Hoofstuk 11 — Die Uitdaging

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Rasionaliseer elke breuk afsonderlik.

Vermenigvuldig elkeen, bo en onder, met die konjugaat van sy eie noemer. Die konjugaat van $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ is $\sqrt{3} + \sqrt{2}$, en omgekeerd:

$$\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$$

$$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$$

Albei noemers word $3 - 2 = 1$, en dít is waarom hierdie vraag glad sonder ’n sakrekenaar gedoen kan word.

Stap 2 — Tel hulle op.

$$(\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{3}$$

Die $\sqrt{2}$-terme kanselleer omdat die een breuk $+\sqrt{2}$ opgelewer het en die ander $-\sqrt{2}$.

Waarom die afleiers verkeerd is:

B) $2\sqrt{2}$ trek die twee gerasionaliseerde breuke af in plaas van om hulle op te tel. Die $\sqrt{3}$-terme kanselleer en die $\sqrt{2}$-terme oorleef — presies die spieëlbeeld van die regte antwoord, en dít is waarom dit so aanneemlik lyk.

C) $2\sqrt{3} + 2\sqrt{2}$ gebruik $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ as die konjugaat vir albei breuke. Elke breuk het sy eie noemer en dus sy eie konjugaat; om een twee keer te gebruik laat die tweede noemer as $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{6}$, wat steeds irrasionaal is.

D) $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ kom daarvan om die noemers op te tel: $\dfrac{2}{2\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$. Breuke word nooit opgetel deur die tellers en die noemers afsonderlik op te tel nie.

Onthou: Elke breuk kry sy eie konjugaat. Wanneer twee konjugate wortelvorme as afsonderlike noemers verskyn, rasionaliseer hulle een op ’n slag en kyk hoe die middelterme kanselleer.

---

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Sien die kwadratiese vergelyking raak.

$3^{2x}$ is $\left(3^x\right)^2$, want $a^{2x} = \left(a^x\right)^2$. Stel $y = 3^x$:

$$y^2 - 4y + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (y - 1)(y - 3) = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 1 \text{ of } y = 3$$

Stap 2 — Gaan terug na $x$. Dít is die stap wat die vraag toets.

$y$ is nie die antwoord nie. Skakel elke waarde terug om:

$$3^x = 1 \;\Longrightarrow\; x = 0 \qquad\qquad 3^x = 3 \;\Longrightarrow\; x = 1$$

Stap 3 — Tel hulle op. $0 + 1 = 1$.

Let daarop dat albei waardes van $y$ hier bruikbaar was. As een negatief uitgekom het, sou dit weggegooi moes word, want $3^x$ is positief vir elke reële $x$ — toets dit altyd voordat jy terug omskakel.

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) $0$ is een van die twee oplossings op sy eie. Die vraag vra vir die som, en ’n som van twee dinge het albei nodig.

B) $3$ is ’n waarde van $y$, nie van $x$ nie. Dit is die antwoord op "wat is $3^x$?", nie op "wat is $x$?" nie.

D) $4$ is $1 + 3$, die som van die twee $y$-waardes. Dit is die som van die substitusie, nie van die oplossings nie — en dit is gelyk aan die koëffisiënt van $y$, wat dit laat voel asof dit iets moet beteken.

Onthou: Wanneer ’n substitusie ’n vergelyking in ’n kwadratiese een verander, is die oplos van die kwadratiese die middel van die werk, nie die einde nie. Skryf neer waarvoor die letter wat jy ingebring het werklik staan, en skakel elke wortel terug voordat jy antwoord.

---

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Breek 12 op in priemfaktore.

$$12 = 4 \times 3 = 2^2 \times 3$$

Die hele vraag is hierdie reël. Alles daarna is een wet wat twee keer toegepas word.

Stap 2 — Pas die logaritmewette toe.

Die logaritme van ’n produk is die som van die logaritmes, en die logaritme van ’n mag bring die mag na vore:

$$\log_a 12 = \log_a\left(2^2 \times 3\right) = \log_a 2^2 + \log_a 3 = 2\log_a 2 + \log_a 3$$

Stap 3 — Vervang. $\log_a 2 = p$ en $\log_a 3 = q$, dus is die antwoord $2p + q$.

Toets dit in ’n basis wat jy ken. Neem $a = 10$: $p \approx 0.301$, $q \approx 0.477$, en $2p + q \approx 1.079$. Aangesien $10^1 = 10$ en $10^2 = 100$, moet $\log_{10} 12$ ’n bietjie meer as $1$ wees. ✓

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) $p + q$ is $\log_a 6$, nie $\log_a 12$ nie. Dit kom daarvan om 12 as $2 \times 6$ op te breek en dan te vergeet dat die 6 verder opbreek, of om dit as $3 \times 4$ op te breek en $\log_a 4$ as $p$ te lees.

C) $2pq$ vermenigvuldig die twee logaritmes. Die wet is $\log(mn) = \log m + \log n$ — ’n produk binne word ’n som buite. Om logaritmes te vermenigvuldig stem met niks ooreen nie.

D) $p + 2q$ is $\log_a 18$, want $18 = 2 \times 3^2$. Dit is die regte vorm met die verkeerde getal gekwadreer. Watter een verdubbel word, word deur die priemfaktorisering bepaal, dus faktoriseer eers en die dubbelsinnigheid verdwyn.

Onthou: Faktoriseer die getal in priemfaktore voordat jy aan ’n logaritmewet raak. $\log_a(2^m 3^n) = mp + nq$, en die eksponente in die faktorisering is die koëffisiënte in die antwoord.

---

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Vind die siklus.

Laaste syfers van magte van 7 herhaal. Werk die eerste paar uit en kyk:

$$7^1 = 7 \qquad 7^2 = 49 \qquad 7^3 = 343 \qquad 7^4 = 2401 \qquad 7^5 = 16\,807$$

Die laaste syfers loop $7, 9, 3, 1$, en dan weer $7$. Die siklus het lengte 4.

Stap 2 — Vind waar 2026 in die siklus sit.

Deel die eksponent deur die sikluslengte en hou die res:

$$2026 = 4 \times 506 + 2$$

’n Res van $2$ beteken $7^{2026}$ eindig op dieselfde syfer as $7^2$, wat $9$ is.

Die deel wat verkeerd loop is die tel, nie die deling nie. ’n Res van $1$ beteken die eerste inskrywing, ’n res van $2$ die tweede, ’n res van $3$ die derde — en ’n res van $0$ beteken die laaste, want ’n res van nul plaas jou aan die einde van ’n volledige siklus, nie aan die begin van ’n nuwe een nie.

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) $7$ is die eerste inskrywing in die siklus, wat reg sou wees as die res $1$ was. Maar $2026$ is ewe, en $2025$ is die veelvoud van $4$ plus een.

B) $1$ is die vierde inskrywing, wat reg sou wees as $4$ presies in $2026$ gaan. Dit gaan nie: $2026 \div 4$ laat $2$ oor. Net eksponente wat op ’n veelvoud van 4 eindig, beland hier.

C) $3$ is die derde inskrywing, van ’n res van $3$.

Onthou: Magte van enige syfer laat hulle laaste syfer siklies herhaal, gewoonlik met periode 1, 2 of 4. Skryf die siklus uit, deel die eksponent deur die lengte daarvan, en lees die res as ’n posisie — met ’n res van 0 wat die laaste posisie beteken, nie die eerste nie.

---

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Skakel "raak by een punt" om na algebra.

’n Parabool wat die $x$-as raak, het presies een wortel, wat beteken die twee wortels het in mekaar ineengestort. Dit gebeur presies wanneer die diskriminant nul is:

$$\Delta = b^2 - 4ac = 0$$

Stap 2 — Vervang. Hier is $a = 1$, $b = k$, $c = 9$:

$$k^2 - 4(1)(9) = 0 \quad\Longrightarrow\quad k^2 = 36 \quad\Longrightarrow\quad k = 6 \text{ of } k = -6$$

Stap 3 — Gebruik die voorwaarde wat jy gekry het. $k > 0$, dus $k = 6$.

Toets: $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$, wat die as by $x = -3$ raak en nêrens anders nie. ✓ Die reël $k > 0$ staan om ’n rede in die vraag — daarsonder is daar twee antwoorde, en ’n meervoudigekeusevraag kan nie twee hê nie.

Waarom die afleiers verkeerd is:

B) $3$ is $\sqrt{9}$ — die vierkantswortel van die konstante term eerder as van $4ac$. Dit is wat jy kry deur $k^2 = c$ te stel in plaas van $k^2 = 4ac$, en $x^2 + 3x + 9$ het diskriminant $9 - 36 = -27$, dus bereik dit die as glad nie.

C) $9$ herhaal net die konstante term.

D) $36$ is $k^2$, die waarde wat een reël voor die einde gevind is. Die vergelyking los op tot $k^2 = 36$, en om daar te stop is die algemeenste manier om hierdie vraag te verloor.

Onthou: Een wortel beteken $\Delta = 0$; twee wortels beteken $\Delta > 0$; geen beteken $\Delta < 0$. Los op vir $k^2$, en onthou dan om die vierkantswortel te neem — en lees die vraag vir die voorwaarde wat vir jou sê watter teken om te hou.

---

Afdeling 11.2 — Trigonometrie Sonder ’n Diagram

Twee vrae, nie een met ’n prent nie. Albei word deur ’n identiteit en deur versigtige tel beslis.

---

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Kwadreer albei kante.

Daar is geen manier om ’n produk regstreeks uit ’n som te kry nie, maar kwadrering lewer een op:

$$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta$$

Stap 2 — Gebruik die identiteit. $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$, dus stort die regterkant ineen tot

$$1 + 2\sin\theta\cos\theta$$

Stap 3 — Stel die twee kante gelyk en los op.

$$\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{1}{4} - 1 = 2\sin\theta\cos\theta$$

$$-\tfrac{3}{4} = 2\sin\theta\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad \sin\theta\cos\theta = -\tfrac{3}{8}$$

Behoort die antwoord negatief te wees? Ja, en dit is die moeite werd om te sien hoekom. In die eerste kwadrant is $\sin\theta$ en $\cos\theta$ albei positief, en hulle som is daar altyd minstens $1$. ’n Som van net $\tfrac{1}{2}$ dwing dus een van hulle om negatief te wees, en dan moet hulle produk ook negatief wees.

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) $\dfrac{1}{4}$ is $\left(\tfrac{1}{2}\right)^2$ — die kwadraat van wat jy gekry het, met die identiteit wat nooit toegepas is nie. Dit is die eerste ding wat jy neerskryf en die laaste ding wat ’n antwoord is.

C) $\dfrac{3}{8}$ is die regte grootte met die teken verloor, van $1 - \tfrac{1}{4}$ te skryf in plaas van $\tfrac{1}{4} - 1$.

D) $-\dfrac{3}{4}$ is $2\sin\theta\cos\theta$, een halvering kort. Die identiteit laat ’n 2 voor staan, en dit moet uitgedeel word.

Onthou: $(\sin\theta \pm \cos\theta)^2 = 1 \pm 2\sin\theta\cos\theta$. Om ’n som van sinus en kosinus te kwadreer is die standaardroete na hulle produk — en die antwoord is altyd $\dfrac{(\text{som})^2 - 1}{2}$, gehalveer en geteken.

---

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Faktoriseer dit as ’n kwadratiese vergelyking in $\cos x$.

$$2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (2\cos x + 1)(\cos x - 1) = 0$$

dus $\cos x = -\dfrac{1}{2}$ of $\cos x = 1$.

Stap 2 — Tel die hoeke vir elke waarde afsonderlik. Hier word die vraag gewen of verloor, want die twee waardes gee nie dieselfde aantal hoeke nie.

$\cos x = -\dfrac{1}{2}$: kosinus is negatief in die tweede en derde kwadrante. Die verwysingshoek is $60°$, wat $x = 180° - 60° = 120°$ en $x = 180° + 60° = 240°$ gee. Dit is twee hoeke.

$\cos x = 1$: kosinus bereik $1$ net by $x = 0°$ binne die interval, aangesien $360°$ uitgesluit is. Dit is een hoek.

Stap 3 — Tel op. $2 + 1 = 3$ waardes: $0°$, $120°$ en $240°$.

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) $1$ los net $\cos x = 1$ op en laat die ander faktor val. ’n Produk is nul wanneer enige faktor nul is, en albei moet deurgevoer word.

B) $2$ los net $\cos x = -\tfrac{1}{2}$ op en laat $\cos x = 1$ val. Dit is die aanlokliker helfte om te hou, want dit is die een wat die kwadrantwerk verg.

C) $4$ neem aan dat elke waarde van $\cos x$ twee hoeke gee. Gewoonlik doen dit — maar $\cos x = 1$, $\cos x = -1$, $\sin x = 1$ en $\sin x = -1$ is die maksimum en minimum, en elkeen daarvan word net een keer per omwenteling bereik.

Onthou: Faktoriseer, en tel dan elke wortel se hoeke op sy eie. Twee per omwenteling is die normale geval; ’n waarde van presies $+1$ of $-1$ gee een, en ’n waarde buite $[-1, 1]$ gee geen.

---

Afdeling 11.3 — Meetkunde en Geld

---

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Lees die sirkel.

$x^2 + y^2 = 20$ het sy middelpunt by die oorsprong met radius $r = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$. Let daarop dat $20$ die $r^2$ is, nie die $r$ nie.

Stap 2 — Sê wat "raaklyn" beteken.

’n Lyn is presies dan ’n raaklyn wanneer sy loodregte afstand vanaf die middelpunt gelyk is aan die radius. Nader en dit sny die sirkel twee keer; verder en dit mis die sirkel.

Stap 3 — Gebruik die afstandsformule.

Skryf die lyn in die vorm $ax + by + c_0 = 0$: uit $y = 2x + c$ kry ons $2x - y + c = 0$. Die afstand vanaf die oorsprong is

$$\frac{|2(0) - 1(0) + c|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{5}}$$

Stap 4 — Stel dit gelyk aan die radius.

$$\frac{|c|}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} \quad\Longrightarrow\quad |c| = 2\sqrt{5} \times \sqrt{5} = 2 \times 5 = 10$$

Neem die positiewe waarde: $c = 10$. (Die ander raaklyn met gradiënt 2 is $y = 2x - 10$, aan die oorkant van die sirkel.)

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) $4\sqrt{5}$ deel deur $2$ in plaas van deur $\sqrt{5}$ — dit gebruik net die koëffisiënt van $x$ onder die wortel en vergeet die $-1$ van die $y$-term. Die noemer is $\sqrt{a^2 + b^2}$ en albei koëffisiënte hoort daarin.

B) $2\sqrt{5}$ is die radius. Dit is die getal wat jy in die middel van die werk nodig het, nie aan die einde nie.

D) $20$ behandel die regterkant van die sirkel se vergelyking as die radius. In $x^2 + y^2 = r^2$ is die getal aan die regterkant die radius gekwadreer.

Onthou: Raaklyn beteken "afstand vanaf die middelpunt is gelyk aan die radius". Skryf die lyn in die vorm $ax + by + c_0 = 0$, gebruik $\dfrac{|ax_0 + by_0 + c_0|}{\sqrt{a^2+b^2}}$, en onthou dat $x^2 + y^2 = k$ radius $\sqrt{k}$ het.

---

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Belegging P, enkelvoudige rente.

Enkelvoudige rente word elke jaar op die oorspronklike bedrag bereken, dus is dit elke jaar dieselfde bedrag:

$$A = P(1 + in) = 10\,000\,(1 + 0.10 \times 2) = 10\,000 \times 1.2 = \text{R}12\,000$$

Stap 2 — Belegging Q, saamgestelde rente.

$$A = P(1 + i)^n = 10\,000\,(1.1)^2 = 10\,000 \times 1.21 = \text{R}12\,100$$

$1.1^2 = 1.21$ is die moeite werd om uit die kop te ken; dit spaar die vermenigvuldiging.

Stap 3 — Trek af. $12\,100 - 12\,000 = \text{R}100$.

Waar daardie R100 vandaan kom. In jaar 2 betaal saamgestelde rente 10% op die R1 000 rente wat in jaar 1 verdien is, en $10\%$ van $1\,000$ is presies R100. Oor twee jaar is dit die hele verskil tussen die twee metodes — en dít is waarom saamstelling oor kort tydperke onindrukwekkend lyk en oor lang tydperke oorweldigend.

Waarom die afleiers verkeerd is:

B) R1 000 is een jaar se rente op die oorspronklike bedrag, onder enige van die twee metodes. Dit is nie ’n verskil tussen hulle nie.

C) R2 100 is die totale rente wat Q verdien. Die vraag vra hoeveel meer Q verdien, dus moet P se R2 000 afgetrek word.

D) R200 is 10% van die R2 000 enkelvoudige rente. Die ekstra rente word net op die eerste jaar se R1 000 verdien — die tweede jaar se rente was nog nie lank genoeg in die rekening om iets te verdien nie.

Onthou: Enkelvoudige rente is $P(1+in)$; saamgestelde rente is $P(1+i)^n$. Wanneer ’n vraag vra hoeveel meer, bereken albei totale ten volle en trek af — en verwag ’n klein gaping oor twee jaar en ’n groot een oor twintig.

---

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Skakel "ten minste een" om na sy komplement.

"Ten minste een rooi" dek rooi-dan-blou, blou-dan-rooi en rooi-dan-rooi: drie gevalle. Die teenoorgestelde daarvan is ’n enkele geval — glad geen rooi nie, wat beteken albei is blou. Neem altyd die komplement wanneer "ten minste een" verskyn.

$$P(\text{ten minste een rooi}) = 1 - P(\text{geen rooi})$$

Stap 2 — Werk $P(\text{albei blou})$ uit, sonder terugplasing.

Daar is $3 + 5 = 8$ balle. Die eerste trek is blou met waarskynlikheid $\tfrac{5}{8}$. Daardie bal word nie teruggesit nie, dus is daar vir die tweede trek 4 blou balle oor uit 7:

$$P(\text{albei blou}) = \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$$

Albei getalle daal — die teller omdat ’n blou bal weg is, en die noemer omdat ’n bal weg is.

Stap 3 — Trek af.

$$1 - \frac{5}{14} = \frac{9}{14}$$

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) $\dfrac{5}{14}$ is $P(\text{geen rooi})$ — die komplement, korrek bereken en dan nie van 1 afgetrek nie.

B) $\dfrac{3}{8}$ is die waarskynlikheid dat die eerste bal rooi is. Dit ignoreer die tweede trek heeltemal, en dit is kleiner as die regte antwoord omdat dit nie een van die maniere tel waarop die rooi een tweede kom nie.

C) $\dfrac{39}{64}$ is die antwoord mét terugplasing: $1 - \left(\tfrac{5}{8}\right)^2$. Let op dat dit kleiner is as $\tfrac{9}{14}$. Om ’n blou bal te verwyder maak die volgende een meer waarskynlik rooi, dus verbeter trek sonder terugplasing jou kanse hier.

Onthou: "Ten minste een" beteken bereken die komplement. Sonder terugplasing verminder die teller en die noemer vir die tweede trek, en skryf die twee breuke langs mekaar voordat jy vermenigvuldig sodat die daling sigbaar is.

---

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Weet watter formule "verminderde saldo" beteken.

Verminderde saldo trek die persentasie af van wat die masjien nou werd is, dus verwyder elke jaar ’n kleiner bedrag as die vorige een:

$$A = P(1 - i)^n$$

(Reguitlyn-waardevermindering, $A = P(1 - in)$, trek elke jaar dieselfde bedrag af. Die woorde in die vraag bepaal watter een jy gebruik, en hulle is die enigste ding wat dit doen.)

Stap 2 — Vervang.

$$A = 120\,000\,(1 - 0.25)^2 = 120\,000 \times (0.75)^2 = 120\,000 \times 0.5625$$

Stap 3 — Doen dit sonder ’n sakrekenaar. $0.75^2 = \tfrac{9}{16}$, dus

$$120\,000 \times \frac{9}{16} = 7\,500 \times 9 = \text{R}67\,500$$

Of jaar vir jaar: $120\,000 \to 90\,000 \to 67\,500$. Die eerste jaar verwyder R30 000 en die tweede verwyder net R22 500, wat verminderde saldo in een reël is.

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) R60 000 is reguitlyn-waardevermindering: $25\% \times 2 = 50\%$ van die oorspronklike bedrag af. Dit is altyd laer as verminderde saldo, omdat verminderde saldo die tweede jaar se 25% teen ’n kleiner bedrag hef.

C) R90 000 is die waarde na een jaar. Korrekte rekenkunde, een jaar kort.

D) R112 500 kwadreer die koers in plaas van die faktor: $120\,000\,(1 - 0.25^2)$. Om $0.25$ te kwadreer gee $0.0625$, dus verwyder dit skaars 6% oor twee jaar. Die eksponent hoort op $(1 - i)$ as ’n geheel, nie op $i$ nie.

Onthou: Verminderde saldo is $P(1-i)^n$ en reguitlyn is $P(1-in)$. Die mag sit op die hele hakie. As jy onseker is, stap jaar vir jaar deur — twee reëls rekenkunde besleg dit.

---

Afdeling 11.4 — Rye, Rekene en Spreiding

---

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Sê wat $S_n$ en $T_n$ elkeen beteken.

$S_{10}$ is die totaal van die eerste tien terme. $T_{10}$ is die tiende term op sy eie. Hulle is nie dieselfde ding nie, en die hele vraag is om hulle uitmekaar te hou.

Stap 2 — Gebruik die verband tussen hulle.

Alles in $S_{10}$ behalwe die tiende term is reeds in $S_9$, dus:

$$T_{10} = S_{10} - S_9$$

Stap 3 — Bereken albei somme.

$$S_{10} = 3(10)^2 - 2(10) = 300 - 20 = 280$$ $$S_9 = 3(9)^2 - 2(9) = 243 - 18 = 225$$ $$T_{10} = 280 - 225 = 55$$

’n Kortpad wat die moeite werd is. As jy die aftrekking in die algemeen doen, kry jy $T_n = S_n - S_{n-1} = 6n - 5$, wat rekenkundig is met ’n konstante verskil van 6. Dan is $T_{10} = 60 - 5 = 55$ ✓, en jy kan enige ander term onmiddellik toets.

Waarom die afleiers verkeerd is:

B) $280$ is $S_{10}$ — die som van die eerste tien terme, wat jy kry deur $n = 10$ in die formule soos gegee te vervang en te stop. Dit is die antwoord op ’n vraag wat nie gevra is nie.

C) $49$ is $T_9 = S_9 - S_8$, een term te vroeg. Dit kom daarvan om die verkeerde paar af te trek — om $S_9 - S_8$ te skryf terwyl jy aan "negende en tiende" dink.

D) $61$ is $T_{11} = S_{11} - S_{10}$, een term te laat, van $S_{11}$ as die boonste som te gebruik.

Onthou: $T_n = S_n - S_{n-1}$. Wanneer ’n vraag vir jou ’n formule vir $S_n$ gee en vir ’n term vra, trek die vorige som af — en as jy meer as een term gaan nodig kry, lei die algemene $T_n$ een keer af en gebruik dit.

---

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Vind $r$ uit die som tot oneindigheid.

$$S_\infty = \frac{a}{1 - r} \quad\Longrightarrow\quad \frac{8}{1 - r} = 12$$

Kruisvermenigvuldig versigtig — hier vang die vraag mense:

$$8 = 12(1 - r) \quad\Longrightarrow\quad 1 - r = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{1}{3}$$

Let daarop dat $|r| = \tfrac{1}{3} < 1$, dus konvergeer die reeks wel en die formule was toegelaat. Bevestig dit altyd.

Stap 2 — Gebruik die termformule.

$$T_n = ar^{n-1} \quad\Longrightarrow\quad T_4 = 8\left(\tfrac{1}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$$

Die eksponent is $n - 1$, nie $n$ nie: die eerste term het $r$ tot die mag nul.

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) $\dfrac{8}{9}$ is $8r^2$, wat $T_3$ is. Dit kom daarvan om $T_4 = ar^{4-2}$ te skryf of bloot om die vermenigvuldigings een kort te tel.

B) $-1$ kom van die kruisvermenigvuldiging om te keer: om $\dfrac{8}{1-r} = 12$ as $1 - r = \dfrac{12}{8}$ te lees, wat $r = -\tfrac{1}{2}$ gee en $T_4 = 8\left(-\tfrac{1}{2}\right)^3 = -1$. ’n Negatiewe $r$ hier behoort ’n waarskuwing te wees: dit sou die reeks laat afwissel, en $8 - 4 + 2 - 1 + \dots$ tel op tot $\tfrac{16}{3}$, nie 12 nie.

D) $\dfrac{8}{81}$ is $8r^4$, wat $T_5$ is — dieselfde fout van een af in die ander rigting, van $r^n$ in plaas van $r^{n-1}$ te gebruik.

Onthou: $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$ herrangskik tot $1 - r = \dfrac{a}{S_\infty}$ — die eerste term oor die som, nie andersom nie. Dan is $T_n = ar^{n-1}$, en die vierde term dra $r^3$.

---

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Vind die raakpunt.

$$y = (1)^3 - 4(1) = -3$$

dus raak die raaklyn die kromme by $(1, -3)$.

Stap 2 — Vind die gradiënt daar.

$$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 4 \quad\Longrightarrow\quad m = 3(1)^2 - 4 = -1$$

’n Negatiewe gradiënt — die kromme daal by $x = 1$, al oorheers $x^3$ verder uit.

Stap 3 — Skryf die raaklyn se vergelyking.

$$y - y_1 = m(x - x_1) \quad\Longrightarrow\quad y + 3 = -1(x - 1) \quad\Longrightarrow\quad y = -x - 2$$

Stap 4 — Stel $y = 0$.

$$0 = -x - 2 \quad\Longrightarrow\quad x = -2$$

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) $1$ is die $x$-koördinaat van die raakpunt — waar die raaklyn die kromme raak, nie waar dit die as ontmoet nie.

B) $-3$ is die $y$-koördinaat van die raakpunt. Dit is nie die raaklyn se $y$-afsnit nie: daardie afsnit is $-2$. $-3$ is bloot die hoogte van die raakpunt, en dit beantwoord geen deel van die vraag nie.

C) $4$ is waar die normaal die as sny. Die normaal by daardie punt het gradiënt $+1$ (die negatiewe omgekeerde van $-1$), wat $y = x - 4$ gee en ’n afsnit by $x = 4$. Raaklyn en normaal is maklik om te verwar wanneer die gradiënt $\pm 1$ is, want die rekenkunde lyk byna eenders.

Onthou: Punt, dan gradiënt, dan vergelyking, dan afsnit — vier stappe, en elkeen lewer ’n getal wat nie die antwoord is nie. Skryf neer wat elke getal is soos jy dit kry.

---

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Stel die oppervlakte met een veranderlike op.

Die parabool is simmetries om die $y$-as, dus is die reghoek dit ook. Noem die regterkantse hoek $x = w$. Dan is die linkerkantse hoek by $-w$ en:

• die breedte strek van $-w$ tot $w$, wat $2w$ is — nie $w$ nie
• die hoogte is die waarde van die parabool daar, $12 - w^2$

$$A = 2w\left(12 - w^2\right) = 24w - 2w^3$$

Stap 2 — Differensieer en stel gelyk aan nul.

$$\frac{dA}{dw} = 24 - 6w^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad w^2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad w = 2$$

(neem die positiewe wortel, aangesien $w$ ’n lengte is)

Stap 3 — Vervang terug in die OPPERVLAKTE, nie in die afgeleide nie.

$$A = 2(2)\left(12 - 4\right) = 4 \times 8 = 32$$

Die reghoek is dus 4 breed en 8 hoog.

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) $16$ gebruik $w$ as die hele breedte in plaas van die helfte daarvan: $2 \times 8 = 16$. Die parabool se simmetrie is wat die breedte $2w$ maak, en dit is die maklikste kenmerk van die diagram om mis te kyk wanneer daar geen diagram is nie.

C) $8$ is die hoogte van die reghoek, $12 - 2^2$. Dit is ’n werklike hoeveelheid in die probleem en nie die een wat gevra is nie.

D) $48$ is $24w$ by $w = 2$ — die eerste term van die oppervlakte-uitdrukking met die $-2w^3$ laat val. Dit is ook, veelseggend, groter as die ware maksimum, wat vir enige werklike reghoek onmoontlik is.

Onthou: In ’n optimaliseringsvraag, skryf die hoeveelheid in een veranderlike voordat jy differensieer, en toets wat die veranderlike meet — die helfte van ’n breedte gedra hom heeltemal anders as ’n hele een. Vervang die stasionêre waarde terug in die oorspronklike hoeveelheid, nooit in die afgeleide nie.

---

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Stel die gelykvormigheid vas.

$DE$ ewewydig aan $BC$ maak $\angle ADE = \angle ABC$ en $\angle AED = \angle ACB$ (ooreenkomstige hoeke), en hoek $A$ is gemeenskaplik. Dus is $\triangle ADE \;|||\; \triangle ABC$.

Stap 2 — Kry die regte lengteverhouding. Dít is die strik.

Jy kry $AD : DB = 2 : 3$ — deel tot deel. Gelykvormigheid vergelyk $AD$ met die hele sy $AB$:

$$AB = AD + DB = 2 + 3 = 5 \quad\Longrightarrow\quad AD : AB = 2 : 5$$

Stap 3 — Kwadreer dit vir oppervlaktes.

In gelykvormige figure is oppervlaktes in die verhouding van die kwadrate van ooreenstemmende lengtes:

$$\frac{\text{oppervlakte } ADE}{\text{oppervlakte } ABC} = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}$$

$$8 = \frac{4}{25} \times \text{oppervlakte } ABC \quad\Longrightarrow\quad \text{oppervlakte } ABC = 8 \times \frac{25}{4} = 50$$

Stap 4 — Trek af om die trapesium te kry.

Die trapesium is wat van die driehoek oorbly nadat $ADE$ verwyder is:

$$50 - 8 = 42 \text{ cm}^2$$

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) $12$ skaal die oppervlakte met die lengteverhouding in plaas van met die kwadraat daarvan: $8 \times \tfrac{5}{2} = 20$, en dan $20 - 8 = 12$. Lengtes skaal met $k$, oppervlaktes met $k^2$, volumes met $k^3$.

B) $50$ is die oppervlakte van die hele driehoek $ABC$. Korrek, en een aftrekking kort van die antwoord.

D) $10$ gebruik $\tfrac{2}{3}$ as die lengteverhouding — die verhouding wat in die vraag gegee is, reguit van die bladsy af geneem. $AD : DB$ vergelyk twee dele; gelykvormigheid het $AD : AB$ nodig, deel tot geheel.

Onthou: Skakel ’n deel-tot-deel-verhouding om na deel-tot-geheel voordat jy dit in ’n gelykvormigheid gebruik, en kwadreer dit dan vir oppervlaktes. En wanneer die vraag vir ’n trapesium of enige ander oorblywende gebied vra, eindig met die aftrekking.

---

Antwoord: A

Verduideliking

Daar is geen sakrekenaar nie, en ’n gemeenskaplike noemer van $11 \times 9 \times 14 \times 7$ is nie ’n ernstige plan nie. Gebruik eerder die struktuur.

Die metode: meet elkeen se afstand vanaf 1.

Elke breuk hier is net onder 1. Trek elkeen van 1 af en die vergelyking keer om — die breuk met die kleinste tekort is die grootste breuk:

$$1 - \frac{9}{11} = \frac{2}{11} \qquad 1 - \frac{7}{9} = \frac{2}{9} \qquad 1 - \frac{11}{14} = \frac{3}{14} \qquad 1 - \frac{5}{7} = \frac{2}{7}$$

Vergelyk nou die tekorte. Drie van hulle het teller 2, en met gelyke tellers is die een met die grootste noemer die kleinste:

$$\frac{2}{11} < \frac{2}{9} < \frac{2}{7}$$

Dit laat $\tfrac{3}{14}$. Vergelyk dit met $\tfrac{2}{11}$ deur te kruisvermenigvuldig: $3 \times 11 = 33$ teenoor $2 \times 14 = 28$, dus is $\tfrac{3}{14} > \tfrac{2}{11}$.

Dus is $\tfrac{2}{11}$ die kleinste tekort, en $\dfrac{9}{11}$ die grootste breuk.

Toets met desimale: $\tfrac{9}{11} \approx 0.818$, $\tfrac{11}{14} \approx 0.786$, $\tfrac{7}{9} \approx 0.778$, $\tfrac{5}{7} \approx 0.714$. ✓

Waarom die afleiers verkeerd is:

B) $\dfrac{7}{9}$ val $\tfrac{2}{9}$ kort van 1, en $\tfrac{2}{9} > \tfrac{2}{11}$. Dit is ’n aanloklike keuse omdat 7 en 9 die kleinste getalle op die tafel is, en klein getalle voel soos ’n groot breuk.

C) $\dfrac{11}{14}$ is die naaswenner, $\tfrac{3}{14}$ kort. Dit is die enigste een wie se tekort nie teller 2 het nie, en dít is juis waarom dit die kruisvermenigvuldiging verg eerder as ’n oogopslag.

D) $\dfrac{5}{7}$ val $\tfrac{2}{7}$ kort — die grootste gaping van die vier, dus die kleinste breuk.

Onthou: Om breuke naby 1 te vergelyk, vergelyk eerder hulle afstande vanaf 1: die kleinste gaping wen. Met gelyke tellers gee die groter noemer die kleiner breuk. Kruisvermenigvuldiging besleg enige paar wat die kortpaaie nie kan hanteer nie.

---

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Herken albei patrone.

Die teller is ’n verskil van kubusse, aangesien $8 = 2^3$:

$$a^3 - b^3 = (a - b)\left(a^2 + ab + b^2\right) \quad\Longrightarrow\quad x^3 - 8 = (x - 2)\left(x^2 + 2x + 4\right)$$

Die noemer is ’n verskil van kwadrate:

$$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$

Stap 2 — Kanselleer die gemeenskaplike faktor.

$$\frac{(x - 2)\left(x^2 + 2x + 4\right)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2}$$

Net $(x - 2)$ is gemeenskaplik. Niks anders kanselleer nie, en die antwoord bly ’n breuk.

Om die tekens reg te kry. In $a^3 - b^3$ dra die eerste hakie die minusteken en elke teken in die drieterm is plus. In $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ is dit andersom. Die kort weergawe: die binoom hou die teken, die drieterm keer dit in die middel om.

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) $x + 2$ kanselleer $x^2 + 2x + 4$ teen $x + 2$. Dit is nie dieselfde uitdrukking nie en nie een is ’n faktor van die ander nie — kanselleer is net toegelaat tussen identiese faktore, nooit tussen terme wat bloot eenders lyk nie.

C) $\dfrac{x^2 + 2x + 4}{x - 2}$ kanselleer die verkeerde hakie in die noemer: dit verwyder $(x + 2)$ hoewel die faktor wat met die teller gedeel word $(x - 2)$ is.

D) $\dfrac{x^2 - 2x + 4}{x + 2}$ gebruik $x^2 - 2x + 4$, die drieterm wat by $x^3 + 8$ hoort. Vervang $x = 1$ om dit te besleg: die oorspronklike is $\tfrac{-7}{-3} = \tfrac{7}{3}$, en hierdie opsie gee $\tfrac{3}{3} = 1$.

Onthou: $a^3 \pm b^3$ faktoriseer in ’n binoom maal ’n drieterm, en die drieterm se middelteken is die teenoorgestelde van die binoom s’n. Wanneer ’n rasionale uitdrukking nie wil vereenvoudig nie, toets of ’n kubus agter ’n getal soos 8, 27, 64 of 125 wegkruip.

---

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Gebruik die reststelling op $x - 1$.

Deling deur $x - 1$ laat die res $p(1)$:

$$p(1) = 2 + a - 5 + b = 4 \quad\Longrightarrow\quad a + b - 3 = 4 \quad\Longrightarrow\quad a + b = 7$$

En dít is die antwoord. Die vraag vra vir $a + b$, en die eerste vergelyking gee dit regstreeks. Wie vir $a$ en $b$ afsonderlik oplos, kom ook daar uit, maar deur aansienlik meer werk.

Stap 2 — Die tweede voorwaarde, vir volledigheid.

Dat $x + 2$ ’n faktor is, beteken $p(-2) = 0$:

$$2(-8) + 4a + 10 + b = 0 \quad\Longrightarrow\quad 4a + b = 6$$

Stap 3 — Los die paar op, as toets.

Trek $a + b = 7$ van $4a + b = 6$ af:

$$3a = -1 \quad\Longrightarrow\quad a = -\tfrac{1}{3}, \qquad b = 7 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{22}{3}$$

En $a + b = -\tfrac{1}{3} + \tfrac{22}{3} = \tfrac{21}{3} = 7$ ✓ — dieselfde antwoord, langs die lang pad bereik.

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) $6$ is die regterkant van die tweede vergelyking, $4a + b = 6$. Dit is $4a + b$, nie $a + b$ nie, en die twee val net saam wanneer $a = 0$.

B) $-\dfrac{1}{3}$ is $a$ op sy eie.

C) $\dfrac{22}{3}$ is $b$ op sy eie. Albei dit en opsie B is korrekte waardes wat ’n vraag beantwoord wat niemand gevra het nie — en albei is aansienlik lelike getalle vergeleke met die som waarby hulle optel, wat op sigself ’n wenk is.

Onthou: Reststelling: deling deur $x - k$ laat $p(k)$. Faktorstelling: $x - k$ is presies dan ’n faktor wanneer $p(k) = 0$. Voordat jy albei onbekendes uitwerk, kyk waarvoor die vraag gevra het — ’n kombinasie soos $a + b$ val dikwels uit een vergelyking uit.

---

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Skei die twee bewerkings. Hulle doen verskillende dinge.

Standaardafwyking meet spreiding — hoe ver die waardes van hulle eie gemiddeld af lê. Dus:

• Vermenigvuldiging van elke waarde met 4 rek die hele stel uit, gapings ingesluit. Die spreiding word met 4 vermenigvuldig.
• Aftrekking van 6 skuif elke waarde met dieselfde bedrag af. Die gapings tussen hulle verander glad nie, dus bly die spreiding onaangeraak.

Stap 2 — Pas hulle toe.

$$\text{nuwe standaardafwyking} = 4 \times 3 = 12$$

Die $-6$ dra niks by nie.

Sien dit op ’n klein stel. Neem $5, 5, 11, 11$: die gemiddeld is 8 en elke waarde is 3 daarvandaan, dus is die standaardafwyking 3. Pas nou $4v - 6$ toe: die waardes word $14, 14, 38, 38$, die gemiddeld word $4(8) - 6 = 26$, en elke waarde is 12 van die nuwe gemiddeld af. ✓

Die algemene reël: as $y = mv + k$, dan is $\text{gemiddeld}(y) = m \times \text{gemiddeld}(v) + k$ maar $\text{sa}(y) = |m| \times \text{sa}(v)$. Die gemiddeld voel die verskuiwing; die spreiding nie.

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) $3$ laat die standaardafwyking onveranderd. Die $-6$ laat dit onveranderd, maar die $\times 4$ nie — die stel is agterna werklik vier keer so wyd versprei.

B) $6$ pas albei bewerkings op die standaardafwyking toe: $4 \times 3 - 6$. Dit is die natuurlike fout, en dit is die moeite werd om presies te sien waarom die $-6$ nie daar kan wees nie: dit skuif elke waarde én die gemiddeld met dieselfde 6, dus bly elke afstand vanaf die gemiddeld soos dit was.

D) $26$ is die nuwe gemiddeld, $4(8) - 6$. Dit is die regte formule op die verkeerde statistiek toegepas.

Onthou: Vermenigvuldiging skaal die standaardafwyking; optelling of aftrekking raak dit glad nie. Die gemiddeld voel albei. As jy nie kan onthou watter een nie, skryf vier getalle neer, pas die transformasie toe, en kyk.

---