IEB-proefvraestel II

'n Volledige oefenvraestel van 150 punte: 12 vrae in 57 dele, 28 onderwerpe, Afdeling A 75 punte en Afdeling B 75. Elke vraag is vir hierdie bladsy gegenereer en elke antwoord is onafhanklik geverifieer.

Die verdeling tussen die afdelings, en hoeveel van die vraestel elke onderwerp werd is, is uit 282 werklike IEB-vrae gemeet — nie geraai nie. Nie een van daardie vrae verskyn hier nie.

Alle IEB-oefening · Skryf hierdie vraestel op tyd · English

Die vraestel

Afdeling A[75 punte]

1[9 punte]

In die diagram is ΔABC geteken.

D is die middelpunt van AB.
E lê op AC met DE ∥ BC.
H lê op BC met BH : HC = 2 : 3, en AH sny DE by K.
BC = 10 eenhede.

(a)
Bewys dat E die middelpunt van AC is.
(2)
(b)
Bereken die lengte van DE.
(2)
(c)
Bereken die lengte van DK.
(3)
(d)
Bepaal DK : KE.
(2)

2[10 punte]

Gegee:

sin A = −7/25 waar 180° < A < 270°
sin B = −3/5 waar 270° < B < 360°

(a)
Bepaal sonder 'n sakrekenaar die waarde van cos A.
(2)
(b)
Bepaal vervolgens, sonder 'n sakrekenaar, die waarde van cos(A + B).
(5)
(c)
Bepaal die waarde van sin 2B.
(3)

3[13 punte]

In die diagram hieronder (antwoorde korrek tot twee desimale plekke):

ABC is 'n driehoekige veld op horisontale grond, en D is 'n punt op AC.
EB is 'n vertikale lamppaal by B.
AB = 110 m en DC = 50 m.
B $\hat{A}$ D = 50° en B $\hat{D}$ A = 70°.

(a)
Bereken die lengte van BD.
(3)
(b)
Bereken die lengte van BC.
(4)
(c)
Bereken die oppervlakte van ΔBDC.
(3)
(d)
Die hoogtehoek van E vanaf D is 28°. Bereken die hoogte van die lamppaal.
(3)

4[14 punte]

In die diagram word A(−5; −1), B(0; 4), D(2; −2) en E(10; 4) gegee. AE en DB sny by C(1; k).

(a)
Bereken die lengte van AB in eenvoudigste wortelvorm.
(2)
(b)
Bepaal die vergelyking van die lyn DB.
(3)
(c)
Bepaal die waarde van k.
(2)
(d)
Bewys dat AE ⊥ DB.
(3)
(e)
Bepaal die grootte van A $\hat{B}$ D, korrek tot een desimale plek.
(4)

5[14 punte]

In die diagram: ΔABC met D op AB en E op AC, en DE ∥ BC.

(a)
Gebruik die diagram om die stelling te bewys wat beweer dat 'n Lyn ewewydig aan een sy van 'n driehoek verdeel die ander twee sye proporsioneel.
(4)
In die diagram hieronder is ΔABC geteken. E is 'n punt op AC en D is 'n punt op BC met AB ∥ ED. F is 'n punt op ED en G is 'n punt op EC met FG ∥ BC. AE = 9 eenhede, BD = 8 eenhede en DC = 4 eenhede. EF : FD = 3 : 2.
(b)
Bereken die lengte van EC.
(3)
(c)
Bereken die lengte van EG.
(3)
(d)
Bereken die lengte van FG.
(4)

6[15 punte]

Die frekwensieveelhoek toon die massa in kg van 52 pakkies, gegroepeer in die klasse 0 ≤ x < 5; 5 ≤ x < 10; 10 ≤ x < 15; 15 ≤ x < 20; 20 ≤ x < 25.

(a)
Bereken die beraamde gemiddelde van die data.
(3)
(b)
Skryf die modale klas neer.
(1)
(c)
Teken 'n ogief (kumulatiewe frekwensiekromme) vir die data.
(4)
(d)
Gebruik jou ogief om die mediaan te skat.
(2)
(e)
Gebruik jou ogief om die interkwartielvariasiewydte te skat.
(3)
(f)
Is die data skeef? Verduidelik met behulp van die gemiddelde en die mediaan.
(2)

Afdeling B[75 punte]

7[8 punte]

In die diagram is ΔABC geteken.

E en F is punte op AC en AB onderskeidelik, met AE : EC = 5 : 2 en AF : FB = 3 : 5.
BC verleng ontmoet FE verleng by D.
G is 'n punt op FB sodat FD ∥ GC.

(a)
Bepaal AF : FG.
(2)
(b)
Bepaal vervolgens FG : GB.
(3)
(c)
Bereken BC : CD.
(3)

8[11 punte]

Gegee: sin 38° = k. Bepaal sonder 'n sakrekenaar elk van die volgende in terme van k.

(a)
sin 218°
(2)
(b)
tan 38°
(3)
(c)
cos 76°
(3)
(d)
sin 56° cos 18° − cos 56° sin 18°
(3)

9[12 punte]

Sirkel P het middelpunt P(−5; −3) en raak die x-as. Sirkel Q het die vergelyking (x + 17)^{^2} + (y + 12)^{^2} = 144.

(a)
Skryf die vergelyking van sirkel P neer.
(2)
(b)
Bereken die afstand PQ tussen die middelpunte.
(2)
(c)
Toon aan dat die sirkels mekaar uitwendig raak.
(2)
(d)
Bepaal die koördinate van T, die punt waar die sirkels mekaar raak.
(3)
(e)
Bepaal die vergelyking van die gemeenskaplike raaklyn aan die sirkels by T.
(3)

10[14 punte]

In die diagram is AB 'n middellyn van die sirkel met middelpunt M, waar A(−5; 6) en B(5; 4).

(a)
Bepaal die koördinate van M, die middelpunt van die sirkel.
(2)
(b)
Bepaal die vergelyking van die sirkel.
(3)
(c)
Toon aan dat P(−1; 0) op die sirkel lê.
(2)
(d)
Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan die sirkel by A.
(4)
(e)
Bepaal die y-afsnitte van die sirkel, waar nodig in eenvoudigste wortelvorm.
(3)

11[14 punte]

In die diagram: O is die middelpunt van die sirkel en OM ⊥ AB, met M op AB. O $\hat{A}$ B = 42°.

(a)
Bepaal, met redes, die grootte van O $\hat{M}$ A.
(2)
(b)
Bepaal, met redes, die grootte van O $\hat{M}$ B.
(2)
(c)
Bepaal, met redes, die grootte van A $\hat{O}$ M.
(2)
In die diagram hieronder: AB is 'n middellyn van die sirkel met middelpunt O, en P en Q lê op die sirkel. P $\hat{A}$ B = 73°.
(d)
Bepaal, met redes, die grootte van A $\hat{P}$ B.
(2)
(e)
Bepaal, met redes, die grootte van B $\hat{Q}$ A.
(2)
(f)
Bepaal, met redes, die grootte van B $\hat{Q}$ P.
(2)
(g)
Bepaal, met redes, die grootte van P $\hat{B}$ O.
(2)

12[16 punte]

Die grafiek van f(x) = cos bx word hieronder geskets vir x ∈ [−90°; 270°].

(a)
Bepaal die waarde van b.
(1)
(b)
Skryf die periode van f neer.
(1)
(c)
Skets die grafiek van g(x) = −cos x op dieselfde assestelsel as f. Benoem alle afsnitte met die asse, draaipunte en eindpunte.
(4)
(d)
Skryf die amplitude van g neer.
(1)
(e)
Bepaal die waardes van x ∈ [−90°; 270°] waarvoor f(x) = g(x). Toon alle berekeninge.
(5)
(f)
Gebruik jou grafiek om die waardes van x ∈ [−90°; 270°] te bepaal waarvoor f(x) > g(x).
(2)
(g)
Indien g 1 eenheid op en 30° na regs geskuif word, skryf die nuwe vergelyking van g in die vorm y = … neer.
(2)

Memorandum

Elke antwoord hieronder is deur 'n onafhanklike verifieerder bevestig op die oomblik toe die vraag gemaak is.

(a) Antwoord: Sien die bewys hieronder.

AD = DB (gegee)
DE ∥ BC (gegee)
∴ AE = EC (lyn van middelpunt ∥ aan een sy)

(b) Antwoord: DE = 5 eenhede

DE = ½BC (Middelpuntstelling)
DE = ½ × 10 = 5

(c) Antwoord: DK = 2 eenhede

BH = 2/5 × 10 = 4
In ΔABH: AD = DB en DK ∥ BH (gegee)
∴ AK = KH (lyn van middelpunt ∥ aan een sy)
DK = ½BH = 2 (Middelpuntstelling)

(d) Antwoord: DK : KE = 2 : 3

In ΔAHC: KE = ½HC (Middelpuntstelling)
∴ DK : KE = ½BH : ½HC = 2 : 3

Die middelpuntstelling

(a) Antwoord: cos A = −24/25

A lê in die derde kwadrant: y = −7, r = 25
x^{^2} = 25^{^2} − (−7)^{^2} = 576, dus x = −24
sin A = −7/25 en cos A = −24/25

(b) Antwoord: cos(A + B) = −117/125

B lê in die vierde kwadrant: y = −3, r = 5
x^{^2} = 5^{^2} − (−3)^{^2} = 16, dus x = 4
sin B = −3/5 en cos B = 4/5
cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B
= (−24/25)(4/5) − (−7/25)(−3/5)
= −117/125

(c) Antwoord: sin 2B = −24/25

sin 2B = 2 sin B cos B
= 2(−3/5)(4/5)
= −24/25

Identiteite, reduksie en saamgestelde hoeke

(a) Antwoord: BD = 89.67 m

In ΔABD: (BD)/(sin B $\hat{A}$ D) = (AB)/(sin B $\hat{D}$ A)
BD = (110 sin 50°)/(sin 70°)
= 89.67 m

(b) Antwoord: BC = 116.65 m

B $\hat{D}$ C = 180° − 70° = 110° (∠e op 'n reguit lyn)
BC^{^2} = BD^{^2} + DC^{^2} − 2(BD)(DC) cos B $\hat{D}$ C
= 89.67^{^2} + 50^{^2} − 2(89.67)(50) cos 110°
BC = 116.65 m

(c) Antwoord: oppervlakte = 2106.62 m²

Oppervlakte = (1/2)(BD)(DC) sin B $\hat{D}$ C
= (1/2)(89.67)(50) sin 110°
= 2106.62 m²

(d) Antwoord: EB = 47.68 m

In ΔEBD, E $\hat{B}$ D = 90°: tan 28° = (EB)/(BD)
EB = 89.67 tan 28°
= 47.68 m

Sinus-, kosinus- en oppervlaktereël (2D)

(a) Antwoord: AB = 5√2 eenhede

AB = √((0 − (−5))^{^2} + (4 − (−1))^{^2})
= √(50) = 5√2

(b) Antwoord: y = −3x + 4

m_{_DB} = (4 − (−2))/(0 − (2)) = −3
−2 = (−3)(2) + c, dus c = 4
y = −3x + 4

(c) Antwoord: k = 1

C lê op DB: k = (−3)(1) + (4)
k = 1

(d) Antwoord: Sien die bewys hieronder.

m_{_AE} = (4 − (−1))/(10 − (−5)) = 1/3
m_{_AE} × m_{_DB} = (1/3)(−3) = −1
∴ AE ⊥ DB

(e) Antwoord: A $\hat{B}$ D = 63.4°

die hellingshoek van AB is 45.0° en van DB is 108.4°
die lyne maak 63.4°
A $\hat{B}$ D = 63.4°

Die afstand tussen twee punte

(a) Antwoord: Sien die bewys hieronder.

Gegee: ΔABC met D op AB en E op AC, en DE ∥ BC.
Te bewys: AD/DB = AE/EC
Konstruksie: Verbind BE en CD. Teken EX ⊥ AB en DY ⊥ AC.
oppervlakte ΔADE / oppervlakte ΔBDE = AD/DB (dieselfde hoogte)
oppervlakte ΔADE / oppervlakte ΔCDE = AE/EC (dieselfde hoogte)
oppervlakte ΔBDE = oppervlakte ΔCDE (dieselfde basis; dieselfde hoogte)
∴ AD/DB = AE/EC

(b) Antwoord: EC = 4.5 eenhede

CE/EA = CD/DB (lyn ∥ een sy van Δ; ED ∥ AB)
EC/9 = 4/8
EC = 4.5

(c) Antwoord: EG = 2.7 eenhede

EG/GC = EF/FD = 3/2 (lyn ∥ een sy van Δ; FG ∥ DC)
EG = 3/5 × EC = 3/5 × 4.5
EG = 2.7

(d) Antwoord: FG = 2.4 eenhede

In ΔEFG en ΔEDC:
$\hat{E}$ = $\hat{E}$ (gemeenskaplik)
E $\hat{F}$ G = C $\hat{D}$ E (ooreenk. ∠e gelyk; FG ∥ DC)
∴ ΔEFG ||| ΔEDC (∠∠∠)
FG/DC = EF/ED = 3/5 (∥∥∥ Δe)
FG = 3/5 × 4 = 2.4

Om die stelling self te bewys, nie om dit te gebruik nie

(a) Antwoord: 14.13

middelpunte: 2.5, 7.5, 12.5, 17.5, 22.5
Σ f·x = 735 en n = 52
gemiddelde = 735/52 = 14.13

(b) Antwoord: 20 ≤ x < 25

die hoogste frekwensie is 18

(c) Antwoord: Sien die ogief hieronder.

kumulatiewe frekwensies: 5, 18, 30, 34, 52
stip elkeen teen die boonste grens van sy klas, vanaf (0; 0)

(d) Antwoord: ongeveer 13.3

die mediaan is by 'n kumulatiewe frekwensie van 52/2 = 26
lees oor na die ogief en af: ongeveer 13.3

(e) Antwoord: ongeveer 13.3

Q1 by 13: ongeveer 8.1; Q3 by 39: ongeveer 21.4
Q3 − Q1 = 21.4 − 8.1 = 13.3

(f) Antwoord: Skeef na regs (positief)

gemiddelde 14.13 en mediaan ongeveer 13.3
gemiddelde > mediaan

Die beraamde gemiddelde van gegroepeerde data

(a) Antwoord: AF : FG = 5 : 2

AF/FG = AE/EC = 5/2 (lyn ∥ een sy van Δ; FE ∥ GC)
AF : FG = 5 : 2

(b) Antwoord: FG : GB = 6 : 19

Laat AF = 15k en FB = 25k (gegee)
FG = 2/5 × 15k = 6k
GB = FB − FG = 25k − 6k = 19k
FG : GB = 6 : 19

(c) Antwoord: BC : CD = 19 : 6

BC/CD = BG/GF (lyn ∥ een sy van Δ; GC ∥ FD)
BC/CD = 19k/6k
BC : CD = 19 : 6

Die Eweredigheidstelling

(a) Antwoord: sin 218° = −k

sin 218° = sin(180° + 38°) = −sin 38° = −k

(b) Antwoord: tan 38° = k/√(1 − k^{^2})

cos^{^2} 38° = 1 − sin^{^2} 38° = 1 − k^{^2}
38° is 'n skerp hoek, dus cos 38° > 0
tan 38° = (sin 38°)/(cos 38°) = k/√(1 − k^{^2})

(c) Antwoord: cos 76° = 1 − 2k^{^2}

cos 76° = 1 − 2sin^{^2} 38°
= 1 − 2k^{^2}

(d) Antwoord: sin 56° cos 18° − cos 56° sin 18° = k

sin 56° cos 18° − cos 56° sin 18° = sin(56° − 18°)
= sin 38° = k

Identiteite, reduksie en saamgestelde hoeke

(a) Antwoord: (x + 5)^{^2} + (y + 3)^{^2} = 9

dit raak die x-as, dus r = |−3| = 3
(x + 5)^{^2} + (y + 3)^{^2} = 9

(b) Antwoord: PQ = 15 eenhede

PQ = √((−17 − (−5))^{^2} + (−12 − (−3))^{^2})
= 15

(c) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

r_{_P} + r_{_Q} = 3 + 12 = 15 = PQ
∴ die sirkels raak mekaar uitwendig

(d) Antwoord: T(−37/5; −24/5)

T lê op PQ, 3 eenhede van P af: 3/15 van die pad na Q
(−5 + (3/15)(−12); −3 + (3/15)(−9)) = (−37/5; −24/5)

(e) Antwoord: y = −(4/3)x − 44/3

m_{_PQ} = 3/4, dus het die raaklyn m = −4/3
−24/5 = (−4/3)(−37/5) + c, dus c = −44/3
y = −(4/3)x − 44/3

Die vergelyking van 'n sirkel

(a) Antwoord: M(0; 5)

M is die middelpunt van die middellyn AB
((−5 + (5))/2; (6 + (4))/2) = (0; 5)

(b) Antwoord: x^{^2} + (y − 5)^{^2} = 26

r^{^2} = MA^{^2} = (−5 − (0))^{^2} + (6 − (5))^{^2} = 26
x^{^2} + (y − 5)^{^2} = 26

(c) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

(−1 − (0))^{^2} + (0 − (5))^{^2} = 26 = r^{^2}
∴ P lê op die sirkel

(d) Antwoord: y = 5x + 31

m_{_MA} = −1/5
die raaklyn is loodreg op die radius MA: m = 5
6 = (5)(−5) + c, dus c = 31
y = 5x + 31

(e) Antwoord: y = 5 ± √26

x = 0: 0 + (y − (5))^{^2} = 26
(y − (5))^{^2} = 26
y = 5 ± √26

Die middelpunt van 'n lynsegment

(a) Antwoord: O $\hat{M}$ A = 90°

O $\hat{M}$ A = 90° (lyn vanaf middelpunt ⊥ op koord)

(b) Antwoord: O $\hat{M}$ B = 90°

O $\hat{M}$ B = 90° (lyn vanaf middelpunt ⊥ op koord)

(c) Antwoord: A $\hat{O}$ M = 48°

A $\hat{O}$ M = 48° (som ∠e van Δ)

(d) Antwoord: A $\hat{P}$ B = 90°

A $\hat{P}$ B = 90° (∠e in halfsirkel)

(e) Antwoord: B $\hat{Q}$ A = 90°

B $\hat{Q}$ A = 90° (∠e in halfsirkel)

(f) Antwoord: B $\hat{Q}$ P = 73°

B $\hat{Q}$ P = 73° (∠e in dieselfde segment)

(g) Antwoord: P $\hat{B}$ O = 17°

P $\hat{B}$ O = 17° (som ∠e van Δ)

Koorde, en die lyn vanaf die middelpunt

(a) Antwoord: b = 2

cos bx het 'n periode van 360°/b
een volledige golf van f strek oor 180°
360°/b = 180°, dus b = 2

(b) Antwoord: 180°

f(x) = cos 2x herhaal elke 180°

(c) Antwoord: Sien die skets hieronder.

g(x) = −cos x
g: x-afsnitte (−90°; 0), (90°; 0), (270°; 0)
g: y-afsnit (0°; −1)
g: draaipunte (0°; −1), (180°; 1)
g: eindpunte (−90°; 0), (270°; 0)

(d) Antwoord: 1

die amplitude van a·cos x is |a| = 1

(e) Antwoord: x = −60° of x = 60° of x = 180°

cos 2x = −cos x
2 cos^{^2} x − 1 = −cos x
2 cos^{^2} x + cos x − 1 = 0
(2 cos x − 1)(cos x + 1) = 0
cos x = 1/2 of cos x = −1
x = ±60° + k·360° of x = 180° + k·360°
In [−90°; 270°]: x = −60° of x = 60° of x = 180°

(f) Antwoord: −60° < x < 60°

f lê bo g, van die skets afgelees
−60° < x < 60°

(g) Antwoord: y = −cos(x − 30°) + 1

30° na regs: x word x − 30°
1 op: tel 1 by
y = −cos(x − 30°) + 1

Trigonometriese grafieke