Hoofstuk 4: Trigonometrie

Antwoord: B

Verduideliking

1. Benoem die driehoek vanuit hoek $\theta$ se perspektief. Die sy oorkant $\theta$ is 5, die sy aanliggend aan $\theta$ is 12, en die skuinssy (oorkant die regte hoek) is 13.

2. Pas die definisie toe: $\tan \theta = \dfrac{\text{teenoorstaande}}{\text{aanliggende}} = \dfrac{5}{12}$.

3. ’n Vinnige kontrole met die stelling van Pythagoras: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ — die driehoek is geldig.

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) $5/13$ is $\sin \theta$ (teenoorstaande oor skuinssy), nie tangens nie. Baie studente verwar die "O" in SOSKASTOA — SOS gee sin, nie tan nie.

C) $12/13$ is $\cos \theta$ (aanliggende oor skuinssy). Nog ’n algemene verwarring wanneer die drie verhoudings nie stewig gememoriseer is nie.

D) $12/5$ is $\cot \theta$, die resiprook van tangens. Studente wat onthou "tangens behels 12 en 5" skryf hulle soms in die verkeerde volgorde.

Onthou: Anker SOSKASTOA stewig vas: Sinus = Oorstaande/Skuinssy, Kosinus = Aanliggende/Skuinssy, Tangens = Oorstaande/Aanliggende — die O staan hier vir die teenoorstaande sy, wat die woord is wat oral elders in hierdie boek gebruik word. Vir tangens verskyn die skuinssy nooit nie.

Antwoord: A

Verduideliking

1. Benoem die reghoekige driehoek vanuit $\cos \theta = 7/25$: aanliggende $= 7$, skuinssy $= 25$.

2. Gebruik die stelling van Pythagoras om die teenoorstaande sy te vind: $\text{teenoor}^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$, dus $\text{teenoor} = 24$.

3. Daarom $\sin \theta = \dfrac{\text{teenoorstaande}}{\text{skuinssy}} = \dfrac{24}{25}$.

Waarom die afleiers verkeerd is:

B) $7/24$ is gelyk aan $\tan \theta = \text{aan}/\text{teenoor}$. Die student het die ontbrekende sy (24) gevind maar toe die verhouding aanliggende/teenoorstaande gevorm eerder as teenoorstaande/skuinssy.

C) $25/24$ is $\csc \theta$, die resiprook van $\sin \theta$. Om teller en noemer om te ruil is ’n gereelde glips sodra die teenoorstaande sy korrek gevind is.

D) $7/25$ kopieer bloot die gegewe waarde van $\cos \theta$. Dit gebeur wanneer ’n student vergeet dat ’n ander verhouding gevra word.

Onthou: Wanneer een trigonometriese verhouding gegee word, teken ’n reghoekige driehoek, benoem twee sye, gebruik Pythagoras om die derde te vind, en lees dan af watter verhouding ook al die vraag vra.

Antwoord: D

Verduideliking

1. Per definisie is $\cot \theta$ die resiprook van $\tan \theta$.

2. Aangesien $\tan \theta = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}$, het ons $\cot \theta = \dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}$.

3. In driehoekterme: $\tan \theta = \text{teenoor}/\text{aan}$, dus $\cot \theta = \text{aan}/\text{teenoor}$.

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) $\sin\theta / \cos\theta$ is die definisie van $\tan \theta$, nie $\cot \theta$ nie.

B) teenoorstaande/aanliggende is $\tan \theta$ in driehoekvorm geskryf — weer eens die resiprook van wat nodig is.

C) skuinssy/aanliggende is gelyk aan $\sec \theta$. Die skuinssy verskyn in $\sec$ en $\csc$; kotangens behels net die twee regsye.

Onthou: Die "ko-"-voorvoegsel dui ’n resiprook aan: $\cot = 1/\tan$, $\csc = 1/\sin$, $\sec = 1/\cos$. Om al ses funksies as drie resiproke pare te leer verwyder ’n groot deel van die memorisering.

Antwoord: C

Verduideliking

1. Ons het die sy oorkant die hoek van 60° nodig. Gebruik $\sin 60° = \text{teenoor}/\text{skuins}$.

2. $\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, dus $\text{teenoor} = 20 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ cm.

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) 10 kom daarvan dat $\sin 30° = 1/2$ in plaas van $\sin 60°$ gebruik is. Dit gee die sy aanliggend aan 60° (dit wil sê, oorkant die hoek van 30°).

B) $10\sqrt{2}$ gebruik $\sin 45° = \sqrt{2}/2$. Die student het die verkeerde spesiale hoek vervang.

D) $20/\sqrt{3}$ ontstaan uit die skryf van $\text{teenoor} = \text{skuins}/\tan 60°$. Aangesien $\tan 60° = \sqrt{3}$, gee dit $20/\sqrt{3} \approx 11.5$, wat vir hierdie driehoek nóg die teenoorstaande nóg die aanliggende sy is.

Onthou: Vir ’n 30-60-90-driehoek is die sye in die verhouding $1 : \sqrt{3} : 2$. Die sy oorkant 30° is die helfte van die skuinssy; die sy oorkant 60° is $(\sqrt{3}/2) \times \text{skuins}$.

Antwoord: D

Verduideliking

Vind die derde sy. $AC^2 = 169 - 25 = 144$, dus $AC = 12$.

Lees die verhoudings af vanaf hoek $A$ (teenoorstaande $= 5$, aanliggende $= 12$, skuinssy $= 13$): $$\sin A = \tfrac{5}{13}, \qquad \cos A = \tfrac{12}{13}, \qquad \sin A + \cos A = \tfrac{17}{13}$$

Waarom die ander verkeerd is:

• B (1) verwar dit met $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$. Daardie identiteit tel die kwadrate op.
• C ($\frac{7}{13}$) het afgetrek in plaas van opgetel.
• A ($\frac{60}{169}$) het die twee verhoudings vermenigvuldig.

Onthou: $\sin^2\theta+\cos^2\theta = 1$ en $\sin\theta+\cos\theta$ is heeltemal verskillende uitdrukkings. Die identiteit geld slegs vir die kwadrate.

Antwoord: B

Verduideliking

Gebruik die identiteit $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$ direk. Aangesien $\csc\theta = \frac53$: $$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta = \frac{25}{9}$$

Kontroleer met ’n driehoek: $\sin\theta = \frac35$, dus teenoorstaande 3, skuinssy 5, aanliggende 4. Dan $\cot^2\theta = \frac{16}{9}$ en $1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$ ✓

Waarom die ander verkeerd is:

• A ($\frac{16}{9}$) is $\cot^2\theta$ alleen — het vergeet om 1 by te tel.
• C (1) het by $\sin^2+\cos^2 = 1$ geleen. Hierdie identiteit is nie gelyk aan 1 nie.
• D ($\frac53$) herhaal net die gegewe waarde.

Onthou: Drie Pythagoras-identiteite: $\sin^2+\cos^2=1$, $1+\tan^2=\sec^2$, $1+\cot^2=\csc^2$. Die laaste twee kom daarvan dat die eerste deur $\cos^2\theta$ en $\sin^2\theta$ gedeel word.

Antwoord: A

Verduideliking

1. Pas die Pythagoras-identiteite op elke faktor toe: - $1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta$ - $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta = \dfrac{1}{\sin^2\theta}$

2. Vermenigvuldig: $\sin^2\theta \times \dfrac{1}{\sin^2\theta} = 1$.

Waarom die afleiers verkeerd is:

C) $\cos^2\theta$ volg daaruit dat net die eerste faktor vereenvoudig is en die tweede geïgnoreer is.

B) $\csc^2\theta$ volg daaruit dat net die tweede faktor vereenvoudig is en die eerste geïgnoreer is.

D) $\tan^2\theta$ ontstaan uit die verwarring van $1 + \cot^2\theta$ met $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$, en dan die berekening $\sin^2\theta \times \sec^2\theta = \sin^2\theta/\cos^2\theta = \tan^2\theta$. Om die verkeerde een van die drie identiteite te gebruik is die grondfout.

Onthou: Wanneer ’n uitdrukking twee faktore het, vereenvoudig elkeen afsonderlik met bekende identiteite, en kombineer dan. Produkte van die vorm $\sin^k\theta \cdot \csc^k\theta$ stort altyd ineen tot 1.

Antwoord: C

Verduideliking

1. Vanuit $\tan\alpha = 3/4$: teenoorstaande $= 3$, aanliggende $= 4$, skuinssy $= 5$.

2. $\sin\alpha = 3/5$, $\cos\alpha = 4/5$.

3. Teller: $3/5 - 4/5 = -1/5$.

4. Noemer: $3/5 + 4/5 = 7/5$.

5. Verhouding: $\dfrac{-1/5}{7/5} = -\dfrac{1}{7}$.

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) $1/7$ is die korrekte grootte maar die verkeerde teken. Die teller is negatief omdat $\cos\alpha > \sin\alpha$ wanneer $\tan\alpha < 1$.

B) $7$ keer die breuk om ($7/5 \div 1/5 = 7$), wat daarop dui dat die student teller en noemer verkeerd om geplaas het.

D) $-7$ keer die breuk om én behou die negatiewe teken, wat die twee foute hierbo kombineer.

Onthou: Wanneer $\tan\alpha < 1$ (dit wil sê, $\alpha < 45°$), het ons $\cos\alpha > \sin\alpha$, dus is $\sin\alpha - \cos\alpha$ negatief. Ken altyd ’n teken toe voordat jy breuke vereenvoudig.

Afdeling 4.2 — Trigonometrie in Reghoekige Driehoeke

Antwoord: C

Verduideliking

1. Die leer is die skuinssy (8 m) en die afstand by die voet is die aanliggende sy (4 m).

2. $\cos\theta = \dfrac{\text{aan}}{\text{skuins}} = \dfrac{4}{8} = 0.5$.

3. $\theta = \cos^{-1}(0.5) = 60°$.

Waarom die afleiers verkeerd is:

B) 30° is die hoek wat die leer met die muur maak (die komplement van die hoek met die grond). Om die verwysingsrigting te verwar — vanaf die muur te meet in plaas van vanaf die grond — lewer hierdie fout.

A) 45° is ’n algemene raaiskoot wanneer studente onseker voel; dit het geen grond in die gegewe metings nie.

D) 90° sou beteken die leer is horisontaal — onmoontlik as dit teen ’n muur leun.

Onthou: Identifiseer watter sy aanliggend is en watter die skuinssy is, relatief tot die hoek wat jy soek, en kies dan die gepaste inverse trigonometriese funksie.

Antwoord: D

Verduideliking

1. Die styging (2 m) is oorkant die hoek, en die horisontale afstand (5 m) is aanliggend.

2. $\tan\theta = \dfrac{2}{5} = 0.4$.

3. $\theta = \tan^{-1}(0.4) \approx 21.8°$.

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) 68.2° kom van die omkering van die breuk: $\tan^{-1}(5/2) = \tan^{-1}(2.5) \approx 68.2°$. Dit is die komplement van die korrekte hoek.

C) 23.6° gebruik $\sin^{-1}(2/5) = \sin^{-1}(0.4) \approx 23.6°$. Die student het sinus gebruik terwyl die skuinssy onbekend is.

B) 24.0° is ’n afgeronde skatting sonder ’n beginselvaste berekening — ’n raaiskoot naby C.

Onthou: Wanneer albei sye wat die regte hoek vorm gegee is, is tangens die korrekte verhouding (geen skuinssy nodig nie). Gebruik $\theta = \tan^{-1}(\text{styging}/\text{loop})$ vir hellingsprobleme.

Antwoord: A

Verduideliking

Die dieptehoek vanaf die krans is gelyk aan die hoogtehoek vanaf die boot (verwisselende hoeke).

In die driehoek is die krans van 40 m oorkant die hoek van 35°, en die afstand $x$ is aanliggend: $$\tan 35° = \frac{40}{x} \quad\Rightarrow\quad x = \frac{40}{\tan 35°} \approx 57.1 \text{ m}$$

Waarom die ander verkeerd is — elkeen vermenigvuldig waar dit moet deel:

• C (28.0) het $40 \times \tan 35°$ gebruik.
• B (22.9) het $40 \times \sin 35°$ gebruik, wat sou vereis dat 40 die skuinssy is.
• D (32.8) het $40 \times \cos 35°$ gebruik.

Onthou: Skryf die vergelyking neer voordat jy dit herrangskik. Met die bekende sy oorkant die hoek, is die aanliggende sy $\frac{\text{teenoor}}{\tan\theta}$ — ’n deling, wat maklik vergeet word.

Antwoord: B

Verduideliking

Twee hoeke, twee reghoekige driehoeke, een gedeelde basis van 50 m.

Onder ooghoogte (dieptehoek 15°) gee die korter gebou se hoogte: $$h = 50\tan 15° \approx 13.4 \text{ m}$$

Bo ooghoogte (hoogtehoek 25°) gee die ekstra hoogte: $$d = 50\tan 25° \approx 23.3 \text{ m}$$

Totaal: $13.4 + 23.3 \approx 36.7$ m

Waarom die ander verkeerd is:

• A (23.3) is net die deel bo ooghoogte.
• D (13.4) is net die deel onder ooghoogte.
• C (50.0) is die horisontale afstand — glad nie ’n hoogte nie.

Onthou: Een hoogtehoek en een dieptehoek beskryf twee driehoeke wat ’n basis deel. Tel die twee vertikale stukke op.

Antwoord: D

Verduideliking

1. Die regte hoek is by $R$, dus is $PQ$ die skuinssy.

2. $PQ^2 = PR^2 + QR^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$.

3. $PQ = \sqrt{225} = 15$ cm. (Herken die 3-4-5-drietal, met 3 geskaal.)

Waarom die afleiers verkeerd is:

B) 21 tel die twee regsye op: $9 + 12 = 21$. Om sye op te tel gee nooit die skuinssy nie, behalwe by toeval.

C) $\sqrt{63}$ bereken $\sqrt{12^2 - 9^2} = \sqrt{144 - 81} = \sqrt{63}$. Dit trek af in plaas van op te tel, wat ’n regsy sou vind as 12 die skuinssy was — maar die skuinssy is $PQ$, nie $QR$ nie.

A) 7.5 is $\frac{9}{12} = 0.75$ met 10 vermenigvuldig, of een of ander onverwante rekenkunde.

Onthou: Die stelling van Pythagoras tel die kwadrate van die twee regsye op om die kwadraat van die skuinssy te kry. Trek net af as jy ’n regsy soek en die skuinssy gegee is.

Antwoord: A

Verduideliking

Laat $h$ die toring se hoogte wees en $x$ die afstand vanaf die nader posisie.

Twee vergelykings, een vir elke posisie: $$h = x\tan 68° \qquad h = (x+80)\tan 42°$$

Stel gelyk en los op vir $x$: $$x(\tan 68° - \tan 42°) = 80\tan 42° \implies x = \frac{72.03}{1.5747} \approx 45.7 \text{ m}$$

Vind dan $h$: $\ h = 45.7 \times \tan 68° \approx 113.2$ m

Waarom die ander verkeerd is:

• B (72.0) is die teller alleen — het gestop voordat vir $x$ opgelos is.
• C (161.5) het die hoeke verwissel, en 68° by die verre posisie geplaas.
• D (52.6) het die finale vermenigvuldiging nooit voltooi nie.

Onthou: Twee posisies gee twee vergelykings in $h$ en $x$. Stel hulle gelyk, los eers vir $x$ op, en vervang dan terug vir $h$.

Antwoord: C

Verduideliking

1. Die diagonaal $AC$ is die skuinssy van reghoekige driehoek $ABC$ (regte hoek by $B$, aangesien $ABCD$ ’n reghoek is).

2. Sy $BC$ is oorkant hoek $\angle CAB = 67°$.

3. $BC = AC \times \sin 67° = 26 \times 0.9205 \approx 23.9$ cm.

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) 10.2 cm gebruik $\cos 67° \approx 0.3907$: $26 \times 0.3907 \approx 10.2$. Dit gee $AB$ (die aanliggende sy), nie $BC$ nie.

B) 28.2 cm kom van $26/\sin 67° \approx 28.2$ — deel in plaas van vermenigvuldig, asof 26 ’n regsy was eerder as die skuinssy.

D) 23.4 cm rond $\sin 67°$ af tot $0.9$ voordat daar vermenigvuldig word: $26 \times 0.9 = 23.4$. Rond aan die einde af, nooit in die middel nie — daardie ekstra desimale in die sinus is hier ’n halwe sentimeter werd.

Onthou: In enige reghoek skep die diagonaal ’n reghoekige driehoek met die sye. Identifiseer watter sy oorkant en watter aanliggend aan die gegewe hoek is, en pas dan SOS of KAS dienooreenkomstig toe.

Afdeling 4.3 — Spesiale Hoeke (30°, 45°, 60°)

Antwoord: B

Verduideliking

1. $\sin 30° = \dfrac{1}{2}$ en $\cos 60° = \dfrac{1}{2}$.

2. $\sin 30° + \cos 60° = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$.

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) $\sqrt{3}$ volg uit die berekening van $\sin 60° + \cos 30°$ in plaas daarvan: albei is gelyk aan $\sqrt{3}/2$, dus is hulle som $\sqrt{3}$. Die vraag gebruik 30° met sin en 60° met cos, wat albei gelyk is aan $1/2$.

D) $\sqrt{3}/2$ is die waarde van ’n enkele funksie soos $\sin 60°$ of $\cos 30°$ — nie die som van twee terme nie.

C) $\sqrt{2}$ is ’n aanneemlike raaiskoot gebaseer op die vermenging van 45°-waardes; $2 \times (\sqrt{2}/2) = \sqrt{2}$, maar dit geld vir $\sin 45° + \cos 45°$, nie vir hierdie uitdrukking nie.

Onthou: Memoriseer die tabel van spesiale hoeke: $\sin 30° = \cos 60° = 1/2$, $\sin 45° = \cos 45° = \sqrt{2}/2$, $\sin 60° = \cos 30° = \sqrt{3}/2$. Let op dat $\sin\theta = \cos(90°-\theta)$.

Antwoord: A

Verduideliking

1. In ’n 45-45-90-driehoek is die twee regsye gelyk; as elke regsy $= 1$ is, is die skuinssy $= \sqrt{2}$.

2. $\tan 45° = \dfrac{\text{teenoor}}{\text{aan}} = \dfrac{1}{1} = 1$.

Waarom die afleiers verkeerd is:

B) $\sqrt{2}$ is $\sec 45° = 1/\cos 45° = \sqrt{2}$. Om tangens met sekans te verwar lewer dit op.

C) $\sqrt{3}$ is $\tan 60°$.

D) $1/\sqrt{2}$ is gelyk aan $\sin 45° = \cos 45°$. Die student ken dalk die 45°-waardes maar pas hulle op die verkeerde funksie toe.

Onthou: $\tan 45° = 1$ is miskien die nuttigste spesiale-hoek-waarde om onmiddellik te ken, want dit dui op gelyke teenoorstaande en aanliggende sye en kom voortdurend in simmetrie-argumente voor.

Antwoord: C

Verduideliking

Albei spesiale waardes is $\frac{\sqrt3}{2}$, dus is albei kwadrate $\frac34$:

$$\sin^2 60° + \cos^2 30° - 1 = \tfrac34 + \tfrac34 - 1 = \tfrac32 - 1 = \tfrac12$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A (0) behandel dit as $\sin^2 60° + \cos^2 \mathbf{60°} - 1$. Die vraag gebruik $\cos 30°$, wat gelyk is aan $\sin 60°$ — dus is albei terme $\frac34$, nie $\frac34$ en $\frac14$ nie.
• B ($\frac32$) het die kwadrate opgetel maar nooit die 1 afgetrek nie.
• D ($\frac14$) het $\sin^2 60° = \frac12$ gebruik, wat verkeerd is.

Onthou: $\sin 60° = \cos 30°$ — ’n kofunksiepaar, dus is hulle nie die komplementêre paar wat die Pythagoras-identiteit vereis nie. Lees die hoeke noukeurig, en voltooi dan die rekenkunde.

Antwoord: B

Verduideliking

1. $\tan 30° = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$, dus $\tan^2 30° = \dfrac{1}{3}$.

2. Teller: $2 \times \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$.

3. Noemer: $1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$.

4. $\dfrac{2/\sqrt{3}}{2/3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.

Herkenning: Dit is presies die dubbelhoekformule $\tan(2 \times 30°) = \tan 60° = \sqrt{3}$.

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) $2/\sqrt{3}$ is net die teller voordat daar deur die noemer gedeel is — die student het halfpad gestop.

C) $2$ ontstaan uit verkeerde vereenvoudiging: moontlik deur $2/\sqrt{3}$ deur $1/3$ te deel en $6/\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ te kry, en dan af te rond.

D) $1/\sqrt{3}$ is $\tan 30°$ self — die student het die invoer geëvalueer eerder as die uitdrukking.

Onthou: Die formule $\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta} = \tan(2\theta)$ is ’n kragtige identiteit. Om die vorm te herken laat jou toe om dit sonder vervelige rekenkunde te evalueer.

Antwoord: D

Verduideliking

1. $\sin\theta = \cos\theta$ impliseer $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = 1$, dit wil sê $\tan\theta = 1$.

2. Die enigste oplossing in $[0°, 90°]$ is $\theta = 45°$, dus $\sin\theta = \cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ en $\tan\theta = 1$.

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) $\theta = 30°$ is verkeerd: $\sin 30° = 0.5 \neq \cos 30° = \sqrt{3}/2 \approx 0.866$.

B) $\sin\theta = 1$ sou $\theta = 90°$ vereis, waar $\cos 90° = 0 \neq 1$, wat die voorwaarde weerspreek.

C) $\cos\theta = 0$ sou $\theta = 90°$ vereis — dieselfde weerspreking as B.

Onthou: $\sin\theta = \cos\theta$ is ekwivalent aan $\tan\theta = 1$. Om albei kante van ’n trigonometriese vergelyking deur ’n funksie te deel is ’n geldige algebraïese stap en vereenvoudig die vergelyking dikwels dramaties.

Antwoord: B

Verduideliking

1. Skryf $75° = 45° + 30°$ en pas die saamgestelde-hoek-formule toe:

$\sin(A + B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B$

2. $\sin 75° = \sin 45°\cos 30° + \cos 45°\sin 30°$

$= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2}$

$= \dfrac{\sqrt{6}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) $(\sqrt{6}-\sqrt{2})/4$ is $\sin 15° = \sin(45° - 30°)$. Die student het aftrekking in plaas van optelling in die saamgestelde hoek gebruik.

C) $(\sqrt{2}+1)/2$ is ’n verkeerde uitbreiding, moontlik deurdat die vierkantswortels verkeerd hanteer is.

D) $\sqrt{3}/2$ is $\sin 60°$, 15° daarnaas.

Onthou: Om $\sin$ of $\cos$ van ’n nie-standaard hoek soos 75° te evalueer, ontbind dit in ’n som of verskil van spesiale hoeke (30°, 45°, 60°) en pas die saamgestelde-hoek-formule toe.

Afdeling 4.4 — Eenheidsirkel en Verwysingshoeke

Antwoord: C

Verduideliking

1. 240° lê in die derde kwadrant (tussen 180° en 270°).

2. Verwysingshoek $= 240° - 180° = 60°$.

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) 30° sou die verwysingshoek vir 210° wees (= 180° + 30°). Een algemene veelvoud van 30° daarnaas.

B) 120° is $360° - 240°$, wat die supplementêre afstand van 240° tot die volle sirkel gee — nie die verwysingshoek nie (wat altyd vanaf die naaste x-as gemeet word).

D) 300° is $360° - 60°$, ’n geldige hoek in K4 wat dieselfde verwysingshoek (60°) het maar nie self die verwysingshoek is nie.

Onthou: Die verwysingshoek is altyd die skerphoek tussen die eindsy en die x-as. Vir K3: trek 180° af. Vir K2: trek van 180° af. Vir K4: trek van 360° af.

Antwoord: D

Verduideliking

1. Die kwadrante: K1 (0°–90°), K2 (90°–180°), K3 (180°–270°), K4 (270°–360°).

2. 310° lê tussen 270° en 360° → Kwadrant IV.

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) K1 geld vir hoeke kleiner as 90°. 310° het die grootste deel van die sirkel reeds voltooi.

B) K2 (90° tot 180°) is aan die teenoorgestelde kant; 310° is verby 270°.

C) K3 (180° tot 270°): 310° > 270°, dus is dit verby K3.

Onthou: ’n Vinnige kontrole: oorskry die hoek 270°? Indien wel, is dit in K4. Bepaal die ligging deur met die kwadrantgrense 0°, 90°, 180°, 270°, 360° te vergelyk.

Antwoord: A

Verduideliking

Met die CAST-reël (Alle positief in K1, Sin positief in K2, Tan positief in K3, Cos positief in K4):

• K1: sin en cos albei positief.
• K2: sin positief, cos negatief.
• K3: sin en cos albei negatief. ✓
• K4: cos positief, sin negatief.

Albei funksies negatief $\Rightarrow$ Kwadrant III.

Waarom die afleiers verkeerd is:

D) K1 het albei funksies positief.

B) K2 het sin positief maar cos negatief — net een is hier negatief.

C) K4 het cos positief maar sin negatief — die omgekeerde van K2.

Onthou: Die CAST-geheuesteun plaas "Alle" in K1, "Sin" in K2, "Tan" in K3 en "Cos" in K4 om aan te dui watter primêre funksie positief is. Dat sin én cos albei negatief is, identifiseer K3 uniek.

Antwoord: D

Verduideliking

1. $\sin\theta < 0$ en $\cos\theta > 0$ plaas $\theta$ in Kwadrant IV.

2. Met teenoorstaande $= 5$, skuinssy $= 13$: aanliggende $= \sqrt{169 - 25} = 12$.

3. In K4: $\cos\theta = +12/13$, $\sin\theta = -5/13$.

4. $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{-5/13}{12/13} = -\dfrac{5}{12}$.

Waarom die afleiers verkeerd is:

B) $5/12$ is die grootte van $\tan\theta$ maar met die verkeerde teken. In K4 is tangens negatief.

C) $-12/5$ keer die breuk om. Die student het dalk teenoorstaande en aanliggende verwar.

A) $-5/13$ kopieer die gegewe sinuswaarde — die student het glad nie tangens bereken nie.

Onthou: In K4 is sin negatief en cos positief, dus is tan (= sin/cos) negatief. Bepaal altyd die kwadrant voordat jy tekens aan die resiproke/kwosiënt-funksies toeken.

Antwoord: A

Verduideliking

Met die saamgestelde-hoek-formule:

$\cos(180° + \theta) = \cos 180°\cos\theta - \sin 180°\sin\theta = (-1)\cos\theta - (0)\sin\theta = -\cos\theta$.

Waarom die afleiers verkeerd is:

B) $\cos\theta$ vergeet die tekenverandering. Om 180° by te tel plaas die hoek in K3 (waar kosinus negatief is), en dit moet die teken verander.

C) $\sin\theta$ sou die resultaat van $\cos(90° - \theta)$ wees, nie $\cos(180° + \theta)$ nie.

D) $-\sin\theta$ is $\cos(90° + \theta)$, ’n ander reduksieformule.

Onthou: Die vier sleutelreduksieformules: $\cos(180°\pm\theta) = -\cos\theta$, $\sin(180° - \theta) = \sin\theta$, $\sin(180° + \theta) = -\sin\theta$ en $\cos(360° - \theta) = \cos\theta$. Elkeen weerspieël die CAST-tekenpatroon in die betrokke kwadrant.

Antwoord: C

Verduideliking

1. Die verwysingshoek: $|\tan\theta| = \sqrt{3}$, dus is die verwysingshoek 60°.

2. Met $\theta$ in K2 ($90° < \theta < 180°$), het ons $\theta = 180° - 60° = 120°$.

3. $\sin 120° = \sin(180° - 60°) = \sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

(In K2 is sin positief.)

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) $-\sqrt{3}/2$ plaas $\theta$ in K3, waar sin ook negatief is. Om te vergeet dat tan negatief is in K2 (nie net in K3 nie) veroorsaak hierdie fout.

B) $1/2$ is $\sin 30°$, uit ’n verwarring van die verwysingshoek: $\tan 60° = \sqrt{3}$ gee verwysing 60°, nie 30° nie.

D) $2/\sqrt{3}$ is ’n algebraïese fout — moontlik $1/\sin\theta$, of ’n omkering van die driehoek se sye.

Onthou: Tan is negatief in beide K2 en K4. ’n Gegewe interval vir $\theta$ (hier K2) verwyder die dubbelsinnigheid. In K2 is sin altyd positief, dus is die resultaat $+\sqrt{3}/2$.

Antwoord: B

Verduideliking

1. $\sin(360° - \theta) = \sin(-\theta) = -\sin\theta$. (In K4 is sin negatief, en dit is die kohoek van $\theta$.)

2. $\cos(180° + \theta) = -\cos\theta$. (Uit Q26 hierbo.)

3. Som $= -\sin\theta + (-\cos\theta) = -(\sin\theta + \cos\theta)$.

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) $\sin\theta + \cos\theta$ kry albei tekens verkeerd: die student het vergeet dat albei reduksieformules ’n negatiewe teken invoer.

D) $\sin\theta - \cos\theta$ kry die eerste teken verkeerd en die tweede reg.

C) $-\sin\theta + \cos\theta$ kry die eerste reg maar vergeet die teken op die kosinusterm.

Onthou: Pas elke reduksieformule afsonderlik toe voordat jy kombineer. Skryf elke stap uitdruklik neer: $\sin(360°-\theta) = -\sin\theta$, dan $\cos(180°+\theta) = -\cos\theta$, en tel dan op.

Afdeling 4.5 — Trigonometriese Identiteite

Antwoord: A

Verduideliking

Uit die fundamentele identiteit $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$:

$1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$.

Waarom die afleiers verkeerd is:

B) $1 + \cos^2\theta$ tel op eerder as om die herrangskikking te herken. Die resultaat sou vir die meeste $\theta$ groter as 1 wees.

C) $-\cos^2\theta$ voer ’n vals negatiewe teken in.

D) $\sin^2\theta$ gee ’n deel terug van wat afgetrek is, wat sou impliseer dat $1 - \sin^2\theta = \sin^2\theta$, dit wil sê $\sin^2\theta = 1/2$ — slegs waar vir $\theta = 45°$, nie in die algemeen nie.

Onthou: Die Pythagoras-identiteit word die beste in al drie herrangskikkings geleer: $\sin^2+\cos^2=1$, $\cos^2 = 1 - \sin^2$, $\sin^2 = 1 - \cos^2$. Om te herken watter vorm om te gebruik is die halwe stryd.

Antwoord: D

Verduideliking

1. Herskryf die teller: $\sin^2\theta - 1 = -(1 - \sin^2\theta) = -\cos^2\theta$.

2. $\dfrac{-\cos^2\theta}{\cos\theta} = -\cos\theta$.

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) $\cos\theta$ laat die negatiewe teken val wat in stap 1 ingevoer is.

C) $-\sin^2\theta$ volg daaruit dat $\theta$-waardes verkeerd uitgekanselleer is sonder om die teller eers te faktoriseer.

B) $\tan\theta$ sou vereis dat die teller $\sin^2\theta/\cos\theta \cdot \cos\theta = \sin^2\theta$ is, nie $\sin^2\theta - 1$ nie.

Onthou: $\sin^2\theta - 1 = -\cos^2\theta$ is ’n eenstap-herrangskikking van Pythagoras wat gereeld in vereenvoudiging verskyn. Om dit vinnig raak te sien is ’n teken van vlotheid met identiteite.

Antwoord: B

Verduideliking

1. $\tan\theta + \cot\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} + \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} = \dfrac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}$.

2. Vermenigvuldig met $\sin\theta\cos\theta$: $\dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta} \times \sin\theta\cos\theta = 1$.

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) $\sin 2\theta$ kom daarvan dat $2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$ herken is maar die vereenvoudiging van die hakie nie eers voltooi is nie.

C) $\tan\theta$ is ’n gedeeltelike vereenvoudiging — moontlik is slegs $\tan\theta$ uit die hakie gefaktoriseer.

D) $2$ kan ontstaan uit die verkeerde aanname dat $\tan\theta + \cot\theta = 2$ (wat in die algemeen vals is).

Onthou: Kombineer $\tan + \cot$ deur dit eers oor ’n gemene noemer te plaas. Die Pythagoras-identiteit stort dan die teller ineen tot 1, en die $\sin\theta\cos\theta$ kanselleer netjies uit.

Antwoord: C

Verduideliking

1. Herken $1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta$.

2. $\dfrac{\sin^2\theta}{\sin\theta} = \sin\theta = \dfrac{4}{5}$.

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) $16/25$ is $\sin^2\theta = (4/5)^2$, dit wil sê die student het die teller vereenvoudig maar vergeet om deur $\sin\theta$ te deel.

B) $3/5$ is $\cos\theta$ (aangesien $\cos\theta = \sqrt{1 - 16/25} = 3/5$). ’n Student wat die kosinus bereken en dan teller en noemer verwar het, sou hier beland.

D) $5/4$ is $1/\sin\theta = \csc\theta$, wat daarop dui dat die student die uitdrukking omgekeer het.

Onthou: Voordat jy getalle vervang, vereenvoudig die algebraïese vorm heeltemal. Hier is die uitdrukking gelyk aan $\sin\theta$ ongeag die spesifieke waarde wat gegee is — om dit te herken spaar berekening.

Antwoord: B

Verduideliking

1. Faktoriseer die teller as ’n verskil van twee vierkante: $\cos^2\theta - \sin^2\theta = (\cos\theta + \sin\theta)(\cos\theta - \sin\theta)$.

2. Kanselleer $(\cos\theta - \sin\theta)$ uit (mits $\cos\theta \neq \sin\theta$):

$\dfrac{(\cos\theta + \sin\theta)(\cos\theta - \sin\theta)}{\cos\theta - \sin\theta} = \cos\theta + \sin\theta$.

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) $\cos\theta - \sin\theta$ volg daaruit dat $(\cos\theta + \sin\theta)$ uitgekanselleer is in plaas van $(\cos\theta - \sin\theta)$ — die verkeerde faktor is gekies.

C) $1$ verwar dit met die Pythagoras-identiteit: $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$, maar die teller hier het ’n minusteken.

D) $\cos^2\theta + \sin^2\theta$ is 1, die Pythagoras-identiteit — dieselfde fout as C, net anders geskryf.

Onthou: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ met trigonometriese funksies: $\cos^2\theta - \sin^2\theta = (\cos\theta+\sin\theta)(\cos\theta-\sin\theta)$. Hierdie faktorisering verskyn gereeld in die vereenvoudiging van identiteite.