Hoofstuk 7 — Finansiële Wiskunde

Antwoord: A

Verduideliking

Enkelvoudige rente word slegs op die oorspronklike bedrag uitgewerk, dus word dieselfde randbedrag elke jaar verdien.

Jaar vir jaar: 5 % van R4 000 = R200 per jaar. Drie jaar: $3 \times 200 = \text{R}600\mathclose{.}$

Per formule: $I = Prt = 4\,000 \times 0.05 \times 3 = \text{R}600$

Waarom die ander verkeerd is:

• B (R700) is 3.5 jaar se waarde. Dit straf skatting in plaas van berekening: teen presies R200 per jaar is R600 presies reg.
• C (R1 200) verdubbel die koers — dit is $4\,000 \times 0.10 \times 3\mathclose{.}$
• D (R4 600) is die opgehoopte bedrag, hoofsom plus rente — die vraag vra net vir die rente.

Onthou: $I = Prt\mathclose{.}$ As die vraag die rente vra, stop by $I\mathclose{.}$ As dit die bedrag vra, tel $P$ weer by: $A = \text{R}4\,600\mathclose{.}$ Die NBT stel albei weergawes.

Antwoord: C

Verduideliking

Die vraag wil die totaal hê: jou R2 000 plus die rente. Gebruik $A = P(1+rt)\mathclose{.}$

Stap 1 — Vind die vermenigvuldiger. 10 % vir 4 jaar = 40 % groei, dus vermenigvuldig met 1.4.

Stap 2 — Vermenigvuldig. $$A = 2\,000 \times 1.4 = \text{R}2\,800$$

Kontroleer: R200 rente per jaar × 4 jaar = R800, en $2\,000+800 = \text{R}2\,800$ ✓

Waarom die ander verkeerd is:

• A (R2 400) — slegs twee jaar se rente.
• B (R2 600) — drie jaar in plaas van vier.
• D (R2 928) — die saamgestelde antwoord, $2\,000\times1.1^4\mathclose{.}$ Die woord "enkelvoudige" doen werklike werk hier.

Onthou: Enkelvoudige rente vermenigvuldig met $(1+rt)\mathclose{.}$ Saamgestelde rente vermenigvuldig met $(1+i)^n\mathclose{.}$ Kontroleer watter woord die vraag gebruik voordat jy begin.

Antwoord: D

Verduideliking

’n Omgekeerde probleem: die rente word gegee en jy moet die hoofsom vind. Herrangskik eers, en kontroleer dan vorentoe.

Stap 1 — Herrangskik. $P = \dfrac{I}{rt}$

Stap 2 — Vervang. Die noemer is $0.15 \times 2 = 0.30\mathclose{:}$ $$P = \frac{300}{0.30} = \text{R}1\,000$$

Stap 3 — Kontroleer vorentoe. $1\,000 \times 0.15 \times 2 = 300$ ✓

Waarom die ander verkeerd is:

• A (R90) vermenigvuldig in plaas van deel: $300 \times 0.30\mathclose{.}$ Die hoofsom moet baie groter wees as die rente wat dit verdien.
• B (R800) druip ook: $800\times0.30 = 240\mathclose{.}$
• C (R900) druip die kontrole: $900\times0.30 = 270\mathclose{.}$

Onthou: By enige vraag wat vra vir die hoofsom, die koers of die tyd, vervang jou antwoord terug in $I=Prt\mathclose{.}$ Vyf sekondes, en dit vang byna elke fout.

Antwoord: B

Verduideliking

Die onbekende is die tyd. Maklikste roete: werk eers die rente per jaar uit.

Stap 1 — Rente per jaar. $5\,000 \times 0.12 = \text{R}600$

Stap 2 — Hoeveel jare van R600 maak R3 000? $$t = \frac{3\,000}{600} = 5 \text{ jaar}$$

Waarom die ander verkeerd is: elkeen neem ’n ander koers aan.

• A (6 jaar) neem R500 per jaar aan — ’n koers van 10 %.
• C (4 jaar) neem R750 per jaar aan — 15 %.
• D (3 jaar) neem R1 000 per jaar aan — 20 %.

Onthou: "Rente per jaar, en deel dan" verander elke vind-die-tyd-vraag in een klein deling. Kontroleer: $5\,000 \times 0.12 \times 5 = 3\,000$ ✓

Antwoord: A

Verduideliking

Jy kry die opgehoopte bedrag, nie die rente nie, dus skei die rente eers af.

Stap 1 — Haal die rente uit. $I = 9\,200 - 8\,000 = \text{R}1\,200$

Stap 2 — Vervang. $$r = \frac{I}{Pt} = \frac{1\,200}{8\,000 \times 3} = 0.05 = 5\%$$

Stap 3 — Kontroleer. R8 000 teen 5 % verdien R400 per jaar; drie jaar is R1 200 ✓

Waarom die ander verkeerd is:

• B (6 %) sou R1 440 verdien, wat die werklike R1 200 oorskiet.
• C (7.5 %) het twee jaar in plaas van drie gebruik.
• D (15 %) is die groei oor die hele drie jaar, $1\,200 \div 8\,000$ — nog nie deur 3 gedeel om die koers per jaar te kry nie.

Onthou: Kry jy $A$ in plaas van $I\mathclose{?}$ Die eerste reël van die bewerking is altyd $I = A - P\mathclose{.}$ Die meeste verkeerde koersantwoorde word in daardie gemiste stap gebore.

Afdeling 7.2 — Saamgestelde Rente

Saamgestelde rente verdien "rente op rente" — elke periode se rente word by die hoofsom gevoeg voordat die volgende periode se rente bereken word. Hierdie eksponensiële groei is wat saamgestelde rente oor lang tydperke so kragtig maak, en dit is waarom die NBT dit gereeld toets.

Antwoord: B

Verduideliking

Saamgestelde rente word op die huidige saldo uitgewerk, nie op die oorspronklike deposito nie. Kyk mooi:

• Jaar 1: 10 % van R10 000 = R1 000 → R11 000
• Jaar 2: 10 % van R11 000 = R1 100 → R12 100

Die tweede jaar het R100 meer verdien — rente op die rente.

$$A = P(1+i)^n = 10\,000 \times 1.21 = \text{R}12\,100$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A (R12 000) is $10\,000\times1.20\mathclose{,}$ die enkelvoudige-rente-antwoord. Die gaping van R100 tussen A en B is die saamstelling.
• C (R12 200) het $1.1$ verkeerd gekwadreer as $1.22\mathclose{.}$ Skryf dit uit: $1.1\times1.1 = 1.21\mathclose{.}$
• D (R13 100) is ongeveer die driejaarwaarde — ’n eksponent wat verkeerd getel is.

Onthou: Vir 10 % oor 2 jaar is die faktor $1.1^2 = 1.21\mathclose{,}$ nooit $1.20$ nie. Om een jaar op ’n slag te werk is dikwels vinniger én veiliger as die formule.

Antwoord: D

Verduideliking

$$A = 1\,000 \times (1.1)^3 = \text{R}1\,331$$

Nie seker van $1.1^3$ nie? Bou dit op: R1 000 → R1 100 → R1 210 → R1 331.

’n Patroon wat die moeite werd is om te ken — die syfers van die magte van 1.1 is Pascal se driehoek:

$$1.1^2 = 1.21 \qquad 1.1^3 = 1.331 \qquad 1.1^4 = 1.4641$$

Die NBT gebruik juis 10 %-koerse omdat hierdie sonder ’n sakrekenaar werk.

Waarom die ander verkeerd is:

• A (R1 210) is $1\,000 \times 1.1^2$ — twee jaar se groei, een te kort.
• B (R1 221) is ’n verwronge Pascal-ry — 1,2,2,1 in plaas van 1,3,3,1.
• C (R1 300) is die enkelvoudige-rente-waarde, wat die R31 se rente-op-rente mis.

Onthou: $1.1^3 = 1.331\mathclose{.}$ Leer die leer $1.21\mathclose{,}$ $1.331\mathclose{,}$ $1.4641$ — dit verander hierdie in tiensekonde-vrae.

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — isoleer die groeifaktor. Deel albei kante deur die hoofsom:

$$(1.1)^n = \frac{14\,641}{10\,000} = 1.4641$$

Stap 2 — klim die leer van magte op.

$$1.1^1 = 1.1 \qquad 1.1^2 = 1.21 \qquad 1.1^3 = 1.331 \qquad 1.1^4 = 1.4641$$

Die groeifaktor pas by die vierde sport, dus $n = 4$ jaar.

Waarom die ander verkeerd is: al drie is naburige sporte van dieselfde leer —

• A (5 jaar) sou $10\,000 \times 1.61051 \approx \text{R}16\,105$ gee: te veel.
• C (3 jaar) sou $10\,000 \times 1.331 = \text{R}13\,310$ gee: nie genoeg nie.
• D (2 jaar) sou R12 100 gee: veels te min.

As jy die leer ken, is geen verkeerde opsie eers verleidelik nie; as jy dit nie ken nie, lyk elke opsie ewe aanneemlik. Dít is die hele spel met vrae wat eksponente laat pas — hulle toets herkenning, nie berekening nie.

Onthou: Deel $A$ eers deur $P\mathclose{,}$ en pas dan die groeifaktor teen bekende magte. Die waardes $1.21\mathclose{,}$ $1.331\mathclose{,}$ $1.4641$ behoort teen NBT-dag onmiddellike herkennings te wees.

Antwoord: D

Verduideliking

Werk albei totale langs mekaar uit — die vergelyking is die hele punt.

Enkelvoudig: dieselfde R100 elke jaar. $$A = 1000(1.3) = \text{R}1\,300$$

Saamgesteld: 10 % van ’n groeiende saldo (R100, dan R110, dan R121). $$A = 1000(1.1)^3 = \text{R}1\,331$$

Saamgesteld wen met R31.

Waarom die ander verkeerd is:

• A sê hulle is gelykop. Hulle stem slegs ná een periode ooreen; daarna trek saamgesteld altyd voor.
• B het dit agterstevoor — enkelvoudig klop nooit saamgesteld teen dieselfde koers nie.
• C haal R1 210 aan, die tweejaar-saamgestelde waarde, versteek binne ’n sin wat waar klink.

Onthou: Teen gelyke koerse is saamgesteld altyd ≥ enkelvoudig, en die gaping word elke jaar groter. Wanneer opsies sinne is, kontroleer elke getal daarin, nie net die storie nie.

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — vind die groeifaktor.

$$(1.1)^n = \frac{12\,100}{10\,000} = 1.21$$

Stap 2 — herken dit. $1.21 = 1.1^2\mathclose{,}$ dus $n = 2$ jaar. (Jaar-vir-jaar-bevestiging: R10 000 → R11 000 → R12 100 ✓.)

Waarom die ander verkeerd is: die verkeerde opsies is bloot ander sporte van die 10 %-leer —

• A (1 jaar) sou die saldo op R11 000 laat.
• C (3 jaar) sou dit tot R13 310 laat groei.
• D (4 jaar) sou dit tot R14 641 laat groei.

Net 2 jaar land presies op R12 100. As twee verskillende sporte albei aanneemlik voel, beteken dit die groeifaktor is nooit werklik bereken nie — doen altyd eers die deling $A/P\mathclose{.}$

Onthou: Deel $A$ deur $P$ om die groeifaktor te kry, en pas dit dan by ’n bekende mag van $(1+i)\mathclose{.}$ Hierdie "deel, dan herken"-roetine los elke vind-$n$-saamgestelde vraag op wat die NBT kan vra.

Afdeling 7.3 — Waardevermindering

Bates verloor mettertyd waarde. Die twee standaardmetodes is:

• Reguitlyn (lineêr): die bate verloor elke jaar dieselfde randbedrag: $A = P(1 - rt)\mathclose{.}$
• Verminderende saldo (eksponensieel): die bate verloor elke jaar dieselfde persentasie: $A = P(1 - i)^n\mathclose{.}$

Verminderende saldo gee altyd ’n hoër restwaarde as reguitlyn vir dieselfde koers en tydperk, want die bedrag van die waardevermindering krimp elke jaar (jy neem die persentasie van ’n al kleiner basis af).

Antwoord: A

Verduideliking

Reguitlynwaardevermindering is enkelvoudige rente in trurat: dieselfde randbedrag gaan elke jaar verlore, altyd gebaseer op die oorspronklike prys.

Verlies per jaar: $200\,000 \times 0.08 = \text{R}16\,000$

Oor 5 jaar: $5 \times 16\,000 = \text{R}80\,000$ verloor, wat R120 000 oorlaat.

Per formule: $A = P(1-rt) = 200\,000(0.60) = \text{R}120\,000$

Waarom die ander verkeerd is — elkeen gebruik die verkeerde koers:

• B (R140 000) skryf R12 000 per jaar af — ’n koers van 6 %.
• C (R160 000) skryf R8 000 per jaar af — 4 %, presies die helfte van die ware koers.
• D (R184 000) trek 8 % een keer af — die waarde ná een jaar, nie vyf nie.

Onthou: Dink "rand verloor per jaar × jare". Ná 5 jaar teen 8 % is 40 % weg en 60 % oor — wat alles is wat $(1-rt)$ sê.

Antwoord: A

Verduideliking

Verminderende saldo is saamgestelde rente wat afdraand loop: elke jaar verloor die bate 20 % van sy huidige waarde, dus krimp die randverlies. Kyk na die ketting:

$$100\,000 \to 80\,000 \to 64\,000 \to \text{R}51\,200$$

Die verliese is R20 000, R16 000, R12 800 — elke keer kleiner, want die 20 % kom van ’n kleiner basis af.

$$A = P(1-i)^n = 100\,000(0.8)^3 = \text{R}51\,200$$

Waarom die ander verkeerd is:

• C (R60 000) is reguitlyndenke, en dan net twee jaar daarvan.
• D (R64 000) is die waarde ná twee jaar, $100\,000 \times 0.8^2$ — een jaar te kort.
• B (R52 000) het $0.8^3$ tot $0.52$ afgerond in plaas van tot $0.512\mathclose{.}$

Onthou: Vermenigvuldig jaar vir jaar met 0.8 — 100 → 80 → 64 → 51.2 is drie vinnige stappe en kan nie verkeerd loop nie.

Antwoord: D

Verduideliking

Werk albei metodes uit en vergelyk.

Reguitlyn verwyder elke jaar ’n plat R20 000 (20 % van die oorspronklike): $$A = 100\,000(1 - 0.60) = \text{R}40\,000$$

Verminderende saldo verwyder 20 % van die huidige waarde — R20 000, dan R16 000, dan R12 800: $$A = 100\,000(0.8)^3 = \text{R}51\,200$$

Verminderende saldo laat meer oor, want sy aftrekkings krimp.

Waarom die ander verkeerd is:

• B het albei getalle reg maar omgeruil — die klassieke fout by vergelykingsvrae. Anker dit: krimpende aftrekkings moet die hoër waarde oorlaat.
• A gee albei metodes die reguitlynantwoord, en ontken juis die verskil wat getoets word.
• C sê hulle stem altyd ooreen — slegs waar ná een jaar.

Onthou: Teen dieselfde koers bereik reguitlyn nul in ’n eindige tyd; verminderende saldo verval vir ewig sonder om ooit heeltemal daar te kom. As jou getalle reg is maar jou letter verkeerd, het jy vir die omruiling geval.

Antwoord: C

Verduideliking

’n Omgekeerde probleem. Vind die verlies, versprei dit gelykop oor die jare, en druk dan een jaar se verlies as ’n persentasie van die oorspronklike uit.

Totale verlies: $150\,000 - 60\,000 = \text{R}90\,000$

Per jaar: $90\,000 \div 6 = \text{R}15\,000$

As ’n koers: $\dfrac{15\,000}{150\,000} = 10\%$

Algebraïes: $60\,000 = 150\,000(1-6r) \Rightarrow r = 0.10$

Waarom die ander verkeerd is:

• D (12 %) het die verlies van 60 % deur 5 jaar gedeel in plaas van 6.
• A (6 %) het die oorblywende 40 % gedeel in plaas van die bedrag wat verloor is.
• B (8 %) druip die kontrole: 8 % vir 6 jaar laat R78 000 oor, nie R60 000 nie.

Onthou: $r = (1 - A/P)/t$ — of in woorde, "totale verlies ÷ jare ÷ oorspronklike prys", wat baie moeiliker is om onder druk te verknoei.

Antwoord: C

Verduideliking

Verminderende saldo in trurat. Twee jaar beteken die oorspronklike is met $(1-i)^2$ vermenigvuldig.

Stap 1 — Isoleer die faktor. $(1-i)^2 = \dfrac{64\,000}{100\,000} = 0.64$

Stap 2 — Neem die vierkantswortel. $1-i = 0.8$

Stap 3 — Lees die koers af. $i = 0.20 = 20\%$

Kontroleer: 100 000 → 80 000 → 64 000 ✓

Waarom die ander verkeerd is:

• A (16 %) druip die kontrole: $0.84^2 = 0.7056$ laat R70 560 oor.
• B (18 %) halveer daardie totaal. Middeling werk vir reguitlyn, maar ’n saamgestelde verlies is groter in jaar een as in jaar twee.
• D (36 %) is die totale tweejaarverlies, nie die jaarlikse koers nie — ware inligting wat die verkeerde vraag beantwoord.

Onthou: Isoleer $(1-i)^n\mathclose{,}$ neem die $n$de wortel, trek van 1 af. Moet nooit ’n saamgestelde verlies deur deling na ’n jaarkoers omskakel nie — daardie kortpad hoort net by reguitlyn.

Afdeling 7.4 — Huurkoop

Huurkoop laat ’n koper toe om ’n item onmiddellik in besit te neem en dit in paaiemente af te betaal. Die finansieringskoste word bereken as enkelvoudige rente op die oorspronklike saldo (ná die deposito), nie op die dalende saldo nie. Dit maak huurkoop aansienlik duurder as wat die aangehaalde rentekoers suggereer.

Antwoord: B

Verduideliking

Huurkoop volg altyd vier maatslae: deposito → saldo → rente op daardie saldo → deel deur die aantal paaiemente. Let op dat 24 maandelikse paaiemente 2 jaar se rente is.

Stap 1 — Deposito en saldo. $$\text{Deposito} = 10\% \times 6\,000 = \text{R}600 \qquad \text{Saldo} = \text{R}5\,400$$

Stap 2 — Rente (enkelvoudig, 2 jaar). $$I = 5\,400 \times 0.10 \times 2 = \text{R}1\,080$$

Stap 3 — Totaal, dan maandeliks. $$\frac{5\,400 + 1\,080}{24} = \frac{6\,480}{24} = \text{R}270$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A (R225) is $5\,400 \div 24$ — die rente is heeltemal vergeet.
• C (R300) het die deposito nooit afgetrek nie, en hef op die volle R6 000.
• D (R312) impliseer R7 488 terugbetaal — meer as R2 000 se rente op R5 400. Niks in die vraag gee dit nie.

Onthou: Huurkooprente is enkelvoudige rente op die openingsaldo, vir die volle termyn. Dit krimp nie soos jy die skuld afbetaal nie — en dít is presies waarom huurkoop duur is.

Antwoord: D

Verduideliking

Die paaiement word gegee, dus is daar geen rente om uit te werk nie. Die totaal is eenvoudig deposito + al die paaiemente. Dit toets boekhouding: vind albei dele en laat nie een val nie.

Deposito: $0.15 \times 5\,000 = \text{R}750$

Paaiemente: $18 \times 280 = \text{R}5\,040$

Totaal: $\text{R}5\,790$ — dit is R790 bo die kontantprys, wat die finansieringskoste is.

Waarom die ander verkeerd is:

• A (R5 040) is die paaiemente alleen — die deposito het verdwyn. Die algemeenste huurkoopfout.
• B (R5 400) en C (R5 600) is aanneemlik lykende getalle tussen die kontantprys en die ware koste, maar nie een is gelyk aan deposito + paaiemente nie.

Onthou: Totale huurkoopkoste = deposito + (aantal paaiemente × paaiementbedrag). Skryf albei komponente neer voordat jy optel — die verkeerde opsies sit presies waar ’n oorgeslane komponent jou laat beland.

Antwoord: D

Verduideliking

Werk die koers wat binne die betalingsplan wegkruip terug uit.

Altesaam betaal: $12 \times 400 = \text{R}4\,800$

Rente: $4\,800 - 4\,000 = \text{R}800$

As ’n jaarlikse koers (die termyn is 1 jaar): $$r = \frac{800}{4\,000} = 20\%$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A (10 %) is $400 \div 4\,000$ — een paaiement as ’n breuk van die prys. Die rente is die R800 wat bo-op die R4 000 betaal word, en $800 \div 4\,000 = 20\,\%\mathclose{.}$
• B (12 %) eggo die "12" in die vraag — ’n oppervlakgetal-lokval.
• C (16 %) het deur die totaal betaal gedeel in plaas van deur die bedrag wat gefinansier is. Koerse word op die hoofsom aangehaal.

Onthou: Totaal betaal − prys = rente, en dan $r = \frac{I}{Pt}\mathclose{.}$ ’n Onskuldige "R400 per maand" verberg ’n jaarlikse koers van 20 % — net so ’n verbruikersles as ’n wiskundeles.

Antwoord: B

Verduideliking

Vier reëls — skryf elkeen neer. Die opsies is geplaas om enigeen te vang wat ’n stap oorslaan.

1. Deposito: $0.25 \times 12\,000 = \text{R}3\,000$
2. Paaiemente: $36 \times 350 = \text{R}12\,600$
3. Totale huurkoop: $\text{R}15\,600$
4. Ekstra bo kontant: $15\,600 - 12\,000 = \text{R}3\,600$

Waarom die ander verkeerd is:

• C (R4 200) is $350 \times 12$ — een jaar se paaiemente, wat ’n ander vraag beantwoord.
• A (R600) laat die deposito uit: $36 \times 350 = 12\,600\mathclose{,}$ en $12\,600 - 12\,000 = 600\mathclose{.}$ Die deposito van R3 000 is deel van wat die huurkoopkoper betaal.
• D (R15 600) is die hele huurkoopprys, $3\,000 + 12\,600$ — die vraag vra hoeveel meer as die kontantprys dit is.

Onthou: Ekstra koste = (deposito + al die paaiemente) − kontantprys. Vier kort reëls op papier klop dit om die ketting in jou kop te hou.

Antwoord: B

Verduideliking

’n Lening is ’n belegging met die rolle omgekeer — die skuld is wat groei. Enkelvoudige rente, dus groei dit elke jaar met dieselfde bedrag.

Per jaar: 8 % van R20 000 = R1 600. Drie jaar tel R4 800 by, dus skuld jy R24 800.

Per formule: $A = 20\,000(1 + 0.24) = \text{R}24\,800$

Waarom die ander verkeerd is:

• A (R24 000) het ’n vermenigvuldiger van 1.20 gebruik — $0.08\times3$ is afgerond na "omtrent 20 %". Dit is presies 24 %.
• C (R25 000) is ronde-getal-aas wat by geen koers in die vraag pas nie.
• D (R25 194.24) is die saamgestelde antwoord, $20\,000 \times 1.08^3\mathclose{;}$ die vraag sê enkelvoudige.

Onthou: $A = P(1+rt)\mathclose{.}$ Wanneer die opsies naby mekaar saamdrom, is presiese rekenkunde — nie skatting nie — die beslisser.

Afdeling 7.5 — Inflasie en Werklike Waarde

Inflasie vreet koopkrag weg: as pryse teen $\pi$ % p.j. styg, sal ’n item wat vandag $P$ kos, $P(1+\pi)^n$ kos ná $n$ jaar. Die werklike opbrengs op ’n belegging is ongeveer (nominale koers) − (inflasiekoers). As jou spaarrekening minder as inflasie verdien, koop jou geld elke jaar minder, selfs terwyl die saldo groei.

Antwoord: D

Verduideliking

Inflasie stel presies soos rente saam — volgende jaar se verhoging word op hierdie jaar se reeds verhoogde prys bereken.

Jaar vir jaar: R5 000 styg met 20 % tot R6 000; dan styg R6 000 met 20 % (dit is nou R1 200, nie R1 000 nie) tot R7 200.

Formule:

$$A = 5\,000 \times (1.2)^2 = 5\,000 \times 1.44 = \text{R}7\,200$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A (R6 000) pas slegs een jaar se inflasie toe — dit hou halfpad op.
• B (R6 200) verknoei die kwadraat: $(1.2)^2 = 1 + 2(0.2) + 0.04 = 1.44\mathclose{,}$ maar as een van die twee kruisterme wegval, gee dit $1.24\mathclose{.}$ Skryf $1.2 \times 1.2$ uit in plaas daarvan om dit in jou kop uit te brei.
• C (R7 000) is enkelvoudige-groei-denke: $20\% \times 2 = 40\%\mathclose{,}$ dus $5\,000 \times 1.4\mathclose{.}$ Dit mis die R200 wat kom van jaar twee se verhoging wat op jaar een se verhoging inwerk.

Onthou: Toekomstige koste = $P(1 + \pi)^n$ — inflasie is saamgestelde groei op pryse toegepas. "Twee jaar teen 20 %" beteken ×1.44, nooit ×1.40 nie.

Antwoord: D

Verduideliking

Drie jaar se inflasie van 10 % beteken drie vermenigvuldigings met 1.1 — dieselfde leer as saamgestelde rente:

$$A = 3\,000 \times (1.1)^3 = 3\,000 \times 1.331 = \text{R}3\,993$$

Jaar-vir-jaar-kontrole: R3 000 → R3 300 → R3 630 → R3 993 ✓.

Waarom die ander verkeerd is:

• A (R3 300) begroot vir een jaar se inflasie, nie drie nie.
• B (R3 630) is $3\,000 \times 1.1^2$ — twee jaar se inflasie, een te kort.
• C (R3 900) is die enkelvoudige-groei-antwoord $(10\% \times 3 = 30\%\mathclose{,}$ dus $3\,000 \times 1.3)$ — dit ignoreer dat elke jaar se verhoging op die vorige een saamstel.

Onthou: $1.1^3 = 1.331$ — die kamera kos oor drie jaar R993 meer. Begrotingsvrae is saamgestelde-groei-vrae met ’n inkopiesak aan.

Antwoord: B

Verduideliking

Die werklike opbrengs vra: nadat pryse gestyg het, hoeveel meer kan jou geld werklik koop? Die werkende benadering is ’n aftrekking:

$$\text{Werklike opbrengs} \approx \text{Nominaal} - \text{Inflasie} = 12\% - 8\% = 4\% \text{ p.a.}$$

Jou saldo groei met 12 %, maar alles wat jy sou kon koop, kos 8 % meer — dus wen jou koopkrag net omtrent 4 %.

Waarom die ander verkeerd is:

• A (20 %) tel die koerse op. Inflasie werk teen jou opbrengs, nie saam daarmee nie — om op te tel maak finansieel geen sin nie.
• C (1.5 %) deel hulle $(12 \div 8)\mathclose{.}$ Die verhouding van die twee koerse meet hier niks betekenisvols nie.
• D (8 %) eggo bloot die inflasiesyfer na jou terug — weer die oppervlakgetal-refleks.

Onthou: Werklik ≈ nominaal − inflasie, en daardie benadering is altyd aanvaarbaar op die NBT. (Die presiese Fisher-vergelyking gee $(1.12/1.08) - 1 \approx 3.7\%$ — naby aan 4 %, en die eksamen eis nooit daardie presiesheid nie.)

Antwoord: A

Verduideliking

Dieselfde aftrekking as V23, maar die resultaat is negatief:

$$\text{Werklike opbrengs} \approx 8\% - 10\% = -2\%$$

Die saldo groei steeds in rand, maar pryse styg vinniger — dus koop daardie rande elke jaar omtrent 2 % minder.

Waarom die ander verkeerd is:

• C (+2 %) het agterstevoor afgetrek. Die volgorde is jou koers minus inflasie, en die teken is die hele antwoord.
• B (18 %) het die koerse opgetel, wat sou beteken hoë inflasie help jou spaargeld.
• D is die "geldillusie" — om rykdom te beoordeel aan die getal op die saldo. Inflasie raak nie daardie getal nie; dit vreet wat die getal kan koop.

Onthou: Inflasie bo jou rentekoers beteken ’n negatiewe werklike opbrengs. Die NBT toets dit as ’n konsep — weet watter kant toe die aftrekking gaan.

Antwoord: B

Verduideliking

Een jaar, een verhoging — vermenigvuldig een keer met $(1 + \pi)\mathclose{:}$

$$A = 500 \times 1.06 = \text{R}530$$

(6 % van R500 is R30, want 1 % van R500 is R5.)

Waarom die ander verkeerd is:

• A (R506) tel ses rand by in plaas van ses persent — R6 is 6 % van R100, nie van R500 nie. Verwarring tussen persent en rand is die oudste lokval in inflasievrae.
• C (R550) tel 10 % by — die ronde-getal-refleks wat die werklike koers in die vraag oorheers.
• D (R560) tel 12 % by, dubbel die ware koers — die spoor van 6 % wat twee keer toegepas is, of van ’n desimaal wat weggegly het.

Onthou: Vir een jaar, $A = P(1 + \pi)\mathclose{.}$ Skakel die persentasie behoorlik om — 6 % van R500 = R30 — dus moet die begroting tot R530 styg. (Dit is ’n ekstra R360 per jaar, en dit is waarom voedselinflasie seermaak.)

Afdeling 7.6 — Wisselkoerse

’n Wisselkoers dui aan hoeveel eenhede van een geldeenheid gelyk is aan een eenheid van ’n ander. Om vanaf die sterker geldeenheid om te skakel (bv. USD), vermenigvuldig met die koers. Om na die sterker geldeenheid om te skakel, deel deur die koers. Kommissie word tipies as ’n persentasie van die transaksiewaarde gehef.

Antwoord: C

Verduideliking

Die koers "R18 = $1" sê elke dollar kos R18. Om te vind hoeveel dollar R9 000 koop, vra: hoeveel R18-brokke pas in R9 000?

$$\text{USD} = \frac{9\,000}{18} = \$500$$

Toets altyd eerste of dit sin maak: ’n dollar is baie rand werd, dus moet die omskakeling van rand na dollar ’n veel kleiner getal gee. Om "kleiner" te verwag voordat jy bereken, maak die rigtingfout onmoontlik.

Waarom die ander verkeerd is:

• A ($50) deel deur 180 — ’n desimaal wat laat val is, of ’n ekstra nul wat R18 in R180 per dollar verander.
• B ($450) deel deur ’n "ronder" 20 in plaas van 18 — ’n skatting wat nooit weer na presiese rekenkunde opgegradeer is nie.
• D ($162 000) vermenigvuldig in plaas van deel — presies die rigtingfout wat daardie toets moet vang; R9 000 is nêrens naby soveel dollar nie.

Onthou: ZAR → USD: deel deur die rand-per-dollar-koers. Besluit voordat jy bereken of die antwoord groter of kleiner moet wees as waarmee jy begin het — daardie een gewoonte skakel die helfte van die opsies onmiddellik uit.

Antwoord: C

Verduideliking

Elke dollar is R17.50 werd, dus is 200 daarvan werd:

$$\text{ZAR} = 200 \times 17.50 = \text{R}3\,500$$

Roete sonder ’n sakrekenaar: $200 \times 17.5 = 200 \times 17 + 200 \times 0.5 = 3\,400 + 100\mathclose{.}$ En toets of dit sin maak: dollar na rand moet ’n groter getal gee — R3 500 vir $200 pas.

Waarom die ander verkeerd is:

• A (R11.43) deel in plaas van vermenigvuldig: $200 \div 17.50\mathclose{.}$ ’n Rand is baie minder werd as ’n dollar, dus moet $200 op MEER as 200 rand uitkom, nie minder nie.
• B (R3 000) vermenigvuldig met 15, en D (R4 000) vermenigvuldig met 20 — albei is die wisselkoers wat na ’n "mooier" getal afgerond is. Die NBT kies juis koerse soos 17.50 omdat hulle presies berekenbaar is; om af te rond is om te kies om die vraag verkeerd te kry.

Onthou: USD → ZAR: vermenigvuldig met die rand-per-dollar-koers. Verdeel lastige vermenigvuldigings (×17.5 = ×17 + ×0.5) in plaas daarvan om hulle weg te rond.

Antwoord: C

Verduideliking

Twee heffings: die geldeenheid, en dan die bank se fooi bo-op.

1. Geldeenheid: $500 \times 16 = \text{R}8\,000$
2. Kommissie: $2\% \times 8\,000 = \text{R}160$
3. Totaal: $\text{R}8\,160$

Watter kant toe gaan die fooi? Vra wie betaal vir wie. Jy koop ’n diens, dus tel die fooi by.

Waarom die ander verkeerd is:

• A (R7 840) het dit afgetrek, asof die bank jou vir die voorreg betaal het.
• B (R8 000) het die kommissie heeltemal vergeet.
• D (R8 320) het dit twee keer gehef.

Onthou: Fooie beweeg die totaal altyd teen jou. As jou aangepaste antwoord beter is as die kaal omskakeling, het jy die fooi die verkeerde kant toe gewys.

Antwoord: C

Verduideliking

Volg die twee randbedrae.

Gekoop: $1 000 teen R15 het R15 000 gekos. Verkoop: $1 000 teen R18 bring R18 000 in.

$$\text{Wins} = \text{R}3\,000$$

Die intuïsie: jy het dollars gehou terwyl elke dollar drie rand bygekry het. ’n Hoër koers (’n swakker rand) is goed vir die een wat dollars hou.

Waarom die ander verkeerd is:

• D (R3 000 verlies) het die regte grootte, verkeerde teken — die "die rand het verswak, dus het ek verloor"-refleks. Daardie verswakking is presies wat jou dollars meer werd gemaak het.
• A (R1 000 verlies) leen die $1 000 uit die vraag en voeg ’n tekenfout by.
• B (R1 500) lyk soos ’n opbrengs van 10 %, maar geen 10 % bestaan hier nie. Die wins is R3 per dollar op 1 000 dollar.

Onthou: Wins = (verkoopkoers − koopkoers) × bedrag gehou. Besluit wie baat vind voordat jy die rekenkunde doen — dit sluit die teken vas.

Antwoord: D

Verduideliking

Die aangehaalde koers is die prys van een euro. As die koper wil jy die laagste prys hê — net soos wanneer jy enigiets anders koop.

Spandeer R1 000 by elke bank:

• Bank B (R19.50) → €51.3
• Bank A (R20.00) → €50.0
• Bank C (R20.50) → €48.8

Bank B gee die meeste euro.

Waarom die ander verkeerd is:

• B (Bank C) kies die hoogste koers. Dit is reg wanneer jy euro verkoop, agterstevoor wanneer jy koop.
• A (Bank A) kies die rondste getal, nie die beste een nie.
• C sê dit maak geen verskil nie — die R1 000-toets hierbo weerlê dit.

Onthou: Wanneer jy buitelandse valuta koop, wen die laagste koers. Wanneer jy verkoop, wen die hoogste. As jou kop leeg raak, laat loop R1 000 deur twee banke en vergelyk.

Afdeling 7.7 — Tydwaarde van Geld

Geld vandag is meer werd as dieselfde bedrag in die toekoms, want vandag se geld kan rente verdien. Die huidige waarde (HW) van ’n toekomstige bedrag $A$ teen koers $i$ oor $n$ periodes is $P = A/(1+i)^n\mathclose{.}$ Wanneer gelyke betalings met gereelde tussenposes gemaak word (’n annuïteit), word die toekomstige waarde gevind deur die bydraes van elke betaling, elk met saamgestelde rente gegroei, op te tel — ’n meetkundige reeks.

Antwoord: C

Verduideliking

Afsonderlike deposito’s, elkeen groei vir ’n ander tydsduur. Deposito’s land aan die einde van elke jaar, dus groei die eerste een 2 jaar en die laaste een 0.

Waarom die ander verkeerd is:

• A (R3 000) het glad geen rente nie.
• B (R3 300) pas 10 % een keer op die hele R3 000 toe, asof elke deposito op dag een aangekom het.
• D (R3 641) behandel die deposito’s asof hulle aan die begin van elke jaar gemaak is, sodat elkeen een jaar meer rente verdien: $3\,310 \times 1.1\mathclose{.}$

Onthou: Bou die tabel — een ry per deposito, elkeen met sy eie groeiperiode. Die laaste betaling aan die einde van die jaar verdien niks, en dít is wat eksaminatore toets.

Antwoord: C

Verduideliking

Twee stadiums: vind eers die totale skuld (hoofsom plus al die enkelvoudige rente), en deel dit dan gelykop oor die betalings.

Stap 1 — totaal verskuldig ná 4 jaar.

$$A = 50\,000(1 + 0.20 \times 4) = 50\,000 \times 1.8 = \text{R}90\,000$$

Stap 2 — verdeel in 4 gelyke paaiemente.

$$\frac{90\,000}{4} = \text{R}22\,500$$

Waarom die ander verkeerd is: die verkeerde opsies is ’n museum van aftelfoute —

• A (R12 500) deel die kaal R50 000 deur 4: die rente het nooit gebeur nie.
• B (R20 000) hef rente vir slegs 3 jaar $(50\,000 \times 1.6 = 80\,000\mathclose{,}$ dan ÷ 4) — een jaar te min in die telling.
• D (R25 000) hef rente vir 5 jaar $(50\,000 \times 2.0 = 100\,000\mathclose{,}$ dan ÷ 4) — dieselfde aftelfout wat die ander kant toe leun.

Onthou: Eers die totaal, dan die deling. Die verkeerde opsies verskil slegs in hoeveel jaar se rente gehef is — wat jou presies vertel wat die eksaminator verwag studente sal verknoei. Tel die jare doelbewus.

Antwoord: A

Verduideliking

Hoe ingewikkeld ’n spaarplan ook al lyk, die totale rente is altyd dieselfde eenreëlige som: waarmee jy geëindig het minus wat jy ingesit het.

Stap 1 — totaal bygedra. $24 \times 500 = \text{R}12\,000\mathclose{.}$ (Dit word in die vraag gestel, maar verifieer dit in elk geval — om die deposito’s verkeerd te totaliseer is waar hierdie vraag werklik verloor word.)

Stap 2 — trek af.

$$\text{Rente} = 13\,200 - 12\,000 = \text{R}1\,200$$

Waarom die ander verkeerd is:

• B (R1 300) en C (R1 800) is buurt-lokvalle — nie een stem ooreen met enige korrekte paring van "finale bedrag" en "totaal gedeponeer" nie. Hulle straf twee gewoontes: om in jou kop af te trek, en om nie $24 \times 500 = 12\,000$ neer te skryf voordat jy aftrek nie. Doen albei stappe op papier en die verkeerde opsies het niks om aan vas te gryp nie.
• D (R12 000) is die totaal gedeponeer, uit die vraag oorgeskryf — die geld wat ingesit is, nie die rente wat dit verdien het nie.

Onthou: Totale rente = opgehoopte bedrag − totale bydraes, wat ook al die depositopatroon is. Die formule verander nooit; net die boekhouding verander.

Antwoord: D

Verduideliking

Per-jaar-siening: 12 % van R100 000 is R12 000 se rente per jaar. Vyf jaar:

$$I = Prt = 100\,000 \times 0.12 \times 5 = \text{R}60\,000$$

(Ekwivalent: die totaal verskuldig is $100\,000 \times 1.6 = \text{R}160\,000\mathclose{,}$ waarvan R60 000 rente is.)

Waarom die ander verkeerd is:

• A (R12 000) is een jaar se rente — die per-jaar-syfer wat as die totaal aangebied word.
• B (R48 000) is vier jaar se rente $(12\,000 \times 4)$ — weer die aftelfout van een.
• C (R50 000) is "die helfte van die lening" — ’n ronde getal wat by ’n koers van 10 % pas, nie by die 12 % in die vraag nie.

Onthou: $I = Prt\mathclose{.}$ Anker jouself met die per-jaar-bedrag (R12 000) en die verkeerde opsies ontmasker hulself as 1 jaar, 4 jaar, en "10 %-geurige" bedrieërs van die vyfjaartotaal.

Antwoord: A

Verduideliking

Huidige waarde laat saamgestelde rente agteruit loop: wat moet jy vandag plant om tot R14 641 te groei? Groei vermenigvuldig met $(1+i)^n\mathclose{,}$ dus deel ontgroeiing:

$$P = \frac{14\,641}{(1.1)^4} = \frac{14\,641}{1.4641} = \text{R}10\,000$$

Die getalle is doelbewus vriendelik — weer die Pascal-syfers 1, 4, 6, 4, 1.

Waarom die ander verkeerd is:

• B (R10 457.86) deel deur $1 + 0.10 \times 4 = 1.4$ — dit maak enkelvoudige rente ongedaan. Die vraag sê saamgestel, dus is die deler $1.1^4 = 1.4641\mathclose{.}$
• C (R11 000) het deur $1.1^3$ gedeel — een jaar te kort.
• D (R12 100) het deur $1.1^2$ gedeel — twee jaar te kort.

Onthou: HW = toekomstige bedrag ÷ $(1+i)^n\mathclose{,}$ en kontroleer vorentoe: $10\,000 \times 1.4641 = 14\,641$ ✓. Ontgroeiing is deling deur die groeifaktor, nooit aftrekking van die persentasie nie.

Gemengde Oefenvrae — M1 tot M30

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Deel die getalle: $6 \div 2 = 3\mathclose{.}$

Stap 2 — Trek die eksponente vir elke letter af: $x^{2-1} = x$ en $y^{1-2} = y^{-1}\mathclose{.}$

Stap 3 — $3xy^{-1} = \dfrac{3x}{y}\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is:

• B het die oorblywende $y$ bo in plaas van onder geplaas: $\dfrac{y}{y^2} = \dfrac{1}{y}\mathclose{,}$ nie $y$ nie.

• C omgeruil watter letter onder beland.

• D $x^2$ gelaat en niks met $y$ gedoen nie.

Onthou: Deel die koëffisiënte, trek die eksponente af. ’n Negatiewe eksponent beteken die letter hoort in die noemer.

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Wetenskaplike notasie is $a \times 10^n$ met $1 \leq a < 10\mathclose{.}$

Stap 2 — Skuif die punt vier plekke regs om 4.5 te kry, dus $n = -4\mathclose{.}$

Stap 3 — $4.5 \times 10^{-4}\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is:

• A positiewe eksponent — dit sou die getal groter maak, nie kleiner nie.

• B die punt net drie plekke geskuif.

• D $45$ lê nie tussen 1 en 10 nie, dus is dit nie standaardvorm nie.

Onthou: Tel die plekke wat jy die desimale punt skuif. Om REGS te skuif (die syfers groter te maak) beteken ’n NEGATIEWE eksponent.

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — ’n Breuk is ongedefinieer wanneer sy noemer nul is.

Stap 2 — $x - 2 = 0$ wanneer $x = 2\mathclose{.}$

Stap 3 — Dus elke reële getal behalwe 2: $x \neq 2\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is:

• A sluit geldige waardes onder 2 uit en sluit 2 steeds in.

• C sluit alles onder 2 sonder rede uit.

• D sluit $x = 2$ in, waar die funksie ongedefinieer is.

Onthou: ’n Noemer verbied slegs die waardes wat dit NUL maak — nie ’n hele helfte van die getallelyn nie.

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — $60°$ is ’n spesiale hoek.

Stap 2 — $\cos 60° = \dfrac12\mathclose{.}$

Stap 3 — (Vergelyk $\sin 60° = \dfrac{\sqrt3}{2}\mathclose{.})$

Waarom die ander verkeerd is:

• A $\dfrac{\sqrt3}{2}$ is $\sin 60°$ of $\cos 30°\mathclose{.}$

• B $\dfrac{\sqrt2}{2}$ is $\cos 45°\mathclose{.}$

• D $\cos 0° = 1\mathclose{.}$

Onthou: Namate die hoek van $0°$ tot $90°$ groei, KRIMP kosinus van 1 tot 0. ’n Groot hoek kan nie ’n groot kosinus hê nie.

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Tel 7 by albei kante: $3x = 21\mathclose{.}$

Stap 2 — Deel deur 3.

Stap 3 — $x = 7\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is:

• A 7 deur 3 gedeel in plaas van dit eers oor te dra.

• B 14 deur 3 gedeel sonder om die 7 te skuif.

• D by $3x = 21$ gestop.

Onthou: Maak die optelling ongedaan voor die vermenigvuldiging — die omgekeerde van die volgorde waarin die uitdrukking gebou is.

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — ’n Buitehoek en sy aangrensende binnehoek vorm ’n reguit lyn.

Stap 2 — Die drie binnehoeke tel ook op tot $180°\mathclose{.}$

Stap 3 — Die buitehoek is dus gelyk aan die som van die twee NIE-AANGRENSENDE binnehoeke.

Waarom die ander verkeerd is:

• A die drie binnehoeke tel op tot $180°\mathclose{,}$ wat nie een buitehoek is nie.

• B slegs waar in ’n spesifieke reghoekige geval.

• D die buitehoek is SUPPLEMENTÊR tot die aangrensende een, nie gelyk nie.

Onthou: Buitehoek $=$ som van die twee TEENOORSTAANDE binnehoeke. Dit volg daaruit dat albei somme $180°$ is, en dit spaar elke keer ’n stap.

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Die interkwartielafstand is $Q_3 - Q_1\mathclose{.}$

Stap 2 — $26 - 14\mathclose{.}$

Stap 3 — $= 12\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is:

• B het die gemiddelde van die kwartiele geneem: $\dfrac{14 + 26}{2}\mathclose{.}$

• C $Q_3$ alleen gerapporteer.

• D die kwartiele opgetel.

Onthou: Die interkwartielafstand is een aftrekking: boonste kwartiel minus onderste kwartiel. Dit meet die middelste helfte van die data en ignoreer die uiterstes.

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Saamgestelde rente: $A = P(1 + i)^n\mathclose{.}$

Stap 2 — $A = 5000(1.2)^3\mathclose{.}$

Stap 3 — $1.2^3 = 1.728\mathclose{,}$ dus $A = 8640\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is:

• A ENKELVOUDIGE rente gebruik: $5000(1 + 0.2 \times 3) = 8000\mathclose{.}$

• B het $1.2^3 = 1.728$ tot $1.7$ afgerond.

• C $1.728$ tot $1.72$ afgerond.

Onthou: Saamgestel is ’n MAG, enkelvoudig is ’n veelvoud. Oor drie jaar teen 20% is die verskil R640 — klein genoeg om aanneemlik en verkeerd te lyk.

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — $a=1\mathclose{,}$ $b=-6\mathclose{,}$ $c=8\mathclose{,}$ dus $\Delta = 36 - 32 = 4\mathclose{.}$

Stap 2 — $x = \dfrac{6 \pm \sqrt4}{2} = \dfrac{6 \pm 2}{2}\mathclose{.}$

Stap 3 — $x = 4$ of $x = 2\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is:

• B albei tekens omgeruil; hierdie wortels vermenigvuldig tot $+8$ maar tel op tot $-6\mathclose{.}$

• C faktore 1 en 8 gebruik, wat tot 9 optel.

• D sou $\Delta = 0$ verg.

Onthou: Toets met die som en produk: die wortels moet tot 6 optel en tot 8 vermenigvuldig. 2 en 4 doen; $-2$ en $-4$ vermenigvuldig reg maar tel op tot $-6\mathclose{.}$

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — $\dfrac{x}{y} = \dfrac25$ met $y = 35\mathclose{.}$

Stap 2 — $\dfrac{x}{35} = \dfrac25\mathclose{.}$

Stap 3 — $x = 35 \times \dfrac25 = 14\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is:

• A $\dfrac15$ van 35 gebruik.

• C ’n helfte gebruik.

• D met 2 vermenigvuldig sonder om deur 5 te deel.

Onthou: Een deel is $35 \div 5 = 7\mathclose{,}$ dus is twee dele 14. Om in DELE te werk is gewoonlik vinniger as kruisvermenigvuldiging.

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Die $y$-afsnit is die waarde wanneer $x = 0\mathclose{.}$

Stap 2 — $f(0) = 2(0)^2 - 3 = -3\mathclose{.}$

Stap 3 — Die punt is $(0,\ -3)\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is:

• A die koëffisiënt 2 afgelees in plaas van die konstante.

• C het die koördinate omgeruil en die minusteken verloor.

• D het die koördinate omgeruil: $(-3,\ 0)$ lê op die $x$-as.

Onthou: Vir ’n $y$-afsnit stel $x = 0\mathclose{;}$ die antwoord is altyd die konstante term. Die punt het $x = 0\mathclose{,}$ dus is dit $(0,\ c)\mathclose{.}$

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Sinusreël: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}\mathclose{.}$

Stap 2 — $b = \dfrac{6\sin 45°}{\sin 30°} = \dfrac{6 \cdot \frac{\sqrt2}{2}}{\frac12}\mathclose{.}$

Stap 3 — $= 6\sqrt2\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is:

• A het met $\sin 45°$ vermenigvuldig maar nooit deur $\sin 30°$ gedeel nie: $6 \times \tfrac{\sqrt2}{2}\mathclose{.}$

• B het 6 deur $\sin 30°$ gedeel maar nooit met $\sin 45°$ vermenigvuldig nie.

• D $\sin 45° = \sin 30°$ gebruik.

Onthou: Om deur $\dfrac12$ te deel VERDUBBEL. Dit is waarom die antwoord groter is as die sy waarmee jy begin het.

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Totale balle: $4 + 3 + 5 = 12\mathclose{.}$

Stap 2 — Groen balle: 5.

Stap 3 — $\dfrac{5}{12}\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is:

• A het die drie kleure as ewe waarskynlik hanteer.

• C het die blou balle uitgelaat: $\dfrac{5}{4 + 5}\mathclose{.}$

• D 7 as die totaal gebruik — die nie-groen balle.

Onthou: Die noemer is ELKE bal, die groenes ingesluit. Om net die ander te tel is die standaardglips.

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Deposito: $20\%$ van $6000 = 1200\mathclose{,}$ wat $4800$ laat om te finansier.

Stap 2 — Enkelvoudige rente vir een jaar: $4800 \times 0.15 = 720\mathclose{.}$

Stap 3 — Totaal verskuldig $= 4800 + 720 = 5520\mathclose{,}$ oor 12 maande: $5520 \div 12 = 460\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is:

• A die saldo deur 12 gedeel sonder rente.

• C die kontantprys deur 12 gedeel — geen deposito, geen rente nie.

• D die volle R6 000 gefinansier in plaas van die saldo ná die deposito.

Onthou: Deposito eerste, dan rente op wat OORBLY. Om rente op die volle prys te hef is die algemeenste huurkoopfout.

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Twee getalle wat tot 12 vermenigvuldig en tot 7 optel.

Stap 2 — $3 \times 4 = 12$ en $3 + 4 = 7$ ✓

Stap 3 — $(x+3)(x+4)\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is:

• B $2 \times 6 = 12$ maar $2 + 6 = 8\mathclose{.}$

• C $1 \times 12 = 12$ maar $1 + 12 = 13\mathclose{.}$

• D $(x-3)(x-4)$ gee $+12$ maar $-7x\mathclose{.}$

Onthou: Lys die faktorpare van die konstante, kies dan die paar met die regte SOM. Albei tekens hier positief, want die produk en die som is albei positief.

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Vervang elke $x$ en kyk watter $y$ uitkom.

Stap 2 — $2^3 = 8\mathclose{,}$ dus lê $(3,\ 8)$ op die grafiek ✓

Stap 3 — (’n Eksponensieel bereik nooit 0 nie, wat twee opsies met een oogopslag uitskakel.)

Waarom die ander verkeerd is:

• A $2^{-1} = \dfrac12\mathclose{,}$ nie 0 nie — en $y = 2^x$ is nooit 0 nie.

• B $2^0 = 1\mathclose{,}$ dus gaan die grafiek deur $(0, 1)\mathclose{.}$

• C $2^3 = 8\mathclose{,}$ nie 9 nie — dit sou $3^2$ wees.

Onthou: $y = 2^x$ is altyd positief, dus is enige punt met $y = 0$ onmoontlik. Toets die oorblywendes deur te vervang.

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Reguitlyn-waardevermindering trek elke jaar dieselfde bedrag af.

Stap 2 — $10\%$ van die OORSPRONKLIKE $320\,000$ is $32\,000$ per jaar.

Stap 3 — Ná 4 jaar: $320\,000 - 4(32\,000) = 192\,000\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is:

• B verminderende saldo gebruik: $320\,000 \times 0.9^4\mathclose{.}$

• C drie jaar se waardevermindering afgetrek, nie vier nie.

• D net een jaar se waardevermindering afgetrek.

Onthou: Reguitlyn gebruik altyd die OORSPRONKLIKE waarde; verminderende saldo gebruik die huidige een. Dieselfde koers gee verskillende antwoorde, en die vraag sê watter een om te gebruik.

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Oppervlakte van ’n sirkel is $\pi r^2\mathclose{.}$

Stap 2 — $r = 7\mathclose{,}$ dus $r^2 = 49\mathclose{.}$

Stap 3 — $49\pi$ cm².

Waarom die ander verkeerd is:

• A $\pi r$ gebruik.

• B $2\pi r$ gebruik, die omtrek.

• C $4\pi r$ gebruik.

Onthou: $\pi r^2$ vir oppervlakte. Om 7 te kwadreer gee 49 — as die antwoord soos twee keer die radius lyk, het jy die omtrekformule gebruik.

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Die optelreël: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\mathclose{.}$

Stap 2 — $= 0.5 + 0.4 - 0.15\mathclose{.}$

Stap 3 — $= 0.75\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is:

• A $P(A) \times P(B)$ vermenigvuldig — die reël vir die SNYDING van onafhanklike gebeurtenisse.

• B die oorvleueling twee keer afgetrek: $0.9 - 0.3\mathclose{.}$

• D opgetel sonder om die oorvleueling af te trek.

Onthou: Trek die snyding EEN keer af — om $P(A)$ en $P(B)$ op te tel tel die oorvleueling twee keer. Slegs vir onderling uitsluitende gebeurtenisse is daar niks om af te trek nie.

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — $A = P(1+i)^n\mathclose{,}$ dus $P = \dfrac{A}{(1+i)^n}\mathclose{.}$

Stap 2 — $P = \dfrac{12\,100}{1.1^2} = \dfrac{12\,100}{1.21}\mathclose{.}$

Stap 3 — $= 10\,000\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is:

• B deur $1.2$ gedeel, soos vir enkelvoudige rente.

• C een keer deur 1.1 gedeel in plaas van twee keer.

• D twee jaar verder vorentoe saamgestel in plaas van terug te werk.

Onthou: Om TERUG in die tyd te gaan, deel deur $(1+i)^n\mathclose{.}$ Om die rente af te trek werk nie, want die rente is op ’n kleiner bedrag gehef.

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Om magte van dieselfde basis te vermenigvuldig TEL die eksponente OP: $2^5 \times 2^3 = 2^8\mathclose{.}$

Stap 2 — Deling TREK AF: $2^8 \div 2^6 = 2^2\mathclose{.}$

Stap 3 — $2^2 = 4\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is:

• B het die teller uitgewerk, $2^{5+3} = 2^8\mathclose{,}$ en vergeet om deur $2^6$ te deel.

• C het die eksponente bo vermenigvuldig, $5 \times 3 = 15\mathclose{,}$ in plaas daarvan om hulle op te tel: $2^{15-6}\mathclose{.}$

• D het al drie eksponente opgetel, asof $2^6$ vermenigvuldig in plaas van deel: $2^{5+3+6}\mathclose{.}$

Onthou: Tel die eksponente bo op, trek die een onder af: $5 + 3 - 6 = 2\mathclose{.}$ Vermenigvuldig nooit die eksponente nie.

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Elke dollar kos R14.

Stap 2 — Deel die rande deur die koers: $7000 \div 14\mathclose{.}$

Stap 3 — $= 500$ dollar.

Waarom die ander verkeerd is:

• B deur 10 gedeel.

• C die geldeenheid se naam verander sonder om enigsins om te skakel.

• D vermenigvuldig in plaas van gedeel.

Onthou: Vra watter rigting die getal kleiner maak. R7 000 kan nie 98 000 van ’n waardevoller geldeenheid koop nie, dus moet dit ’n deling wees.