Mathbench

IEB-oefening · Vraestel I

IEB-oefening: Rye en reekse

13 splinternuwe vrae oor al 7 die onderwerpe in rye en reekse wat die IEB in Vraestel I eksamineer, 182 punte altesaam. Werk elkeen uit en maak dan die antwoord daaronder oop om jouself na te gaan. Niks hier kom uit 'n ou vraestel nie.

Laai die boekie as PDF af · Skryf hierdie vraestel op tyd · English

Meetkundige rye

7 vrae · 92 punte

Vraestel I · Afdeling A · 12 punte

VRAAG 1

Stadium 1 van 'n patroon is 'n geskakeerde gelyksydige driehoek met sye van 20 cm. Om elke volgende stadium te maak, word elke geskakeerde driehoek in vier gelyke driehoeke verdeel deur die middelpunte van sy sye te verbind, en die middelste een word verwyder. Stadiums 1, 2 en 3 word getoon.

123
  1. (a)
    Toon aan dat die oppervlakte van die driehoek in stadium 1 gelyk is aan 100√3 cm².
    (2)
  2. (b)
    Hoeveel geskakeerde driehoeke is daar in stadium 7?
    (2)
  3. (c)
    Toon aan dat die oppervlaktes wat verwyder word om stadiums 2, 3, 4, … te maak, 'n meetkundige reeks vorm, en bereken die totale oppervlakte wat verwyder word om stadiums 2 tot 6 te maak, korrek tot twee desimale plekke.
    (3)
  4. (d)
    Indien die patroon vir altyd kon aanhou, watter totale oppervlakte sou verwyder word? Wat sê dit oor die geskakeerde oppervlakte?
    (2)
  5. (e)
    In watter stadium is die geskakeerde oppervlakte vir die eerste keer minder as 30% van die oppervlakte van stadium 1?
    (3)

[12]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: 100√3 cm²

  1. oppervlakte = ½ × 20 × 20 × sin 60°
  2. = ½ × 400 × √3/2 = 100√3 cm²

(b) Antwoord: 729

  1. stadiums 1, 2 en 3 het 1, 3 en 9: elke geskakeerde driehoek laat drie oor
  2. stadium 7: 3^6 = 729

(c) Antwoord: 132.10 cm²

  1. stadium 2 verwyder ¼ van 100√3, dit is 25√3 cm²
  2. elke volgende stadium verwyder 3 keer soveel driehoeke, elkeen ¼ so groot: r = 3/4
  3. S_5 = 25√3(1 − 0.75^5)/(1 − 0.75) = 132.10 cm²

(d) Antwoord: 100√3 cm², die hele stadium 1: die geskakeerde oppervlakte nader 0

  1. −1 < r = 0.75 < 1, dus S∞ = 25√3/(1 − 0.75) = 100√3 cm²
  2. dit is die hele oppervlakte van stadium 1, dus nader die geskakeerde oppervlakte 0

(e) Antwoord: stadium 6

  1. 100√3(0.75)^(n − 1) < 0.3 × 100√3, dus 0.75^(n − 1) < 0.3
  2. n − 1 > log 0.3/log 0.75 = 4.19 (log 0.75 < 0, dus draai die ongelykheid om)
  3. n − 1 = 5, dus stadium 6

Vraestel I · Afdeling A · 12 punte

VRAAG 2

'n Vierkant het sye van 16 cm. 'n Tweede vierkant word geteken deur die middelpunte van sy sye te verbind, 'n derde deur die middelpunte van die tweede s'n te verbind, ensovoorts, soos in die diagram.

  1. (a)
    Toon aan dat die sy van die tweede vierkant 8√2 cm is.
    (2)
  2. (b)
    Toon aan dat die oppervlaktes van die vierkante 'n meetkundige ry vorm, en skryf die gemene verhouding neer.
    (2)
  3. (c)
    Bereken die oppervlakte van die sesde vierkant.
    (2)
  4. (d)
    As die patroon vir altyd aangaan, wat sou die totale oppervlakte van al die vierkante wees?
    (3)
  5. (e)
    Watter vierkant is die eerste met 'n oppervlakte van minder as 1 cm^2?
    (3)

[12]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: 8√2 cm

  1. elke sy van die eerste vierkant word in helftes van 8 cm verdeel
  2. sy^2 = 8^2 + 8^2 = 128, dus is die sy 8√2 cm

(b) Antwoord: r = 1/2

  1. 256; 128; 64; …
  2. elke oppervlakte is die helfte van die vorige: r = 1/2

(c) Antwoord: 8 cm^2

  1. T_6 = 256(1/2)^5 = 8 cm^2

(d) Antwoord: 512 cm^2

  1. −1 < r < 1, dus konvergeer die reeks
  2. S = 256/(1 − 1/2) = 512 cm^2

(e) Antwoord: die tiende vierkant

  1. 256(1/2)^(n − 1) < 1
  2. 2^(n − 1) > 256
  3. n − 1 > log 256/log 2 = 8.00
  4. n = 10

Vraestel I · Afdeling A · 11 punte

VRAAG 3

Die meetkundige ry 25; 125; 625; … is gegee.

  1. (a)
    Skryf die algemene term T_n van die meetkundige ry neer.
    (1)
  2. (b)
    Toon aan dat log_5 T_1; log_5 T_2; log_5 T_3; … 'n rekenkundige ry is, en skryf die eerste term en die konstante verskil neer.
    (3)
  3. (c)
    Bereken log_5 T_1 + log_5 T_2 + … + log_5 T_8.
    (3)
  4. (d)
    Skryf vervolgens die produk T_1 × T_2 × … × T_8 as 'n mag van 5.
    (2)
  5. (e)
    Watter term van die meetkundige ry is gelyk aan 5^12?
    (2)

[11]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: T_n = 25(5)^(n − 1)

  1. a = 25 en r = 125/25 = 5

(b) Antwoord: eerste term 2, konstante verskil 1

  1. T_n = 5^2 × 5^(n − 1) = 5^(n + 1)
  2. log_5 T_n = n + 1: lineêr in n, dus rekenkundig
  3. log_5 T_(n+1) − log_5 T_n = 1 vir elke n

(c) Antwoord: 44

  1. 'n rekenkundige reeks: a = 2, d = 1, n = 8
  2. S_8 = 8/2[2(2) + 7(1)] = 44

(d) Antwoord: 5^44

  1. log_5(T_1 × … × T_8) = log_5 T_1 + … + log_5 T_8 = 44
  2. T_1 × … × T_8 = 5^44

(e) Antwoord: T_11

  1. log_5 T_n = 12: n + 1 = 12
  2. n = 11

Vraestel I · Afdeling A · 15 punte

VRAAG 4

'n Bamboesplant breek deur die grond. Dit groei 4 cm op sy eerste dag, en op elke dag daarna groei dit 8% meer as op die vorige dag.

  1. (a)
    Hoeveel groei die plant op dag 8? Gee jou antwoord in cm, korrek tot twee desimale plekke.
    (2)
  2. (b)
    Hoe hoog is die plant aan die einde van die eerste 6 dae? Gee jou antwoord tot die naaste sentimeter.
    (4)
  3. (c)
    Op watter dag word die plant vir die eerste keer hoër as 45 cm?
    (4)
  4. (d)
    3x − 33; 3x − 21 en 4x − 18 is die eerste drie terme van 'n konvergerende meetkundige ry. Bepaal die waarde(s) van x.
    (5)

[15]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: 6.86 cm

  1. 'n meetkundige ry met a = 4 en r = 1.08
  2. T_(8) = 4(1.08)^7 = 6.86

(b) Antwoord: 29 cm

  1. S_(6) = 4((1.08)^6 − 1)/(1.08 − 1)
  2. = 29 cm

(c) Antwoord: op dag 9

  1. 4((1.08)^n − 1)/(1.08 − 1) ≥ 45
  2. (1.08)^n ≥ 1.9000
  3. n ≥ log 1.9000/log 1.08 = 8.34

(d) Antwoord: x = 3

  1. (3x − 21)^2 = (3x − 33)(4x − 18)
  2. x^2 − 20x + 51 = 0
  3. x = 3 of x = 17
  4. x = 17 gee r = 5/3: nie tussen −1 en 1 nie, dus konvergeer dit nie
  5. x = 3 (r = 1/2)

Vraestel I · Afdeling A · 13 punte

VRAAG 5

'n Pasiënt neem elke dag op dieselfde tyd een 80 mg-tablet van 'n medisyne. In die 24 uur tussen twee tablette verwyder die liggaam 20% van die medisyne wat daarin is.

  1. (a)
    Toon aan dat daar net ná die derde tablet 195.2 mg van die medisyne in die liggaam is.
    (2)
  2. (b)
    Toon aan dat die hoeveelheid medisyne in die liggaam net ná die n-de tablet A_n = 400(1 − 0.8^n) mg is.
    (3)
  3. (c)
    Bereken die hoeveelheid medisyne in die liggaam net ná tablet nommer 11, korrek tot twee desimale plekke.
    (2)
  4. (d)
    Indien daar sonder einde elke dag 'n tablet geneem word, watter hoeveelheid nader die medisyne in die liggaam net ná 'n tablet? Verduidelik waarom dit nooit hierdie hoeveelheid bereik nie.
    (2)
  5. (e)
    Die medisyne werk eers wanneer daar net ná 'n tablet minstens 155 mg daarvan in die liggaam is. Ná watter tablet gebeur dit vir die eerste keer?
    (4)

[13]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: 195.2 mg

  1. net ná tablet 1: 80 mg
  2. 'n dag later is 0.8 × 80 = 64 mg oor, dus net ná tablet 2: 64 + 80 = 144 mg
  3. net ná tablet 3: 0.8 × 144 + 80 = 195.2 mg

(b) Antwoord: A_n = 400(1 − 0.8^n)

  1. A_n = 80 + 80(0.8) + 80(0.8)^2 + … + 80(0.8)^(n − 1)
  2. 'n meetkundige reeks met a = 80 en r = 0.8
  3. S_n = 80(1 − 0.8^n)/(1 − 0.8) = 400(1 − 0.8^n)

(c) Antwoord: 365.64 mg

  1. A_11 = 400(1 − 0.8^11)
  2. = 365.64 mg

(d) Antwoord: 400 mg

  1. −1 < r = 0.8 < 1, dus konvergeer die reeks: S∞ = 80/(1 − 0.8) = 400 mg
  2. 0.8^n > 0 vir elke n, dus is A_n = 400(1 − 0.8^n) altyd kleiner as 400 mg

(e) Antwoord: ná tablet nommer 3

  1. 400(1 − 0.8^n) ≥ 155
  2. 0.8^n ≤ 0.6125
  3. n ≥ log 0.6125/log 0.8 = 2.20 (log 0.8 < 0, dus draai die ongelykheid om)

Vraestel I · Afdeling A · 12 punte

VRAAG 6

'n Bal word van 'n hoogte van 10 m laat val. Na elke bons styg dit tot 1/2 van die hoogte waarvan dit geval het.

  1. (a)
    Hoe hoog styg die bal na die 4de bons? Gee jou antwoord in meter, korrek tot twee desimale plekke.
    (2)
  2. (b)
    Bereken die totale vertikale afstand wat die bal afgelê het wanneer dit die grond vir die 7de keer tref.
    (4)
  3. (c)
    Indien die bal onbepaald aanhou bons, bereken die totale vertikale afstand wat dit aflê.
    (3)
  4. (d)
    Na watter bons styg die bal vir die eerste keer tot 'n hoogte van minder as 25 cm?
    (3)

[12]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: 0.62 m

  1. 'n meetkundige ry van hoogtes met r = 1/2
  2. 10 × (1/2)^4 = 0.62 m

(b) Antwoord: 29.69 m

  1. af 10 m, dan op en weer af na elk van 6 bonse
  2. 10 + 2 × 10(1/2)[1 − (1/2)^6]/(1 − 1/2)
  3. = 29.69 m

(c) Antwoord: 30.00 m

  1. −1 < r = 1/2 < 1, dus konvergeer die som
  2. 10 + 2 × 10(1/2)/(1 − 1/2)
  3. = 30.00 m

(d) Antwoord: na bons 6

  1. 10(1/2)^n < 0.25
  2. n > log(0.25/10)/log(1/2) = 5.32
  3. n = 6

Vraestel I · Afdeling A · 17 punte

VRAAG 7
  1. (a)
    In 'n meetkundige ry is T_3 = 28 en T_6 = 224. Bepaal die eerste term en die gemene verhouding.
    (4)
  2. (b)
    Bereken die som van die eerste 9 terme.
    (2)
  3. (c)
    Bepaal die kleinste waarde van n waarvoor die som van die eerste n terme groter as 7 340 000 is.
    (5)
  4. (d)
    Vir watter waardes van x sal die reeks Σ_(n=1)^(∞) ((x + 1)/2)^n konvergeer?
    (3)
  5. (e)
    Bereken die som tot oneindigheid van die reeks wanneer x = −2.
    (3)

[17]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: a = 7 en r = 2

  1. ar^2 = 28 en ar^5 = 224
  2. r^3 = 224/28 = 8
  3. r = 2
  4. a = 28/(2)^2 = 7

(b) Antwoord: S_(9) = 3577

  1. S_(9) = 7((2)^9 − 1)/(2 − 1)
  2. = 3577

(c) Antwoord: n = 20

  1. 7((2)^n − 1)/(2 − 1) > 7 340 000
  2. (2)^n > 1 048 572.4286
  3. n > log 1 048 572.4286/log 2
  4. n > 20.0000

(d) Antwoord: −3 < x < 1

  1. 'n meetkundige reeks met r = (x + 1)/2
  2. −1 < (x + 1)/2 < 1

(e) Antwoord: S_(∞) = −1/3

  1. r = (−2 + 1)/2 = −1/2
  2. a = T_1 = −1/2
  3. S_(∞) = a/(1 − r) = −1/3

Rekenkundige rye

3 vrae · 47 punte

Vraestel I · Afdeling A · 13 punte

VRAAG 8

Die som van die eerste n terme van 'n ry word gegee deur S_n = −2n^2 + 3n.

  1. (a)
    Bepaal die eerste drie terme van die ry.
    (3)
  2. (b)
    Toon aan dat die ry rekenkundig is, en bepaal T_n.
    (3)
  3. (c)
    Watter term van die ry is gelyk aan −59?
    (2)
  4. (d)
    Die som van die eerste 6 terme van 'n ander rekenkundige reeks is −72, en die som van sy eerste 14 terme is −280. Bepaal die eerste term en die konstante verskil van hierdie reeks.
    (5)

[13]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: 1; −3; −7

  1. S_1 = 1, S_2 = −2, S_3 = −9
  2. T_1 = S_1 = 1; T_2 = S_2 − S_1 = −3; T_3 = S_3 − S_2 = −7

(b) Antwoord: T_n = −4n + 5

  1. T_2 − T_1 = −4 en T_3 − T_2 = −4: 'n konstante verskil, dus rekenkundig
  2. T_n = 1 + (n − 1)(−4) = −4n + 5

(c) Antwoord: T_(16)

  1. −4n + 5 = −59
  2. n = 16

(d) Antwoord: a = −7 en d = −2

  1. S_6 = 6/2[2a + 5d] = −72, dus 2a + 5d = −24
  2. S_14 = 14/2[2a + 13d] = −280, dus 2a + 13d = −40
  3. aftrek: 8d = −16, dus d = −2
  4. 2a − 10 = −24, dus a = −7

Vraestel I · Afdeling A · 17 punte

VRAAG 9
  1. (a)
    4x; 5x en 4x + 6 is die eerste drie terme van 'n rekenkundige ry. Bepaal die waarde van x en die drie terme.
    (3)
  2. (b)
    Watter term van hierdie ry is gelyk aan 78?
    (3)
  3. (c)
    Hoeveel terme van hierdie ry moet bymekaargetel word om 'n som van 1116 te gee?
    (4)
  4. (d)
    'n Patroon van kolletjies word prent vir prent gebou. Prente 1 tot 4 het 10; 22; 40; 64 kolletjies, en die getalle kolletjies vorm 'n kwadratiese ry. Hoeveel kolletjies is in prent 20?
    (4)
  5. (e)
    Watter prent het 4450 kolletjies?
    (3)

[17]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: x = 3; die terme is 12; 15; 18

  1. T_2 − T_1 = T_3 − T_2
  2. 2(5x) = (4x) + (4x + 6)
  3. 2x − 6 = 0
  4. x = 3

(b) Antwoord: T_(23)

  1. 12 + (n − 1)(3) = 78
  2. n − 1 = 22
  3. n = 23

(c) Antwoord: 24 terme

  1. n/2[2(12) + (n − 1)(3)] = 1116
  2. 3n^2 + 21n − 2232 = 0
  3. n = 24 (n is 'n natuurlike getal)

(d) Antwoord: 1264 kolletjies

  1. tweede verskil 6: a = 3
  2. T_n = 3n^2 + 3n + 4
  3. T_(20) = 1264

(e) Antwoord: prent 38

  1. 3n^2 + 3n + 4 = 4450
  2. 3n^2 + 3n − 4446 = 0
  3. n = 38 (n > 0)

Vraestel I · Afdeling A · 17 punte

VRAAG 10

Beskou die rekenkundige reeks 30 + 28 + 26 + 24 + … − 100

  1. (a)
    Bepaal 'n formule vir T_n, die algemene term van die reeks.
    (2)
  2. (b)
    Bepaal die aantal terme in die reeks.
    (3)
  3. (c)
    Bereken die som van die reeks.
    (3)
  4. (d)
    Skryf die reeks in sigma-notasie.
    (2)
  5. (e)
    Die eerste vyf terme van 'n kwadratiese ry is −10; −11; −8; −1; 10; … Bepaal T_n, die n-de term.
    (4)
  6. (f)
    Bepaal of 160 'n term van hierdie kwadratiese ry is.
    (3)

[17]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: T_n = −2n + 32

  1. a = 30 en d = 28 − (30) = −2
  2. T_n = 30 + (n − 1)(−2) = −2n + 32

(b) Antwoord: 66 terme

  1. −2n + 32 = −100
  2. −2n = −132
  3. n = 66

(c) Antwoord: S_(66) = −2310

  1. S_n = n/2(a + l)
  2. S_(66) = 66/2(30 − 100)
  3. = −2310

(d) Antwoord: Σ_(n=1)^(66) (−2n + 32)

  1. die terme is T_n = −2n + 32, van n = 1 tot n = 66

(e) Antwoord: T_n = 2n^2 − 7n − 5

  1. eerste verskille: −1; 3; 7; 11
  2. tweede verskil: 4, dus 2a = 4 en a = 2
  3. 3a + b = −1, dus b = −7
  4. a + b + c = −10, dus c = −5

(f) Antwoord: Ja: dit is T_(11)

  1. 2n^2 − 7n − 5 = 160
  2. 2n^2 − 7n − 165 = 0
  3. n = 11, 'n natuurlike getal

Sigma-notasie

1 vrae · 14 punte

Vraestel I · Afdeling A · 14 punte

VRAAG 11
  1. (a)
    Bereken Σ_(n=1)^(17) (5n + 4).
    (3)
  2. (b)
    Bepaal die waarde van p indien Σ_(n=1)^(p) (5n + 5) = 675.
    (4)
  3. (c)
    Bereken Σ_(n=1)^(∞) (4(1/2)^(n − 1)).
    (3)
  4. (d)
    Bepaal die waarde van p indien Σ_(n=1)^(p) (2(2)^(n − 1)) = 62.
    (4)

[14]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: 833

  1. 'n rekenkundige reeks: a = 9, d = 5, n = 17
  2. S_(17) = 17/2[2(9) + (16)(5)] = 833

(b) Antwoord: p = 15

  1. a = 10, d = 5: p/2[2(10) + (p − 1)(5)] = 675
  2. 5p^2 + 15p − 1350 = 0
  3. p = 15 (p is 'n natuurlike getal)

(c) Antwoord: 8

  1. 'n meetkundige reeks met a = 4 en r = 1/2; −1 < r < 1
  2. S_(∞) = 4/(1 − (1/2)) = 8

(d) Antwoord: p = 5

  1. 'n meetkundige reeks met a = 2 en r = 2
  2. 2(2^p − 1)/(2 − 1) = 62
  3. 2^p = 32

Kwadratiese rye en figuurpatrone

2 vrae · 29 punte

Vraestel I · Afdeling A · 15 punte

VRAAG 12

'n Kunstefees tel elke dag sy besoekers. Op dag 1, 2 en 3 het dit 483, 522 en 555 besoekers, en die getalle besoekers op dag 1, 2, 3, … vorm 'n kwadratiese ry.

  1. (a)
    Hoeveel besoekers sal die fees op dag 4 en 5 hê?
    (2)
  2. (b)
    Bepaal 'n uitdrukking vir T_n, die getal besoekers op dag n.
    (4)
  3. (c)
    Op watter dag het die fees die meeste besoekers, en hoeveel besoekers het dit op daardie dag?
    (3)
  4. (d)
    Op watter dag het die fees vir die eerste keer minder besoekers as op dag 1?
    (3)
  5. (e)
    Tussen watter twee opeenvolgende dae daal die getal besoekers met 81?
    (3)

[15]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: 582; 603

  1. eerste verskille 39; 33; tweede verskil −6
  2. 555 + (27) = 582; 582 + (21) = 603

(b) Antwoord: T_n = −3n^2 + 48n + 438

  1. 2a = −6, dus a = −3
  2. 3a + b = 39, dus b = 48
  3. a + b + c = 483, dus c = 438

(c) Antwoord: dag 8: 630 besoekers

  1. die draaipunt van T is by n = −b/(2a) = −(48)/(2(−3)) = 8
  2. T_(8) = 630

(d) Antwoord: dag 16

  1. −3n^2 + 48n + 438 < 483
  2. (n − 8)^2 > 49
  3. n − 8 > 7, dus n > 15 (die ry is simmetries om dag 8, dus T_(15) = T_1)

(e) Antwoord: tussen dag 21 en dag 22

  1. die eerste verskille vorm 'n rekenkundige ry: T_(k + 1) − T_k = −3(2k + 1) + 48
  2. −6k + 45 = −81
  3. k = 21: tussen dag 21 en dag 22

Vraestel I · Afdeling A · 14 punte

VRAAG 13

Die figure hieronder word met vuurhoutjies gebou: figuur n is 'n reghoek van n rye van n + 1 klein vierkante. Figure 1, 2 en 3 word getoon.

123
  1. (a)
    Hoeveel vuurhoutjies is vir figuur 5 nodig?
    (2)
  2. (b)
    Bepaal 'n formule vir T_n, die aantal vuurhoutjies in figuur n.
    (4)
  3. (c)
    Watter figuur het presies 647 vuurhoutjies nodig?
    (3)
  4. (d)
    Pieter het 2114 vuurhoutjies. Wat is die grootste figuur wat Pieter kan bou, en hoeveel vuurhoutjies bly oor?
    (3)
  5. (e)
    Hoeveel klein vierkante is daar in die figuur wat 199 vuurhoutjies nodig het?
    (2)

[14]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: 71

  1. figure 1 tot 4: 7; 17; 31; 49
  2. eerste verskille 10; 14; 18, wat met 4 groei
  3. 49 + 22 = 71

(b) Antwoord: T_n = 2n^2 + 4n + 1

  1. tweede verskil 4: 2a = 4, dus a = 2
  2. 3a + b = 10, dus b = 4
  3. a + b + c = 7, dus c = 1

(c) Antwoord: figuur 17

  1. 2n^2 + 4n + 1 = 647
  2. 2n^2 + 4n − 646 = 0
  3. n = 17 (n > 0)

(d) Antwoord: figuur 31, met 67 wat oorbly

  1. 2n^2 + 4n + 1 ≤ 2114
  2. n ≤ 31.52, dus figuur 31
  3. 2114 − T_31 = 2114 − 2047 = 67

(e) Antwoord: 90

  1. T_n = 199 gee n = 9
  2. figuur 9 het 90 vierkante

Laai hierdie boekie af

Dieselfde vrae as 'n boekie om te druk, met die memorandum as 'n aparte lêer sodat jy kan werk sonder dat die antwoorde voor jou lê. In Engels en Afrikaans.

Elke vraag op hierdie bladsy is vir hierdie werf deur 'n rekenaarenjin gegenereer, en die antwoord is deur 'n onafhanklike metode bevestig op die oomblik toe die vraag gemaak is.

Alle IEB-oefening · Skryf hierdie vraestel op tyd · English