Mathbench

IEB-oefening · Vraestel I

IEB-oefening: Algebra

9 splinternuwe vrae oor al 8 die onderwerpe in algebra wat die IEB in Vraestel I eksamineer, 131 punte altesaam. Werk elkeen uit en maak dan die antwoord daaronder oop om jouself na te gaan. Niks hier kom uit 'n ou vraestel nie.

Laai die boekie as PDF af · Skryf hierdie vraestel op tyd · English

Kwadratiese rye en figuurpatrone

2 vrae · 30 punte

Vraestel I · Afdeling A · 15 punte

VRAAG 1
  1. (a)
    Los op vir x in terme van p: x^2 − 8p^2 = −2px
    (3)
  2. (b)
    Indien x^2 + 16x + 47 = (x − m)^2 + p, bepaal die waardes van m en p.
    (3)
  3. (c)
    Skryf vervolgens die minimum waarde van x^2 + 16x + 47 neer.
    (1)
  4. (d)
    Los op vir x: (1 − x)(x + 5) > 0
    (4)
  5. (e)
    Bepaal die waardes van p waarvoor x^2 − (p − 2)x + 25 = 0 gelyke wortels het.
    (4)

[15]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: x = −4p of x = 2p

  1. x^2 + 2px − 8p^2 = 0
  2. (x + 4p)(x − 2p) = 0

(b) Antwoord: m = −8 en p = −17

  1. (x − m)^2 + p = x^2 − 2mx + m^2 + p
  2. −2m = 16, dus m = −8
  3. m^2 + p = 47, dus p = −17

(c) Antwoord: −17

  1. (x − m)^2 ≥ 0, dus is die kleinste waarde p = −17

(d) Antwoord: −5 < x < 1

  1. −x^2 − 4x + 5 > 0
  2. x^2 + 4x − 5 < 0
  3. (x + 5)(x − 1) < 0
  4. kritieke waardes: x = −5 en x = 1

(e) Antwoord: p = −8 of p = 12

  1. Δ = (p − 2)^2 − 4(1)(25) = (p − 2)^2 − 100
  2. Δ = 0 vir gelyke wortels: (p − 2)^2 = 100
  3. p − 2 = ±10

Vraestel I · Afdeling A · 15 punte

VRAAG 2
  1. (a)
    Los op vir x: x(x + 6)(5x + 7) = 0
    (3)
  2. (b)
    Gebruik die kwadratiese formule om vir x korrek tot twee desimale plekke op te los indien 3x^2 − 4x = 6. Toon alle berekeninge.
    (4)
  3. (c)
    Los op vir x: (4 − x)(x + 6) < 0
    (4)
  4. (d)
    Bepaal die waardes van p waarvoor x^2 − (p + 2)x + 16 = 0 gelyke wortels het.
    (4)

[15]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: x = −6 of x = −7/5 of x = 0

  1. x = 0 of x + 6 = 0 of 5x + 7 = 0

(b) Antwoord: x = −0.90 of x = 2.23

  1. 3x^2 − 4x − 6 = 0
  2. x = (−(−4) ± √((−4)^2 − 4(3)(−6)))/(2(3))
  3. x = (4 ± √(88))/6

(c) Antwoord: x < −6 of x > 4

  1. −x^2 − 2x + 24 < 0
  2. x^2 + 2x − 24 > 0
  3. (x + 6)(x − 4) > 0
  4. kritieke waardes: x = −6 en x = 4

(d) Antwoord: p = −10 of p = 6

  1. Δ = (p + 2)^2 − 4(1)(16) = (p + 2)^2 − 64
  2. Δ = 0 vir gelyke wortels: (p + 2)^2 = 64
  3. p + 2 = ±8

Eksponensiële grafieke

3 vrae · 43 punte

Vraestel I · Afdeling A · 13 punte

VRAAG 3
  1. (a)
    Los op vir x: 5^(2x) − 26(5^x) + 25 = 0
    (4)
  2. (b)
    Los op vir x: log_2 (x^2 + x − 12) = 3
    (4)
  3. (c)
    Los op vir x: √(x + 51) = x − 5
    (5)

[13]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: x = 0 of x = 2

  1. laat t = 5^x: t^2 − 26t + 25 = 0
  2. (t − 1)(t − 25) = 0
  3. 5^x = 1, dus x = 0
  4. 5^x = 25, dus x = 2

(b) Antwoord: x = −5 of x = 4

  1. x^2 + x − 12 = 2^3
  2. x^2 + x − 20 = 0
  3. (x + 5)(x − 4) = 0

(c) Antwoord: x = 13

  1. x + 51 = x^2 − 10x + 25
  2. x^2 − 11x − 26 = 0
  3. (x − 13)(x + 2) = 0
  4. toets x = −2: √(−2 + 51) = 7 maar −2 − 5 = −7, dus word x = −2 verwerp

Vraestel I · Afdeling A · 14 punte

VRAAG 4
  1. (a)
    Indien 3^x = k, skryf 3^(−x) in terme van k.
    (2)
  2. (b)
    Skryf 9^x in terme van k.
    (2)
  3. (c)
    Indien log 3 = m en log 5 = n, bepaal log 0.6 in terme van m en n.
    (2)
  4. (d)
    Bepaal log 0.15 in terme van m en n.
    (2)
  5. (e)
    Los op vir x: log_x 16 = 2
    (2)
  6. (f)
    Los op vir x: log_2 (x − 4) + log_2 (x + 8) = 6
    (4)

[14]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: 3^(−x) = 1/k

  1. 3^(−x) = (3^x)^(−1)
  2. = 1/k

(b) Antwoord: 9^x = k^2

  1. 9^x = (3^x)^2
  2. = k^2

(c) Antwoord: log 0.6 = m − n

  1. log 0.6 = log(3/5)
  2. = m − n

(d) Antwoord: log 0.15 = m + n − 2

  1. log 0.15 = log(15/100)
  2. = m + n − 2

(e) Antwoord: x = 4

  1. x^2 = 16
  2. x = 4 ('n grondtal is positief en nie 1 nie)

(f) Antwoord: x = 8

  1. log_2 [(x − 4)(x + 8)] = 6
  2. (x − 4)(x + 8) = 64
  3. x^2 + 4x − 96 = 0
  4. x = 8 of x = −12
  5. x = −12 gee die log van 'n negatiewe getal, dus x = 8

Vraestel I · Afdeling A · 16 punte

VRAAG 5
  1. (a)
    Los op vir x in terme van y: 2^(x + 1) · 16^y = 2^y
    (3)
  2. (b)
    Los op vir x: √(x + 41) = x − 1
    (5)
  3. (c)
    Los op vir x: log_3 (x + 1) − log_3 x = 1
    (4)
  4. (d)
    Los op vir x: 5^(2x) − 4(5^x) − 21 = 0
    (4)

[16]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: x = −3y − 1

  1. 2^(x + 1) · 2^(4y) = 2^(y)
  2. x + 1 + 4y = y

(b) Antwoord: x = 8

  1. x + 41 = x^2 − 2x + 1
  2. x^2 − 3x − 40 = 0
  3. (x − 8)(x + 5) = 0
  4. toets x = −5: √(−5 + 41) = 6 maar −5 − 1 = −6, dus word x = −5 verwerp

(c) Antwoord: x = 1/2

  1. log_3 ((x + 1)/x) = 1
  2. (x + 1)/x = 3
  3. x + 1 = 3x

(d) Antwoord: x = 1.21

  1. laat t = 5^x: t^2 − 4t − 21 = 0
  2. (t − 7)(t + 3) = 0
  3. 5^x = −3 het geen oplossing nie
  4. 5^x = 7, dus x = log_5 7 = 1.21

Die aard van die wortels

1 vrae · 16 punte

Vraestel I · Afdeling A · 16 punte

VRAAG 6
  1. (a)
    Beskou die vergelyking kx^2 + 6x + k + 8 = 0, waar k 'n reële getal is. Bepaal die diskriminant van die vergelyking in terme van k. Gee jou antwoord in gefaktoriseerde vorm.
    (3)
  2. (b)
    Vir watter waardes van k sal die vergelyking 'n kwadratiese vergelyking met reële wortels wees?
    (3)
  3. (c)
    Vir watter heelgetalwaardes van k sal die vergelyking 'n kwadratiese vergelyking met rasionale wortels wees?
    (2)
  4. (d)
    Los x^2 + 4x − 1 = 0 op deur die vierkant te voltooi. Gee jou antwoorde korrek tot twee desimale plekke.
    (4)
  5. (e)
    Los op vir x: x(2 − x) < 0
    (4)

[16]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: Δ = −4(k + 9)(k − 1)

  1. Δ = 6^2 − 4(k)(k + 8)
  2. = −4k^2 − 32k + 36
  3. = −4(k^2 + 8k − 9)
  4. = −4(k + 9)(k − 1)

(b) Antwoord: −9 ≤ k ≤ 1, k ≠ 0

  1. die vergelyking is net kwadraties as k ≠ 0
  2. reële wortels: Δ ≥ 0, dus −4(k + 9)(k − 1) ≥ 0
  3. (k + 9)(k − 1) ≤ 0

(c) Antwoord: k = −9; −8; −7; −4; −1; 1

  1. Δ moet 'n volkome vierkant wees: probeer die heelgetalle van −9 tot 1, k ≠ 0
  2. k = −9: Δ = 0; k = −8: Δ = 36; k = −7: Δ = 64; k = −6: Δ = 84; k = −5: Δ = 96; k = −4: Δ = 100; k = −3: Δ = 96; k = −2: Δ = 84; k = −1: Δ = 64; k = 1: Δ = 0

(d) Antwoord: x = −4.24 of x = 0.24

  1. x^2 + 4x = 1
  2. x^2 + 4x + 4 = 1 + 4
  3. (x + 2)^2 = 5
  4. x + 2 = ±√(5)
  5. x = −2 ± √(5)

(e) Antwoord: x < 0 of x > 2

  1. −x^2 + 2x < 0
  2. x^2 − 2x > 0
  3. x(x − 2) > 0
  4. kritieke waardes: x = 0 en x = 2

Ongelykhede

1 vrae · 13 punte

Vraestel I · Afdeling A · 13 punte

VRAAG 7
  1. (a)
    Los op vir x: (6 − x)/(x + 2) < 0
    (4)
  2. (b)
    Vir watter waardes van x is √((x − 2)(8 − x)) reëel?
    (3)
  3. (c)
    Los op vir x: x(x + 3) > −2
    (3)
  4. (d)
    Hoeveel heelgetalle voldoen aan x(x + 4) < 0?
    (3)

[13]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: x < −2 of x > 6

  1. kritieke waardes: x = 6 (die teller is 0) en x = −2 (ongedefinieer, x ≠ −2)
  2. die teken van die linkerkant verander by elkeen van hulle

(b) Antwoord: 2 ≤ x ≤ 8

  1. (x − 2)(8 − x) ≥ 0

(c) Antwoord: x < −2 of x > −1

  1. x^2 + 3x + 2 > 0
  2. (x + 2)(x + 1) > 0
  3. kritieke waardes: x = −2 en x = −1

(d) Antwoord: 3

  1. x(x + 4) < 0
  2. −4 < x < 0
  3. die heelgetalle −3 tot −1: 3 van hulle

Gelyktydige vergelykings

2 vrae · 29 punte

Vraestel I · Afdeling A · 15 punte

VRAAG 8
  1. (a)
    Los op vir x en y indien y + 3x = −3 en y = x^2 − 7.
    (6)
  2. (b)
    Vir watter waardes van k sal die lyn y = x + k die parabool y = x^2 − 2 nooit sny nie?
    (4)
  3. (c)
    'n Bedrag van R11 500 word gelykop tussen 'n groep mense verdeel. As daar 2 meer mense in die groep was, sou elkeen R40 minder ontvang. Hoeveel mense is in die groep?
    (5)

[15]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: x = −4, y = 9 of x = 1, y = −6

  1. y = −3x − 3
  2. −3x − 3 = x^2 − 7
  3. x^2 + 3x − 4 = 0
  4. (x − 1)(x + 4) = 0
  5. x = −4 of x = 1
  6. y = 9 of y = −6

(b) Antwoord: k < −9/4

  1. x^2 − 2 = x + k
  2. x^2 − x − 2 − k = 0
  3. geen snypunt nie: Δ < 0
  4. (−1)^2 − 4(1)(−2 − k) < 0

(c) Antwoord: 23 mense

  1. laat daar n mense wees: 11 500/n − 11 500/(n + 2) = 40
  2. 11 500(n + 2) − 11 500n = 40n(n + 2)
  3. n^2 + 2n − 575 = 0
  4. (n − 23)(n + 25) = 0
  5. n = 23 (n = −25 word verwerp: die aantal mense is positief)

Vraestel I · Afdeling A · 14 punte

VRAAG 9
  1. (a)
    Los op vir x en y indien 3^(x + y) = 1 en 2^(x − y) = 16.
    (5)
  2. (b)
    Vir watter waardes van k sal die lyn y = x + k die parabool y = x^2 + 3x + 7 nooit sny nie?
    (4)
  3. (c)
    Die 1292 stoele in 'n skoolsaal is in gelyke rye uitgepak. As daar 2 rye minder was, sou elke ry 8 stoele meer nodig hê. Hoeveel rye is daar?
    (5)

[14]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: x = 2, y = −2

  1. 3^(x + y) = 3^(0), dus x + y = 0
  2. 2^(x − y) = 2^(4), dus x − y = 4
  3. tel op: 2x = 4, dus x = 2
  4. y = 0 − (2) = −2

(b) Antwoord: k < 6

  1. x^2 + 3x + 7 = x + k
  2. x^2 + 2x + 7 − k = 0
  3. geen snypunt nie: Δ < 0
  4. (2)^2 − 4(1)(7 − k) < 0

(c) Antwoord: 19 rye

  1. laat daar r rye wees: 1292/(r − 2) − 1292/r = 8
  2. 1292r − 1292(r − 2) = 8r(r − 2)
  3. r^2 − 2r − 323 = 0
  4. (r − 19)(r + 17) = 0
  5. r = 19 (r = −17 word verwerp: die aantal rye is positief)

Laai hierdie boekie af

Dieselfde vrae as 'n boekie om te druk, met die memorandum as 'n aparte lêer sodat jy kan werk sonder dat die antwoorde voor jou lê. In Engels en Afrikaans.

Elke vraag op hierdie bladsy is vir hierdie werf deur 'n rekenaarenjin gegenereer, en die antwoord is deur 'n onafhanklike metode bevestig op die oomblik toe die vraag gemaak is.

Alle IEB-oefening · Skryf hierdie vraestel op tyd · English