IEB-oefening · Vraestel II

IEB-oefening: Euklidiese meetkunde

12 splinternuwe vrae oor al 14 die onderwerpe in euklidiese meetkunde wat die IEB in Vraestel II eksamineer, 137 punte altesaam. Werk elkeen uit en maak dan die antwoord daaronder oop om jouself na te gaan. Niks hier kom uit 'n ou vraestel nie.

Laai die boekie as PDF af · Skryf hierdie vraestel op tyd · English

Die hoek by die middelpunt

2 vrae · 26 punte

115 punte

In die diagram: O is die middelpunt van die sirkel. A $\hat{P}$ B = 46°.

(a)
Bepaal, met redes, die grootte van A $\hat{O}$ B.
(2)
(b)
Bepaal, met redes, die grootte van P $\hat{B}$ O.
(2)
(c)
Bepaal, met redes, die grootte van P $\hat{O}$ B.
(2)
In die diagram hieronder: PA en PB is raaklyne aan die sirkel vanaf P. A $\hat{P}$ B = 66°.
(d)
Bepaal, met redes, die grootte van P $\hat{A}$ B.
(3)
(e)
Bepaal, met redes, die grootte van P $\hat{B}$ A.
(2)
(f)
Bepaal, met redes, die grootte van B $\hat{A}$ U.
(2)
(g)
Bepaal, met redes, die grootte van V $\hat{B}$ A.
(2)

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: A $\hat{O}$ B = 92°

A $\hat{O}$ B = 92° (∠ by middelpunt = 2 × ∠ by omtrek)

(b) Antwoord: P $\hat{B}$ O = 46°

OB = OP (radii)
P $\hat{B}$ O = 46° (∠e teenoor gelyke sye)

(c) Antwoord: P $\hat{O}$ B = 88°

P $\hat{O}$ B = 88° (som ∠e van Δ)

(d) Antwoord: P $\hat{A}$ B = 57°

PA = PB (Raaklyne vanaf gemeensk. pt)
P $\hat{A}$ B = P $\hat{B}$ A (∠e teenoor gelyke sye)
P $\hat{A}$ B = 57° (som ∠e van Δ)

(e) Antwoord: P $\hat{B}$ A = 57°

P $\hat{B}$ A = 57° (∠e teenoor gelyke sye)

(f) Antwoord: B $\hat{A}$ U = 123°

B $\hat{A}$ U = 123° (∠e op 'n reguit lyn)

(g) Antwoord: V $\hat{B}$ A = 123°

V $\hat{B}$ A = 123° (∠e op 'n reguit lyn)

211 punte

In die diagram: O is die middelpunt van die sirkel en AB is verbind. A $\hat{P}$ B = 31°.

(a)
Bepaal, met redes, die grootte van A $\hat{O}$ B.
(2)
(b)
Bepaal, met redes, die grootte van O $\hat{A}$ B.
(3)
(c)
Bepaal, met redes, die grootte van O $\hat{B}$ A.
(2)
In die diagram hieronder: ABCD is 'n koordevierhoek en BC word verleng tot E. B $\hat{A}$ D = 73°.
(d)
Bepaal, met redes, die grootte van D $\hat{C}$ B.
(2)
(e)
Bepaal, met redes, die grootte van E $\hat{C}$ D.
(2)

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: A $\hat{O}$ B = 62°

A $\hat{O}$ B = 62° (∠ by middelpunt = 2 × ∠ by omtrek)

(b) Antwoord: O $\hat{A}$ B = 59°

OA = OB (radii)
O $\hat{A}$ B = O $\hat{B}$ A (∠e teenoor gelyke sye)
O $\hat{A}$ B = 59° (som ∠e van Δ)

(c) Antwoord: O $\hat{B}$ A = 59°

O $\hat{B}$ A = 59° (∠e teenoor gelyke sye)

(d) Antwoord: D $\hat{C}$ B = 107°

D $\hat{C}$ B = 107° (teenoorst. ∠e van koordevierhoek)

(e) Antwoord: E $\hat{C}$ D = 73°

E $\hat{C}$ D = 73° (buite ∠ van koordevierhoek)

Om die stelling self te bewys, nie om dit te gebruik nie

3 vrae · 33 punte

38 punte

In die diagram: ABCD is 'n koordevierhoek in 'n sirkel met middelpunt O.

(a)
Gebruik die diagram om die stelling te bewys wat beweer dat die teenoorstaande hoeke van 'n koordevierhoek is supplementêr.
(4)
In die diagram hieronder: ABCD is 'n vierhoek met die diagonaal AC geteken. B $\hat{A}$ C = 51°; A $\hat{C}$ B = 52°; C $\hat{D}$ A = 103°.
(b)
Bewys dat ABCD 'n koordevierhoek is.
(4)

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: Sien die bewys hieronder.

Gegee: ABCD is 'n koordevierhoek in 'n sirkel met middelpunt O.
Te bewys: $\hat{A}$ + $\hat{C}$ = 180°
Konstruksie: Verbind OB en OD.
Laat ${\hat{O}}_{1}$ die hoek by die middelpunt aan C se kant van BD wees, en ${\hat{O}}_{2}$ die ander een.
${\hat{O}}_{1}$ = 2 × $\hat{A}$ (∠ by middelpunt = 2 × ∠ by omtrek)
${\hat{O}}_{2}$ = 2 × $\hat{C}$ (∠ by middelpunt = 2 × ∠ by omtrek)
${\hat{O}}_{1}$ + ${\hat{O}}_{2}$ = 360° (∠e om 'n punt)
∴ 2 $\hat{A}$ + 2 $\hat{C}$ = 360°
∴ $\hat{A}$ + $\hat{C}$ = 180°

(b) Antwoord: Sien die bewys hieronder.

A $\hat{B}$ C = 180° − 51° − 52° = 77° (som ∠e van Δ)
A $\hat{B}$ C + A $\hat{D}$ C = 77° + 103° = 180°
∴ ABCD is 'n koordevierhoek (teenoorst. ∠e van vierhoek supp)

413 punte

In die diagram: ΔABC met D op AB en E op AC, en DE ∥ BC.

(a)
Gebruik die diagram om die stelling te bewys wat beweer dat 'n Lyn ewewydig aan een sy van 'n driehoek verdeel die ander twee sye proporsioneel.
(4)
In die diagram hieronder is ΔABC geteken. D is die middelpunt van AB. E lê op AC met DE ∥ BC. H lê op BC met BH : HC = 2 : 3, en AH sny DE by K. BC = 10 eenhede.
(b)
Bewys dat E die middelpunt van AC is.
(2)
(c)
Bereken die lengte van DE.
(2)
(d)
Bereken die lengte van DK.
(3)
(e)
Bepaal DK : KE.
(2)

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: Sien die bewys hieronder.

Gegee: ΔABC met D op AB en E op AC, en DE ∥ BC.
Te bewys: AD/DB = AE/EC
Konstruksie: Verbind BE en CD. Teken EX ⊥ AB en DY ⊥ AC.
oppervlakte ΔADE / oppervlakte ΔBDE = AD/DB (dieselfde hoogte)
oppervlakte ΔADE / oppervlakte ΔCDE = AE/EC (dieselfde hoogte)
oppervlakte ΔBDE = oppervlakte ΔCDE (dieselfde basis; dieselfde hoogte)
∴ AD/DB = AE/EC

(b) Antwoord: Sien die bewys hieronder.

AD = DB (gegee)
DE ∥ BC (gegee)
∴ AE = EC (lyn van middelpunt ∥ aan een sy)

(c) Antwoord: DE = 5 eenhede

DE = ½BC (Middelpuntstelling)
DE = ½ × 10 = 5

(d) Antwoord: DK = 2 eenhede

BH = 2/5 × 10 = 4
In ΔABH: AD = DB en DK ∥ BH (gegee)
∴ AK = KH (lyn van middelpunt ∥ aan een sy)
DK = ½BH = 2 (Middelpuntstelling)

(e) Antwoord: DK : KE = 2 : 3

In ΔAHC: KE = ½HC (Middelpuntstelling)
∴ DK : KE = ½BH : ½HC = 2 : 3

512 punte

In die diagram: Sirkel met middelpunt O. AB is 'n koord. OM ⊥ AB.

(a)
Gebruik die diagram om die stelling te bewys wat beweer dat die lyn vanaf die middelpunt loodreg op 'n koord halveer die koord.
(6)
In die diagram hieronder: O is die middelpunt van die sirkel en OM ⊥ AB, met M op AB. O $\hat{A}$ B = 34°.
(b)
Bepaal, met redes, die grootte van O $\hat{M}$ A.
(2)
(c)
Bepaal, met redes, die grootte van O $\hat{M}$ B.
(2)
(d)
Bepaal, met redes, die grootte van A $\hat{O}$ M.
(2)

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: Sien die bewys hieronder.

Gegee: Sirkel met middelpunt O. AB is 'n koord. OM ⊥ AB.
Te bewys: AM = MB
Konstruksie: Verbind OA en OB.
In ΔOMA en ΔOMB:
OA = OB (radii)
OM = OM (gemeenskaplik)
O $\hat{M}$ A = O $\hat{M}$ B = 90° (gegee)
∴ ΔOMA ≡ ΔOMB (R-H-S)
∴ AM = MB (≡ Δe)

(b) Antwoord: O $\hat{M}$ A = 90°

O $\hat{M}$ A = 90° (lyn vanaf middelpunt ⊥ op koord)

(c) Antwoord: O $\hat{M}$ B = 90°

O $\hat{M}$ B = 90° (lyn vanaf middelpunt ⊥ op koord)

(d) Antwoord: A $\hat{O}$ M = 56°

A $\hat{O}$ M = 56° (som ∠e van Δ)

Raaklyne, en raaklyne vanaf 'n punt buite

1 vrae · 14 punte

614 punte

In die diagram: SAT is 'n raaklyn by A aan die sirkel met middelpunt O, en B lê op die sirkel. B $\hat{A}$ T = 57°.

(a)
Bepaal, met redes, die grootte van B $\hat{A}$ S.
(2)
(b)
Bepaal, met redes, die grootte van O $\hat{A}$ S.
(2)
(c)
Bepaal, met redes, die grootte van O $\hat{A}$ T.
(2)
(d)
Bepaal, met redes, die grootte van O $\hat{B}$ A.
(2)
(e)
Bepaal, met redes, die grootte van B $\hat{O}$ A.
(2)
In die diagram hieronder: Die koorde AC en BD sny by P binne die sirkel. A $\hat{P}$ B = 68°; P $\hat{A}$ B = 87°.
(f)
Bepaal, met redes, die grootte van P $\hat{B}$ A.
(2)
(g)
Bepaal, met redes, die grootte van D $\hat{P}$ A.
(2)

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: B $\hat{A}$ S = 123°

B $\hat{A}$ S = 123° (∠e op 'n reguit lyn)

(b) Antwoord: O $\hat{A}$ S = 90°

O $\hat{A}$ S = 90° (raaklyn ⊥ radius)

(c) Antwoord: O $\hat{A}$ T = 90°

O $\hat{A}$ T = 90° (raaklyn ⊥ radius)

(d) Antwoord: O $\hat{B}$ A = 33°

B $\hat{A}$ O = 33°
OA = OB (radii)
O $\hat{B}$ A = 33° (∠e teenoor gelyke sye)

(e) Antwoord: B $\hat{O}$ A = 114°

B $\hat{O}$ A = 114° (som ∠e van Δ)

(f) Antwoord: P $\hat{B}$ A = 25°

P $\hat{B}$ A = 25° (som ∠e van Δ)

(g) Antwoord: D $\hat{P}$ A = 112°

D $\hat{P}$ A = 112° (∠e op 'n reguit lyn)

Gelykvormige driehoeke

2 vrae · 20 punte

710 punte

In die diagram is ΔABC geteken.

D is 'n punt op AB en E is 'n punt op AC sodat DE ∥ BC.
BE en DC sny by T.
DE = 11 eenhede, DT = 7 eenhede, ET = 9 eenhede en TC = 21 eenhede.

(a)
Bewys dat ΔDET ||| ΔCBT.
(3)
(b)
Bepaal die lengte van BC.
(2)
(c)
Bepaal die lengte van BT.
(2)
(d)
Bepaal AD : DB.
(3)

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: Sien die bewys hieronder.

In ΔDET en ΔCBT:
E $\hat{D}$ T = B $\hat{C}$ T (verw. ∠e; DE ∥ BC)
D $\hat{E}$ T = C $\hat{B}$ T (verw. ∠e; DE ∥ BC)
D $\hat{T}$ E = B $\hat{T}$ C (regoorstaande ∠e =)
∴ ΔDET ||| ΔCBT (∠∠∠)

(b) Antwoord: BC = 33 eenhede

BC/DE = CT/DT (∥∥∥ Δe)
BC = 11 × 21/7 = 33

(c) Antwoord: BT = 27 eenhede

BT/ET = CT/DT (∥∥∥ Δe)
BT = 9 × 21/7 = 27

(d) Antwoord: AD : DB = 1 : 2

In ΔADE en ΔABC:
$\hat{A}$ = $\hat{A}$ (gemeenskaplik)
A $\hat{D}$ E = A $\hat{B}$ C (ooreenk. ∠e gelyk; DE ∥ BC)
∴ ΔADE ||| ΔABC (∠∠∠)
AD/AB = DE/BC = 11/33 = 1/3 (∥∥∥ Δe)
∴ AD : DB = 1 : 2

810 punte

In die diagram is ΔABC geteken.

D is 'n punt op AB en E is 'n punt op AC sodat DE ∥ BC.
BE en DC sny by T.
DE = 7 eenhede, DT = 4 eenhede, ET = 5 eenhede en TC = 12 eenhede.

(a)
Bewys dat ΔDET ||| ΔCBT.
(3)
(b)
Bepaal die lengte van BC.
(2)
(c)
Bepaal die lengte van BT.
(2)
(d)
Bepaal AD : DB.
(3)

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: Sien die bewys hieronder.

In ΔDET en ΔCBT:
E $\hat{D}$ T = B $\hat{C}$ T (verw. ∠e; DE ∥ BC)
D $\hat{E}$ T = C $\hat{B}$ T (verw. ∠e; DE ∥ BC)
D $\hat{T}$ E = B $\hat{T}$ C (regoorstaande ∠e =)
∴ ΔDET ||| ΔCBT (∠∠∠)

(b) Antwoord: BC = 21 eenhede

BC/DE = CT/DT (∥∥∥ Δe)
BC = 7 × 12/4 = 21

(c) Antwoord: BT = 15 eenhede

BT/ET = CT/DT (∥∥∥ Δe)
BT = 5 × 12/4 = 15

(d) Antwoord: AD : DB = 1 : 2

In ΔADE en ΔABC:
$\hat{A}$ = $\hat{A}$ (gemeenskaplik)
A $\hat{D}$ E = A $\hat{B}$ C (ooreenk. ∠e gelyk; DE ∥ BC)
∴ ΔADE ||| ΔABC (∠∠∠)
AD/AB = DE/BC = 7/21 = 1/3 (∥∥∥ Δe)
∴ AD : DB = 1 : 2

Die hoek in 'n halfsirkel

1 vrae · 10 punte

910 punte

In die diagram: AB is 'n middellyn van die sirkel met middelpunt O, en P en Q lê op die sirkel. P $\hat{A}$ B = 30°.

(a)
Bepaal, met redes, die grootte van A $\hat{P}$ B.
(2)
(b)
Bepaal, met redes, die grootte van B $\hat{Q}$ A.
(2)
(c)
Bepaal, met redes, die grootte van P $\hat{B}$ O.
(2)
In die diagram hieronder: SAT is 'n raaklyn aan die sirkel by A. S $\hat{A}$ B = 118°.
(d)
Bepaal, met redes, die grootte van B $\hat{A}$ T.
(2)
(e)
Bepaal, met redes, die grootte van A $\hat{C}$ B.
(2)

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: A $\hat{P}$ B = 90°

A $\hat{P}$ B = 90° (∠e in halfsirkel)

(b) Antwoord: B $\hat{Q}$ A = 90°

B $\hat{Q}$ A = 90° (∠e in halfsirkel)

(c) Antwoord: P $\hat{B}$ O = 60°

P $\hat{B}$ O = 60° (som ∠e van Δ)

(d) Antwoord: B $\hat{A}$ T = 62°

B $\hat{A}$ T = 62° (∠e op 'n reguit lyn)

(e) Antwoord: A $\hat{C}$ B = 62°

A $\hat{C}$ B = 62° (raaklyn-koordstelling)

Koorde, en die lyn vanaf die middelpunt

1 vrae · 12 punte

1012 punte

In die diagram: O is die middelpunt van die sirkel en OM ⊥ AB, met M op AB. O $\hat{A}$ B = 34°.

(a)
Bepaal, met redes, die grootte van O $\hat{M}$ A.
(2)
(b)
Bepaal, met redes, die grootte van O $\hat{M}$ B.
(2)
(c)
Bepaal, met redes, die grootte van A $\hat{O}$ M.
(2)
In die diagram hieronder: AB is 'n middellyn van die sirkel met middelpunt O, en P en Q lê op die sirkel. P $\hat{A}$ B = 36°.
(d)
Bepaal, met redes, die grootte van A $\hat{P}$ B.
(2)
(e)
Bepaal, met redes, die grootte van B $\hat{Q}$ A.
(2)
(f)
Bepaal, met redes, die grootte van P $\hat{B}$ O.
(2)

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: O $\hat{M}$ A = 90°

O $\hat{M}$ A = 90° (lyn vanaf middelpunt ⊥ op koord)

(b) Antwoord: O $\hat{M}$ B = 90°

O $\hat{M}$ B = 90° (lyn vanaf middelpunt ⊥ op koord)

(c) Antwoord: A $\hat{O}$ M = 56°

A $\hat{O}$ M = 56° (som ∠e van Δ)

(d) Antwoord: A $\hat{P}$ B = 90°

A $\hat{P}$ B = 90° (∠e in halfsirkel)

(e) Antwoord: B $\hat{Q}$ A = 90°

B $\hat{Q}$ A = 90° (∠e in halfsirkel)

(f) Antwoord: P $\hat{B}$ O = 54°

P $\hat{B}$ O = 54° (som ∠e van Δ)

Die Eweredigheidstelling

1 vrae · 8 punte

118 punte

In die diagram is ΔABC geteken.

E en F is punte op AC en AB onderskeidelik, met AE : EC = 2 : 1 en AF : FB = 1 : 1.
BC verleng ontmoet FE verleng by D.
G is 'n punt op FB sodat FD ∥ GC.

(a)
Bepaal AF : FG.
(2)
(b)
Bepaal vervolgens FG : GB.
(3)
(c)
Bereken BC : CD.
(3)

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: AF : FG = 2 : 1

AF/FG = AE/EC = 2/1 (lyn ∥ een sy van Δ; FE ∥ GC)
AF : FG = 2 : 1

(b) Antwoord: FG : GB = 1 : 1

Laat AF = 2k en FB = 2k (gegee)
FG = 1/2 × 2k = 1k
GB = FB − FG = 2k − 1k = 1k
FG : GB = 1 : 1

(c) Antwoord: BC : CD = 1 : 1

BC/CD = BG/GF (lyn ∥ een sy van Δ; GC ∥ FD)
BC/CD = 1k/1k
BC : CD = 1 : 1

Hoeke in dieselfde segment

1 vrae · 14 punte

1214 punte

In die diagram: Die koorde AC en BD sny by P binne die sirkel. A $\hat{P}$ B = 99°; P $\hat{A}$ B = 24°.

(a)
Bepaal, met redes, die grootte van P $\hat{B}$ A.
(2)
(b)
Bepaal, met redes, die grootte van D $\hat{P}$ A.
(2)
(c)
Bepaal, met redes, die grootte van B $\hat{P}$ C.
(2)
(d)
Bepaal, met redes, die grootte van P $\hat{D}$ C.
(2)
(e)
Bepaal, met redes, die grootte van D $\hat{P}$ C.
(2)
In die diagram hieronder: ABC is 'n driehoek met BC verleng tot D. B $\hat{A}$ C = 100°; A $\hat{B}$ C = 37°.
(f)
Bepaal, met redes, die grootte van A $\hat{C}$ B.
(2)
(g)
Bepaal, met redes, die grootte van D $\hat{C}$ A.
(2)

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: P $\hat{B}$ A = 57°

P $\hat{B}$ A = 57° (som ∠e van Δ)

(b) Antwoord: D $\hat{P}$ A = 81°

D $\hat{P}$ A = 81° (∠e op 'n reguit lyn)

(c) Antwoord: B $\hat{P}$ C = 81°

B $\hat{P}$ C = 81° (∠e op 'n reguit lyn)

(d) Antwoord: P $\hat{D}$ C = 24°

P $\hat{D}$ C = 24° (∠e in dieselfde segment)

(e) Antwoord: D $\hat{P}$ C = 99°

D $\hat{P}$ C = 99° (regoorstaande ∠e =)

(f) Antwoord: A $\hat{C}$ B = 43°

A $\hat{C}$ B = 43° (som ∠e van Δ)

(g) Antwoord: D $\hat{C}$ A = 137°

D $\hat{C}$ A = 137° (∠e op 'n reguit lyn)

Laai hierdie boekie af

Dieselfde vrae as 'n boekie om te druk, met die memorandum as 'n aparte lêer sodat jy kan werk sonder dat die antwoorde voor jou lê. In Engels en Afrikaans.

Vrae (Engels) 22 bladsye, 0.3 MB
Memorandum (Engels) 13 bladsye, 0.2 MB
Vrae (Afrikaans) 22 bladsye, 0.3 MB
Memorandum (Afrikaans) 13 bladsye, 0.2 MB

Elke vraag op hierdie bladsy is vir hierdie werf deur 'n rekenaarenjin gegenereer, en die antwoord is deur 'n onafhanklike metode bevestig op die oomblik toe die vraag gemaak is.

Alle IEB-oefening · Skryf hierdie vraestel op tyd · English