Mathbench

IEB-oefening · Vraestel II

IEB-oefening: Analitiese meetkunde

12 splinternuwe vrae oor al 13 die onderwerpe in analitiese meetkunde wat die IEB in Vraestel II eksamineer, 156 punte altesaam. Werk elkeen uit en maak dan die antwoord daaronder oop om jouself na te gaan. Niks hier kom uit 'n ou vraestel nie.

Laai die boekie as PDF af · Skryf hierdie vraestel op tyd · English

Die vergelyking van 'n reguit lyn

1 vrae · 15 punte

Vraestel II · Afdeling A · 15 punte

VRAAG 1

In die diagram:

  • Die reguit lyn deur A(−2; −3) en B(2; −1) is geteken.
  • P(−6; 0) is 'n punt wat nie op AB lê nie.
xyOA(−2; −3)B(2; −1)P(−6; 0)
  1. (a)
    Bepaal die vergelyking van die lyn AB.
    (2)
  2. (b)
    Die lyn AB sny die x-as by C en die y-as by D. Bereken die oppervlakte van ΔOCD, waar O die oorsprong is.
    (3)
  3. (c)
    F is die voetpunt van die loodlyn vanaf P op AB. Bepaal die vergelyking van PF.
    (3)
  4. (d)
    Bepaal die koördinate van F.
    (3)
  5. (e)
    Bepaal die kortste afstand vanaf P tot by die lyn AB, in eenvoudigste wortelvorm.
    (2)
  6. (f)
    Bereken die oppervlakte van ΔPAB.
    (2)

[15]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: y = (1/2)x − 2

  1. m = (−1 − (−3))/(2 − (−2)) = 1/2
  2. −3 = (1/2)(−2) + c, dus c = −2

(b) Antwoord: 4 vierkante eenhede

  1. C(4; 0) en D(0; −2)
  2. oppervlakte = ½ × 4 × 2 = 4

(c) Antwoord: y = −2x − 12

  1. PF ⊥ AB: m_PF = −1/(1/2) = −2
  2. 0 = (−2)(−6) + c, dus c = −12

(d) Antwoord: F(−4; −4)

  1. (1/2)x − 2 = −2x − 12
  2. x = −4, y = −4

(e) Antwoord: PF = 2√5 eenhede

  1. PF^2 = (−6 − (−4))^2 + (0 − (−4))^2 = 20
  2. PF = 2√5

(f) Antwoord: 10 vierkante eenhede

  1. AB = 2√5 en die hoogte is PF = 2√5
  2. oppervlakte = ½ × AB × PF = 10

Die vergelyking van 'n sirkel

4 vrae · 49 punte

Vraestel II · Afdeling B · 12 punte

VRAAG 2

In die diagram:

  • Die sirkel met middelpunt M het die vergelyking x^2 + y^2 + 6x + 4y − 13 = 0.
xyOMP(−8; −1)Q(−3; −10)
  1. (a)
    Bepaal die koördinate van die middelpunt M en die radius van die sirkel.
    (3)
  2. (b)
    Toon aan dat P(−8; −1) op die sirkel lê.
    (2)
  3. (c)
    Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan die sirkel by P.
    (4)
  4. (d)
    'n Raaklyn word van Q(−3; −10) af aan die sirkel getrek en raak dit by T. Bepaal die lengte van QT.
    (3)

[12]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: M(−3; −2); r = √26

  1. (x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 13 + 9 + 4
  2. (x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 26
  3. M(−3; −2) en r = √(26) = √26

(b) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

  1. (−8)^2 + (−1)^2 + 6(−8) + 4(−1) − 13 = 0
  2. dus lê P op die sirkel

(c) Antwoord: y = 5x + 39

  1. m_MP = (−1 − (−2))/(−8 − (−3)) = −1/5
  2. die raaklyn is loodreg op die radius: m = 5
  3. −1 = (5)(−8) + c, dus c = 39

(d) Antwoord: QT = √38 eenhede

  1. QM^2 = (−3 − (−3))^2 + (−10 − (−2))^2 = 64
  2. MT ⊥ QT (radius ⊥ raaklyn), dus QT^2 = QM^2 − r^2
  3. QT^2 = 64 − 26 = 38
  4. QT = √38

Vraestel II · Afdeling B · 11 punte

VRAAG 3

In die diagram:

  • 'n Sirkel met radius r lê in die eerste kwadrant en raak albei asse.
  • Die sirkel gaan deur P(8; 9).
  • Daar is twee sulke sirkels.
xyOP(8; 9)
  1. (a)
    Toon aan dat r^2 − 34r + 145 = 0.
    (3)
  2. (b)
    Bepaal vervolgens die vergelykings van die twee sirkels.
    (3)
  3. (c)
    Bereken die afstand tussen die middelpunte van die twee sirkels, in eenvoudigste wortelvorm.
    (2)
  4. (d)
    Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan die kleiner sirkel by P.
    (3)

[11]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

  1. die sirkel raak albei asse, dus is sy middelpunt (r; r)
  2. dit gaan deur P: (8 − r)^2 + (9 − r)^2 = r^2
  3. 64 − 16r + r^2 + 81 − 18r + r^2 = r^2
  4. r^2 − 34r + 145 = 0

(b) Antwoord: (x − 5)^2 + (y − 5)^2 = 25 en (x − 29)^2 + (y − 29)^2 = 841

  1. (r − 5)(r − 29) = 0, dus r = 5 of r = 29
  2. (x − 5)^2 + (y − 5)^2 = 25
  3. (x − 29)^2 + (y − 29)^2 = 841

(c) Antwoord: 24√2 eenhede

  1. die middelpunte is (5; 5) en (29; 29)
  2. √((29 − 5)^2 + (29 − 5)^2) = √(1152) = 24√2

(d) Antwoord: y = −(3/4)x + 15

  1. die radius van (5; 5) na P het m = (9 − 5)/(8 − 5) = 4/3
  2. die raaklyn is loodreg daarop: m = −3/4
  3. 9 = (−3/4)(8) + c, dus c = 15

Vraestel II · Afdeling B · 14 punte

VRAAG 4

In die diagram:

  • Die sirkel met middelpunt M het die vergelyking x^2 + y^2 + 8x − 6y − 15 = 0.
  • Die lyn y = −x + 7 sny die sirkel by A en B.
xyOMAB
  1. (a)
    Bepaal die koördinate van A en B.
    (5)
  2. (b)
    Bepaal die lengte van die koord AB, in eenvoudigste wortelvorm.
    (2)
  3. (c)
    N is die middelpunt van AB. Bepaal die koördinate van N, en toon aan dat MN ⊥ AB.
    (3)
  4. (d)
    Bepaal die waardes van k waarvoor die lyn y = −x + k 'n raaklyn aan die sirkel is.
    (4)

[14]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: A(−2; 9) en B(2; 5)

  1. stel y = −x + 7 in die vergelyking van die sirkel in
  2. (x + 4)^2 + (−x + 7 − 3)^2 = 40
  3. x^2 − 4 = 0
  4. x = −2 of x = 2

(b) Antwoord: AB = 4√2 eenhede

  1. AB^2 = (2 − (−2))^2 + (5 − 9)^2 = 32
  2. AB = 4√2

(c) Antwoord: N(0; 7)

  1. N = ((−2 + 2)/2; (9 + 5)/2) = (0; 7)
  2. m_MN × m_AB = (1)(−1) = −1
  3. dus MN ⊥ AB (lyn van die middelpunt na die middelpunt van 'n koord)

(d) Antwoord: k = −1 ± 4√5

  1. stel y = −x + k in die vergelyking van die sirkel in
  2. 'n raaklyn sny die sirkel een keer: Δ = 0 in die kwadratiese vergelyking in x
  3. (k − (−1))^2 = 40(1 + (−1)^2) = 80

Vraestel II · Afdeling B · 12 punte

VRAAG 5

In die diagram:

  • Sirkel P het middelpunt P(4; −3) en gaan deur die oorsprong.
  • Sirkel Q het die vergelyking (x − 12)^2 + (y − 3)^2 = 25.
xyOPQ
  1. (a)
    Bepaal die vergelyking van sirkel P.
    (2)
  2. (b)
    Bereken die afstand PQ tussen die middelpunte.
    (2)
  3. (c)
    Toon aan dat die sirkels mekaar uitwendig raak.
    (2)
  4. (d)
    Bepaal die koördinate van T, die punt waar die sirkels mekaar raak.
    (3)
  5. (e)
    Bepaal die vergelyking van die gemeenskaplike raaklyn aan die sirkels by T.
    (3)

[12]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: (x − 4)^2 + (y + 3)^2 = 25

  1. dit gaan deur O: r = PO = √((4)^2 + (−3)^2) = 5

(b) Antwoord: PQ = 10 eenhede

  1. PQ = √((12 − 4)^2 + (3 − (−3))^2)
  2. = 10

(c) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

  1. r_P + r_Q = 5 + 5 = 10 = PQ
  2. ∴ die sirkels raak mekaar uitwendig

(d) Antwoord: T(8; 0)

  1. T lê op PQ, 5 eenhede van P af: 5/10 van die pad na Q
  2. (4 + (5/10)(8); −3 + (5/10)(6)) = (8; 0)

(e) Antwoord: y = −(4/3)x + 32/3

  1. m_PQ = 3/4, dus het die raaklyn m = −4/3
  2. 0 = (−4/3)(8) + c, dus c = 32/3

Die middelpunt van 'n lynsegment

4 vrae · 54 punte

Vraestel II · Afdeling B · 13 punte

VRAAG 6

In die diagram:

  • Die sirkel met middelpunt M gaan deur die oorsprong O.
  • Die sirkel sny die x-as by A(−8; 0) en die y-as by B(0; 6).
xyOA(−8; 0)B(0; 6)M
  1. (a)
    Verduidelik waarom AB 'n middellyn van die sirkel is.
    (2)
  2. (b)
    Bepaal die koördinate van die middelpunt M en die radius van die sirkel.
    (3)
  3. (c)
    Toon aan dat die vergelyking van die sirkel geskryf kan word as x^2 + y^2 + 8x − 6y = 0.
    (2)
  4. (d)
    Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan die sirkel by O.
    (3)
  5. (e)
    Die lyn y = −x sny die sirkel by O en by C. Bepaal die koördinate van C.
    (3)

[13]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: Sien die verduideliking hieronder.

  1. AOˆB = 90°: die asse is loodreg op mekaar
  2. AB onderspan 'n regte hoek by O, 'n punt op die sirkel, dus is AB 'n middellyn (omgekeerde ∠ in halfsirkel)

(b) Antwoord: M(−4; 3); r = 5

  1. M is die middelpunt van AB: ((−8 + 0)/2; (0 + 6)/2) = (−4; 3)
  2. r = MO = √((−4)^2 + (3)^2) = 5

(c) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

  1. (x + 4)^2 + (y − 3)^2 = 25
  2. x^2 + 8x + 16 + y^2 − 6y + 9 = 25
  3. x^2 + y^2 + 8x − 6y = 0

(d) Antwoord: y = (4/3)x

  1. m_MO = (3 − 0)/(−4 − 0) = −3/4
  2. die raaklyn is loodreg op die radius MO: m = 4/3
  3. dit gaan deur O: y = (4/3)x

(e) Antwoord: C(−7; 7)

  1. stel y = −x in: x^2 + (−x)^2 + 8x + 6x = 0
  2. 2x(x − (−7)) = 0
  3. x = 0 (die punt O) of x = −7

Vraestel II · Afdeling A · 12 punte

VRAAG 7

In die diagram:

  • ABCD is 'n parallelogram met A(1; 6), B(1; 2) en C(−3; 6).
  • Die hoeklyne van die parallelogram sny by M.
xyOA(1; 6)B(1; 2)C(−3; 6)D
  1. (a)
    Bepaal die koördinate van M, die punt waar die hoeklyne sny.
    (2)
  2. (b)
    Bepaal vervolgens die koördinate van D.
    (2)
  3. (c)
    Bepaal die lengte van AB in eenvoudigste wortelvorm.
    (2)
  4. (d)
    Bepaal of ABCD 'n reghoek is. Toon jou berekening.
    (3)
  5. (e)
    Bereken die oppervlakte van ΔABC.
    (3)

[12]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: M(−1; 6)

  1. die hoeklyne van 'n parallelogram halveer mekaar: M is die middelpunt van AC
  2. M = ((1 + (−3))/2; (6 + 6)/2) = (−1; 6)

(b) Antwoord: D(−3; 10)

  1. M is ook die middelpunt van BD
  2. D = (2(−1) − 1; 2(6) − 2) = (−3; 10)

(c) Antwoord: AB = 4 eenhede

  1. AB = √((1 − 1)^2 + (6 − 2)^2) = √(16)
  2. = 4

(d) Antwoord: Nee: ABCD is nie 'n reghoek nie

  1. een van AB en BC is vertikaal
  2. dus is AB nie loodreg op BC nie

(e) Antwoord: 8 vierkante eenhede

  1. oppervlakte = (1/2)|x_A(y_B − y_C) + x_B(y_C − y_A) + x_C(y_A − y_B)|
  2. = 8

Vraestel II · Afdeling A · 16 punte

VRAAG 8

In die diagram:

  • A(1; 2), B(−1; 6), C(3; 4) en D(5; 0) is die hoekpunte van vierhoek ABCD.
  • Die hoeklyne AC en BD sny by M.
xyOA(1; 2)B(−1; 6)C(3; 4)D(5; 0)M
  1. (a)
    Bepaal die koördinate van M, die middelpunt van AC.
    (2)
  2. (b)
    Toon aan dat M ook die middelpunt van BD is.
    (2)
  3. (c)
    Toon aan dat AC ⊥ BD.
    (3)
  4. (d)
    Bewys vervolgens dat ABCD 'n rombus is.
    (2)
  5. (e)
    Bepaal die grootte van DAˆB, korrek tot een desimale plek.
    (4)
  6. (f)
    Bereken die oppervlakte van die rombus ABCD.
    (3)

[16]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: M(2; 3)

  1. M = ((1 + 3)/2; (2 + 4)/2) = (2; 3)

(b) Antwoord: die middelpunt van BD is (2; 3) = M

  1. middelpunt van BD = ((−1 + 5)/2; (6 + 0)/2) = (2; 3)

(c) Antwoord: m_AC × m_BD = −1, dus AC ⊥ BD

  1. m_AC = (4 − 2)/(3 − 1) = 1
  2. m_BD = (0 − 6)/(5 − (−1)) = −1
  3. m_AC × m_BD = (1)(−1) = −1

(d) Antwoord: ABCD is 'n rombus

  1. die hoeklyne halveer mekaar, dus is ABCD 'n parallelogram
  2. die hoeklyne van die parallelogram is loodreg, dus is ABCD 'n rombus

(e) Antwoord: DAˆB = 143.1°

  1. m_AB = −2, dus is die hellingshoek van AB 116.57°
  2. m_AD = −1/2, dus is die hellingshoek van AD 153.43°
  3. die lyne maak 36.86°; DAˆB is die supplement daarvan: 180° − 36.86°

(f) Antwoord: 12 vierkante eenhede

  1. AC = √((3 − 1)^2 + (4 − 2)^2) = 2√2
  2. BD = √((5 − (−1))^2 + (0 − 6)^2) = 6√2
  3. oppervlakte = ½ × AC × BD = ½ × 2√2 × 6√2 = 12

Vraestel II · Afdeling A · 13 punte

VRAAG 9

In die diagram:

  • ABCD is 'n vierkant.
  • A(−5; −5) en C(3; −1) is teenoorstaande hoekpunte.
xyOA(−5; −5)C(3; −1)BD
  1. (a)
    Bepaal die koördinate van M, die punt waar die hoeklyne van die vierkant sny.
    (2)
  2. (b)
    Bepaal die vergelyking van die hoeklyn BD.
    (3)
  3. (c)
    Bepaal die koördinate van B en D, gegee dat B die groter x-koördinaat het.
    (4)
  4. (d)
    Bereken die oppervlakte van die vierkant ABCD.
    (2)
  5. (e)
    Bepaal die hellingshoek van AC, korrek tot een desimale plek.
    (2)

[13]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: M(−1; −3)

  1. die hoeklyne van 'n vierkant halveer mekaar: M is die middelpunt van AC
  2. M = ((−5 + 3)/2; (−5 + (−1))/2) = (−1; −3)

(b) Antwoord: y = −2x − 5

  1. m_AC = (−1 − (−5))/(3 − (−5)) = 1/2
  2. die hoeklyne van 'n vierkant is loodreg: m_BD = −2
  3. deur M: −3 = (−2)(−1) + c, dus c = −5

(c) Antwoord: B(1; −7) en D(−3; 1)

  1. die hoeklyne van 'n vierkant is ewe lank en halveer mekaar: MB = MD = MA
  2. MA^2 = (−5 − (−1))^2 + (−5 − (−3))^2 = 20
  3. op BD: (x + 1)^2 + (−2x − 2)^2 = 20
  4. x = 1 of x = −3

(d) Antwoord: 40 vierkante eenhede

  1. AC^2 = 4 × MA^2 = 80
  2. die hoeklyne is ewe lank en loodreg: oppervlakte = ½ × AC × BD = ½ × AC^2 = 40

(e) Antwoord: θ = 26.6°

  1. tan θ = m_AC = 1/2

Twee sirkels: raak, sny of apart

1 vrae · 11 punte

Vraestel II · Afdeling B · 11 punte

VRAAG 10

In die diagram:

  • Die sirkel met middelpunt A het die vergelyking (x + 4)^2 + (y + 4)^2 = 4.
  • Die sirkel met middelpunt B het die vergelyking x^2 + y^2 + 24x + 8y + 124 = 0.
xyOAB
  1. (a)
    Bepaal die middelpunt B en die radius van die tweede sirkel.
    (3)
  2. (b)
    Bepaal die afstand AB tussen die middelpunte.
    (2)
  3. (c)
    Sny die sirkels, raak hulle mekaar, of ontmoet hulle mekaar nie? Motiveer jou antwoord.
    (3)
  4. (d)
    Bepaal die koördinate van die punt waar die sirkels mekaar raak.
    (3)

[11]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: B(−12; −4); r = 6

  1. voltooi die vierkant in x en in y
  2. (x + 12)^2 + (y + 4)^2 = 36
  3. B(−12; −4) en r = 6

(b) Antwoord: AB = 8 eenhede

  1. AB = √((−12 − (−4))^2 + (−4 − (−4))^2)
  2. = 8

(c) Antwoord: Hulle raak mekaar uitwendig.

  1. som van die radiusse: 2 + 6 = 8
  2. AB = 8 en 8 = 8

(d) Antwoord: (−6; −4)

  1. die punt lê op AB, 2 eenhede van A af: 2/8 van die pad na B
  2. (−4 + (2/8)(−8); −4 + (2/8)(0)) = (−6; −4)

Gradiënt

2 vrae · 27 punte

Vraestel II · Afdeling B · 13 punte

VRAAG 11

In die diagram:

  • A(−3; −8), B(1; −4) en C(−5; 2) lê op die sirkel met middelpunt M.
xyOA(−3; −8)B(1; −4)C(−5; 2)
  1. (a)
    Toon aan dat AB ⊥ BC.
    (3)
  2. (b)
    Verduidelik vervolgens waarom AC 'n middellyn is van die sirkel deur A, B en C, en bepaal die koördinate van sy middelpunt M.
    (3)
  3. (c)
    Bepaal die vergelyking van die sirkel.
    (2)
  4. (d)
    Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan die sirkel by C.
    (3)
  5. (e)
    Bereken die oppervlakte van ΔABC.
    (2)

[13]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

  1. m_AB = (−4 − (−8))/(1 − (−3)) = 1
  2. m_BC = (2 − (−4))/(−5 − 1) = −1
  3. m_AB × m_BC = (1)(−1) = −1, dus AB ⊥ BC

(b) Antwoord: M(−4; −3)

  1. ABˆC = 90°, dus onderspan AC 'n regte hoek by B: AC is 'n middellyn (omgekeerde ∠ in halfsirkel)
  2. M is die middelpunt van AC: ((−3 + (−5))/2; (−8 + 2)/2) = (−4; −3)

(c) Antwoord: (x + 4)^2 + (y + 3)^2 = 26

  1. r^2 = MA^2 = (−3 − (−4))^2 + (−8 − (−3))^2 = 26

(d) Antwoord: y = (1/5)x + 3

  1. m_MC = −5
  2. die raaklyn is loodreg op die radius MC: m = 1/5
  3. 2 = (1/5)(−5) + c, dus c = 3

(e) Antwoord: 24 vierkante eenhede

  1. AB = 4√2 en BC = 6√2
  2. oppervlakte = ½ × AB × BC (die regte hoek is by B) = 24

Vraestel II · Afdeling A · 14 punte

VRAAG 12

In die diagram:

  • A(−2; −4), B(3; −2) en C(0; 0) is die hoekpunte van ΔABC.
  • θ is die hellingshoek van AB.
xyOA(−2; −4)B(3; −2)C(0; 0)
  1. (a)
    Bepaal die gradiënt van AB.
    (2)
  2. (b)
    Bepaal die grootte van θ, korrek tot een desimale plek.
    (2)
  3. (c)
    Bepaal die vergelyking van die lyn deur C wat loodreg op AB is.
    (3)
  4. (d)
    D(−7; k) lê op dieselfde reguitlyn as A en B. Bepaal k.
    (3)
  5. (e)
    Bepaal die grootte van hoek BAˆC, korrek tot een desimale plek.
    (4)

[14]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: m_AB = 2/5

  1. m_AB = (−2 − (−4))/(3 − (−2))
  2. = 2/5

(b) Antwoord: θ = 21.8°

  1. tan θ = 2/5

(c) Antwoord: y = −(5/2)x

  1. m = −1/(2/5) = −5/2
  2. 0 = (−5/2)(0) + c, dus c = 0

(d) Antwoord: k = −6

  1. m_AD = m_AB
  2. (k − (−4))/(−7 − (−2)) = 2/5

(e) Antwoord: BAˆC = 41.6°

  1. die hellingshoek van AB is 21.80°
  2. m_AC = 2, dus is die hellingshoek van AC 63.43°
  3. BAˆC = 63.43° − 21.80°

Laai hierdie boekie af

Dieselfde vrae as 'n boekie om te druk, met die memorandum as 'n aparte lêer sodat jy kan werk sonder dat die antwoorde voor jou lê. In Engels en Afrikaans.

Elke vraag op hierdie bladsy is vir hierdie werf deur 'n rekenaarenjin gegenereer, en die antwoord is deur 'n onafhanklike metode bevestig op die oomblik toe die vraag gemaak is.

Alle IEB-oefening · Skryf hierdie vraestel op tyd · English