Mathbench

Hoofstuk 10 — Differensiaalrekene

Rekene is die wiskunde van verandering. Waar algebra statiese verwantskappe beskryf, beskryf rekene hoe dinge beweeg, groei en optimaliseer. Op die NBT toets rekenevrae of jy die betekenis van ’n afgeleide verstaan — nie net hoe om die magreël meganies toe te pas nie. ’n Student wat verstaan dat die afgeleide die gradiënt van ’n kromme by enige punt meet, sal beter presteer as ’n student wat net reëls gememoriseer het.

Onderwerpe gedek: limiete · eerste beginsels · magreël · som- en verskilreëls · vereenvoudig voor differensiasie · gradiënt van ’n raaklyn · vergelyking van ’n raaklyn · vergelyking van ’n normaal · stasionêre punte · aard van draaipunte · tweede afgeleide · buigpunt · derdegraadse funksies en grafieke · stygende en dalende intervalle · optimalisering

Afdeling 10.1 — Limiete en Eerste Beginsels

Die afgeleide word as ’n limiet gedefinieer. Die gradiënt van ’n reguit lyn is ΔyΔx.\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\mathclose{.} Vir ’n kromme verander die gradiënt by elke punt. Om dit by ’n spesifieke punt te vind, laat ons die gaping hh tussen twee punte op die kromme krimp totdat dit nul nader:

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Dit is die definisie vanuit eerste beginsels. Alles anders in differensiasie volg uit hierdie een idee.

V1Basies

Onderwerp: Om die definisie vanuit eerste beginsels te lees

Watter uitdrukking stel die afgeleide van f(x)f(x) vanuit eerste beginsels voor?

A) lim⁡h→∞f(x+h)−f(x)h\displaystyle\lim_{h \to \infty} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

B) lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

C) lim⁡h→0f(x+h)+f(x)h\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) + f(x)}{h}

D) lim⁡h→0f(x)−f(x+h)x\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(x) - f(x + h)}{x}

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Roep die definisie op.

Die afgeleide meet die oombliklike tempo van verandering. Ons vind dit deur die gradiënt van ’n koord tussen xx en x+hx + h te bereken, en dan hh tot nul te laat krimp:

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) h→∞h \to \infty gee die gradiënt van ’n koord wat oneindig ver strek — dit is nie ’n raaklyn nie.

C) Die teller gebruik optelling in plaas van aftrekking — dit is nie die verskil in funksiewaardes nie.

D) Die noemer is xx in plaas van hh — die gradiënt van die koord moet deur die horisontale gaping hh gedeel word, nie deur xx nie.

Onthou: Die twee sleutelkenmerke van die definisie is: aftrekking in die teller (f(x+h)−f(x))(f(x+h) - f(x)) en die limiet soos h→0h \to 0 in die noemer h.h\mathclose{.}

V2Basies

Onderwerp: Toepassing van eerste beginsels op f(x)=x2f(x) = x^2

Gebruik eerste beginsels om f′(x)f'(x) te vind as f(x)=x2.f(x) = x^2\mathclose{.}

A) xx

B) 2x2x

C) 2x+h2x + h

D) x2x^2

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Skryf die definisie neer.

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

Stap 2 — Vervang f(x)=x2.f(x) = x^2\mathclose{.}

=lim⁡h→0(x+h)2−x2h= \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}

Stap 3 — Brei die teller uit.

=lim⁡h→0x2+2xh+h2−x2h=lim⁡h→02xh+h2h= \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h}

Stap 4 — Kanselleer hh uit (geldig aangesien h≠0h \neq 0 gedurende die limietproses).

=lim⁡h→0(2x+h)= \lim_{h \to 0} (2x + h)

Stap 5 — Pas die limiet toe.

=2x= 2x

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) xx — die koëffisiënt 2 ontbreek; die magreël gee 2x,2x\mathclose{,} nie xx nie.

C) 2x+h2x + h — dit is die uitdrukking voordat die limiet toegepas is. Sodra h→0,h \to 0\mathclose{,} verdwyn die hh-term.

D) x2x^2 — dit is die oorspronklike funksie, nie sy afgeleide nie.

Onthou: Die sleutelstap is om (x+h)2(x+h)^2 volledig uit te brei, en dan hh uit te kanselleer voordat jy die limiet neem.

V3Intermediêr

Onderwerp: Eerste beginsels met ’n lineêr-kwadratiese funksie

Gebruik eerste beginsels om f′(x)f'(x) te vind as f(x)=3x2−2x.f(x) = 3x^2 - 2x\mathclose{.}

A) 6x6x

B) 3x−23x - 2

C) 6x+26x + 2

D) 6x−26x - 2

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Pas die definisie toe.

f′(x)=lim⁡h→0[3(x+h)2−2(x+h)]−[3x2−2x]hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{[3(x+h)^2 - 2(x+h)] - [3x^2 - 2x]}{h}

Stap 2 — Brei uit.

=lim⁡h→03x2+6xh+3h2−2x−2h−3x2+2xh= \lim_{h \to 0} \frac{3x^2 + 6xh + 3h^2 - 2x - 2h - 3x^2 + 2x}{h}

Stap 3 — Vereenvoudig (al die konstante terme kanselleer uit).

=lim⁡h→06xh+3h2−2hh= \lim_{h \to 0} \frac{6xh + 3h^2 - 2h}{h}

Stap 4 — Kanselleer hh uit.

=lim⁡h→0(6x+3h−2)=6x−2= \lim_{h \to 0} (6x + 3h - 2) = 6x - 2

Waarom die afleiers verkeerd is:

B) 3x−23x - 2 — die koëffisiënt is gehalveer; ddx[3x2]=6x,\frac{d}{dx}[3x^2] = 6x\mathclose{,} nie 3x3x nie.

C) 6x+26x + 2 — tekenfout op die afgeleide van −2x;-2x\mathclose{;} ddx[−2x]=−2.\frac{d}{dx}[-2x] = -2\mathclose{.}

A) 6x6x — het vergeet om die −2x-2x-term te differensieer.

Onthou: Brei volledig uit en versamel terme in hh voordat jy uitkanselleer. Elke term in die oorspronklike funksie dra tot die afgeleide by.

V4Intermediêr

Onderwerp: Om die vorm van eerste beginsels te herken

Die uitdrukking lim⁡h→0(x+h)3−x3h\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3 - x^3}{h} is gelyk aan:

A) x2x^2

B) 2x22x^2

C) 3x23x^2

D) 3x33x^3

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Herken die struktuur.

Dit is die definisie vanuit eerste beginsels met f(x)=x3.f(x) = x^3\mathclose{.} Dus is die uitdrukking gelyk aan f′(x).f'(x)\mathclose{.}

Stap 2 — Differensieer f(x)=x3f(x) = x^3 met die magreël (of verifieer deur uitbreiding).

f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2

Verifikasie deur uitbreiding:

(x+h)3−x3h=x3+3x2h+3xh2+h3−x3h=3x2+3xh+h2→h→03x2\frac{(x+h)^3 - x^3}{h} = \frac{x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2 \xrightarrow{h \to 0} 3x^2

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) x2x^2 — die koëffisiënt 3 ontbreek.

B) 2x22x^2 — dit is die afgeleide van x2x^2 maal ’n ekstra faktor; dit geld nie hier nie.

D) 3x33x^3 — die afgeleide verminder die mag met een; x3x^3 differensieer tot x2,x^2\mathclose{,} nie x3x^3 nie.

Onthou: Wanneer jy lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} sien, identifiseer f(x)f(x) en differensieer dit direk.

Afdeling 10.2 — Reëls van Differensiasie

Eerste beginsels werk vir enige funksie maar is stadig. Die reëls van differensiasie gee dieselfde resultaat in sekondes.

Reël Formule
Magreël ddx[xn]=nxn−1\dfrac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}
Konstante ddx[c]=0\dfrac{d}{dx}[c] = 0
Konstante veelvoud ddx[cf(x)]=c⋅f′(x)\dfrac{d}{dx}[cf(x)] = c \cdot f'(x)
Som/verskil ddx[f±g]=f′±g′\dfrac{d}{dx}[f \pm g] = f' \pm g'

Let op: Vereenvoudig altyd die uitdrukking voordat jy differensieer. Breuke, hakies en wortels moet eers in axnax^n-vorm herskryf word.

V5Basies

Onderwerp: Magreël

As f(x)=x5,f(x) = x^5\mathclose{,} dan f′(x)=f'(x) =

A) 5x45x^4

B) x4x^4

C) 5x65x^6

D) 4x54x^5

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Pas die magreël toe: vermenigvuldig met die eksponent, verminder die eksponent met 1.

f′(x)=5x5−1=5x4f'(x) = 5x^{5-1} = 5x^4

Waarom die afleiers verkeerd is:

B) Die koëffisiënt 5 ontbreek — jy moet die mag as ’n vermenigvuldiger afbring.

C) Die eksponent neem toe — differensiasie verminder die mag met 1, dit vermeerder dit nie.

D) Die eksponent bly dieselfde — 5−1=4,5 - 1 = 4\mathclose{,} nie 5 nie.

Onthou: Magreël: bring die eksponent af as ’n koëffisiënt, en trek dan 1 van die eksponent af.

V6Basies

Onderwerp: Differensiasie van ’n polinoom

As g(x)=4x3−3x2+7x−5,g(x) = 4x^3 - 3x^2 + 7x - 5\mathclose{,} dan g′(x)=g'(x) =

A) 12x2−6x+712x^2 - 6x + 7

B) 12x2−6x12x^2 - 6x

C) 12x3−6x2+712x^3 - 6x^2 + 7

D) 4x2−3x+74x^2 - 3x + 7

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Differensieer term vir term:

ddx[4x3]=12x2ddx[−3x2]=−6xddx[7x]=7ddx[−5]=0\frac{d}{dx}[4x^3] = 12x^2 \qquad \frac{d}{dx}[-3x^2] = -6x \qquad \frac{d}{dx}[7x] = 7 \qquad \frac{d}{dx}[-5] = 0

g′(x)=12x2−6x+7g'(x) = 12x^2 - 6x + 7

Waarom die afleiers verkeerd is:

B) Het die +7+7 laat val — die afgeleide van 7x7x is 7, nie 0 nie.

C) Het die oorspronklike eksponente behou — elke mag verminder met 1 ná differensiasie.

D) Het nie met die eksponent vermenigvuldig nie — het vergeet om die koëffisiënt uit die magreël toe te pas.

Onthou: Differensieer elke term. Konstantes verdwyn; lineêre terme word konstantes.

V7Intermediêr

Onderwerp: Vereenvoudig voor differensiasie — breuk

Vind f′(x)f'(x) as f(x)=3x3−6x3x.f(x) = \dfrac{3x^3 - 6x}{3x}\mathclose{.}

A) x2−2x^2 - 2

B) x−1x - 1

C) 2x−12x - 1

D) 2x2x

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Vereenvoudig deur elke term in die teller deur 3x3x te deel.

f(x)=3x3−6x3x=3x33x−6x3x=x2−2f(x) = \frac{3x^3 - 6x}{3x} = \frac{3x^3}{3x} - \frac{6x}{3x} = x^2 - 2

Stap 2 — Differensieer.

f′(x)=2xf'(x) = 2x

Onthou: Vereenvoudig altyd ’n breuk voordat jy differensieer. Om elke term van die teller deur die noemer te deel skakel dit om na standaard polinoomvorm.

Waarom die afleiers verkeerd is:

B) x−1x - 1 — verkeerde vereenvoudiging.

C) 2x−12x - 1 — het ’n spookkonstante in die afgeleide ingebring.

A) x2−2x^2 - 2 — het vergeet om ná vereenvoudiging te differensieer. Dit IS die vereenvoudigde funksie; die vraag vra vir die afgeleide daarvan.

V8Intermediêr

Onderwerp: Negatiewe eksponente

Vind f′(x)f'(x) as f(x)=4x3.f(x) = \dfrac{4}{x^3}\mathclose{.}

A) −12x4\dfrac{-12}{x^4}

B) 12x4\dfrac{12}{x^4}

C) −4x2\dfrac{-4}{x^2}

D) −12x2\dfrac{-12}{x^2}

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Herskryf met ’n negatiewe eksponent.

f(x)=4x−3f(x) = 4x^{-3}

Stap 2 — Pas die magreël toe.

f′(x)=4⋅(−3)x−3−1=−12x−4=−12x4f'(x) = 4 \cdot (-3) x^{-3-1} = -12x^{-4} = \frac{-12}{x^4}

Waarom die afleiers verkeerd is:

B) Tekenfout — die eksponent −3-3 maak die afgeleide negatief.

C) −4/x2-4/x^2 — die mag is met te min verminder; −3−1=−4,-3 - 1 = -4\mathclose{,} nie −2-2 nie.

D) −12/x2-12/x^2 — korrekte koëffisiënt maar verkeerde eksponent; x−4x^{-4} beteken 1/x4,1/x^4\mathclose{,} nie 1/x21/x^2 nie.

Onthou: Herskryf axn\frac{a}{x^n} as ax−n,ax^{-n}\mathclose{,} en pas dan die magreël toe. Die afgeleide van x−nx^{-n} is −nx−n−1.-nx^{-n-1}\mathclose{.}

V9Intermediêr

Onderwerp: Rasionale eksponente (wortels)

As f(x)=x,f(x) = \sqrt{x}\mathclose{,} dan f′(x)=f'(x) =

A) 1x\dfrac{1}{\sqrt{x}}

B) 12x\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

C) 2x2\sqrt{x}

D) −12x\dfrac{-1}{2\sqrt{x}}

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Herskryf met eksponentnotasie.

f(x)=x12f(x) = x^{\frac{1}{2}}

Stap 2 — Pas die magreël toe.

f′(x)=12x12−1=12x−12=12x12=12xf'(x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) 1/x1/\sqrt{x} — die faktor 12\frac{1}{2} ontbreek.

C) 2x2\sqrt{x} — dit sou die resultaat wees van die integrasie van x,\sqrt{x}\mathclose{,} nie van differensiasie nie.

D) −1/(2x)-1/(2\sqrt{x}) — tekenfout; die eksponent 12\frac{1}{2} is positief, dus is die afgeleide positief.

Onthou: Herskryf xmn\sqrt[n]{x^m} as xm/nx^{m/n} voordat jy differensieer.

V10Gevorderd

Onderwerp: Brei uit voor differensiasie

Vind h′(x)h'(x) as h(x)=(2x−1)2.h(x) = (2x - 1)^2\mathclose{.}

A) 2(2x−1)2(2x-1)

B) 8x8x

C) 2(2x−1)22(2x-1)^2

D) 8x−48x - 4

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Brei eers die hakie uit (moenie die kettingreël gebruik nie — brei liewer uit vir NBT-vlak).

h(x)=(2x−1)2=4x2−4x+1h(x) = (2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1

Stap 2 — Differensieer term vir term.

h′(x)=8x−4h'(x) = 8x - 4

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) 2(2x−1)=4x−22(2x-1) = 4x - 2 — het die koëffisiënt 2 in plaas van 4 uit (2x)2=4x2(2x)^2 = 4x^2 gebruik.

B) 8x8x — het vergeet om die konstante +1+1 te differensieer; die afgeleide van −4x-4x is −4,-4\mathclose{,} wat 8x−48x - 4 gee, nie 8x8x nie.

C) 4x−24x - 2 — het 4x2−4x4x^2 - 4x verkeerd gedifferensieer; ddx[4x2]=8x,\frac{d}{dx}[4x^2] = 8x\mathclose{,} nie 4x4x nie.

Onthou: Brei altyd hakies uit voordat jy polinoomuitdrukkings differensieer.

Afdeling 10.3 — Raaklyne en Normale

Die afgeleide f′(a)f'(a) gee die gradiënt van die raaklyn aan die kromme y=f(x)y = f(x) by x=a.x = a\mathclose{.} Die normaal by daardie punt is loodreg op die raaklyn, dus is sy gradiënt −1f′(a).-\dfrac{1}{f'(a)}\mathclose{.}

V11Basies

Onderwerp: Gradiënt van die raaklyn by ’n punt

Vind die gradiënt van die raaklyn aan f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 by x=3.x = 3\mathclose{.}

A) −2-2

B) 00

C) 22

D) 66

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Differensieer.

f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4

Stap 2 — Vervang x=3.x = 3\mathclose{.}

f′(3)=2(3)−4=2f'(3) = 2(3) - 4 = 2

Waarom die afleiers verkeerd is:

B) 0 — dit is f′(2)=2(2)−4=0;f'(2) = 2(2) - 4 = 0\mathclose{;} die verkeerde xx-waarde is vervang.

D) 6 — kom van die berekening 2(3)=62(3) = 6 maar met die 44 in f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4 wat vergeet is om af te trek.

A) −2-2 — het vergeet om 4 korrek by te tel; tekenfout.

Onthou: Die gradiënt van die raaklyn by x=ax = a is f′(a).f'(a)\mathclose{.} Differensieer eers, vervang dan.

V12Basies

Onderwerp: Om die vergelyking van ’n raaklyn te vind

Vind die vergelyking van die raaklyn aan y=x3y = x^3 by die punt waar x=1.x = 1\mathclose{.}

A) y=x+1y = x + 1

B) y=x−2y = x - 2

C) y=3x+1y = 3x + 1

D) y=3x−2y = 3x - 2

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Vind die raakpunt.

y(1)=13=1⇒punt: (1, 1)y(1) = 1^3 = 1 \quad \Rightarrow \quad \text{punt: } (1,\ 1)

Stap 2 — Vind die gradiënt.

dydx=3x2⇒dydx∣x=1=3\frac{dy}{dx} = 3x^2 \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dx}\bigg|_{x=1} = 3

Stap 3 — Gebruik die punt-gradiënt-vorm.

y−1=3(x−1)⇒y=3x−2y - 1 = 3(x - 1) \quad \Rightarrow \quad y = 3x - 2

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) Gradiënt van 1 — het f(1)f(1) as die gradiënt gebruik in plaas van f′(1).f'(1)\mathclose{.}

C) y=3x+1y = 3x + 1 — het y=mx+cy = mx + c direk met c=f(1)=1c = f(1) = 1 gebruik; het vergeet om met die punt af te trek.

B) Gradiënt van 1 — dieselfde fout as A met ’n ander afsnit.

Onthou: Drie stappe elke keer: vind die punt, vind die gradiënt uit f′(a),f'(a)\mathclose{,} skryf y−y1=m(x−x1).y - y_1 = m(x - x_1)\mathclose{.}

V13Intermediêr

Onderwerp: Om xx te vind waar die gradiënt ’n gegewe waarde is

By watter xx-waarde het f(x)=x3−6x2+9xf(x) = x^3 - 6x^2 + 9x ’n gradiënt van 9?9\mathclose{?}

A) x=0x = 0 of x=4x = 4

B) x=1x = 1 of x=3x = 3

C) slegs x=0x = 0

D) slegs x=4x = 4

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Differensieer.

f′(x)=3x2−12x+9f'(x) = 3x^2 - 12x + 9

Stap 2 — Stel gelyk aan 9.

3x2−12x+9=93x^2 - 12x + 9 = 9 3x2−12x=03x^2 - 12x = 0 3x(x−4)=03x(x - 4) = 0

Stap 3 — Los op.

x=0ofx=4x = 0 \quad \text{of} \quad x = 4

Waarom die afleiers verkeerd is:

B) x=1x = 1 of x=3x = 3 — dit is die stasionêre punte waar f′(x)=0,f'(x) = 0\mathclose{,} nie waar f′(x)=9f'(x) = 9 nie.

C) en D) gee elk slegs een oplossing — faktorisering gee twee, en albei moet ingesluit word.

Onthou: Stel f′(x)f'(x) gelyk aan die vereiste gradiëntwaarde. Moenie dit gelyk aan nul stel nie, tensy jy stasionêre punte soek.

V14Intermediêr

Onderwerp: Vergelyking van die normaal

Die raaklyn aan y=x2+1y = x^2 + 1 by x=2x = 2 het gradiënt 4.4\mathclose{.} Wat is die gradiënt van die normaal by hierdie punt?

A) −4-4

B) −14-\dfrac{1}{4}

C) 14\dfrac{1}{4}

D) 44

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Roep die verband tussen die gradiënte van die raaklyn en die normaal op.

As die raaklyn se gradiënt mtm_t is, is die normaal se gradiënt:

mn=−1mtm_n = -\frac{1}{m_t}

Stap 2 — Vervang.

mn=−14m_n = -\frac{1}{4}

Waarom die afleiers verkeerd is:

D) Dieselfde as die raaklyn — ewewydige lyne, nie loodreg nie.

A) −4-4 — die negatief van die raaklyn; loodreg vereis die resiprook én die negatief.

C) 14\frac{1}{4} — die resiprook maar die negatiewe teken is vergeet.

Onthou: Raaklyngradiënt mm → normaalgradiënt −1/m.-1/m\mathclose{.} Beide die tekenomkeer en die resiprook is nodig.

Afdeling 10.4 — Stasionêre Punte en Hulle Aard

’n Stasionêre punt kom voor waar f′(x)=0f'(x) = 0 — die raaklyn is horisontaal. Daar is drie tipes:

  • Lokale maksimum: die gradiënt verander van ++ na −;-\mathclose{;} f′′(x)<0f''(x) < 0
  • Lokale minimum: die gradiënt verander van −- na +;+\mathclose{;} f′′(x)>0f''(x) > 0
  • Buigpunt: die gradiënt verander nie van teken nie; f′′(x)=0f''(x) = 0
V15Basies

Onderwerp: Om stasionêre punte te vind

Vind die xx-waardes van die stasionêre punte van f(x)=x3−3x.f(x) = x^3 - 3x\mathclose{.}

A) slegs x=0x = 0

B) x=1x = 1 en x=−1x = -1

C) x=3x = 3 en x=−3x = -3

D) slegs x=1x = 1

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Differensieer.

f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^2 - 3

Stap 2 — Stel f′(x)=0.f'(x) = 0\mathclose{.}

3x2−3=0⇒x2=1⇒x=±13x^2 - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) x=0x = 0 — dit is die buigpunt van f(x)=x3,f(x) = x^3\mathclose{,} nie van hierdie funksie nie.

C) x=±3x = \pm 3 — het vergeet om deur 3 te deel voordat daar opgelos is.

D) Slegs x=1x = 1 — het die negatiewe wortel gemis; x2=1x^2 = 1 het twee oplossings.

Onthou: Stasionêre punte vereis f′(x)=0.f'(x) = 0\mathclose{.} Los die resulterende vergelyking volledig op — moenie negatiewe wortels mis nie.

V16Basies

Onderwerp: Aard met behulp van die tweede afgeleide

Klassifiseer die stasionêre punt van f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x by x=1.x = 1\mathclose{.}

A) Lokale maksimum

B) Lokale minimum

C) Buigpunt

D) Kan nie bepaal word nie

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Vind f′′(x).f''(x)\mathclose{.}

f′(x)=3x2−3⇒f′′(x)=6xf'(x) = 3x^2 - 3 \quad \Rightarrow \quad f''(x) = 6x

Stap 2 — Vervang x=1.x = 1\mathclose{.}

f′′(1)=6(1)=6>0f''(1) = 6(1) = 6 > 0

Stap 3 — Interpreteer. Aangesien f′′(1)>0,f''(1) > 0\mathclose{,} is die kromme konkaaf op by x=1x = 1 — dit is ’n lokale minimum.

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) ’n Maksimum vereis f′′<0f'' < 0 (konkaaf af).

C) ’n Buigpunt vereis f′′=0f'' = 0 en ’n tekenverandering — f′′(1)=6≠0.f''(1) = 6 \neq 0\mathclose{.}

D) Die tweede-afgeleide-toets gee hier ’n duidelike antwoord.

Onthou: f′′>0f'' > 0 → minimum (komvorm). f′′<0f'' < 0 → maksimum (dopvorm). f′′=0f'' = 0 → die toets is onbeslis; gebruik die teken van f′.f'\mathclose{.}

V17Intermediêr

Onderwerp: Koördinate van draaipunte

Vind die koördinate van die lokale maksimum van f(x)=2x3−9x2+12x−4.f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4\mathclose{.}

A) (1, 1)(1,\ 1)

B) (2, 0)(2,\ 0)

C) (1, 0)(1,\ 0)

D) (2, 1)(2,\ 1)

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Differensieer en vind die stasionêre punte.

f′(x)=6x2−18x+12=6(x2−3x+2)=6(x−1)(x−2)f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x-1)(x-2)

x=1ofx=2x = 1 \quad \text{of} \quad x = 2

Stap 2 — Vind f′′(x)f''(x) om te klassifiseer.

f′′(x)=12x−18f''(x) = 12x - 18

f′′(1)=−6<0⇒lokale maksimum by x=1f''(1) = -6 < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{lokale maksimum by } x = 1 f′′(2)=6>0⇒lokale minimum by x=2f''(2) = 6 > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{lokale minimum by } x = 2

Stap 3 — Vind die yy-koördinaat van die maksimum.

f(1)=2−9+12−4=1f(1) = 2 - 9 + 12 - 4 = 1

Lokale maksimum: (1, 1)\text{Lokale maksimum: } (1,\ 1)

Waarom die afleiers verkeerd is:

B) (2, 0)(2,\ 0) — dit is die lokale minimum, nie die maksimum nie.

C) (1, 0)(1,\ 0) — korrekte xx maar verkeerde y;y\mathclose{;} f(1)=1,f(1) = 1\mathclose{,} nie 00 nie.

D) (2, 1)(2,\ 1) — het die koördinate van die twee draaipunte omgeruil.

Onthou: Vind albei stasionêre punte, gebruik f′′f'' om te klassifiseer, en vervang dan die korrekte xx om die yy-koördinaat te vind.

V18Intermediêr

Onderwerp: Buigpunt

By watter xx-waarde het f(x)=x3−6x2+9x+1f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 sy buigpunt?

A) x=0x = 0

B) x=1x = 1

C) x=2x = 2

D) x=3x = 3

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Differensieer twee keer.

f′(x)=3x2−12x+9⇒f′′(x)=6x−12f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \quad \Rightarrow \quad f''(x) = 6x - 12

Stap 2 — Stel f′′(x)=0.f''(x) = 0\mathclose{.}

6x−12=0⇒x=26x - 12 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2

Stap 3 — Bevestig die tekenverandering (nie op NBT-vlak vereis nie, maar die moeite werd om te weet).

f′′(1)=−6<0f''(1) = -6 < 0 en f′′(3)=6>0f''(3) = 6 > 0 — die teken verander, wat die buigpunt bevestig.

Waarom die afleiers verkeerd is:

B) x=1x = 1 — dit is ’n stasionêre punt (f′(1)=0),(f'(1) = 0)\mathclose{,} nie die buigpunt nie.

D) x=3x = 3 — ook ’n stasionêre punt.

A) x=0x = 0 — vir hierdie funksie nóg ’n stasionêre punt nóg die buigpunt.

Onthou: Buigpunt: stel f′′(x)=0.f''(x) = 0\mathclose{.} Let op: vir ’n derdegraadse funksie is die buigpunt altyd die middelpunt (in x)x) van die twee draaipunte.

V19Gevorderd

Onderwerp: Om inligting oor draaipunte te gebruik

’n Derdegraadse funksie f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d het ’n lokale maksimum by x=−1x = -1 en ’n lokale minimum by x=3.x = 3\mathclose{.} Wat is die xx-koördinaat van sy buigpunt?

A) x=−2x = -2

B) x=0x = 0

C) x=1x = 1

D) x=2x = 2

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Gebruik die sleuteleienskap van derdegraadse funksies.

Die buigpunt van ’n derdegraadse funksie lê altyd by die gemiddelde (middelpunt) van die xx-koördinate van die twee draaipunte.

Stap 2 — Bereken.

xbuigpunt=−1+32=22=1x_{\text{buigpunt}} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1

Waarom die afleiers verkeerd is:

B) x=0x = 0 — die gemiddelde van −1-1 en 1,1\mathclose{,} maar 1 is nie die minimum nie; die minimum is by x=3.x = 3\mathclose{.}

D) x=2x = 2 — die gemiddelde van 1 en 3; die verkeerde paar is gebruik.

A) x=−2x = -2 — nie die middelpunt van enige betekenisvolle paar nie.

Onthou: Vir ’n derdegraadse funksie ff is die xx-koördinaat van die buigpunt = xmax+xmin2.\dfrac{x_{\text{max}} + x_{\text{min}}}{2}\mathclose{.}

Afdeling 10.5 — Derdegraadse Funksies en Grafieke

’n Derdegraadse funksie het die vorm f(x)=ax3+bx2+cx+d.f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\mathclose{.}

  • As a>0:a > 0\mathclose{:} val na links, styg na regs
  • As a<0:a < 0\mathclose{:} styg na links, val na regs
  • Het hoogstens twee draaipunte
  • Het presies een buigpunt
  • f′(x)>0:f'(x) > 0\mathclose{:} die funksie is stygend; f′(x)<0:f'(x) < 0\mathclose{:} die funksie is dalend
V20Basies

Onderwerp: Om ’n derdegraadse grafiek te lees — draaipunte

’n Derdegraadse grafiek het ’n lokale maksimum by (−1, 4)(-1,\ 4) en ’n lokale minimum by (2, −3).(2,\ -3)\mathclose{.} Op watter interval is die funksie dalend?

A) x<−1x < -1

B) −1<x<2-1 < x < 2

C) x>2x > 2

D) x<2x < 2

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

’n Derdegraadse funksie met ’n positiewe leidende koëffisiënt styg, bereik ’n lokale maksimum, daal tot by die lokale minimum, en styg dan weer.

Die funksie daal tussen die lokale maksimum en die lokale minimum:

−1<x<2-1 < x < 2

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) x<−1x < -1 — die funksie is hier stygend (voor die maksimum).

C) x>2x > 2 — die funksie is hier stygend (ná die minimum).

D) x<2x < 2 — te wyd; die funksie is stygend vir x<−1x < -1 en slegs dalend vir −1<x<2.-1 < x < 2\mathclose{.}

Onthou: Tussen die maksimum en die minimum van ’n derdegraadse funksie is die funksie dalend. Buite hierdie interval is dit stygend.

V21Intermediêr

Onderwerp: Om f,f\mathclose{,} f′f' en f′′f'' te verbind

Die grafiek van f′(x)f'(x) het wortels by x=1x = 1 en x=5,x = 5\mathclose{,} en maak opwaarts oop (parabool). Watter stelling oor f(x)f(x) is korrek?

A) ff het ’n maksimum by x=1x = 1 en geen draaipunt by x=5x = 5 nie

B) ff het ’n minimum by x=1x = 1 en ’n maksimum by x=5x = 5

C) ff het ’n minimum by x=1x = 1 en ’n minimum by x=5x = 5

D) ff het ’n maksimum by x=1x = 1 en ’n minimum by x=5x = 5

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

Lees die teken van f′.f'\mathclose{.} Dit is ’n opwaartse parabool met wortels by 1 en 5, dus is dit negatief tussen hulle en positief buite hulle.

Vertaal na f:f\mathclose{:}

  • By x=1x=1 gaan f′f' +→−+ \to - → lokale maksimum
  • By x=5x=5 gaan f′f' −→+- \to + → lokale minimum

Waarom die ander verkeerd is:

  • B is omgekeerd — ’n opwaartse parabool is negatief tussen sy wortels, dus daal ff daar.
  • C beweer twee minima. ’n Opwaartse f′f' verander van teken +→−→+,+\to-\to+\mathclose{,} wat een van elk gee.
  • A ontken ’n draaipunt by x=5,x=5\mathclose{,} maar f′(5)=0f'(5)=0 en die teken verander daar.

Onthou: f′f' wat +→−+ \to - gaan beteken ’n maksimum; −→+- \to + beteken ’n minimum. Skets eers die teken van f′,f'\mathclose{,} en lees ff dan daarvan af.

V22Intermediêr

Onderwerp: Om ’n derdegraadse vergelyking uit sy grafiek te bepaal

’n Derdegraadse grafiek sny die x-as by x=−2,x = -2\mathclose{,} x=1x = 1 en x=3,x = 3\mathclose{,} en gaan deur (0, −6).(0,\ -6)\mathclose{.} Wat is die vergelyking van die derdegraadse funksie?

A) y=(x+2)(x−1)(x−3)y = (x+2)(x-1)(x-3)

B) y=−(x+2)(x−1)(x−3)y = -(x+2)(x-1)(x-3)

C) y=−x(x+2)(x−1)(x−3)y = -x(x+2)(x-1)(x-3)

D) y=2(x+2)(x−1)(x−3)y = 2(x+2)(x-1)(x-3)

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Skryf die algemene vorm met die wortels.

y=k(x+2)(x−1)(x−3)y = k(x+2)(x-1)(x-3)

Stap 2 — Gebruik die punt (0, −6)(0,\ -6) om kk te vind.

−6=k(0+2)(0−1)(0−3)=k(2)(−1)(−3)=6k⇒k=−1-6 = k(0+2)(0-1)(0-3) = k(2)(-1)(-3) = 6k \quad \Rightarrow \quad k = -1

Stap 3 — Skryf die vergelyking.

y=−(x+2)(x−1)(x−3)y = -(x+2)(x-1)(x-3)

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) k=1k = 1 gee y=+6y = +6 by x=0,x = 0\mathclose{,} nie −6-6 nie.

C) Het ’n ekstra faktor xx — dit sou graad 4 wees, nie derdegraads nie.

D) k=2k = 2 gee y=12y = 12 by x=0,x = 0\mathclose{,} nie −6-6 nie.

Onthou: Gebruik die bekende wortels om y=k(x−r1)(x−r2)(x−r3)y = k(x - r_1)(x - r_2)(x - r_3) te skryf, en vervang dan ’n bekende punt om kk te vind.

V23Gevorderd

Onderwerp: Intervalle waar f(x)>0f(x) > 0

Die derdegraadse funksie f(x)=(x+1)(x−2)(x−4)f(x) = (x+1)(x-2)(x-4) het ’n positiewe leidende koëffisiënt. Vir watter waardes van xx is f(x)>0?f(x) > 0\mathclose{?}

A) x<−1x < -1 of x>4x > 4

B) −1<x<2-1 < x < 2 of x>4x > 4

C) x<−1x < -1 of 2<x<42 < x < 4

D) −1<x<2-1 < x < 2 of 2<x<42 < x < 4

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Identifiseer die wortels: x=−1, x=2, x=4x = -1,\ x = 2,\ x = 4

Stap 2 — Gebruik ’n tekentabel (’n positiewe leidende koëffisiënt beteken die derdegraadse funksie is negatief, positief, negatief, positief in opeenvolgende intervalle):

Interval Teken van ff
x<−1x < -1 negatief
−1<x<2-1 < x < 2 positief
2<x<42 < x < 4 negatief
x>4x > 4 positief

Stap 3 — Kies waar f(x)>0:f(x) > 0\mathclose{:}

−1<x<2ofx>4-1 < x < 2 \quad \text{of} \quad x > 4

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) Dit is waar die derdegraadse funksie positief sou wees as die leidende koëffisiënt negatief was — omgekeerd.

C) Kies die negatiewe intervalle.

D) Slaan die interval x>4x > 4 oor.

Onthou: Teken ’n tekentabel vir elke interval. ’n Positiewe leidende koëffisiënt → begin negatief vir x<x < kleinste wortel.

Afdeling 10.6 — Optimalisering

Optimalisering gebruik rekene om die maksimum of minimum waarde van ’n grootheid te vind. Die metode:

  1. Skryf ’n uitdrukking vir die grootheid wat geoptimaliseer moet word (oppervlakte, volume, wins, ens.)
  2. Druk dit in terme van een veranderlike uit met behulp van enige beperking wat gegee word
  3. Differensieer en stel f′(x)=0f'(x) = 0
  4. Verifieer met f′′(x)f''(x) (of met die konteks)
  5. Beantwoord die vraag — dit vereis dikwels dat jy die werklike maks-/minwaarde vind, nie net xx nie
V24Basies

Onderwerp: Om die maksimum van ’n kwadratiese funksie te vind

Die wins (in rand) uit die verkoop van xx eenhede is P(x)=−2x2+40x−50.P(x) = -2x^2 + 40x - 50\mathclose{.} Hoeveel eenhede maksimeer die wins?

A) x=10x = 10

B) x=20x = 20

C) x=40x = 40

D) x=150x = 150

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Differensieer.

P′(x)=−4x+40P'(x) = -4x + 40

Stap 2 — Stel P′(x)=0.P'(x) = 0\mathclose{.}

−4x+40=0⇒x=10-4x + 40 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 10

Stap 3 — Verifieer dat dit ’n maksimum is.

P′′(x)=−4<0⇒maksimum bevestigP''(x) = -4 < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{maksimum bevestig}

Waarom die afleiers verkeerd is:

B) x=20x = 20 — twee keer die korrekte antwoord; algemene fout omdat daar vergeet is om te deel.

C) x=40x = 40 — het die koëffisiënt van xx direk gebruik sonder om te differensieer.

D) x=150x = 150 — dit is P(10),P(10)\mathclose{,} die maksimum wins in rand, nie die aantal eenhede wat dit lewer nie.

Onthou: Stel die afgeleide van die doelfunksie gelyk aan nul. Verifieer met f′′f'' of met die konteks.

V25Intermediêr

Onderwerp: Optimalisering met ’n beperking — heiningprobleem

’n Boer het 120 m120\,\text{m} heiningdraad om ’n reghoekige land te omhein. Een kant gebruik ’n rivier (geen heining nodig nie). Vind die lengte van die kant ewewydig aan die rivier wat die oppervlakte maksimeer.

A) 30 m30\,\text{m}

B) 40 m40\,\text{m}

C) 60 m60\,\text{m}

D) 80 m80\,\text{m}

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Stel die veranderlikes op.

Laat die kant ewewydig aan die rivier lengte yy hê en die twee loodregte kante elk lengte x.x\mathclose{.}

Stap 2 — Skryf die beperking neer (slegs 3 kante het heining nodig).

2x+y=120⇒y=120−2x2x + y = 120 \quad \Rightarrow \quad y = 120 - 2x

Stap 3 — Skryf die oppervlaktefunksie.

A=xy=x(120−2x)=120x−2x2A = xy = x(120 - 2x) = 120x - 2x^2

Stap 4 — Differensieer en stel gelyk aan nul.

A′(x)=120−4x=0⇒x=30A'(x) = 120 - 4x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 30

Stap 5 — Vind y.y\mathclose{.}

y=120−2(30)=60 my = 120 - 2(30) = 60\,\text{m}

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) 30 m — dit is die lengte van die loodregte kante, nie van die kant ewewydig aan die rivier nie.

B) 40 m — verdeel die 120 m gelykop tussen die drie omheinde sye. Gelyke sye is net die beste wanneer al vier sye omhein word.

D) 80 m — 120−2(20);120 - 2(20)\mathclose{;} het x=20x = 20 per abuis gevind.

Onthou: Benoem jou veranderlikes duidelik. Skryf die beperking neer, gebruik dit om een veranderlike uit te skakel, en differensieer dan die doelfunksie.

V26Intermediêr

Onderwerp: Optimalisering van ’n boks

’n Oop boks word uit ’n vierkant karton van 12 cm×12 cm12\,\text{cm} \times 12\,\text{cm} gemaak deur gelyke vierkante met sy xx uit elke hoek te sny en die kante op te vou. Vind die waarde van xx wat die volume maksimeer.

A) x=1x = 1

B) x=2x = 2

C) x=3x = 3

D) x=6x = 6

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Skryf die volumeformule neer.

Ná die snywerk het die basis afmetings (12−2x)×(12−2x)(12 - 2x) \times (12 - 2x) en hoogte x:x\mathclose{:}

V=x(12−2x)2V = x(12 - 2x)^2

Stap 2 — Brei uit.

V=x(144−48x+4x2)=144x−48x2+4x3V = x(144 - 48x + 4x^2) = 144x - 48x^2 + 4x^3

Stap 3 — Differensieer.

V′(x)=144−96x+12x2=12(x2−8x+12)=12(x−2)(x−6)V'(x) = 144 - 96x + 12x^2 = 12(x^2 - 8x + 12) = 12(x - 2)(x - 6)

Stap 4 — Stel V′(x)=0.V'(x) = 0\mathclose{.}

x=2ofx=6x = 2 \quad \text{of} \quad x = 6

Stap 5 — Kontroleer geldigheid. Aangesien x<6x < 6 (anders het die boks geen basis nie), x=2.x = 2\mathclose{.}

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) x=1x = 1 — V′(1)=12(1−2)(1−6)=60≠0.V'(1) = 12(1-2)(1-6) = 60 \neq 0\mathclose{.}

C) x=3x = 3 — V′(3)=12(1)(−3)≠0.V'(3) = 12(1)(-3) \neq 0\mathclose{.}

D) x=6x = 6 — dit maak die basis nul; fisies ongeldig.

Onthou: Kontroleer altyd dat jou oplossing fisies geldig is. Verwerp oplossings buite die haalbare definisieversameling.

V27Gevorderd

Onderwerp: Optimalisering — interpretasie van tempo van verandering

’n Deeltjie beweeg langs ’n reguit lyn. Sy verplasing (in meter) ná tt sekondes is s(t)=t3−6t2+9t.s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t\mathclose{.} Op watter tydstip is die deeltjie oomblikliks in rus?

A) t=1t = 1 en t=3t = 3

B) t=0t = 0 en t=2t = 2

C) slegs t=2t = 2

D) slegs t=3t = 3

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Onthou dat snelheid =dsdt= \dfrac{ds}{dt} is.

Die deeltjie is in rus wanneer die snelheid =0= 0 is.

Stap 2 — Differensieer.

v(t)=s′(t)=3t2−12t+9=3(t2−4t+3)=3(t−1)(t−3)v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t^2 - 4t + 3) = 3(t-1)(t-3)

Stap 3 — Stel v(t)=0.v(t) = 0\mathclose{.}

t=1oft=3t = 1 \quad \text{of} \quad t = 3

Waarom die afleiers verkeerd is:

B) t=0t = 0 en t=2t = 2 — dit kom daarvan dat s(t)=0s(t) = 0 gestel is, nie s′(t)=0s'(t) = 0 nie.

C) en D) gee elk slegs een waarde — die kwadratiese vergelyking v(t)=0v(t) = 0 het twee wortels.

Onthou: Snelheid is die afgeleide van verplasing. "In rus" beteken snelheid =0,= 0\mathclose{,} stel dus s′(t)=0.s'(t) = 0\mathclose{.}

Afdeling 10.7 — Gemengde Oefening

M1Basies

Onderwerp: Magreël

As f(x)=6x4−2x3+x,f(x) = 6x^4 - 2x^3 + x\mathclose{,} dan f′(x)=f'(x) =

A) 6x3−2x2+16x^3 - 2x^2 + 1

B) 24x3−6x224x^3 - 6x^2

C) 24x4−6x3+124x^4 - 6x^3 + 1

D) 24x3−6x2+124x^3 - 6x^2 + 1

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

f′(x)=24x3−6x2+1f'(x) = 24x^3 - 6x^2 + 1

Afgeleide van 6x4=24x3;6x^4 = 24x^3\mathclose{;} van −2x3=−6x2;-2x^3 = -6x^2\mathclose{;} van x=1.x = 1\mathclose{.}

Waarom die ander verkeerd is: A verlaag elke mag maar vermenigvuldig nooit daarmee nie. C vermenigvuldig met die mag maar verlaag dit nooit nie. B doen albei korrek en laat dan die afgeleide van die enkele xx val, wat 1 is.

M2Basies

Onderwerp: x-waarde van ’n stasionêre punt

By watter waarde het g(x)=x2−8x+3g(x) = x^2 - 8x + 3 sy draaipunt?

A) x=−4x = -4

B) x=3x = 3

C) x=4x = 4

D) x=8x = 8

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

g′(x)=2x−8=0⇒x=4g'(x) = 2x - 8 = 0 \Rightarrow x = 4

Waarom die ander verkeerd is: D gebruik bb waar die formule b2\tfrac{b}{2} benodig. A het die teken van −b2a-\tfrac{b}{2a} verkeerd. B lees die konstante term af.

M3Basies

Onderwerp: Aard van ’n draaipunt

As f′′(a)=−7,f''(a) = -7\mathclose{,} is die draaipunt by x=ax = a ’n:

A) Minimum

B) Buigpunt

C) Maksimum

D) Kan nie bepaal word nie

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

f′′<0f'' < 0 beteken konkaaf af — ’n lokale maksimum.

Waarom die ander verkeerd is: A sou ’n POSITIEWE tweede afgeleide vereis. B sou vereis dat dit nul is. D gee te gou op: ’n tweede afgeleide wat nie nul is nie beslis die vraag op sy eie.

M4Basies

Onderwerp: Gradiënt van ’n raaklyn

Die gradiënt van die raaklyn aan y=3x2−xy = 3x^2 - x by x=2x = 2 is:

A) 55

B) 66

C) 1010

D) 1111

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

y′=6x−1;y' = 6x - 1\mathclose{;} by x=2:x = 2\mathclose{:} y′(2)=12−1=11y'(2) = 12 - 1 = 11

Waarom die ander verkeerd is: C laat die afgeleide van −x-x val, wat −1-1 is. B gee die tweede afgeleide, 6. A differensieer 3x23x^2 as 3x:3x\mathclose{:} 3(2)−1=5.3(2) - 1 = 5\mathclose{.}

M5Basies

Onderwerp: Vereenvoudig voor differensiasie

f(x)=x4−x2x.f(x) = \dfrac{x^4 - x^2}{x}\mathclose{.} Dan f′(x)=f'(x) =

A) 3x2−13x^2 - 1

B) 3x23x^2

C) 4x3−2x4x^3 - 2x

D) x3−xx^3 - x

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

f(x)=x3−x;f(x) = x^3 - x\mathclose{;} f′(x)=3x2−1f'(x) = 3x^2 - 1

Waarom die ander verkeerd is: D is die VEREENVOUDIGDE funksie, x3−x,x^3 - x\mathclose{,} ongedifferensieer. C differensieer net die teller en ignoreer die deling. B differensieer korrek maar laat die −1-1 val.

M6Intermediêr

Onderwerp: Eerste beginsels

Met eerste beginsels is f′(x),f'(x)\mathclose{,} waar f(x)=5xf(x) = 5x gelyk is aan:

A) 5x5x

B) 00

C) 55

D) 5x+5h5x + 5h

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

lim⁡h→05(x+h)−5xh=lim⁡h→05hh=5\lim_{h \to 0} \frac{5(x+h) - 5x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{5h}{h} = 5

Waarom die ander verkeerd is: A kopieer die funksie terug. B hanteer 5x5x as ’n konstante, wat net ’n getal is. D stop voordat die hh gekanselleer en die limiet geneem is.

M7Intermediêr

Onderwerp: Vergelyking van ’n raaklyn

Die vergelyking van die raaklyn aan f(x)=x2−3f(x) = x^2 - 3 by x=−1x = -1 is:

A) y=−2x−4y = -2x - 4

B) y=2x−4y = 2x - 4

C) y=−2x−2y = -2x - 2

D) y=−2x+4y = -2x + 4

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

f(−1)=1−3=−2;f(-1) = 1 - 3 = -2\mathclose{;} f′(x)=2x;f'(x) = 2x\mathclose{;} f′(−1)=−2f'(-1) = -2

Raaklyn: y−(−2)=−2(x−(−1))⇒y=−2x−4y - (-2) = -2(x - (-1)) \Rightarrow y = -2x - 4

Waarom die ander verkeerd is: B het die teken van die gradiënt verkeerd: f′(−1)=−2,f'(-1) = -2\mathclose{,} nie +2+2 nie. C neem die punt se yy-waarde as die afsnit. D het die teken van die afsnit verkeerd. Kontroleer deur x=−1x = -1 te vervang — die raaklyn moet deur (−1; −2)(-1;\ -2) gaan.

M8Intermediêr

Onderwerp: Draaipunte van ’n derdegraadse funksie

f(x)=x3−12x+5f(x) = x^3 - 12x + 5 het draaipunte by:

A) x=2x = 2 en x=−2x = -2

B) x=23x = 2\sqrt{3} en x=−23x = -2\sqrt{3}

C) x=6x = 6 en x=−6x = -6

D) slegs x=6x = 6

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

f′(x)=3x2−12=3(x2−4)=3(x−2)(x+2);f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x-2)(x+2)\mathclose{;} x=2x = 2 of x=−2x = -2

Waarom die ander verkeerd is: B vergeet die 3 in die afgeleide: dit los x2=12x^2 = 12 op in plaas van 3x2=12.3x^2 = 12\mathclose{.} C vermenigvuldig met die 3 in plaas daarvan om te deel: x2=36.x^2 = 36\mathclose{.} D halveer die 12 sonder om enigsins te differensieer.

M9Intermediêr

Onderwerp: Buigpunt

Die buigpunt van f(x)=x3−3x2+6x−1f(x) = x^3 - 3x^2 + 6x - 1 kom voor by x=x =

A) 00

B) 11

C) 22

D) 33

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

f′′(x)=6x−6=0⇒x=1f''(x) = 6x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1

Waarom die ander verkeerd is: D lees die koëffisiënt 3 af eerder as om 6x−6=06x - 6 = 0 op te los. A laat die −6-6 weg en los 6x=06x = 0 op. C differensieer 3x23x^2 as 3x3x op pad na f′′f'' en los 3x−6=03x - 6 = 0 op. Let op dat hierdie derdegraadse funksie glad geen draaipunte het nie — ’n buigpunt benodig nie een nie.

M10Intermediêr

Onderwerp: Stygend/dalend

Vir f(x)=−x3+3xf(x) = -x^3 + 3x is die funksie stygend wanneer:

A) −1<x<1-1 < x < 1

B) x<−1x < -1 of x>1x > 1

C) x>0x > 0

D) Alle reële xx

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

f′(x)=−3x2+3=−3(x2−1)=−3(x−1)(x+1)f'(x) = -3x^2 + 3 = -3(x^2 - 1) = -3(x-1)(x+1)

f′(x)>0f'(x) > 0 wanneer (x−1)(x+1)<0,(x-1)(x+1) < 0\mathclose{,} dit wil sê −1<x<1-1 < x < 1

Waarom die ander verkeerd is: B noem presies waar die funksie DAAL — die leidende term is −x3,-x^3\mathclose{,} dus daal die derdegraadse funksie aan albei kante. C ignoreer dat dit weer by x=1x = 1 draai. D sou glad geen draaipunte vereis nie.

M11Intermediêr

Onderwerp: Optimalisering — maksimum waarde

Vind die maksimum waarde van f(x)=−x2+6x+1.f(x) = -x^2 + 6x + 1\mathclose{.}

A) 33

B) 77

C) 99

D) 1010

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

f′(x)=−2x+6=0⇒x=3f'(x) = -2x + 6 = 0 \Rightarrow x = 3

f(3)=−9+18+1=10f(3) = -9 + 18 + 1 = 10

Waarom die ander verkeerd is: A is die xx-waarde van die draaipunt, nie die maksimum WAARDE nie — vervang dit terug. C vervang wel, en laat dan die +1+1 val. B tel 6+16 + 1 bymekaar en vervang niks nie.

M12Intermediêr

Onderwerp: Gradiënt van die normaal

Die raaklyn aan f(x)=x3f(x) = x^3 by x=−1x = -1 het gradiënt 3.3\mathclose{.} Die gradiënt van die normaal is:

A) −3-3

B) −13-\dfrac{1}{3}

C) 13\dfrac{1}{3}

D) 33

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

f′(x)=3x2;f'(x) = 3x^2\mathclose{;} f′(−1)=3.f'(-1) = 3\mathclose{.} Normaalgradiënt =−13= -\frac{1}{3}

Waarom die ander verkeerd is: D gee die raaklyn se gradiënt terug. C neem die resiprook maar vergeet die teken. A verander die teken maar vergeet die resiprook. Die normaal benodig albei: m1m2=−1.m_1 m_2 = -1\mathclose{.}

M13Intermediêr

Onderwerp: Om f′f' van ’n grafiek af te lees

’n Funksie ff is stygend op (−∞, 2)(-\infty,\ 2) en dalend op (2, ∞).(2,\ \infty)\mathclose{.} Watter stelling oor f′f' is waar?

A) f′(2)=0f'(2) = 0 en f′(x)<0f'(x) < 0 vir x<2x < 2

B) f′(x)<0f'(x) < 0 vir alle xx

C) f′(2)>0f'(2) > 0

D) f′(2)=0f'(2) = 0 en f′(x)>0f'(x) > 0 vir x<2x < 2

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

Stygend beteken f′>0.f' > 0\mathclose{.} By die maksimum, f′=0.f' = 0\mathclose{.}

Waarom die ander verkeerd is: A het die teken agterstevoor — stygend beteken f′f' is POSITIEF. B sou ff oral laat daal, maar dit styg links van 2. C plaas ’n positiewe gradiënt by die draaipunt, waar dit nul moet wees.

M14Intermediêr

Onderwerp: Teken van die tweede afgeleide

As f′′(x)>0f''(x) > 0 vir alle xx in ’n interval, dan is ff op daardie interval:

A) Dalend

B) Konkaaf af

C) Konkaaf op

D) By ’n maksimum

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

f′′>0f'' > 0 beteken f′f' is stygend — die kromme is konkaaf op (komvorm).

Waarom die ander verkeerd is: A is wat ’n negatiewe EERSTE afgeleide beteken; hierdie is die tweede. B is die teenoorgestelde teken — hol-af benodig f′′<0.f'' < 0\mathclose{.} D beskryf ’n enkele punt, nie ’n eienskap wat oor ’n hele interval geld nie.

M15Intermediêr

Onderwerp: Derdegraadse funksie met ’n negatiewe leidende koëffisiënt

Watter een van die volgende beskryf die eindgedrag van f(x)=−2x3+x2−5f(x) = -2x^3 + x^2 - 5 die beste?

A) Styg links, styg regs

B) Styg links, val regs

C) Val links, styg regs

D) Val links, val regs

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

Negatiewe leidende koëffisiënt (a=−2<0):(a = -2 < 0)\mathclose{:} vir groot negatiewe x,x\mathclose{,} −2x3→+∞-2x^3 \to +\infty (styg links); vir groot positiewe x,x\mathclose{,} −2x3→−∞-2x^3 \to -\infty (val regs).

Waarom die ander verkeerd is: A en D is vorme van ’n ewe graad, waar albei kante dieselfde rigting volg; hierdie is ’n derdegraadse funksie, dus gaan hulle teenoorgestelde rigtings. C is die regte vorm vir ’n derdegraadse funksie maar die verkeerde rigting — dit hoort by ’n POSITIEWE leidende koëffisiënt, en hierdie een is −2.-2\mathclose{.}

M16Gevorderd

Onderwerp: Om kk te vind gegee ’n stasionêre punt

f(x)=x3−kxf(x) = x^3 - kx het ’n stasionêre punt by x=2.x = 2\mathclose{.} Vind k.k\mathclose{.}

A) 22

B) 44

C) 66

D) 1212

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

f′(x)=3x2−k=0f'(x) = 3x^2 - k = 0 by x=2:x = 2\mathclose{:}

3(4)−k=0⇒k=123(4) - k = 0 \Rightarrow k = 12

Waarom die ander verkeerd is: C differensieer x3x^3 as 3x3x en los 3x−k=03x - k = 0 op. B stop by x2=4x^2 = 4 sonder om met die 3 te vermenigvuldig. A gee die xx-waarde terug in plaas van k.k\mathclose{.}

M17Gevorderd

Onderwerp: Optimalisering — blikkie

’n Silindriese blik het volume 250π cm3.250\pi\ \text{cm}^3\mathclose{.} Die radius wat die totale buite-oppervlakte minimeer, voldoen aan:

A) r=125r = 125 cm

B) r=25r = 25 cm

C) r=10r = 10 cm

D) r=5r = 5 cm

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

V=πr2h=250π⇒h=250r2V = \pi r^2 h = 250\pi \Rightarrow h = \frac{250}{r^2}

SA=2πr2+2πrh=2πr2+500πrSA = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + \frac{500\pi}{r}

d(SA)dr=4πr−500πr2=0\frac{d(SA)}{dr} = 4\pi r - \frac{500\pi}{r^2} = 0

4r3=500⇒r3=125⇒r=54r^3 = 500 \Rightarrow r^3 = 125 \Rightarrow r = 5

Waarom die ander verkeerd is: B gee r2r^2 eerder as rr — die vierkantswortel is nooit geneem nie. C is die middellyn, 2r,2r\mathclose{,} nie die radius nie. A gee r3=125r^3 = 125 — die derdemagswortel is nooit geneem nie.

M18Gevorderd

Onderwerp: Diskriminant van f′f' en die aantal draaipunte

Vir f(x)=x3+bx+c,f(x) = x^3 + bx + c\mathclose{,} hoeveel draaipunte het ff as b>0?b > 0\mathclose{?}

A) Twee draaipunte

B) Een draaipunt

C) Geen draaipunte nie

D) Kan nie bepaal word nie

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

f′(x)=3x2+b.f'(x) = 3x^2 + b\mathclose{.} Aangesien b>0,b > 0\mathclose{,} is f′(x)=3x2+b≥b>0f'(x) = 3x^2 + b \geq b > 0 vir alle x.x\mathclose{.}

f′(x)f'(x) is nooit gelyk aan nul nie — geen stasionêre punte nie, en dus geen draaipunte nie.

Waarom die ander verkeerd is: A sou b<0b < 0 vereis, sodat 3x2+b=03x^2 + b = 0 twee wortels het. B sou b=0b = 0 vereis, en selfs dan is x=0x = 0 ’n buigpunt eerder as ’n draaipunt. D gee te gou op: die teken van bb beslis dit volkome.

M19Gevorderd

Onderwerp: Om die grafieke van ff en f′f' te verbind

By die punt waar die grafiek van f′f' die x-as van onder af sny, het ff ’n:

A) Lokale maksimum

B) Lokale minimum

C) Buigpunt

D) Vertikale asimptoot

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

f′f' sny van onder (negatief) na bo (positief) deur die x-as → f′f' verander van negatief na positief → ff verander van dalend na stygend → lokale minimum.

Waarom die ander verkeerd is: A is waar f′f' AFWAARTS kruis — van positief na negatief. C is waar f′′f'' van teken verander, nie f′f' nie. D volg glad nie: ’n afgeleide wat deur nul gaan sê niks oor asimptote nie.

M20Gevorderd

Onderwerp: Ketting van redenasie

As f(x)=x4−8x2,f(x) = x^4 - 8x^2\mathclose{,} by hoeveel punte is die raaklyn aan die kromme horisontaal?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

f′(x)=4x3−16x=4x(x2−4)=4x(x−2)(x+2)=0f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x^2 - 4) = 4x(x-2)(x+2) = 0

x=0, x=2, x=−2x = 0,\ x = 2,\ x = -2 — drie punte met horisontale raaklyne.

Waarom die ander verkeerd is: A tel net x=0.x = 0\mathclose{.} B tel net die buitenste paar, x=±2.x = \pm 2\mathclose{.} D lees die graad 4 af in plaas van om die wortels van 4x(x2−4)=04x(x^2 - 4) = 0 te tel.

M21Gevorderd

Onderwerp: Om ’n draaipunt te gebruik om koëffisiënte te vind

f(x)=ax2+bxf(x) = ax^2 + bx het ’n draaipunt by (3, −9).(3,\ -9)\mathclose{.} Vind aa en b.b\mathclose{.}

A) a=1, b=−6a = 1,\ b = -6

B) a=−1, b=6a = -1,\ b = 6

C) a=1, b=6a = 1,\ b = 6

D) a=2, b=−3a = 2,\ b = -3

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

Draaipunt by x=3:x = 3\mathclose{:} f′(x)=2ax+b=0f'(x) = 2ax + b = 0 by x=3:x = 3\mathclose{:}

6a+b=0⇒b=−6a6a + b = 0 \Rightarrow b = -6a

Draaipuntwaarde f(3)=−9:f(3) = -9\mathclose{:}

9a+3b=−9⇒9a+3(−6a)=−9⇒−9a=−9⇒a=1,9a + 3b = -9 \Rightarrow 9a + 3(-6a) = -9 \Rightarrow -9a = -9 \Rightarrow a = 1\mathclose{,} b=−6b = -6

Waarom die ander verkeerd is: C het die teken van bb verkeerd, wat die draaipunt na x=−3x = -3 skuif. B het albei tekens verkeerd: sy draaipunt is by x=3,x = 3\mathclose{,} maar dit is ’n maksimum met f(3)=9,f(3) = 9\mathclose{,} nie −9-9 nie. D voldoen aan geen van die twee voorwaardes nie: f′(3)=4(3)−3=9,f'(3) = 4(3) - 3 = 9\mathclose{,} wat nie nul is nie.

M22Gevorderd

Onderwerp: Teken van f′′f'' en konkawiteit

Vir f(x)=x4−6x2,f(x) = x^4 - 6x^2\mathclose{,} op watter interval is ff konkaaf af?

A) −1<x<1-1 < x < 1

B) x<−1x < -1 of x>1x > 1

C) x>0x > 0

D) Alle reële xx

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

f′(x)=4x3−12x;f'(x) = 4x^3 - 12x\mathclose{;} f′′(x)=12x2−12=12(x2−1)f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x^2 - 1)

f′′(x)<0f''(x) < 0 wanneer x2<1,x^2 < 1\mathclose{,} dit wil sê −1<x<1-1 < x < 1

Waarom die ander verkeerd is: B noem presies waar die grafiek HOL-OP is — die twee intervalle ruil om. C sluit alles verby x=1x = 1 in, wat hol-op is. D sou vereis dat f′′f'' nooit van teken verander nie, maar dié van ’n vierdegraadse funksie verander twee keer.

M23Gevorderd

Onderwerp: Optimalisering — oppervlakte

’n Reghoek word in ’n reghoekige driehoek met regsye 66 en 88 ingeskryf. As een hoek by die regte hoek is, vind die breedte xx wat die reghoek se oppervlakte maksimeer.

A) x=2x = 2

B) x=3x = 3

C) x=4x = 4

D) x=6x = 6

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

Die skuinssy gaan deur (8,0)(8, 0) en (0,6),(0, 6)\mathclose{,} dus is sy vergelyking x8+y6=1,\dfrac{x}{8} + \dfrac{y}{6} = 1\mathclose{,} wat y=6 ⁣(1−x8)y = 6\!\left(1 - \dfrac{x}{8}\right) gee.

A=xy=x⋅6 ⁣(1−x8)=6x−3x24A = xy = x \cdot 6\!\left(1 - \frac{x}{8}\right) = 6x - \frac{3x^2}{4}

A′=6−3x2=0⇒x=4A' = 6 - \frac{3x}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4

y=6(1−4/8)=3;y = 6(1 - 4/8) = 3\mathclose{;} maksimum oppervlakte =4×3=12 cm2.= 4 \times 3 = 12\,\text{cm}^2\mathclose{.}

Waarom die ander verkeerd is: B halveer die verkeerde sy. D neem ’n hele sy, wat die reghoek glad geen hoogte laat nie. A gee wel ’n reghoek, maar sy oppervlakte is 9,9\mathclose{,} minder as die maksimum 12.12\mathclose{.}

M24Gevorderd

Onderwerp: Snelheid en versnelling

’n Bal se hoogte is h(t)=−5t2+20t+2h(t) = -5t^2 + 20t + 2 meter ná tt sekondes. Wat is die maksimum hoogte?

A) 2 m2\,\text{m}

B) 20 m20\,\text{m}

C) 22 m22\,\text{m}

D) 62 m62\,\text{m}

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

h′(t)=−10t+20=0⇒t=2h'(t) = -10t + 20 = 0 \Rightarrow t = 2

h(2)=−5(4)+20(2)+2=−20+40+2=22 mh(2) = -5(4) + 20(2) + 2 = -20 + 40 + 2 = 22\,\text{m}

Waarom die ander verkeerd is: B lees die koëffisiënt van tt af, wat ’n spoed is, nie ’n hoogte nie. A is die hoogte by t=0,t = 0\mathclose{,} voordat die bal gegooi word. D verloor die minusteken: 5(2)2+20(2)+2=62.5(2)^2 + 20(2) + 2 = 62\mathclose{.}

M25Gevorderd

Onderwerp: Om kenmerke van ’n derdegraadse grafiek te lees

’n Derdegraadse funksie ff het wortels by x=−3, 0, 2x = -3,\ 0,\ 2 en ’n negatiewe leidende koëffisiënt. Watter een is die skets?

A) Val links, lokale maks tussen −3-3 en 0,0\mathclose{,} lokale min tussen 00 en 2,2\mathclose{,} styg regs

B) Styg links, lokale maks tussen −3-3 en 0,0\mathclose{,} lokale min tussen 00 en 2,2\mathclose{,} val regs

C) Styg links, lokale min tussen −3-3 en 0,0\mathclose{,} lokale maks tussen 00 en 2,2\mathclose{,} val regs

D) Val links, lokale min tussen −3-3 en 0,0\mathclose{,} lokale maks tussen 00 en 2,2\mathclose{,} styg regs

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

Negatiewe leidende koëffisiënt: styg links, val regs. Die funksie kom van +∞+\infty aan die linkerkant af, daal deur x=−3,x = -3\mathclose{,} duik tot ’n lokale minimum tussen −3-3 en 0,0\mathclose{,} styg deur x=0,x = 0\mathclose{,} piek by ’n lokale maksimum tussen 00 en 2,2\mathclose{,} en daal dan deur x=2x = 2 tot −∞.-\infty\mathclose{.}

Kontroleer die tekens: f(−1)=−(−1+3)(−1)(−1−2)=−(2)(−1)(−3)=−6<0f(-1) = -(-1+3)(-1)(-1-2) = -(2)(-1)(-3) = -6 < 0 en f(1)=−(1+3)(1)(1−2)=−(4)(1)(−1)=4>0,f(1) = -(1+3)(1)(1-2) = -(4)(1)(-1) = 4 > 0\mathclose{,} wat bevestig dat die minimum in (−3,0)(-3, 0) lê (die funksie is negatief) en die maksimum in (0,2)(0, 2) (die funksie is positief).

Waarom die ander verkeerd is: A is die skets vir ’n POSITIEWE leidende koëffisiënt: die hele grafiek in die xx-as gereflekteer. B kry die punte reg en ruil die twee draaipunte om. D kry die draaipunte reg en ruil die punte om. Stel eers die punte reg, dan die draaipunte.

M26Gevorderd

Onderwerp: Om die diskriminant van f′f' te gebruik

Hoeveel reële stasionêre punte het f(x)=x3+3x2+5x−1?f(x) = x^3 + 3x^2 + 5x - 1\mathclose{?}

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: A

Verduideliking

f′(x)=3x2+6x+5f'(x) = 3x^2 + 6x + 5

Diskriminant van f′:f'\mathclose{:} Δ=36−4(3)(5)=36−60=−24<0\Delta = 36 - 4(3)(5) = 36 - 60 = -24 < 0

Geen reële wortels nie → geen stasionêre punte nie.

Waarom die ander verkeerd is: C neem aan elke derdegraadse funksie het twee draaipunte; dit vereis dat f′f' twee wortels het, en hier is sy diskriminant −24.-24\mathclose{.} D tel die graad. B tel die buigpunt, wat nie stasionêr is nie.

M27Gevorderd

Onderwerp: Tweede afgeleide en verandering in konkawiteit

Die grafiek van f′′(x)f''(x) sny die x-as by x=3x = 3 (van negatief na positief). Dit beteken f(x)f(x) het:

A) ’n Lokale maksimum by x=3x = 3

B) ’n Lokale minimum by x=3x = 3

C) ’n Buigpunt by x=3x = 3

D) ’n Stasionêre punt by x=3x = 3

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: C

Verduideliking

f′′f'' verander van teken by x=3x = 3 → ff verander van konkawiteit → buigpunt by x=3.x = 3\mathclose{.}

Let op: ’n Buigpunt vereis nie f′(x)=0f'(x) = 0 nie.

Waarom die ander verkeerd is: A en B word deur f′f' beslis, nie deur f′′f'' nie — die tweede afgeleide sê net hoe die grafiek buig. D vereis f′(3)=0,f'(3) = 0\mathclose{,} en niks hier sê dit nie.

M28Gevorderd

Onderwerp: Optimalisering — gekombineerde beperking

’n Boer bou ’n reghoekige kamp wat deur twee binneheinings ewewydig aan die breedte in drie gelyke afdelings verdeel word. Die totale heining is 480 m.480\,\text{m}\mathclose{.} Vind die breedte ww wat die oppervlakte maksimeer.

A) w=40w = 40

B) w=60w = 60

C) w=80w = 80

D) w=120w = 120

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: B

Verduideliking

Twee lengtes (l)(l) en vier breedtes (w):(w)\mathclose{:} 2l+4w=480⇒l=240−2w2l + 4w = 480 \Rightarrow l = 240 - 2w

A=lw=(240−2w)w=240w−2w2A = lw = (240 - 2w)w = 240w - 2w^2

A′=240−4w=0⇒w=60A' = 240 - 4w = 0 \Rightarrow w = 60

Waarom die ander verkeerd is: C tel drie breedtes waar die kamp vier benodig: twee buitenste sye plus twee binneheinings. A tel ses. D is die LENGTE, nie die breedte wat die vraag vra nie.

M29Gevorderd

Onderwerp: Toepassing van rekene op ’n grafiek uit die werklike wêreld

Die snelheid van ’n motor is v(t)=3t2−18t+24 m/s.v(t) = 3t^2 - 18t + 24\ \text{m/s}\mathclose{.} Wanneer vertraag die motor?

A) t<2t < 2

B) t>4t > 4

C) 2<t<42 < t < 4

D) t<3t < 3

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

Versnelling a(t)=v′(t)=6t−18.a(t) = v'(t) = 6t - 18\mathclose{.}

Vertraging beteken a(t)<0:a(t) < 0\mathclose{:}

6t−18<0⇒t<36t - 18 < 0 \quad \Rightarrow \quad t < 3

Waarom die ander verkeerd is: A en B noem die intervalle waar die SNELHEID positief is, wat ’n rigting is, nie ’n verandering nie. C is waar die snelheid negatief is — die motor trek daar agteruit, en vir ’n deel daarvan versnellend. Vertraag beteken die VERSNELLING is negatief, dus los v′(t)<0v'(t) < 0 op.

M30Gevorderd

Onderwerp: Om al die rekene-begrippe te verbind

f(x)=x3−3x2−9x+5f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 het ’n lokale maksimum by x=−1x = -1 en ’n lokale minimum by x=3.x = 3\mathclose{.} Die waarde van f(−1)−f(3)f(-1) - f(3) is:

A) −32-32

B) −12-12

C) 1010

D) 3232

Wys die uitgewerkte oplossing

Antwoord: D

Verduideliking

f(−1)=−1−3+9+5=10f(-1) = -1 - 3 + 9 + 5 = 10

f(3)=27−27−27+5=−22f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22

f(−1)−f(3)=10−(−22)=32f(-1) - f(3) = 10 - (-22) = 32

Waarom die ander verkeerd is: C is f(−1)f(-1) op sy eie, met die aftrekking wat nooit gedoen is nie. B laat ’n teken val en werk 10−(−22)10 - (-22) as 10−2210 - 22 uit. A trek andersom af, f(3)−f(−1).f(3) - f(-1)\mathclose{.}

Uit Die Volledige NBT Wiskunde Oefenboek deur Eben Roux — laai die volledige 809-bladsy-PDF af. Vry om te deel, volledig en ongewysig.