Hoofstuk 3 — Funksies en Grafieke

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Vervang $x = -1$ versigtig.

$$f(-1) = 2(-1)^2 + 3(-1) - 4$$

Stap 2 — Evalueer elke term.

$(-1)^2 = 1\mathclose{,}$ dus $2(1) = 2\mathclose{.}$

$3(-1) = -3\mathclose{.}$

$$f(-1) = 2 + (-3) + (-4) = 2 - 3 - 4 = -5$$

Stap 3 — Kontroleer waar elke afleier vandaan kom.

A) $-9\mathclose{:}$ Die student hanteer $(-1)^2 = -1$ in plaas van $+1\mathclose{,}$ wat $2(-1) - 3 - 4 = -9$ gee. Kwadrering lewer altyd ’n nie-negatiewe resultaat — $(-1)^2 = (-1)(-1) = +1\mathclose{.}$

C) $1\mathclose{:}$ Die student vervang $x = 1$ (en ignoreer die negatief), wat $2 + 3 - 4 = 1$ gee.

D) $3\mathclose{:}$ Die student maak ’n tekenfout op die konstante, en lees $-4$ as $+4\mathclose{:}$ $2 - 3 + 4 = 3\mathclose{.}$

Onthou: Wanneer die inset negatief is, skryf dit in hakies — $(-1)^2$ — voordat jy vereenvoudig. Laat die hakies nooit weg nie; $-1^2 = -(1^2) = -1\mathclose{,}$ maar $(-1)^2 = +1\mathclose{.}$

Antwoord: A

Verduideliking

Vervang elke $x$ met $(a+1)\mathclose{,}$ en brei dan uit:

$$f(a+1) = 5(a+1) + 3 = 5a + 5 + 3 = 5a + 8$$

Waarom die ander verkeerd is:

• B $(5a+3)$ het $f(a)$ geëvalueer — die $+1$ is geïgnoreer.
• C $(5a+4)$ het $5a + 1 + 3$ geskryf, en vergeet om die 1 met 5 te vermenigvuldig.
• D $(5a+11)$ het die funksie as additief hanteer: $f(a) + f(1)\mathclose{.}$ Funksies verdeel nie oor optelling nie.

Onthou: $f(\square) = 5(\square) + 3$ — die blokkie hou die hele nuwe uitdrukking, hakies en al.

Antwoord: D

Verduideliking

Die reël: ’n verwantskap is ’n funksie wanneer elke inset presies een uitset het.

• A — inset 1 gee beide 2 en 3. Nie ’n funksie nie.
• B — $x^2+y^2=9$ is ’n sirkel; $x=0$ gee $y=\pm3\mathclose{.}$ Nie ’n funksie nie.
• C — die vertikale lyn $x=3$ stuur een inset na elke $y$ gelyktydig. Nie ’n funksie nie.
• D — $1\to5\mathclose{,}$ $2\to5\mathclose{,}$ $3\to7\mathclose{.}$ Elke inset het een uitset ✓ Twee insette wat ’n uitset deel, is in orde.

Onthou: Twee insette mag ’n uitset deel; een inset mag nooit twee hê nie. Dit is presies wat die vertikalelyntoets nagaan — as ’n vertikale lyn die grafiek twee keer sny, is dit nie ’n funksie nie.

Antwoord: B

Verduideliking

$g(f(x))$ beteken pas eers $f$ toe, dan $g\mathclose{.}$ Die inset vir $g$ is dus $2x+1\mathclose{:}$

$$g(f(x)) = (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A $(4x^2+1)$ het die middelterm laat val. ’n Binoomkwadraat het altyd drie terme.
• D $(2x^2+1)$ het eerder $f(g(x))$ bereken — samestelling is nie kommutatief nie.
• C $(4x^2+2x+1)$ het $a^2+ab+b^2$ gebruik, en die faktor van 2 gemis.

Onthou: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ — die middelterm is $2ab\mathclose{.}$ Lees $g(f(x))$ as "sit $f(x)$ in $g$", en werk van binne na buite.

Antwoord: A

Verduideliking

Vervang $-x$ en vergelyk met $f(x)\mathclose{:}$

$$f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 = x^4 - 3x^2 = f(x)$$

Aangesien $f(-x) = f(x)\mathclose{,}$ is die funksie ewe.

Waarom die ander verkeerd is:

• B (onewe) sou $f(-x) = -f(x)$ vereis, dit wil sê $-x^4+3x^2\mathclose{.}$ Nie gelyk nie.
• C beweer gemengde eksponente. Albei eksponente hier (4 en 2) is ewe — en dit is presies waarom dit werk.
• D sê polinome kan nie ewe of onewe wees nie. Hulle is die algemeenste voorbeelde: $f(x)=x^2$ is die eenvoudigste ewe een.

Onthou: Ewe eksponente deurgaans → ewe funksie. Een term met ’n onewe eksponent tussen hulle maak die funksie nie een van die twee nie.

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Stel die vergelyking op.

$$3x - 7 = 14$$

Stap 2 — Los op.

$$3x = 21 \implies x = 7$$

Stap 3 — Verduidelik elke fout.

B) $\dfrac{14}{3}\mathclose{:}$ Die student los $3x = 14$ op (ignoreer die $-7\mathclose{,}$ en hanteer die vergelyking asof $g(x) = 3x)\mathclose{.}$

A) $3\mathclose{:}$ Die student bereken $3x = 21$ korrek maar deel dan $21$ deur $7$ (die antwoord) in plaas van deur $3\mathclose{:}$ $21 \div 7 = 3\mathclose{.}$

D) $63\mathclose{:}$ Die student kry $3x = 21$ korrek maar vermenigvuldig dan eerder as om te deel: $21 \times 3 = 63\mathclose{.}$

Onthou: Isoleer die veranderlike altyd deur dieselfde bewerking op albei kante te doen. Ná die optel van 7: $3x = 21\mathclose{.}$ Om albei kante deur 3 te deel, gee $x = 7\mathclose{,}$ nie $x = 21 \times 3$ nie.

Antwoord: D

Verduideliking

Kies die regte stuk vir elke inset. $-2 < 0$ gebruik die eerste; $3 \geq 0$ gebruik die tweede.

$$f(-2) = (-2)^2 - (-2) = 4 + 2 = 6 \qquad f(3) = 2(3)+1 = 7$$ $$f(-2) + f(3) = 13$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A (3) het die verkeerde stuk vir albei insette gebruik.
• B (9) het ’n teken laat glip: het $-(-2)$ as $-2$ gelees, wat $f(-2)=2$ gee.
• C (12) het die $+1$ uit $f(3)$ laat val.

Onthou: Skryf neer watter stuk jy gebruik voordat jy vervang. Een ekstra sekonde voorkom die algemeenste fout hier.

Afdeling 2 — Definisieversameling en Waardeversameling

Die definisieversameling is die versameling van alle geldige insette; die waardeversameling is die versameling van alle moontlike uitsette. Twee reëls beheer die beperkings op die definisieversameling van standaardfunksies: jy kan nie die vierkantswortel van ’n negatiewe getal neem nie (dus moet die uitdrukking onder ’n wortel $\geq 0$ wees), en jy kan nie deur nul deel nie (dus moet die noemer $\neq 0$ wees). Logaritmes voeg ’n derde by: die argument moet streng positief wees. Vir die waardeversameling, vra watter waardes die uitset moontlik kan bereik — dikwels die maklikste deur aan die grafiek te dink.

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Vereis dat die uitdrukking onder die wortel nie-negatief is.

$$x - 3 \geq 0 \implies x \geq 3$$

Stap 2 — Kontroleer die grenswaarde.

By $x = 3\mathclose{:}$ $\sqrt{3 - 3} = \sqrt{0} = 0\mathclose{.}$ Dit is gedefinieer, dus is $x = 3$ ingesluit. Die definisieversameling gebruik $\geq\mathclose{,}$ nie $>$ nie.

Stap 3 — Verduidelik foute.

A) $x > 3\mathclose{:}$ Sluit $x = 3$ uit, maar $\sqrt{0} = 0$ is heeltemal gedefinieer. Die streng ongelykheid is verkeerd.

D) $x \leq 3\mathclose{:}$ Keer die ongelykheid heeltemal om.

C) Alle reële getalle: Ignoreer die beperking. $f(2) = \sqrt{-1}\mathclose{,}$ wat nie reëel is nie.

Onthou: Definisieversamelings van vierkantswortels gebruik $\geq 0$ (nie $> 0$ nie), want nul is ’n geldige inset: $\sqrt{0} = 0\mathclose{.}$ Slegs die vierkantswortel van ’n streng negatiewe getal is ongedefinieer in die reële getalle.

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Identifiseer wanneer die noemer gelyk aan nul is.

$$x - 4 = 0 \implies x = 4$$

Stap 2 — Noem die definisieversameling.

Alle reële getalle is geldige insette behalwe $x = 4\mathclose{,}$ wat die noemer nul maak (deling deur nul is ongedefinieer).

Stap 3 — Spoor die foute na.

B) $x > 4\mathclose{:}$ Sluit alle waardes kleiner as 4 onnodig uit — $f(0) = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}$ is heeltemal gedefinieer.

C) $x \geq 4\mathclose{:}$ Sluit waardes $< 4$ uit en sluit steeds die problematiese $x = 4$ in.

A) Alle reële getalle: Hou nie rekening met $x = 4$ nie, waar die funksie ongedefinieer is.

Onthou: ’n Rasionale funksie is slegs ongedefinieer waar die noemer gelyk aan nul is. Elke ander reële getal is ’n geldige inset, insluitend negatiewes en getalle kleiner as 4.

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Vind die minimum van $x^2 + 2\mathclose{.}$

$x^2 \geq 0$ vir alle reële $x\mathclose{,}$ met minimumwaarde $0$ by $x = 0\mathclose{.}$

Deur 2 by te tel: $f(x) = x^2 + 2 \geq 0 + 2 = 2\mathclose{.}$

Stap 2 — Kontroleer of die minimum bereik word.

By $x = 0\mathclose{:}$ $f(0) = 0 + 2 = 2\mathclose{.}$ Die waarde 2 word bereik, dus sluit die waardeversameling 2 in.

$$\text{Waardeversameling: } y \geq 2$$

Stap 3 — Verduidelik foute.

A) $y \geq 0\mathclose{:}$ Ignoreer die $+2$-verskuiwing — dit sou die waardeversameling van $y = x^2$ wees, nie $y = x^2 + 2$ nie.

B) Alle reële getalle: Sou negatiewe uitsette vereis, maar $x^2 + 2 \geq 2 > 0$ altyd.

D) $y > 2\mathclose{:}$ Sluit $y = 2$ uit, maar $f(0) = 2\mathclose{,}$ dus is 2 in die waardeversameling.

Onthou: Die waardeversameling van $f(x) = x^2 + c$ is $y \geq c\mathclose{,}$ want $x^2 \geq 0$ en die verskuiwing $c$ skuif die minimum op na $c\mathclose{.}$

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Vereis dat die radikand nie-negatief is.

$$4 - x^2 \geq 0$$

Stap 2 — Los die ongelykheid op.

$$x^2 \leq 4 \implies |x| \leq 2 \implies -2 \leq x \leq 2$$

Stap 3 — Verifieer die grenswaardes.

By $x = \pm 2\mathclose{:}$ $4 - 4 = 0 \geq 0\mathclose{.}$ Albei eindpunte is geldig.

Stap 4 — Verduidelik foute.

C) $x \geq -2\mathclose{:}$ Vang die linkergrens korrek maar mis die regterkant: vir $x = 3\mathclose{,}$ $4 - 9 = -5 < 0$ — ongedefinieer.

B) $x \leq 2\mathclose{:}$ Vang die regtergrens maar mis die linkerkant: vir $x = -3\mathclose{,}$ $4 - 9 = -5 < 0$ — ongedefinieer.

D) $x \geq 0\mathclose{:}$ Beperk tot slegs nie-negatiewe insette, en verloor die linkerhelfte van die geldige definisieversameling.

Onthou: Wanneer die radikand ’n afwaarts-openende uitdrukking $c - x^2$ is, is die definisieversameling ’n geslote interval $[-\sqrt{c},\, \sqrt{c}]\mathclose{.}$ Los altyd albei kante van die ongelykheid gelyktydig op.

Antwoord: B

Verduideliking

Die vorm is $a(x-p)^2+q$ met $a=-1\mathclose{,}$ draaipunt $(1, 9)\mathclose{.}$

Aangesien $a < 0$ open die parabool afwaarts, dus is 9 ’n maksimum:

$$\text{Waardeversameling: } y \leq 9$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A $(y \geq 9)$ hanteer die draaipunt as ’n minimum. Afwaarts-openend beteken maksimum.
• D $(y \geq 0)$ beskryf ’n opwaartse parabool met draaipunt by die oorsprong — twee foute gelyktydig.
• C (alle reële getalle) sou arbitrêr groot waardes vereis, maar die uitdrukking oorskry nooit 9 nie.

Onthou: Die teken van $a$ bepaal die waardeversameling: $a>0$ gee $y \geq q\mathclose{,}$ $a<0$ gee $y \leq q\mathclose{.}$

Antwoord: D

Verduideliking

’n Logaritme benodig ’n streng positiewe argument:

$$2x - 6 > 0 \implies 2x > 6 \implies x > 3$$

Waarom die ander verkeerd is:

• B $(x>6)$ het $2x>6$ bereik en toe vergeet om deur 2 te deel.
• C $(x \geq 3)$ sluit $x=3$ in, waar die argument 0 is — en $\ln(0)$ is ongedefinieer.
• A $(x>0)$ beperk $x$ in plaas van die argument. Die voorwaarde kom van $2x-6\mathclose{,}$ nie van $x$ nie.

Onthou: Vir logs moet die argument $> 0$ wees — streng. Nooit $\geq 0$ nie.

Antwoord: A

Verduideliking

Definisieversameling: die noemer $(x-2)^2$ is slegs by $x=2$ nul, dus $x \neq 2\mathclose{.}$

Waardeversameling: ’n vierkant is oral positief behalwe by $x=2$ (uitgesluit), dus is $f(x) = \frac{1}{(x-2)^2}$ altyd positief. Dit kan nooit gelyk aan 0 wees nie — dit sou $1=0$ vereis. En dit bereik elke positiewe waarde: dit groei sonder grens naby $x=2$ en krimp na 0 toe ver weg. Dus $y > 0\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is:

• B (definisieversameling $x>2)$ sluit die linkerkant uit, maar $f(0) = \frac14$ is heeltemal in orde.
• C (waardeversameling $y \geq 0)$ sluit 0 in, wat $f$ nooit bereik nie.
• D (alle reële getalle) ignoreer $x=2\mathclose{.}$

Onthou: Vir $\frac{1}{(x-p)^2}\mathclose{:}$ definisieversameling $x \neq p\mathclose{,}$ waardeversameling $y > 0\mathclose{.}$ ’n Gekwadreerde noemer maak die uitset streng positief en nooit nul nie.

Afdeling 3 — Lineêre Funksies

’n Reguit lyn in die vorm $y = mx + c$ word volledig beskryf deur sy gradiënt $m$ en sy $y$-afsnit $c\mathclose{.}$ Die gradiënt meet steilheid en rigting: $m = \dfrac{\text{styging}}{\text{loop}} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\mathclose{.}$ Twee lyne is ewewydig as en slegs as hulle gelyke gradiënte het; loodreg as die produk van hulle gradiënte gelyk is aan $-1\mathclose{.}$

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Pas die gradiëntformule toe.

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - 0}{0 - (-2)} = \frac{4}{2} = 2$$

Stap 2 — Verduidelik foute.

D) $4\mathclose{:}$ Die student lees die $y$-afsnit af (waar die lyn die $y$-as by $(0,4)$ sny) en rapporteer dit as die gradiënt.

A) $-2\mathclose{:}$ Die student lees die $x$-afsnit af (die lyn sny die $x$-as by $(-2,0))$ en rapporteer dit as die gradiënt.

B) $\dfrac{1}{2}\mathclose{:}$ Die student keer die breuk om: $\dfrac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{2}{4} = \frac{1}{2}$ (horisontale oor vertikale verandering, in plaas van vertikale oor horisontale).

Onthou: Gradiënt = vertikale verandering $\div$ horisontale verandering = $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\mathclose{.}$ Kies jou twee punte konsekwent: $y_2 - y_1$ bo, $x_2 - x_1$ onder, met dieselfde volgorde van onderskrifte.

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Gebruik die punt-gradiënt-vorm.

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$ $$y - 4 = 3(x - 2)$$

Stap 2 — Brei uit.

$$y - 4 = 3x - 6$$ $$y = 3x - 6 + 4 = 3x - 2$$

Stap 3 — Verduidelik foute.

A) $y = 3x + 4\mathclose{:}$ Die student gebruik die $y$-koördinaat van die gegewe punt direk as die $y$-afsnit: $c = 4\mathclose{.}$ Dit is slegs geldig wanneer die gegewe punt die $y$-afsnit is (dit wil sê wanneer $x_1 = 0)\mathclose{.}$

D) $y = 3x - 4\mathclose{:}$ Die student bereken $c = y_1 - x_1 = 4 - 2 \times \ldots$ of maak ’n rekenfout in die uitbreiding.

C) $y = 3x + 2\mathclose{:}$ Die student gebruik $c = x_1 = 2$ — lees die $x$-koördinaat as die afsnit.

Onthou: Die $y$-afsnit $c$ word gevind deur die gegewe punt in $y = mx + c$ te vervang en op te los: $4 = 3(2) + c \Rightarrow c = 4 - 6 = -2\mathclose{.}$

Antwoord: A

Verduideliking

Gradiënt: $m = \dfrac{9-3}{2-(-1)} = \dfrac{6}{3} = 2$

Afsnit: vervang $(-1, 3)$ in $y = 2x + c\mathclose{:}$ $$3 = 2(-1) + c \implies c = 5$$ $$y = 2x + 5$$

Kontroleer met die ander punt: $2(2)+5 = 9$ ✓

Waarom die ander verkeerd is:

• B $(c=7)$ het die gradiënt van $y$ afgetrek in plaas van $2x_2 = 4\mathclose{.}$
• C $(c=3)$ het $c$ direk van die eerste punt se $y$-koördinaat afgelees.
• D $(c=1)$ het $x_1 = +1$ in plaas van $-1$ gebruik, en die teken verloor.

Onthou: Vervang albei koördinate in $y = mx+c$ en let op die tekens — hier is $2(-1) = -2\mathclose{,}$ nie $+2$ nie.

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Roep die voorwaarde vir ewewydige lyne in gedagte.

Twee lyne is ewewydig as en slegs as hulle dieselfde gradiënt het.

Die gegewe lyn $y = 3x - 7$ het gradiënt $m = 3\mathclose{.}$

Stap 2 — Vind elke opsie se gradiënt.

A) $y = 3x + 7\mathclose{:}$ gradiënt $= 3\mathclose{.}$ Ewewydig.

D) $3y = x + 5 \implies y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3}\mathclose{:}$ gradiënt $= \dfrac{1}{3} \neq 3\mathclose{.}$ NIE ewewydig NIE. ✓

C) $y - 3x = 2 \implies y = 3x + 2\mathclose{:}$ gradiënt $= 3\mathclose{.}$ Ewewydig.

B) $2y = 6x - 1 \implies y = 3x - \dfrac{1}{2}\mathclose{:}$ gradiënt $= 3\mathclose{.}$ Ewewydig.

Onthou: Herrangskik altyd na $y = mx + c$ voordat jy die gradiënt aflees. ’n Koëffisiënt voor $y$ (soos $3y$ of $2y)$ verander die gradiënt met ’n faktor — deel eers albei kante.

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Pas die loodregtheidsvoorwaarde toe.

As twee lyne loodreg is, is die produk van hulle gradiënte $-1\mathclose{:}$

$$m_1 \times m_2 = -1$$

Stap 2 — Los op vir $m_2\mathclose{.}$

$$\frac{1}{4} \times m_2 = -1 \implies m_2 = -4$$

Stap 3 — Verduidelik foute.

B) $\dfrac{1}{4}\mathclose{:}$ Dieselfde gradiënt — dit beskryf ’n ewewydige lyn, nie ’n loodregte een nie.

A) $4\mathclose{:}$ Die resiprook sonder die tekenverandering. Die loodregte gradiënt is die negatiewe resiprook.

C) $-\dfrac{1}{4}\mathclose{:}$ Die negatief sonder die resiprook. Twee afsonderlike bewerkings word vereis: keer die breuk om ÉN verander die teken.

Onthou: Loodregte gradiënt = $-\dfrac{1}{m}\mathclose{.}$ Vir $m = \frac{1}{4}\mathclose{:}$ keer om na $\frac{4}{1} = 4\mathclose{,}$ en negeer dan na $-4\mathclose{.}$

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Stel $y = 0$ (die $x$-afsnit lê op die $x$-as, waar $y = 0)\mathclose{.}$

$$3x - 4(0) = 24$$ $$3x = 24 \implies x = 8$$

Stap 2 — Verduidelik foute.

B) $-6\mathclose{:}$ Die student vind die $y$-afsnit deur $x = 0$ te stel: $-4y = 24 \Rightarrow y = -6$ — dit is die $y$-afsnit, nie die $x$-afsnit nie.

C) $6\mathclose{:}$ Die student vind die $y$-afsnit $(y = -6)$ maar neem die absolute waarde daarvan.

A) $-8\mathclose{:}$ Die student maak ’n tekenfout by die deling: $3x = 24 \Rightarrow x = -8$ (negeer verkeerdelik).

Onthou: Vir afsnitte, onthou die reël: $x$-afsnit → stel $y = 0\mathclose{;}$ $y$-afsnit → stel $x = 0\mathclose{.}$ Hulle is verskillende punte en sal gewoonlik verskillende waardes hê.

Antwoord: B

Verduideliking

Stel die twee uitdrukkings gelyk en los op: $$3x - 1 = x + 5 \implies 2x = 6 \implies x = 3$$

Vind dan $y\mathclose{:}$ $y = 3(3) - 1 = 8\mathclose{,}$ dus is die punt $(3, 8)\mathclose{.}$

Kontroleer in die ander vergelyking: $3 + 5 = 8$ ✓

Waarom die ander verkeerd is:

• A $(3, 14)$ het $x=3$ gevind en toe die twee vergelykings verwar met die berekening van $y\mathclose{.}$
• C $(6, 17)$ het $2x = 6$ bereik maar $x = 6$ afgelees, en vergeet om te deel.
• D $(2, 7)$ het ’n teken laat glip: $5 - 1$ in plaas van $5 + 1\mathclose{.}$

Onthou: Stel die twee $y$-uitdrukkings gelyk, los op vir $x\mathclose{,}$ vervang terug — en kontroleer dan in die ander vergelyking.

Afdeling 4 — Parabole

Die parabool $y = a(x - p)^2 + q$ (draaipuntvorm) het sy draaipunt by $(p, q)$ en open opwaarts wanneer $a > 0\mathclose{,}$ afwaarts wanneer $a < 0\mathclose{.}$ Uit standaardvorm $y = ax^2 + bx + c\mathclose{:}$ die simmetrie-as is $x = -\dfrac{b}{2a}\mathclose{,}$ die diskriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ sê vir jou hoeveel $x$-afsnitte daar is, en die $y$-afsnit is eenvoudig $c\mathclose{.}$

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Vind die $x$-koördinaat van die draaipunt.

$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2(1)} = \frac{6}{2} = 3$$

Stap 2 — Vind die $y$-koördinaat.

$$y = (3)^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$$

Draaipunt: $(3, -4)\mathclose{.}$

Stap 3 — Verduidelik foute.

B) $(6, 5)\mathclose{:}$ Die student lees die waardes van $b$ en $c$ direk as die draaipuntkoördinate af — dit is nie draaipuntkoördinate nie.

C) $(3, 4)\mathclose{:}$ Die student vind $x = 3$ korrek maar neem die absolute waarde van $y\mathclose{:}$ $|-4| = 4\mathclose{,}$ en ignoreer die negatiewe teken.

D) $(-3, 4)\mathclose{:}$ Die student negeer die $x$-koördinaat (dalk met die gedagte $x = -b/2a = -3)$ en neem $|y| = 4\mathclose{.}$

Onthou: Die $y$-koördinaat van die draaipunt moet bereken word deur $x = 3$ terug in die oorspronklike vergelyking te vervang. Moenie dit uit die koëffisiënte aflees nie.

Antwoord: D

Verduideliking

Faktoriseer: twee getalle wat tot $+6$ vermenigvuldig en tot $-5$ optel, is $-2$ en $-3\mathclose{.}$ $$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0 \implies x = 2 \text{ of } 3$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A $(1, 6)$ vermenigvuldig tot 6 ✓ maar tel op tot 7 ✗ — faktorpare geraai sonder om die som te kontroleer.
• B $(-2, -3)$ kom van $(x+2)(x+3) = x^2+5x+6$ — verkeerde tekens deurgaans.
• C $(-1, 5)$ tel op tot 4, nie $-5$ nie.

Onthou: Albei voorwaardes moet geld: produk $= c$ en som $= b\mathclose{.}$ Produk $+6$ met som $-5$ dwing albei getalle om negatief te wees.

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Lees die draaipuntvorm $y = a(x - p)^2 + q\mathclose{.}$

Herskryf as $y = -1 \cdot (x - (-2))^2 + 8\mathclose{.}$

Dus $a = -1\mathclose{,}$ $p = -2\mathclose{,}$ $q = 8\mathclose{.}$ Draaipunt: $(-2, 8)\mathclose{.}$

Stap 2 — Bepaal die rigting.

$a = -1 < 0\mathclose{:}$ die parabool open afwaarts.

Stap 3 — Verduidelik foute.

A) Draaipunt $(2, 8)\mathclose{:}$ Die student lees $+2$ as die $p$-waarde, en ignoreer dat $y = a(x - p)^2 + q$ $x - p$ vereis; aangesien ons $x + 2 = x - (-2)$ het, $p = -2\mathclose{.}$

B) Draaipunt $(-2, -8)\mathclose{:}$ Die draaipunt se $x$-koördinaat is korrek, maar die student negeer die $q$-waarde: $-8$ in plaas van $8\mathclose{.}$

D) Draaipunt $(-2, 8)\mathclose{:}$ Albei draaipuntkoördinate is korrek maar die rigting is verkeerd — ’n negatiewe $a$ gee altyd ’n afwaarts-openende parabool.

Onthou: In $y = a(x - p)^2 + q$ is die draaipunt $(p, q)\mathclose{.}$ Let op die teken: $(x + 2) = (x - (-2))\mathclose{,}$ dus $p = -2\mathclose{,}$ nie $+2$ nie.

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Pas die formule toe.

$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2(2)} = \frac{8}{4} = 2$$

Stap 2 — Verduidelik foute.

B) $x = -2\mathclose{:}$ Die student pas die formule as $\dfrac{b}{2a} = \dfrac{-8}{4} = -2$ toe, en vergeet die leidende negatiewe teken in $-\dfrac{b}{2a}\mathclose{.}$ Aangesien $b = -8\mathclose{,}$ benodig ons $-(-8) = +8$ in die teller.

D) $x = 4\mathclose{:}$ Die student gebruik $\dfrac{b}{a} = \dfrac{-8}{2} = -4\mathclose{.}\mathclose{.}\mathclose{.}$ of dalk $\dfrac{|b|}{a} = \dfrac{8}{2} = 4$ (laat die faktor 2 in die noemer weg).

A) $x = -4\mathclose{:}$ Die student gebruik $\dfrac{b}{a} = \dfrac{-8}{2} = -4$ (laat die faktor 2 in $2a$ weg, en behou die teken).

Onthou: Memoriseer $x = -\dfrac{b}{2a}$ as ’n formule — die teller is $-b\mathclose{,}$ die noemer is $2a\mathclose{.}$ Vir $2x^2 - 8x + 3\mathclose{:}$ $a = 2\mathclose{,}$ $b = -8\mathclose{,}$ dus $x = -(-8) / (2 \times 2) = 8/4 = 2\mathclose{.}$

Antwoord: C

Verduideliking

Begin by draaipuntvorm met draaipunt $(2,-3)\mathclose{:}$ $\ y = a(x-2)^2 - 3$

Vervang die punt $(4,5)$ om $a$ te vind: $$5 = a(2)^2 - 3 = 4a - 3 \implies a = 2$$ $$y = 2(x-2)^2 - 3$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A het $a=1$ aangeneem sonder om te kontroleer. By $x=4$ gee dit $y=1\mathclose{,}$ nie 5 nie.
• B gebruik $(x+2)\mathclose{,}$ wat die draaipunt by $-2$ plaas.
• D gebruik $+3\mathclose{,}$ wat die draaipunt by $y=3$ plaas.

Onthou: Die draaipunt gee jou $p$ en $q$ gratis, maar $a$ benodig een ekstra punt. Vervang dit altyd en los op.

Antwoord: A