Mathbench

IEB-oefening · Vraestel II

IEB-oefening: Analitiese meetkunde

8 splinternuwe vrae oor al 13 die onderwerpe in analitiese meetkunde wat die IEB in Vraestel II eksamineer, 100 punte altesaam. Werk elkeen uit en maak dan die antwoord daaronder oop om jouself na te gaan. Niks hier kom uit 'n ou vraestel nie.

Laai die boekie as PDF af · Skryf hierdie vraestel op tyd · English

Die vergelyking van 'n sirkel

2 vrae · 24 punte

112 punte

Die sirkel met middelpunt M het die vergelyking x^2 + y^2 + 4x − 2y − 20 = 0.

xyOMP(1; 5)Q(−2; −5)
  1. (a)
    Bepaal die koördinate van die middelpunt M en die radius van die sirkel.
    (3)
  2. (b)
    Toon aan dat P(1; 5) op die sirkel lê.
    (2)
  3. (c)
    Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan die sirkel by P.
    (4)
  4. (d)
    'n Raaklyn word van Q(−2; −5) af aan die sirkel getrek en raak dit by T. Bepaal die lengte van QT.
    (3)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: M(−2; 1); r = 5

  1. (x + 2)^2 + (y − 1)^2 = 20 + 4 + 1
  2. (x + 2)^2 + (y − 1)^2 = 25
  3. M(−2; 1) en r = √(25) = 5

(b) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

  1. (1)^2 + (5)^2 + 4(1) − 2(5) − 20 = 0
  2. dus lê P op die sirkel

(c) Antwoord: y = −(3/4)x + 23/4

  1. m_MP = (5 − (1))/(1 − (−2)) = 4/3
  2. die raaklyn is loodreg op die radius: m = −3/4
  3. 5 = (−3/4)(1) + c, dus c = 23/4
  4. y = −(3/4)x + 23/4

(d) Antwoord: QT = √11 eenhede

  1. QM^2 = (−2 − (−2))^2 + (−5 − (1))^2 = 36
  2. MT ⊥ QT (radius ⊥ raaklyn), dus QT^2 = QM^2 − r^2
  3. QT^2 = 36 − 25 = 11
  4. QT = √11
212 punte

Sirkel P het middelpunt P(−5; 3) en raak die x-as. Sirkel Q het die vergelyking (x − 3)^2 + (y + 3)^2 = 49.

xyOPQ
  1. (a)
    Skryf die vergelyking van sirkel P neer.
    (2)
  2. (b)
    Bereken die afstand PQ tussen die middelpunte.
    (2)
  3. (c)
    Toon aan dat die sirkels mekaar uitwendig raak.
    (2)
  4. (d)
    Bepaal die koördinate van T, die punt waar die sirkels mekaar raak.
    (3)
  5. (e)
    Bepaal die vergelyking van die gemeenskaplike raaklyn aan die sirkels by T.
    (3)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: (x + 5)^2 + (y − 3)^2 = 9

  1. dit raak die x-as, dus r = |3| = 3
  2. (x + 5)^2 + (y − 3)^2 = 9

(b) Antwoord: PQ = 10 eenhede

  1. PQ = √((3 − (−5))^2 + (−3 − (3))^2)
  2. = 10

(c) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

  1. r_P + r_Q = 3 + 7 = 10 = PQ
  2. ∴ die sirkels raak mekaar uitwendig

(d) Antwoord: T(−13/5; 6/5)

  1. T lê op PQ, 3 eenhede van P af: 3/10 van die pad na Q
  2. (−5 + (3/10)(8); 3 + (3/10)(−6)) = (−13/5; 6/5)

(e) Antwoord: y = (4/3)x + 14/3

  1. m_PQ = −3/4, dus het die raaklyn m = 4/3
  2. 6/5 = (4/3)(−13/5) + c, dus c = 14/3
  3. y = (4/3)x + 14/3

Die afstand tussen twee punte

1 vrae · 14 punte

314 punte

In die diagram word A(3; −1), B(0; 0), D(4; 2) en E(1; 3) gegee. AE en DB sny by C(2; k).

xyOA(3; −1)B(0; 0)D(4; 2)E(1; 3)C
  1. (a)
    Bereken die lengte van AB in eenvoudigste wortelvorm.
    (2)
  2. (b)
    Bepaal die vergelyking van die lyn DB.
    (3)
  3. (c)
    Bepaal die waarde van k.
    (2)
  4. (d)
    Bewys dat AE ⊥ DB.
    (3)
  5. (e)
    Bepaal die grootte van ABˆD, korrek tot een desimale plek.
    (4)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: AB = √10 eenhede

  1. AB = √((0 − (3))^2 + (0 − (−1))^2)
  2. = √(10) = √10

(b) Antwoord: y = (1/2)x

  1. m_DB = (0 − (2))/(0 − (4)) = 1/2
  2. 2 = (1/2)(4) + c, dus c = 0
  3. y = (1/2)x

(c) Antwoord: k = 1

  1. C lê op DB: k = (1/2)(2) + (0)
  2. k = 1

(d) Antwoord: Sien die bewys hieronder.

  1. m_AE = (3 − (−1))/(1 − (3)) = −2
  2. m_AE × m_DB = (−2)(1/2) = −1
  3. ∴ AE ⊥ DB

(e) Antwoord: ABˆD = 45.0°

  1. die hellingshoek van AB is 161.6° en van DB is 26.6°
  2. die lyne maak 135.0°
  3. ABˆD = 45.0° (die supplement daarvan)

Twee sirkels: raak, sny of apart

1 vrae · 10 punte

410 punte

Twee sirkels word gegee: die eerste, met middelpunt A, het die vergelyking (x + 2)^2 + y^2 = 16; die tweede, met middelpunt B, het die vergelyking x^2 + y^2 − 2x + 8y + 8 = 0.

xyOAB
  1. (a)
    Bepaal die middelpunt B en die radius van die tweede sirkel.
    (3)
  2. (b)
    Bepaal die afstand AB tussen die middelpunte.
    (2)
  3. (c)
    Sny die sirkels, raak hulle mekaar, of ontmoet hulle mekaar nie? Motiveer jou antwoord.
    (3)
  4. (d)
    Die tweede sirkel behou sy middelpunt B. Wat moet sy radius wees sodat dit die eerste sirkel uitwendig raak?
    (2)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: B(1; −4); r = 3

  1. voltooi die vierkant in x en in y
  2. (x − 1)^2 + (y + 4)^2 = 9
  3. B(1; −4) en r = 3

(b) Antwoord: AB = 5 eenhede

  1. AB = √((1 − (−2))^2 + (−4 − (0))^2)
  2. = 5

(c) Antwoord: Hulle sny in twee punte.

  1. som van die radiusse: 4 + 3 = 7
  2. AB = 5 en 7 > 5

(d) Antwoord: r = 1

  1. uitwendig raak: r1 + r = AB
  2. r = 5 − 4 = 1

Die middelpunt van 'n lynsegment

2 vrae · 26 punte

514 punte

In die diagram is AB 'n middellyn van die sirkel met middelpunt M, waar A(−4; −3) en B(0; −5).

xyOA(−4; −3)B(0; −5)M
  1. (a)
    Bepaal die koördinate van M, die middelpunt van die sirkel.
    (2)
  2. (b)
    Bepaal die vergelyking van die sirkel.
    (3)
  3. (c)
    Toon aan dat P(−3; −6) op die sirkel lê.
    (2)
  4. (d)
    Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan die sirkel by A.
    (4)
  5. (e)
    Bepaal die y-afsnitte van die sirkel, waar nodig in eenvoudigste wortelvorm.
    (3)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: M(−2; −4)

  1. M is die middelpunt van die middellyn AB
  2. ((−4 + (0))/2; (−3 + (−5))/2) = (−2; −4)

(b) Antwoord: (x + 2)^2 + (y + 4)^2 = 5

  1. r^2 = MA^2 = (−4 − (−2))^2 + (−3 − (−4))^2 = 5
  2. (x + 2)^2 + (y + 4)^2 = 5

(c) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

  1. (−3 − (−2))^2 + (−6 − (−4))^2 = 5 = r^2
  2. ∴ P lê op die sirkel

(d) Antwoord: y = 2x + 5

  1. m_MA = −1/2
  2. die raaklyn is loodreg op die radius MA: m = 2
  3. −3 = (2)(−4) + c, dus c = 5
  4. y = 2x + 5

(e) Antwoord: y = −5 of y = −3

  1. x = 0: (−2)^2 + (y − (−4))^2 = 5
  2. (y − (−4))^2 = 1
  3. y = −5 of y = −3
612 punte

In die diagram is ABCD 'n parallelogram met A(−7; −4), B(−4; 1) en C(−9; 4). Sy hoeklyne sny by M.

xyOA(−7; −4)B(−4; 1)C(−9; 4)D
  1. (a)
    Bepaal die koördinate van M, die punt waar die hoeklyne sny.
    (2)
  2. (b)
    Bepaal vervolgens die koördinate van D.
    (2)
  3. (c)
    Bepaal die lengte van AB in eenvoudigste wortelvorm.
    (2)
  4. (d)
    Bepaal of ABCD 'n reghoek is. Toon jou berekening.
    (3)
  5. (e)
    Bereken die oppervlakte van ΔABC.
    (3)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: M(−8; 0)

  1. die hoeklyne van 'n parallelogram halveer mekaar: M is die middelpunt van AC
  2. M = ((−7 + −9)/2; (−4 + 4)/2) = (−8; 0)

(b) Antwoord: D(−12; −1)

  1. M is ook die middelpunt van BD
  2. D = (2(−8) − (−4); 2(0) − (1)) = (−12; −1)

(c) Antwoord: AB = √34 eenhede

  1. AB = √((−7 − (−4))^2 + (−4 − (1))^2) = √(34)
  2. = √34

(d) Antwoord: Ja: ABCD is 'n reghoek

  1. m_AB × m_BC = (5/3)(−3/5) = −1
  2. dus AB ⊥ BC en die parallelogram het 'n regte hoek

(e) Antwoord: 17 vierkante eenhede

  1. oppervlakte = (1/2)|x_A(y_B − y_C) + x_B(y_C − y_A) + x_C(y_A − y_B)|
  2. = 17

Gradiënt

2 vrae · 26 punte

714 punte

In die diagram is A(3; −4), B(5; 4) en C(0; −2) die hoekpunte van ΔABC.

xyOA(3; −4)B(5; 4)C(0; −2)
  1. (a)
    Bepaal die gradiënt van AB.
    (2)
  2. (b)
    Bepaal θ, die hellingshoek van AB, korrek tot een desimale plek.
    (2)
  3. (c)
    Bepaal die vergelyking van die lyn deur C wat loodreg op AB is.
    (3)
  4. (d)
    D(4; k) lê op dieselfde reguitlyn as A en B. Bepaal k.
    (3)
  5. (e)
    Bepaal die grootte van hoek BAˆC, korrek tot een desimale plek.
    (4)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: m_AB = 4

  1. m_AB = (4 − (−4))/(5 − (3))
  2. = 4

(b) Antwoord: θ = 76.0°

  1. tan θ = 4
  2. θ = 76.0°

(c) Antwoord: y = −(1/4)x − 2

  1. m = −1/(4) = −1/4
  2. −2 = (−1/4)(0) + c, dus c = −2
  3. y = −(1/4)x − 2

(d) Antwoord: k = 0

  1. m_AD = m_AB
  2. (k − (−4))/(4 − (3)) = 4
  3. k = 0

(e) Antwoord: BAˆC = 70.3°

  1. die hellingshoek van AB is 76.0°
  2. m_AC = −2/3, dus is die hellingshoek van AC 146.3°
  3. BAˆC = 146.3° − 76.0°
  4. BAˆC = 70.3°
812 punte

In die diagram is ABCD 'n trapesium met AD ∥ BC. A(2; 4), B(4; 6) en C(7; 3) word gegee, en D lê op die x-as.

xyOA(2; 4)B(4; 6)C(7; 3)D
  1. (a)
    Bepaal die gradiënt van BC.
    (1)
  2. (b)
    Bewys dat ABˆC = 90°.
    (3)
  3. (c)
    Bepaal die vergelyking van AD.
    (3)
  4. (d)
    Bepaal die koördinate van D.
    (2)
  5. (e)
    Bereken die oppervlakte van ΔABC.
    (3)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: m_BC = −1

  1. m_BC = (3 − (6))/(7 − (4)) = −1

(b) Antwoord: Sien die bewys hieronder.

  1. m_AB = 1
  2. m_AB × m_BC = (1)(−1) = −1
  3. ∴ AB ⊥ BC en ABˆC = 90°

(c) Antwoord: y = −x + 6

  1. AD ∥ BC, dus m_AD = −1
  2. 4 = (−1)(2) + c, dus c = 6
  3. y = −x + 6

(d) Antwoord: D(6; 0)

  1. 0 = (−1)x + (6)
  2. x = 6, dus D(6; 0)

(e) Antwoord: 6 vierkante eenhede

  1. AB = 2√2 en BC = 3√2
  2. oppervlakte = ½ × AB × BC (die regte hoek is by B)
  3. = 6

Laai hierdie boekie af

Dieselfde vrae as 'n boekie om te druk, met die memorandum as 'n aparte lêer sodat jy kan werk sonder dat die antwoorde voor jou lê. In Engels en Afrikaans.

Elke vraag op hierdie bladsy is vir hierdie werf deur 'n rekenaarenjin gegenereer, en die antwoord is deur 'n onafhanklike metode bevestig op die oomblik toe die vraag gemaak is.

Alle IEB-oefening · Skryf hierdie vraestel op tyd · English