Mathbench

IEB-oefening · Vraestel I

IEB-oefening: Funksies en grafieke

8 splinternuwe vrae oor al 10 die onderwerpe in funksies en grafieke wat die IEB in Vraestel I eksamineer, 90 punte altesaam. Werk elkeen uit en maak dan die antwoord daaronder oop om jouself na te gaan. Niks hier kom uit 'n ou vraestel nie.

Laai die boekie as PDF af · Skryf hierdie vraestel op tyd · English

Die parabool

2 vrae · 23 punte

110 punte

In die diagram hieronder sny die parabool f die x-as by A(2; 0) en B(6; 0), en die y-as by C(0; −12).

xyOA(2; 0)B(6; 0)C(0; −12)f
  1. (a)
    Bepaal die vergelyking van f in die vorm f(x) = ax^2 + bx + c.
    (3)
  2. (b)
    Bepaal die koördinate van die draaipunt van f.
    (2)
  3. (c)
    Skryf die waardeversameling van f neer.
    (1)
  4. (d)
    Vir watter waardes van k sal f(x) = k twee verskillende reële wortels hê?
    (2)
  5. (e)
    Die grafiek van f word 3 eenhede na links en 1 eenhed op geskuif om g te gee. Skryf die koördinate van die draaipunt van g neer.
    (2)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: f(x) = −x^2 + 8x − 12

  1. f(x) = a(x − 2)(x − 6)
  2. C: −12 = a(−2)(−6), dus a = −1
  3. f(x) = −x^2 + 8x − 12

(b) Antwoord: (4; 4)

  1. x = (2 + 6)/2 = 4
  2. f(4) = 4

(c) Antwoord: y ≤ 4

  1. die draaiwaarde is 4
  2. y ≤ 4

(d) Antwoord: k < 4

  1. die lyn y = k moet f twee keer sny
  2. k < 4

(e) Antwoord: (1; 5)

  1. (4 − 3; 4 + 1)
  2. (1; 5)
213 punte

In die diagram hieronder is die parabool f met draaipunt T(−1; 5) en y-afsnit (0; 4), en die reguit lyn g, geteken. Die grafieke sny by A en B.

xyOT(−1; 5)(0; 4)ABfg
  1. (a)
    Bepaal die vergelyking van f in die vorm f(x) = a(x − p)^2 + q.
    (3)
  2. (b)
    g(x) = −3x − 8. Bepaal die koördinate van A en B, die punte waar f en g sny.
    (5)
  3. (c)
    Vir watter waardes van x is f(x) ≥ g(x)?
    (2)
  4. (d)
    Skryf die waardeversameling van f neer.
    (1)
  5. (e)
    Vir watter waardes van t sal f(x) = t geen reële wortels hê nie?
    (2)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: f(x) = −(x + 1)^2 + 5

  1. f(x) = a(x + 1)^2 + 5
  2. vervang (0; 4): 4 = a(1)^2 + 5
  3. a = −1
  4. f(x) = −(x + 1)^2 + 5

(b) Antwoord: A(−3; 1) en B(4; −20)

  1. −(x + 1)^2 + 5 = −3x − 8
  2. −x^2 + x + 12 = 0
  3. −(x + 3)(x − 4) = 0
  4. x = −3 of x = 4
  5. A(−3; 1) en B(4; −20)

(c) Antwoord: −3 ≤ x ≤ 4

  1. by A en B van die grafiek afgelees
  2. −3 ≤ x ≤ 4

(d) Antwoord: y ≤ 5

  1. die draaipunt is n maksimum: y = 5

(e) Antwoord: t > 5

  1. die lyn y = t moet die parabool heeltemal mis
  2. t > 5

Die hiperbool

2 vrae · 26 punte

312 punte

Gegee: f(x) = −8/(x − 3) − 2

xyO
  1. (a)
    Bepaal f(0).
    (1)
  2. (b)
    Bepaal die waarde van x waarvoor f(x) = 0.
    (2)
  3. (c)
    Skets die grafiek van f op die assestelsel wat voorsien word. Benoem alle asimptote en afsnitte met die asse duidelik.
    (5)
  4. (d)
    Skryf die definisieversameling van f neer.
    (1)
  5. (e)
    Vir watter waardes van x is f(x) > 0?
    (2)
  6. (f)
    Skryf die vergelyking neer van die grafiek wat gevorm word wanneer f in die x-as gereflekteer word.
    (1)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: f(0) = 2/3

  1. f(0) = −8/(−3) − 2 = 2/3

(b) Antwoord: x = −1

  1. −8/(x − 3) = 2
  2. −8 = 2(x − 3)
  3. x = −1

(c) Antwoord: Sien die skets hieronder.

xyOx = 3y = −2(0; 2/3)(−1; 0)f
  1. asimptote: x = 3 en y = −2
  2. y-afsnit (0; 2/3); x-afsnit (−1; 0)

(d) Antwoord: x ∈ ℝ, x ≠ 3

  1. f is slegs by x = 3 ongedefinieer

(e) Antwoord: −1 < x < 3

  1. van die grafiek afgelees: die x-afsnit is x = −1 en die asimptoot x = 3 word nooit ingesluit nie
  2. −1 < x < 3

(f) Antwoord: y = 8/(x − 3) + 2

  1. y = −f(x) = 8/(x − 3) + 2
414 punte

In die diagram hieronder is die grafiek van f(x) = a/(x + p) + q met sy asimptote geteken. A(2; 3) lê op f.

xyOx = −1y = 2A(2; 3)f
  1. (a)
    Skryf die waardes van p en q neer.
    (2)
  2. (b)
    Bepaal die waarde van a.
    (2)
  3. (c)
    Bepaal die vergelykings van die simmetrie-asse van f.
    (2)
  4. (d)
    Die simmetrie-as y = x + 3 sny die grafiek van f by B en D. Bepaal die koördinate van B en D en laat jou antwoorde waar nodig in wortelvorm.
    (3)
  5. (e)
    Skryf die definisieversameling van f neer.
    (1)
  6. (f)
    Vir watter waardes van x is f(x) ≥ 0?
    (2)
  7. (g)
    Die grafiek van f word 1 eenheid na links en 2 eenhede af geskuif om g te vorm. Skryf die vergelyking van g neer.
    (2)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: p = 1 en q = 2

  1. die asimptote is x = −1 en y = 2
  2. x + p = 0 by x = −1, dus p = 1; q = 2

(b) Antwoord: a = 3

  1. 3 = a/(2 + 1) + 2
  2. a = (3 − 2)(2 + 1) = 3

(c) Antwoord: y = x + 3 en y = −x + 1

  1. albei gaan deur die punt waar die asimptote sny, (−1; 2)
  2. y = (x + 1) + 2 en y = −(x + 1) + 2

(d) Antwoord: (−1 − √3; 2 − √3) en (−1 + √3; 2 + √3)

  1. 3/(x + 1) + 2 = x + 3
  2. (x + 1)^2 = 3
  3. x = −1 ± √3
  4. (−1 − √3; 2 − √3) en (−1 + √3; 2 + √3)

(e) Antwoord: x ∈ ℝ, x ≠ −1

  1. f is slegs by x = −1 ongedefinieer

(f) Antwoord: x ≤ −5/2 of x > −1

  1. van die grafiek afgelees: die x-afsnit is x = −5/2 en die asimptoot x = −1 word nooit ingesluit nie
  2. x ≤ −5/2 of x > −1

(g) Antwoord: g(x) = 3/(x + 2) + 0

  1. g(x) = f(x + 1) − 2
  2. g(x) = 3/(x + 2) + 0

Eksponensiële grafieke

2 vrae · 24 punte

511 punte

In die diagram hieronder is die grafiek van h(x) = 3^(x + p) + q geteken. Die lyn y = −7 is 'n asimptoot van h, en A(1; 2) lê op h.

xyOy = −7A(1; 2)h
  1. (a)
    Skryf die waardeversameling van h neer.
    (1)
  2. (b)
    Gegee dat h(x) = 3^(x + p) + q, bepaal die waardes van p en q.
    (3)
  3. (c)
    Bepaal die x-afsnit van h, korrek tot twee desimale plekke.
    (3)
  4. (d)
    Die grafiek van h word in die y-as gereflekteer om k te gee. Skryf die vergelyking van k neer.
    (2)
  5. (e)
    Vir watter waardes van x is h(x) > 0?
    (2)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: y > −7

  1. die asimptoot is y = −7 en h lê daarbo

(b) Antwoord: p = 1 en q = −7

  1. q = −7, uit die asimptoot
  2. 2 = 3^(1 + p) − 7
  3. 3^(1 + p) = 9 = 3^2
  4. p = 1

(c) Antwoord: (0.77; 0)

  1. 3^(x + 1) − 7 = 0
  2. 3^(x + 1) = 7
  3. x = log_3 7 − 1 = 0.77

(d) Antwoord: k(x) = 3^(−x + 1) − 7

  1. 'n refleksie in die y-as vervang x deur −x
  2. k(x) = 3^(−x + 1) − 7

(e) Antwoord: x > 0.77

  1. h is stygend en sny die x-as by x = 0.77
  2. x > 0.77
613 punte

In die diagram hieronder is f(x) = b^x en g, die refleksie van f in die lyn y = x, geteken. P(2; 1/4) lê op f.

xyOy = xP(2; 1/4)ABfg
  1. (a)
    Bepaal die waarde van b.
    (2)
  2. (b)
    Skryf die vergelyking van g in die vorm y = … neer.
    (2)
  3. (c)
    Skryf die definisieversameling van g neer.
    (1)
  4. (d)
    Vir watter waardes van x is g(x) > −1?
    (2)
  5. (e)
    Die lyn x = 2 sny f by A en g by B. Bepaal die lengte van AB.
    (3)
  6. (f)
    h(x) = f(x) − 3. Skryf die vergelyking van die asimptoot van h neer en bepaal die x-afsnit van h, korrek tot twee desimale plekke.
    (3)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: b = 1/2

  1. P lê op f: b^2 = 1/4
  2. b = 1/2

(b) Antwoord: y = log_(1/2) x

  1. g is die refleksie van f in y = x: x = (1/2)^y
  2. y = log_(1/2) x

(c) Antwoord: x > 0

  1. die definisieversameling van g is die waardeversameling van f

(d) Antwoord: 0 < x < 2

  1. g(x) = −1 wanneer x = (1/2)^(−1) = 2
  2. g is dalend (0 < b < 1), dus draai die ongelykheidsteken om
  3. 0 < x < 2

(e) Antwoord: AB = 5/4 eenhede

  1. A(2; 1/4): f(2) = (1/2)^2 = 1/4
  2. B(2; −1): g(2) = log_(1/2) 2 = −1
  3. AB = 1/4 − (−1) = 5/4

(f) Antwoord: y = −3; x-afsnit (−1.58; 0)

  1. f se asimptoot y = 0 skuif 3 af: y = −3
  2. (1/2)^x − 3 = 0, dus (1/2)^x = 3
  3. x = log_(1/2) 3 = −1.58

Om 'n grafiek by iets werkliks te pas

2 vrae · 17 punte

78 punte

'n Bal word van die dak van 'n gebou 4 m hoog gegooi. Dit bereik sy grootste hoogte van 7 m op 'n horisontale afstand van 6 m van die gebou af. In die diagram is die voet van die gebou by die oorsprong en lê die grond langs die x-as.

xyO(0; 4)M(6; 7)L
  1. (a)
    Bepaal die vergelyking van die baan van die bal in die vorm y = a(x − p)^2 + q.
    (3)
  2. (b)
    Bereken die hoogte van die bal 11 m horisontaal van die gebou af.
    (2)
  3. (c)
    Bereken, korrek tot twee desimale plekke, hoe ver van die gebou af die bal by L die grond tref.
    (3)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: y = −1/12(x − 6)^2 + 7

  1. y = a(x − 6)^2 + 7
  2. by (0; 4): 4 = a(−6)^2 + 7
  3. a = −1/12
  4. y = −1/12(x − 6)^2 + 7

(b) Antwoord: 59/12 m

  1. y = −1/12(11 − 6)^2 + 7
  2. y = 59/12 m

(c) Antwoord: 15.17 m

  1. −1/12(x − 6)^2 + 7 = 0
  2. (x − 6)^2 = 84
  3. x = 6 + √(84)
  4. x = 15.17 m
89 punte

'n Kabel hang tussen twee pale wat elk 9 m hoog en 16 m uitmekaar is. Die laagste punt van die kabel is 2 m bo die grond, halfpad tussen die pale. In die diagram is die voet van die linkerpaal by die oorsprong en lê die grond langs die x-as.

xyO(0; 9)(16; 9)E(8; 2)
  1. (a)
    Bepaal die vergelyking van die kabel in die vorm y = a(x − p)^2 + q.
    (3)
  2. (b)
    Bereken die hoogte van die kabel 9 m horisontaal van die linkerpaal af.
    (2)
  3. (c)
    Bepaal, korrek tot twee desimale plekke, die afstande van die linkerpaal af waar die kabel 6 m bo die grond is.
    (4)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: y = 7/64(x − 8)^2 + 2

  1. y = a(x − 8)^2 + 2
  2. by (0; 9): 9 = a(−8)^2 + 2
  3. a = 7/64
  4. y = 7/64(x − 8)^2 + 2

(b) Antwoord: 135/64 m

  1. y = 7/64(9 − 8)^2 + 2
  2. y = 135/64 m

(c) Antwoord: 1.95 m en 14.05 m

  1. 7/64(x − 8)^2 + 2 = 6
  2. (x − 8)^2 = 256/7
  3. x = 8 ± √(256/7)
  4. x = 1.95 m of x = 14.05 m

Laai hierdie boekie af

Dieselfde vrae as 'n boekie om te druk, met die memorandum as 'n aparte lêer sodat jy kan werk sonder dat die antwoorde voor jou lê. In Engels en Afrikaans.

Elke vraag op hierdie bladsy is vir hierdie werf deur 'n rekenaarenjin gegenereer, en die antwoord is deur 'n onafhanklike metode bevestig op die oomblik toe die vraag gemaak is.

Alle IEB-oefening · Skryf hierdie vraestel op tyd · English