-\sqrt3) = 0\mathclose{.}$ Hier versterk hulle mekaar eerder.

---

Afdeling 2 — Ordening en Vergelyking van Getalle

Wanneer jy getalle in verskillende vorme vergelyk (breuke, desimale, wortelvorme), skakel alles na dieselfde vorm om — gewoonlik desimale — of kwadreer om positiewe wortelvorme sonder ’n sakrekenaar te vergelyk.

---

Antwoord: A

Verduideliking

Skakel alles na desimale om, en orden dan.

$$0.6 = 0.600 \qquad \frac{5}{8} = 0.625 \qquad \frac{2}{3} = 0.6\overline{6} \approx 0.667$$

$$0.600 < 0.625 < 0.667 \quad\Rightarrow\quad 0.6 < \frac{5}{8} < \frac{2}{3}$$

Waarom die ander verkeerd is: elke verkeerde volgorde beliggaam ’n bepaalde gewoonte om breuke op hulle voorkoms te beoordeel —

• D verwissel die twee breuke: die "8 is groter as 3, dus klop $\frac{5}{8}$ vir $\frac{2}{3}$"-lokval. Groter noemer = kleiner stukke.
• B plaas $\frac{2}{3}$ eerste — die fout om ’n breuk as sy syfers te lees ("twee punt drie-agtig") in plaas daarvan om te deel.
• C parkeer die gewone desimaal 0.6 heel bo, asof ’n skoon desimaal "morsige" breuke moet uitstof. Net omskakeling besleg die rangorde.

Onthou: Skakel alles na desimale om (tot drie plekke indien nodig) en orden dan. Elke verkeerde opsie hier kom daarvan dat rangorde op voorkoms in plaas van op waarde bepaal word.

---

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Kwadreer albei (albei is positief, dus hou kwadrering die ongelykheid die regte kant toe).

$$(\sqrt{5})^2 = 5 \qquad (\sqrt{3}+0.5)^2 = 3 + \sqrt{3} + 0.25 = 3.25 + \sqrt{3}$$

Stap 2 — Vergelyk 5 met $3.25+\sqrt3\mathclose{.}$ Dit beteken om $\sqrt3$ met $1.75$ te vergelyk. Kwadreer weer: $3$ teenoor $3.0625\mathclose{.}$

Aangesien $3 < 3.0625\mathclose{,}$ kry ons $\sqrt3 < 1.75\mathclose{,}$ dus $3.25+\sqrt3 < 5\mathclose{,}$ en daarom is $\sqrt5$ groter.

Waarom die ander verkeerd is: die gaping hier is vlymdun — $2.232$ teenoor $2.236$ —

• B is wat skatting gee: rond $\sqrt3$ op na 1.75 en die ongelykheid slaan om. ’n Gaping van 0.004 is veel kleiner as die afrondingsfout.
• C ("gelyk") is dieselfde storie tot 2 desimale plekke.
• D ("onmoontlik sonder ’n sakrekenaar") — die kwadreringsargument hierbo is die sakrekenaarvrye bewys.

Onthou: Kwadreer albei kante om wortelvorme te verwyder (geldig wanneer albei positief is). Wanneer waardes so na aan mekaar is, kan benadering nie vertrou word nie, maar presiese vergelyking wel.

---

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Skakel na desimale om.

$1.4 = 1.400$

$\dfrac{3}{2} = 1.500$

$\sqrt{2} \approx 1.4142\ldots$

Stap 2 — Vergelyk.

$$1.400 < 1.414\ldots < 1.500 \implies 1.4 < \sqrt{2} < \frac{3}{2}$$

Waarom die ander verkeerd is:

• B plaas $\sqrt{2}$ onder 1.4 — die verkeerd onthoue maatstaf $(\sqrt{2}$ "omtrent 1.2"). In werklikheid $1.4^2 = 1.96 < 2\mathclose{,}$ dus $\sqrt{2} > 1.4\mathclose{,}$ gewaarborg.
• C plaas $\sqrt{2}$ bo $\frac{3}{2}$ — gewoonlik word $\sqrt{2}$ met $\sqrt{3} \approx 1.732$ verwar. Kontroleer: $1.5^2 = 2.25 > 2\mathclose{,}$ dus $\sqrt{2} < 1.5\mathclose{.}$
• D is intern onmoontlik: dit plaas $\frac{3}{2} = 1.5$ onder 1.4. Een oogopslag na die twee rasionale waardes maak dit dood voordat $\sqrt{2}$ eers ter sprake kom.

Onthou: $\sqrt{2} \approx 1.414$ is ’n maatstaf wat die moeite werd is om te memoriseer — en wanneer die geheue wankel, pen kwadrering van die grense $(1.4^2 = 1.96\mathclose{,}$ $1.5^2 = 2.25)$ $\sqrt{2}$ met sekerheid tussen hulle vas.

---

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Begrens $\sqrt{7}$ en $\sqrt{11}$ met volkome vierkante.

$7 > (2.6)^2 = 6.76\mathclose{,}$ dus $\sqrt{7} > 2.6\mathclose{.}$

$3 < \sqrt{11} < 4$ aangesien $9 < 11 < 16\mathclose{.}$

Stap 2 — Toets opsie D: $3\mathclose{.}$

Is $\sqrt{7} < 3 < \sqrt{11}\mathclose{?}$ Kwadrering: $7 < 9 < 11\mathclose{.}$ Ja — $\sqrt{7} < \sqrt{9} = 3 < \sqrt{11}\mathclose{.}$ ✓

Stap 3 — Kontroleer dat die ander buite die interval lê.

A) $\dfrac{5}{2} = 2.5 < 2.6 < \sqrt{7}$ — te klein.

B) $\dfrac{10}{3} \approx 3.33$ en $(10/3)^2 = 100/9 \approx 11.11 > 11\mathclose{,}$ wat $\frac{10}{3} > \sqrt{11}$ bevestig — te groot.

C) $3\sqrt{2} = \sqrt{18} > \sqrt{11}$ — te groot.

Onthou: Om te kontroleer of ’n waarde $v$ aan $\sqrt{a} < v < \sqrt{b}$ voldoen, kwadreer net alles: kontroleer $a < v^2 < b\mathclose{.}$ Geen sakrekenaar nodig nie.

---

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Herskryf albei met dieselfde eksponent.

$$2^{30} = (2^3)^{10} = 8^{10}$$

$$3^{20} = (3^2)^{10} = 9^{10}$$

Stap 2 — Vergelyk.

Aangesien $8 < 9$ en die eksponent 10 dieselfde is (en positief):

$$8^{10} < 9^{10} \implies 2^{30} < 3^{20}$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A is die "groter eksponent wen"-instink — 30 klop tog seker 20? Maar die grondtalle verskil, en die krag van die grondtal kan die eksponenttelling oortref: herskryf met ’n gemeenskaplike eksponent, en die stryd is $8^{10}$ teenoor $9^{10}$ — en 9 wen.
• B ("gelyk") verwar ooreenstemmende eksponente met ooreenstemmende waardes: albei kante word iets$^{10}\mathclose{,}$ maar die "iets" is 8 en 9.
• C is die oorgee-opsie — die faktoriseringstruuk hierbo is presies die sakrekenaarvrye metode wat die NBT van jou verwag om te vind.

Onthou: Om $a^m$ met $b^n$ te vergelyk, forseer ’n gemeenskaplike eksponent met $\gcd(m,n)\mathclose{:}$ $2^{30} = (2^3)^{10}\mathclose{,}$ $3^{20} = (3^2)^{10}\mathclose{.}$ Die vergelyking val terug op die grondtalle, 8 teenoor 9.

---

Antwoord: C

Verduideliking

Kwadreer elkeen (al drie is positief):

$$\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 = 1.25 \qquad \left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2 = 1.5 \qquad \left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^2 = \frac{4+2\sqrt3}{4} = 1 + \frac{\sqrt3}{2} \approx 1.866$$

Orden hulle: $1.25 < 1.5 < 1.866\mathclose{,}$ dus $$\frac{\sqrt{5}}{2} < \sqrt{\frac{3}{2}} < \frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A en B laat albei die kruisterm val wanneer hulle kwadreer: $(\sqrt3+1)^2$ word as $3+1=4$ geneem, wat die derde uitdrukking na 1 laat kwadreer en dit die kleinste laat lyk. Die volledige uitbreiding is $4+2\sqrt3\mathclose{.}$
• D vergelyk die rou getalle onder die wortels, en vergeet dat die noemer in $\frac{\sqrt5}{2}$ sy kwadraat vierdeel.

Onthou: Kwadrering verander ’n vergelyking van wortelvorme in gewone getalle — maar $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\mathclose{,}$ kruisterm ingesluit, elke keer.

---

Afdeling 3 — Rekenkunde: BODMAS en Breuke

BODMAS: Brackets — hakies, Orders — magte en wortels, Division — deling, Multiplication — vermenigvuldiging (van links na regs), Addition — optel, Subtraction — aftrek (van links na regs). Deling en vermenigvuldiging het gelyke voorrang — werk van links na regs. Dieselfde geld vir optel en aftrek.

---

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Vermenigvuldiging voor optel/aftrek.

$$3 + \underbrace{2 \times 4}_{= 8} - 1 = 3 + 8 - 1$$

Stap 2 — Van links na regs.

$$3 + 8 - 1 = 11 - 1 = 10$$

Waarom die ander verkeerd is:

• B (12) doen die vermenigvuldiging korrek maar tel dan die 1 by in plaas daarvan om dit af te trek: $3 + 8 + 1\mathclose{.}$ Tekenfoute steek graag weg agter ’n vermenigvuldiging wat korrek hanteer is.
• C (15) is $(3 + 2) \times (4 - 1)$ — die optelling en die aftrekking is albei voor die vermenigvuldiging gedoen, asof elke paar tussen hakies gestaan het.
• D (19) is suiwer van links na regs gelees: $3 + 2 = 5\mathclose{,}$ dan $5 \times 4 = 20\mathclose{,}$ dan $-1\mathclose{.}$ Die algemeenste BODMAS-mislukking wat daar is.

Onthou: Vermenigvuldiging voor optel en aftrek, altyd — dan streng van links na regs tussen gelykes. Skryf die tussenproduk neer; die meeste BODMAS-foute gebeur in die kop, nie op die bladsy nie.

---

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Vermenigvuldiging eerste.

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2 \times 3}{3 \times 4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

Stap 2 — Optelling.

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

Waarom die ander verkeerd is:

• C $(\frac{7}{8})$ is die links-na-regs-fout in breukklere: $\left(\frac{1}{2} + \frac{2}{3}\right) \times \frac{3}{4} = \frac{7}{6} \times \frac{3}{4} = \frac{7}{8}\mathclose{.}$ BODMAS skakel nie af omdat die getalle breukstrepe gekry het nie.
• B $(\frac{5}{6})$ is $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ — die produk $\frac{6}{12}$ is verkeerd vereenvoudig na $\frac{1}{3}$ in plaas van $\frac{1}{2}\mathclose{.}$ Vereenvoudig deur teller en noemer deur dieselfde getal te deel.
• A $(\frac{3}{4})$ eggo net die laaste breuk in die vraag — ’n opsie sonder werk.

Onthou: Vermenigvuldiging voor optel, selfs wanneer alles ’n breuk is. Vermenigvuldig die tellers, vermenigvuldig die noemers, vereenvoudig versigtig — $\frac{6}{12}$ is $\frac{1}{2}\mathclose{,}$ en die hele uitdrukking val ineen tot $\frac12 + \frac12 = 1\mathclose{.}$

---

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Deling eerste (dieselfde voorrang as vermenigvuldiging, pas dit voor aftrekking toe).

$$\frac{1}{3} \div \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Stap 2 — Aftrekking.

$$\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$$

Waarom die ander verkeerd is:

• B $(\frac{5}{12})$ is $\frac{3}{4} - \frac{1}{3}$ — die deling het heeltemal verdwyn; net die twee sigbare breuke is verwerk.
• C $(\frac{1}{2})$ is die tussenresultaat $\frac{1}{3} \div \frac{2}{3}$ wat as die finale antwoord gerapporteer word — die aftrekstap is nooit voltooi nie.
• D $(\frac{7}{12})$ behandel "$\div \frac{2}{3}$" as "$\div 2$": $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}\mathclose{,}$ dan $\frac{3}{4} - \frac{1}{6} = \frac{7}{12}\mathclose{.}$ Die resiprook van $\frac{2}{3}$ is $\frac{3}{2}\mathclose{,}$ nie $\frac{1}{2}$ nie.

Onthou: Om deur ’n breuk te deel beteken om met sy resiprook te vermenigvuldig: $\div \frac{a}{b} = \times \frac{b}{a}\mathclose{.}$ Doen die deling eerste (dit oortref aftrekking), skryf die resultaat neer, en voltooi dan die uitdrukking.

---

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Magte eerste. $2^3 = 8$

Stap 2 — Eerste breuk. $\dfrac{8-1}{8+1} = \dfrac{7}{9}$

Stap 3 — Tel op (albei is reeds oor 9): $$\frac{7}{9} + \frac{3}{9} = \frac{10}{9}$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A $(\frac59)$ tel dwarsoor op: $\frac{7+3}{9+9} = \frac{10}{18}\mathclose{.}$ Breuke met ’n gemene noemer behou dit — net die tellers word opgetel.
• B $(\frac{7}{12})$ het alles tot $\frac{8-1}{8+1+3}$ saamgedruk, en die een breuk se teller in die ander se noemer opgeneem.
• C $(\frac89)$ het $\frac39$ tot $\frac19$ verwring. Vereenvoudiging mag nie die waarde verander nie.

Onthou: Magte eerste $(2^3 = 8\mathclose{,}$ nie 6 nie, en nie $2^{3-1}$ nie), vereenvoudig elke breuk op sy eie, en tel dan oor ’n gemene noemer op. Breuke smelt nooit saam bloot omdat hulle langs mekaar staan nie.

---

Antwoord: D

Verduideliking

Bo (kleinste gemene noemer 6): $\ \frac12 + \frac13 = \frac56$

Onder (kleinste gemene noemer 12): $\ \frac14 + \frac16 = \frac{5}{12}$

Deel — vermenigvuldig met die resiprook: $$\frac{5/6}{5/12} = \frac{5}{6} \times \frac{12}{5} = 2$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A (1) het die ooreenstemmende 5’e uitgekanselleer en gestop, en geïgnoreer dat $\frac16 \div \frac1{12} = 2$ oorbly.
• B $(\frac54)$ het die verkeerde breuk omgekeer. Skryf "$\times \frac{12}{5}$" uit voordat jy vermenigvuldig.
• C $(\frac32)$ het die breuke verkeerd oor die streep gepaar. Terme in die teller bly in die teller.

Onthou: ’n Breukstreep is ’n delingsteken. Voltooi die bokant, voltooi die onderkant, en vermenigvuldig dan met die resiprook. Verwag netjiese ineenstortings — maar verdien hulle stap vir stap.

---

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Verdeel die algemene term. $$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$

Stap 2 — Skryf die som uit en kyk hoe dit ineenstort. $$\left(1 - \frac12\right) + \left(\frac12 - \frac13\right) + \cdots + \left(\frac19 - \frac1{10}\right)$$

Alles in die middel kanselleer uit, en laat eerste minus laaste oor: $$1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$$

Waarom die ander verkeerd is — al drie laat die teleskoop verkeerd ineenstort:

• A $(\frac{10}{11})$ het een term te ver geloop.
• C $(\frac89)$ het een term te vroeg gestop.
• D $(\frac1{10})$ rapporteer die stuk wat afgetrek word, nie die resultaat nie.

Onthou: Ná enige teleskopiese ineenstorting, kontroleer die twee eindpunte — sodra die middel uitkanselleer, is hulle die enigste plekke waar dinge nog verkeerd kan loop.

---

Afdeling 4 — Persentasies, Verhoudings en Eweredighede

Persentasievrae op die NBT behels byna altyd een van drie dinge: om ’n persentasie van ’n hoeveelheid te vind, om ’n persentasie om te keer (om die oorspronklike te vind), of om verhoudings te kombineer. Bemeester die vergelyking $\text{deel} = \% \times \text{geheel}\mathclose{.}$

---

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Gebruik die vermenigvuldigermetode.

’n Vermeerdering van 15% beteken vermenigvuldig met $1 + 0.15 = 1.15\mathclose{.}$

$$240 \times 1.15 = 276$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A (R255) tel vyftien rand by, nie vyftien persent nie — R255 = 240 + 15. Persentasies skaal met die basis: 15 % van R240 is R36.
• B (R264) pas 10 % toe $(240 \times 1.1)$ — die "ronde koers"-refleks wat die gegewe 15 % oorheers.
• D (R288) pas ’n vermeerdering van 20 % toe $(240 \times 1.2)$ — ’n koers wat weggegly het.

Onthou: ’n Vermeerdering van 15 % beteken vermenigvuldig met 1.15 (’n vermindering, met 0.85). Een vermenigvuldiger, een vermenigvuldiging — en toets die grootte: die vermeerdering moet R36 wees, sigbaar meer as A se R15 en minder as D se R48.

---

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Stel die vergelyking op.

$$0.30 \times x = 45$$

Stap 2 — Los op.

$$x = \frac{45}{0.30} = \frac{45}{\frac{3}{10}} = 45 \times \frac{10}{3} = 150$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A (13.5) vermenigvuldig in plaas van deel: $45 \times 0.30$ vind 30 % van 45 — die vraag het jou reeds gesê 45 is die 30 %.
• B (15) neem ’n derde van die deel $(45 \div 3)$ — dit deel in die regte gees, maar op ’n heeltemal verkeerde lesing.
• C (135) deel deur $\frac{1}{3}\mathclose{,}$ en vervang stilweg 30 % met "’n derde". Naby, maar 30 % is $\frac{3}{10}\mathclose{,}$ nie $\frac{1}{3}$ nie — die gaping van R15 tussen 135 en 150 is die prys van daardie benadering.

Toets of die wenner sin maak: 30 % van 150 = 45 ✓.

Onthou: "Deel = % × geheel" herrangskik tot "geheel = deel ÷ %". En behandel "30 % ≈ ’n derde" slegs as skatting — die NBT prys die verskil in die opsies in.

---

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Vind die totale aantal dele.

$$3 + 5 = 8 \text{ dele}$$

Stap 2 — Vind een deel.

$$\text{Een deel} = \frac{40}{8} = 5$$

Stap 3 — Vind die seuns.

$$\text{Seuns} = 3 \times 5 = 15$$

Waarom die ander verkeerd is:

• B (20) verdeel die klas in die helfte, en ignoreer die verhouding heeltemal.
• C (24) lees $3:5$ as die breuk $\tfrac35$ en neem $\tfrac35$ van 40. Die verhouding het $3 + 5 = 8$ dele, dus is die seuns $\tfrac38$ van die klas.
• D (25) is die aantal dogters — die regte metode wat die verkeerde vraag beantwoord. Onderstreep wat gevra word voordat jy klaarmaak.

Onthou: Tel die dele op (8), deel die totaal om een deel te kry (5), vermenigvuldig met die seuns se aandeel (3). Rekonstrueer dan: dogters $= 25\mathclose{,}$ en $15 + 25 = 40$ ✓ met verhouding $15{:}25 = 3{:}5$ ✓ — ’n kontrole van vyf sekondes wat ook "die verkeerde persoon beantwoord"-foute soos D vang.

---

Antwoord: D

Verduideliking

Ná ’n afslag van 20 % is die prys 80 % van die oorspronklike, dus:

$$0.80 \times \text{oorspronklik} = 360 \quad\Rightarrow\quad \text{oorspronklik} = \frac{360}{0.80} = \text{R}450$$

Kontroleer: $450 \times 0.8 = 360$ ✓

Waarom die ander verkeerd is:

• A (R288) gee weer afslag — die masjien word vorentoe gedraai in plaas van agtertoe.
• B (R300) deel deur 1.2 — die stap wat ’n verhoging van 20 % ongedaan maak. ’n Afslag het die prys met 0.8 vermenigvuldig, dus beteken ongedaan maak om deur 0.8 te deel.
• C (R432) tel 20 % by die afslagprys. Die 20 % het van die groter oorspronklike prys afgekom, dus kan 20 % van die kleiner prys dit nie herstel nie.

Onthou: Die oorspronklike is vermenigvuldig met 0.80, herstel dit dus deur deur 0.80 te deel. Moet nooit die persentasie weer bytel nie — en pas altyd die afslag weer toe om te kontroleer.

---

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Stel op.

Laat die drie getalle $2k\mathclose{,}$ $3k\mathclose{,}$ $5k$ wees.

$$2k + 3k + 5k = 200 \implies 10k = 200 \implies k = 20$$

Stap 2 — Vind die grootste.

$$5k = 5 \times 20 = 100$$

Waarom die ander verkeerd is:

• B (60) is die middelste getal $(3k)$ en A (40) is die kleinste $(2k)$ — albei is korrekte waardes uit die korrekte bewerking, gekoppel aan die verkeerde woord. "Grootste" doen die werklike werk in hierdie vraag.
• C (80) neem $\frac{2}{5}$ van die totaal — ’n breuk gebou uit die verhouding se buitenste syfers (2 en 5) in plaas van uit deel-oor-som $(\frac{5}{10})\mathclose{.}$

Onthou: Met drie verhoudingsdele, een veranderlike: $2k + 3k + 5k = 200$ gee $k = 20\mathclose{,}$ dus is die dele 40, 60, 100. Elke deel se aandeel van die geheel is (sy syfers)/(som van die syfers) — die grootste is $\frac{5}{10} = 50\%\mathclose{,}$ en die helfte van 200 is 100 ✓.

---

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Laat $y$ in albei verhoudings ooreenstem. Dit is 4 in die eerste en 2 in die tweede, skaal dus die tweede op: $$y:z = 2:5 = 4:10$$

Stap 2 — Skakel hulle aanmekaar. $x:y:z = 3:4:10$

Stap 3 — Lees af. $x:z = 3:10$

Waarom die ander verkeerd is:

• A $(3:5)$ neem die buitenste getalle soos hulle staan. Maar $x$ se 3 word teen $y=4$ gemeet en $z$ se 5 teen $y=2$ — twee verskillende maatstawwe.
• C $(15:8)$ vermenigvuldig kruislings, dieselfde maatstaffout.
• B $(6:5)$ skommel getalle sonder enige gedeelde $y$ hoegenaamd.

Onthou: Skaal albei verhoudings totdat die gedeelde middelterm ooreenstem, en lees dan die endes af. Of vermenigvuldig die breuke: $\frac{x}{z} = \frac34 \cdot \frac25 = \frac{3}{10}\mathclose{.}$

---

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Vind die suur. Dit verander nooit wanneer water bygevoeg word nie. $$40\% \times 50 = 20 \text{ liter}$$

Stap 2 — Stel die nuwe konsentrasie op met $w$ liter water bygevoeg: $$\frac{20}{50+w} = 0.25$$

Stap 3 — Los op. $20 = 12.5 + 0.25w \Rightarrow w = 30$

Kontroleer: $\frac{20}{80} = 25\%$ ✓

Waarom die ander verkeerd is — al drie is getalle wat regstreeks uit die vraag gelig is:

• A (7.5) neem die daling in konsentrasie, 15 %, as 15 % van die 50 liter. Die suur gaan nie weg nie; dit word deur meer vloeistof versprei.
• B (20) is die hoeveelheid suur, die een ding wat nooit verander nie.
• C (25) eggo een van die persentasies. Persentasies is nie volumes nie.

Onthou: Anker op wat konstant bly (die suur) en laat die totaal verander. Kontroleer dan jou antwoord as ’n konsentrasie — eggo-opsies kan dit nie oorleef nie.

---

Afdeling 5 — Pariteit: Onewe en Ewe Uitdrukkings

’n Getal is ewe as dit deur 2 deelbaar is, en onewe as dit nie is nie. Sleutelreëls: - ewe ± ewe = ewe; onewe ± onewe = ewe; ewe ± onewe = onewe - ewe × enigiets = ewe; onewe × onewe = onewe

---

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Toets elkeen met $n = 4$ (ewe).

A) $4 + 2 = 6$ — ewe.

B) $4 + 1 = 5$ — onewe. ✓

C) $2(4) = 8$ — ewe.

D) $4^2 = 16$ — ewe.

Stap 2 — Bewys dat B altyd onewe is.

$n$ is ewe beteken $n = 2k$ vir een of ander heelgetal $k\mathclose{.}$ Dan is $n + 1 = 2k + 1$ — altyd onewe.

Onthou: Ewe + onewe = onewe. $n$ ewe, $1$ onewe → $n + 1$ onewe. Al die ander opsies tel ewe getalle op of vermenigvuldig hulle, wat die resultaat ewe hou.

---

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Pas die pariteitsreëls toe.

A) $p + q\mathclose{:}$ onewe + ewe = onewe. Nie altyd ewe nie.

B) $p - q\mathclose{:}$ onewe − ewe = onewe. Nie altyd ewe nie.

C) $p \cdot q\mathclose{:}$ onewe × ewe = ewe. ✓ (Enige veelvoud van ’n ewe getal is ewe.)

D) $p^2 + q\mathclose{:}$ $(p^2)$ — onewe² = onewe. onewe + ewe = onewe. Nie altyd ewe nie.

Onthou: Vermenigvuldiging met ’n ewe getal gee altyd ’n ewe resultaat — die faktor 2 in $q$ maak die produk deelbaar deur 2, ongeag $p\mathclose{.}$

---

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Toets elkeen.

A) $m^2 + n\mathclose{:}$ onewe² = onewe; onewe + onewe = ewe. Altyd ewe, nie onewe nie.

B) $m + n\mathclose{:}$ onewe + onewe = ewe. Altyd ewe.

C) $m \cdot n\mathclose{:}$ onewe × onewe = onewe. Altyd onewe. ✓

D) $m - n\mathclose{:}$ onewe − onewe = ewe. Altyd ewe.

Stap 2 — Formele bewys vir C.

$m = 2a+1\mathclose{,}$ $n = 2b+1$ vir heelgetalle $a, b\mathclose{.}$

$mn = (2a+1)(2b+1) = 4ab + 2a + 2b + 1 = 2(2ab + a + b) + 1$

Dit is van die vorm $2k + 1$ — altyd onewe.

Onthou: Die produk van twee onewe getalle is altyd onewe. Opsies A, B en D is almal altyd ewe wanneer albei insette onewe is — ’n resultaat wat baie studente verras.

---

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Skryf as $n\mathclose{,}$ $n+1\mathclose{,}$ $n+2\mathclose{.}$

Toets opsie D: $p + q = n + (n+1) = 2n + 1$ — altyd onewe. Skakel uit.

Toets opsie A: $p + q + r = 3n + 3 = 3(n+1)\mathclose{.}$ As $n = 2\mathclose{:}$ $3(3) = 9$ (onewe). Nie altyd ewe nie. Skakel uit.

Toets opsie C: As $n = 2\mathclose{:}$ $4 + 9 + 16 = 29$ (onewe). Skakel uit.

Toets opsie B: $pqr = n(n+1)(n+2)\mathclose{.}$ Onder enige 3 opeenvolgende heelgetalle is ten minste een ewe. ’n Ewe faktor maak die hele produk ewe. ✓

Onthou: Onder enige stel opeenvolgende heelgetalle is ten minste een ewe. Daarom is hulle produk altyd ewe. Trouens, $n(n+1)(n+2)$ is altyd deelbaar deur $3! = 6\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is: A is $3q\mathclose{,}$ wat net ewe is wanneer $q$ dit is. D is altyd ONEWE — twee opeenvolgende heelgetalle is een ewe en een onewe. C werk vir $1, 2, 3$ maar nie vir $2, 3, 4$ nie: $4 + 9 + 16 = 29\mathclose{.}$ Een teenvoorbeeld is genoeg om ’n “altyd” te sneuwel.

---

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Onthou wanneer ’n som onewe is.

$x + y$ is onewe ⟺ presies een van $x\mathclose{,}$ $y$ is onewe (verskillende pariteite).

Stap 2 — Pas toe op $a + b\mathclose{.}$

$a + b$ is onewe → $a$ en $b$ het verskillende pariteite. Dus is die een ewe en die ander onewe.

Stap 3 — Bevestig met $a - b\mathclose{.}$

$a - b = a + (-b)\mathclose{.}$ Die pariteit van $-b$ is gelyk aan die pariteit van $b\mathclose{.}$ Dus beteken $a - b$ onewe dat $a$ en $b$ ook verskillende pariteite het — konsekwent.

Stap 4 — Kontroleer opsie D.

As $a$ ewe is en $b$ onewe: $a^2$ ewe, $b^2$ onewe, $a^2 + b^2$ = onewe. Dus is D vals (dit sou onewe wees, nie ewe nie).

Onthou: Dat $a + b$ en $a - b$ albei gelyktydig onewe is, dwing verskillende pariteite af. Kontroleer opsie D versigtig — dat $a^2 + b^2$ "ewe" is, klink aanneemlik maar is eintlik vals wanneer die pariteite verskil.

---

Afdeling 6 — Laaste Syfer van Groot Magte

Die eenhedesyfer van $n^k$ volg ’n herhalende siklus. Om die eenhedesyfer van $n^k$ te vind: 1. Vind die siklus van eenhedesyfers vir magte van $n$ (siklusse van lengte 1, 2 of 4). 2. Vind $k \bmod \text{sikluslengte}\mathclose{.}$ 3. Die res gee die posisie in die siklus (res 0 beteken die laaste posisie).

Waarom die ander verkeerd is: A en B gee albei ’n EWE som — ewe + ewe en onewe + onewe. D misluk juis vir die paar wat wél werk: ’n onewe kwadraat plus ’n ewe kwadraat is onewe.

---

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Vind die siklus van eenhedesyfers.

$7^1 = 7\mathclose{,}$ $7^2 = 49\mathclose{,}$ $7^3 = 343\mathclose{,}$ $7^4 = 2401$ — dus is die siklus 7, 9, 3, 1, lengte 4.

Stap 2 — Vind $7^{20}$ se plek. $20 \div 4 = 5$ res 0, wat die laaste posisie beteken: syfer 1.

Waarom die ander verkeerd is: C (7), D (9) en B (3) is posisies 1, 2 en 3 van dieselfde siklus. Die hele vraag draai om een konvensie: res 0 beteken die laaste posisie, want $7^4, 7^8, 7^{12}$ eindig almal waar $7^4$ eindig.

Onthou: Magte van 7 (en 3) herhaal elke 4. Enige eksponent wat deur 4 deelbaar is, land op 1. Anker dit met $7^4 = 2401$ wanneer jy ook al die konvensie betwyfel.

---

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Vind die siklus.

$3^1 = 3$ → 3; $3^2 = 9$ → 9; $3^3 = 27$ → 7; $3^4 = 81$ → 1.

Siklus: 3, 9, 7, 1 (lengte 4).

Stap 2 — Vind die posisie van $3^{100}\mathclose{.}$

$$100 \div 4 = 25 \text{ res } 0$$

Res 0 → laaste posisie in die siklus → eenhedesyfer 1.

Waarom die ander verkeerd is: B (3), D (9) en C (7) is siklusposisies 1, 2 en 3 — die volledige spyskaart van foute met die hantering van die res. Die verleidelikste is B: "magte van 3 eindig op 3." Dit is waar — een keer elke vier eksponente. 100 is ’n veelvoud van 4, dus sit $3^{100}$ aan die einde van die siklus, nie aan sy begin nie.

Onthou: Magte van 3 en 7 deel ’n siklus van lengte 4 en land albei op 1 wanneer die eksponent ’n veelvoud van 4 is. Die koeëlvaste vorm: $3^{100} = (3^4)^{25} = 81^{25}\mathclose{,}$ en ’n getal wat op 1 eindig, eindig steeds op 1 tot watter mag ook al verhef ✓.

---

Antwoord: C

Verduideliking

Albei siklusse het lengte 4, dus dien een deling vir albei: $103 = 4 \times 25 + 3\mathclose{,}$ posisie 3.

• Die siklus van 2 is 2, 4, 8, 6 → posisie 3 gee 8
• Die siklus van 3 is 3, 9, 7, 1 → posisie 3 gee 7

Tel op: $8 + 7 = 15\mathclose{,}$ dus is die eenhedesyfer 5.

Waarom die ander verkeerd is:

• A (1) het die een siklus reg gelees en die ander na sy begin teruggestel. Dieselfde eksponent beteken dieselfde posisie in albei.
• B (3) het albei siklusse een posisie te vroeg gelees.
• D (7) het 103 as ’n veelvoud van 4 hanteer, en op albei siklusse se endes geland.

Onthou: Vind elke eenhedesyfer, tel hulle op, en neem dan die eenhedesyfer van daardie klein sommetjie. Bereken die res net een keer wanneer die siklusse ’n lengte deel.

---

Antwoord: B

Verduideliking

Die siklus van 7 het lengte 4, dus het jy die boonste eksponent $7^7$ modulo 4 nodig.

Aangesien $7 \equiv 3 \pmod 4$ en $7^2 \equiv 1 \pmod 4\mathclose{:}$ $$7^7 = (7^2)^3 \times 7 \equiv 1 \times 3 = 3 \pmod 4$$

Posisie 3 in die siklus 7, 9, 3, 1 gee eenhedesyfer 3.

Waarom die ander verkeerd is:

• C (7) plat die toring af tot $(7^7)^7 = 7^{49}\mathclose{.}$ ’n Toring word van bo af gelees: $7^{(7^7)}$ is ’n geweldig groter getal.
• A (1) en D (9) kom van verwarde rekenkunde op die boonste eksponent. Doen die klein berekening eerlik.

Onthou: ’n Toring $a^{b^c}$ beteken $a^{(b^c)}\mathclose{,}$ nooit $(a^b)^c$ nie. Verminder die boonste eksponent modulo die siklus se lengte, en lees dan die siklus — twee piepklein berekeninge vervang ’n astronomiese getal.

---

Afdeling 7 — Tel en Permutasies

Fundamentele reël: As gebeurtenis A op $m$ maniere kan gebeur en gebeurtenis B op $n$ maniere, dan kan A gevolg deur B op $m \times n$ maniere gebeur.

Permutasie (volgorde maak saak, geen herhaling nie): $n \times (n-1) \times \cdots$ vir soveel plekke as wat nodig is.

Kombinasie (volgorde maak nie saak nie): $\dbinom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\mathclose{.}$

---

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Tel die keuses vir elke posisie.

Posisie 1: 4 boeke om uit te kies. Posisie 2: 3 oorblywende boeke. Posisie 3: 2 oorblywende boeke. Posisie 4: 1 oorblywende boek.

Stap 2 — Vermenigvuldig.

$$4 \times 3 \times 2 \times 1 = 4! = 24$$

Waarom die ander verkeerd is:

• D (256) is $4^4$ — elke rakposisie kry al vier boeke, asof een boek op verskeie plekke tegelyk kon staan. Magte tel mét herhaling; rangskikkings verklein die poel elke keer.
• B (16) is $4^2$ — ’n half-onthoue "vermenigvuldig die 4 met iets"-instink.
• A (4) tel die boeke, nie die rangskikkings nie — die opsie sonder werk.

Onthou: Om $n$ verskillende voorwerpe in ’n ry te rangskik gee $n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1\mathclose{;}$ hier $4! = 24\mathclose{.}$ Die krimpende faktore (4, 3, 2, 1) is die handtekening van "geen herhaling nie" — as jou faktore nie krimp nie, het jy klone toegelaat.

---

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Tel die keuses vir elke syferposisie.

Honderdesyfer: 5 keuses. Tienesyfer: 4 oorblywende keuses. Eenhedesyfer: 3 oorblywende keuses.

Stap 2 — Vermenigvuldig.

$$5 \times 4 \times 3 = 60$$

Waarom die ander verkeerd is:

• B (120) is $5!$ — die rangskikking van al vyf syfers, maar die getal het net drie posisies.
• C (125) is $5^3$ — herhaling toegelaat, vyf keuses vir elke plek. Die woorde "geen syfer mag herhaal word nie" is presies wat $5 \times 5 \times 5$ in $5 \times 4 \times 3$ verander.
• D (243) is $3^5$ — die 3 en die 5 omgeruil, en boonop met herhaling toegelaat. Daar is vyf syfers om uit te kies, vir ’n getal wat drie syfers lank is.

Onthou: Dit is die permutasie $P(5,3) = 5 \times 4 \times 3 = 60\mathclose{:}$ een faktor per posisie, wat elke keer met een krimp. Pas die aantal faktore by die aantal plekke aan, en laat "geen herhaling nie" hulle krimp.

---

Antwoord: B

Verduideliking

Volgorde maak saak — die twee rolle is verskillend. President: 5 keuses. Visepresident: 4 oor.

$$5 \times 4 = 20$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A (10) is die komitee-telling $\binom52$ — slegs reg as die rolle onderling verwisselbaar was. President-Thabo/VP-Amina verskil van die omgekeerde, dus tel elke paar twee keer.
• C (25) is $5^2\mathclose{,}$ wat een student albei ampte laat beklee.
• D (120) is $5!$ — al vyf studente word in ’n ry gerangskik. Net twee ampte word gevul, dus stop die telling ná twee keuses: $5 \times 4\mathclose{.}$

Onthou: Benoemde rolle → volgorde maak saak → permutasie. Onbenoemde komitee → volgorde maak nie saak nie → kombinasie. Die faktor 2 tussen 20 en 10 is presies die twee ordeninge van elke paar.

---

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Tel die letters.

L, E, V, E, L — vyf letters: L verskyn twee keer, E verskyn twee keer, V verskyn een keer.

Stap 2 — Gebruik die formule vir rangskikkings met herhalings.

$$\frac{5!}{2! \times 2!} = \frac{120}{2 \times 2} = \frac{120}{4} = 30$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A (20) deel deur $3! = 6$ — die vier herhaalde letters (L, L, E, E) word in een groep "herhalings" saamgegooi. Die deler is per letter: $2! \times 2! = 4\mathclose{,}$ nie $3!$ nie.
• C (60) deel deur net een $2!$ — die herhaalde L’e is hanteer, die herhaalde E’e vergeet. Elke herhaalde letter het sy eie faktoriaal nodig.
• D (120) is $5!$ — al vyf letters word as verskillend behandel, asof die twee L’e verskillende kleure was. Om identiese letters om te ruil lewer dieselfde woord, dus tel 120 elke rangskikking vier keer.

Onthou: Rangskikkings met herhalings: $\frac{n!}{k_1!\,k_2!\cdots}$ — een faktoriaal vir elke letter afsonderlik getel. LEVEL: $\frac{5!}{2!\,2!} = 30\mathclose{.}$ Tel die letters op ’n lys voordat jy aan die formule raak.

---

Antwoord: D

Verduideliking

Rooies: kies 2 uit 4 → $\binom{4}{2} = 6$

Nie-rooies: kies 1 uit die ander 5 (3 blou + 2 groen) → $\binom{5}{1} = 5$

Vermenigvuldig: $6 \times 5 = 30$

Waarom die ander verkeerd is — elkeen bederf een faktor:

• A (11) tel die twee tellings op, $6 + 5\mathclose{.}$ Om die rooies te kies en dan die derde albaster is opeenvolgende keuses, en opeenvolgende keuses vermenigvuldig.
• B (20) het $4 \times 5$ gebruik: om ’n paar rooies te kies is nie dieselfde as om een te kies nie.
• C (24) het $6 \times 4$ gebruik: die nie-rooi poel is 5, groenes ingesluit.

Onthou: Vir "presies $k$ van tipe X": $\binom{|X|}{k} \times \binom{\text{ander}}{\text{res}}\mathclose{.}$ Benoem elke faktor terwyl jy dit neerskryf — elke verkeerde opsie hier is ’n verkeerd benoemde faktor.

---

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Vul die beperkte plek eerste. Ewe beteken die eenhedesyfer is 2, 4 of 6 — 3 keuses.

Stap 2 — Vul die res uit die 4 syfers wat oorbly: $4 \times 3 \times 2 = 24$

Stap 3 — Vermenigvuldig: $3 \times 24 = 72$

Waarom die ander verkeerd is:

• A (48) het net 2 ewe syfers getel, en die 6 misgekyk.
• C (96) het 4 getel, en ’n onewe syfer op die ewe hoop ingevee.
• D (120) is $5 \times 4 \times 3 \times 2$ — elke 4-syfergetal uit hierdie syfers, met die woord ewe geïgnoreer.

Onthou: Vul die mees beperkte plek eerste, dan die vrye plekke. Wanneer ’n beperking ’n eienskap noem, lys die elemente wat dit werklik het — om daardie versameling verkeerd te tel is die hele spel.

---

Afdeling 8 — Gemiddeld, Mediaan en Geweegde Gemiddeld

Gemiddeld = som van alle waardes ÷ aantal waardes. Mediaan = middelste waarde wanneer die data gesorteer is (vir ’n ewe aantal, neem die gemiddeld van die twee middelste waardes). Geweegde gemiddeld = $\dfrac{\sum (\text{gewig} \times \text{waarde})}{\sum \text{gewigte}}\mathclose{.}$

---

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Tel die waardes op.

$$60 + 72 + 68 + 75 + 80 = 355$$

Stap 2 — Deel deur 5.

$$\text{Gemiddeld} = \frac{355}{5} = 71$$

Waarom die ander verkeerd is: C (72) en D (75) is waardes wat in die datastel sit — eggo-aas vir enigeen wat "die middel met die oog skat". A (70) is die ronde getal naaste aan die waarheid, die beloning vir die skatting van die som in plaas daarvan om dit te bereken. Nie een van die drie is gelyk aan $355 \div 5$ nie, en daardie deling is die enigste gesag.

Onthou: Bou die som in ’n lopende ketting op — $60 + 72 = 132\mathclose{;}$ $+68 = 200\mathclose{;}$ $+75 = 275\mathclose{;}$ $+80 = 355$ — en deel dan een keer: $355 \div 5 = 71\mathclose{.}$ Om geketting op te tel met ’n kontrolepunt by elke stap is hoe jy "skoon lykende" verkeerde opsies sonder ’n sakrekenaar klop.

---