Mathbench

IEB-oefening · Vraestel I

IEB-oefening: Funksies en grafieke

12 splinternuwe vrae oor al 10 die onderwerpe in funksies en grafieke wat die IEB in Vraestel I eksamineer, 136 punte altesaam. Werk elkeen uit en maak dan die antwoord daaronder oop om jouself na te gaan. Niks hier kom uit 'n ou vraestel nie.

Laai die boekie as PDF af · Skryf hierdie vraestel op tyd · English

Die parabool

2 vrae · 23 punte

Vraestel I · Afdeling A · 13 punte

VRAAG 1

In die diagram hieronder is die parabool f met draaipunt T(2; −8) en y-afsnit (0; 0), en die reguit lyn g, geteken. Die grafieke sny by A en B.

xyOT(2; −8)(0; 0)ABfg
  1. (a)
    Bepaal die vergelyking van f in die vorm f(x) = a(x − p)^2 + q.
    (3)
  2. (b)
    g(x) = −2x + 8. Bepaal die koördinate van A en B, die punte waar f en g sny.
    (5)
  3. (c)
    Vir watter waardes van x is f(x) < g(x)?
    (2)
  4. (d)
    Skryf die waardeversameling van f neer.
    (1)
  5. (e)
    Vir watter waardes van t sal f(x) = t geen reële wortels hê nie?
    (2)

[13]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: f(x) = 2(x − 2)^2 − 8

  1. f(x) = a(x − 2)^2 − 8
  2. vervang (0; 0): 0 = a(−2)^2 − 8
  3. a = 2

(b) Antwoord: A(−1; 10) en B(4; 0)

  1. 2(x − 2)^2 − 8 = −2x + 8
  2. 2x^2 − 6x − 8 = 0
  3. 2(x + 1)(x − 4) = 0
  4. x = −1 of x = 4

(c) Antwoord: −1 < x < 4

  1. by A en B van die grafiek afgelees

(d) Antwoord: y ≥ −8

  1. die draaipunt is n minimum: y = −8

(e) Antwoord: t < −8

  1. die lyn y = t moet die parabool heeltemal mis

Vraestel I · Afdeling A · 10 punte

VRAAG 2

In die diagram hieronder sny die parabool f die x-as by A(−4; 0) en B(−2; 0), en die y-as by C(0; −16).

xyOA(−4; 0)B(−2; 0)C(0; −16)f
  1. (a)
    Bepaal die vergelyking van f in die vorm f(x) = ax^2 + bx + c.
    (3)
  2. (b)
    Bepaal die koördinate van die draaipunt van f.
    (2)
  3. (c)
    Skryf die waardeversameling van f neer.
    (1)
  4. (d)
    Vir watter waardes van k sal f(x) = k twee verskillende reële wortels hê?
    (2)
  5. (e)
    Die grafiek van f word 3 eenhede na links en 1 eenheid op geskuif om g te gee. Skryf die koördinate van die draaipunt van g neer.
    (2)

[10]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: f(x) = −2x^2 − 12x − 16

  1. f(x) = a(x + 4)(x + 2)
  2. C: −16 = a(4)(2), dus a = −2

(b) Antwoord: (−3; 2)

  1. x = (−4 + (−2))/2 = −3
  2. f(−3) = 2

(c) Antwoord: y ≤ 2

  1. die draaiwaarde is 2

(d) Antwoord: k < 2

  1. die lyn y = k moet f twee keer sny

(e) Antwoord: (−6; 3)

  1. (−3 − 3; 2 + 1)

Die hiperbool

4 vrae · 50 punte

Vraestel I · Afdeling A · 11 punte

VRAAG 3

Gegee: f(x) = (−3x − 8)/(x + 4).

  1. (a)
    Skryf f in die vorm f(x) = a/(x + p) + q.
    (4)
  2. (b)
    Skryf die vergelykings van die asimptote van f neer.
    (2)
  3. (c)
    Bepaal die koördinate van die afsnitte van f met die asse.
    (3)
  4. (d)
    Bepaal die vergelyking van die simmetrie-as van f wat 'n positiewe gradiënt het.
    (2)

[11]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: f(x) = 4/(x + 4) − 3

  1. −3x − 8 = −3(x + 4) + 4
  2. f(x) = (−3(x + 4) + 4)/(x + 4)

(b) Antwoord: x = −4 en y = −3

  1. x + 4 = 0 gee x = −4
  2. y = −3

(c) Antwoord: (−8/3; 0) en (0; −2)

  1. f(x) = 0: −3x − 8 = 0, dus x = −8/3
  2. f(0) = −8/4 = −2

(d) Antwoord: y = x + 1

  1. deur die punt waar die asimptote sny, (−4; −3), met gradiënt 1

Vraestel I · Afdeling A · 12 punte

VRAAG 4

Gegee: f(x) = −2/(x − 4) − 4

xyO
  1. (a)
    Bepaal f(0).
    (1)
  2. (b)
    Bepaal die waarde van x waarvoor f(x) = 0.
    (2)
  3. (c)
    Skets die grafiek van f op die assestelsel wat voorsien word. Benoem alle asimptote en afsnitte met die asse duidelik.
    (5)
  4. (d)
    Skryf die definisieversameling van f neer.
    (1)
  5. (e)
    Vir watter waardes van x is f(x) ≤ 0?
    (2)
  6. (f)
    Skryf die vergelyking neer van die grafiek wat gevorm word wanneer f in die x-as gereflekteer word.
    (1)

[12]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: f(0) = −7/2

  1. f(0) = −2/(−4) − 4 = −7/2

(b) Antwoord: x = 7/2

  1. −2/(x − 4) = 4
  2. −2 = 4(x − 4)

(c) Antwoord: Sien die skets hieronder.

xyOx = 4y = −4(0; −7/2)(7/2; 0)f
  1. asimptote: x = 4 en y = −4
  2. y-afsnit (0; −7/2); x-afsnit (7/2; 0)

(d) Antwoord: x ∈ ℝ, x ≠ 4

  1. f is slegs by x = 4 ongedefinieer

(e) Antwoord: x ≤ 7/2 of x > 4

  1. van die grafiek afgelees: die x-afsnit is x = 7/2 en die asimptoot x = 4 word nooit ingesluit nie

(f) Antwoord: y = 2/(x − 4) + 4

  1. y = −f(x) = 2/(x − 4) + 4

Vraestel I · Afdeling A · 13 punte

VRAAG 5

In die diagram hieronder is die grafiek van f(x) = a/(x + p) + q met sy asimptote geteken. A(7; 4) lê op f.

xyOx = 4y = 2A(7; 4)f
  1. (a)
    Skryf die waardes van p en q neer.
    (2)
  2. (b)
    Bepaal die waarde van a.
    (2)
  3. (c)
    Bepaal die vergelykings van die simmetrie-asse van f.
    (2)
  4. (d)
    Die simmetrie-as y = x − 2 sny die grafiek van f by B en D. Bepaal die koördinate van B en D en laat jou antwoorde waar nodig in wortelvorm.
    (3)
  5. (e)
    Skryf die waardeversameling van f neer.
    (1)
  6. (f)
    Vir watter waardes van x is f(x) < 0?
    (2)
  7. (g)
    Skryf die vergelyking neer van die grafiek wat gevorm word wanneer f in die x-as gereflekteer word.
    (1)

[13]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: p = −4 en q = 2

  1. die asimptote is x = 4 en y = 2
  2. x + p = 0 by x = 4, dus p = −4; q = 2

(b) Antwoord: a = 6

  1. 4 = a/(7 − 4) + 2
  2. a = (4 − 2)(7 − 4) = 6

(c) Antwoord: y = x − 2 en y = −x + 6

  1. albei gaan deur die punt waar die asimptote sny, (4; 2)
  2. y = (x − 4) + 2 en y = −(x − 4) + 2

(d) Antwoord: (4 − √6; 2 − √6) en (4 + √6; 2 + √6)

  1. 6/(x − 4) + 2 = x − 2
  2. (x − 4)^2 = 6
  3. x = 4 ± √6

(e) Antwoord: y ∈ ℝ, y ≠ 2

  1. f neem nooit die waarde van sy horisontale asimptoot, y = 2, aan nie

(f) Antwoord: 1 < x < 4

  1. van die grafiek afgelees: die x-afsnit is x = 1 en die asimptoot x = 4 word nooit ingesluit nie

(g) Antwoord: y = −6/(x − 4) − 2

  1. y = −f(x) = −6/(x − 4) − 2

Vraestel I · Afdeling A · 14 punte

VRAAG 6

Die grafiek van g(x) = a/(x + p) + q het die lyne y = x − 4 en y = −x − 2 as sy simmetrie-asse, en gaan deur die punt (3; −11).

  1. (a)
    Bepaal die waardes van p en q.
    (3)
  2. (b)
    Bepaal die waarde van a.
    (2)
  3. (c)
    Skryf die definisieversameling en die waardeversameling van g neer.
    (2)
  4. (d)
    Die parabool f het sy draaipunt waar die asimptote van g mekaar sny, en gaan deur (3; 1). Bepaal die vergelyking van f.
    (3)
  5. (e)
    Bepaal die koördinate van die punte waar die simmetrie-as y = −x − 2 die grafiek van g sny.
    (4)

[14]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: p = −1 en q = −3

  1. die simmetrie-asse sny waar die asimptote sny
  2. x − 4 = −x − 2, dus x = 1 en y = −3
  3. x = −p = 1 gee p = −1; y = q = −3

(b) Antwoord: a = −16

  1. −11 = a/(3 − 1) − 3

(c) Antwoord: definisieversameling: x ∈ ℝ, x ≠ 1; waardeversameling: y ∈ ℝ, y ≠ −3

  1. die vertikale asimptoot is x = 1; die horisontale een y = −3

(d) Antwoord: f(x) = (x − 1)^2 − 3

  1. draaipunt (1; −3): f(x) = k(x − 1)^2 − 3
  2. 1 = k(3 − 1)^2 − 3, dus k = 1

(e) Antwoord: (−3; 1) en (5; −7)

  1. −16/(x − 1) − 3 = −x − 2
  2. (x − 1)^2 = 16
  3. x = 1 ± 4

Eksponensiële grafieke

3 vrae · 37 punte

Vraestel I · Afdeling A · 13 punte

VRAAG 7

In die diagram hieronder is f(x) = b^x en g, die refleksie van f in die lyn y = x, geteken. P(1; 1/2) lê op f.

xyOy = xP(1; 1/2)ABfg
  1. (a)
    Bepaal die waarde van b.
    (2)
  2. (b)
    Skryf die vergelyking van g in die vorm y = … neer.
    (2)
  3. (c)
    Skryf die definisieversameling van g neer.
    (1)
  4. (d)
    Vir watter waardes van x is g(x) ≥ 2?
    (2)
  5. (e)
    Die lyn x = 1 sny f by A en g by B. Bepaal die lengte van AB.
    (3)
  6. (f)
    h(x) = f(x) − 3. Skryf die vergelyking van die asimptoot van h neer en bepaal die x-afsnit van h, korrek tot twee desimale plekke.
    (3)

[13]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: b = 1/2

  1. P lê op f: b^1 = 1/2

(b) Antwoord: y = log_(1/2) x

  1. g is die refleksie van f in y = x: x = (1/2)^y

(c) Antwoord: x > 0

  1. die definisieversameling van g is die waardeversameling van f

(d) Antwoord: 0 < x ≤ 1/4

  1. g(x) = 2 wanneer x = (1/2)^2 = 1/4
  2. g is dalend (0 < b < 1), dus draai die ongelykheidsteken om

(e) Antwoord: AB = 1/2 eenhede

  1. A(1; 1/2): f(1) = (1/2)^1 = 1/2
  2. B(1; 0): g(1) = log_(1/2) 1 = 0
  3. AB = 1/2 − 0 = 1/2

(f) Antwoord: y = −3; x-afsnit (−1.58; 0)

  1. f se asimptoot y = 0 skuif 3 af: y = −3
  2. (1/2)^x − 3 = 0, dus (1/2)^x = 3
  3. x = log_(1/2) 3 = −1.58

Vraestel I · Afdeling A · 11 punte

VRAAG 8

In die diagram hieronder is die grafiek van h(x) = 3^(x + p) + q geteken. Die lyn y = −6 is 'n asimptoot van h, en A(1; −17/3) lê op h.

xyOy = −6A(1; −17/3)h
  1. (a)
    Skryf die waardeversameling van h neer.
    (1)
  2. (b)
    Gegee dat h(x) = 3^(x + p) + q, bepaal die waardes van p en q.
    (3)
  3. (c)
    Bepaal die x-afsnit van h, korrek tot twee desimale plekke.
    (3)
  4. (d)
    Die grafiek van h word in die y-as gereflekteer om k te gee. Skryf die vergelyking van k neer.
    (2)
  5. (e)
    Vir watter waardes van x is h(x) > 0?
    (2)

[11]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: y > −6

  1. die asimptoot is y = −6 en h lê daarbo

(b) Antwoord: p = −2 en q = −6

  1. q = −6, uit die asimptoot
  2. −17/3 = 3^(1 + p) − 6
  3. 3^(1 + p) = 1/3 = 3^−1
  4. p = −2

(c) Antwoord: (3.63; 0)

  1. 3^(x − 2) − 6 = 0
  2. 3^(x − 2) = 6
  3. x = log_3 6 + 2 = 3.63

(d) Antwoord: k(x) = 3^(−x − 2) − 6

  1. 'n refleksie in die y-as vervang x deur −x

(e) Antwoord: x > 3.63

  1. h is stygend en sny die x-as by x = 3.63

Vraestel I · Afdeling A · 13 punte

VRAAG 9

Die massa in mg van 'n medisyne in 'n pasiënt se bloed t uur ná die begin word gegee deur N(t) = a·b^t. Aan die begin is dit 800, en ná 2 uur is dit 648.

  1. (a)
    Bepaal die waardes van a en b.
    (3)
  2. (b)
    Bereken N(6), korrek tot twee desimale plekke.
    (2)
  3. (c)
    Bepaal die vergelyking van die inverse van N in die vorm y = …
    (3)
  4. (d)
    Na hoeveel uur sal N vir die eerste keer minder as 520 wees? Gee jou antwoord korrek tot twee desimale plekke.
    (3)
  5. (e)
    Hoe lank neem dit vir N om te halveer? Gee jou antwoord korrek tot twee desimale plekke.
    (2)

[13]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: a = 800 en b = 0.9

  1. N(0) = a·b^0 = a, dus a = 800
  2. 800·b^2 = 648
  3. b^2 = 81/100, dus b = 0.9

(b) Antwoord: N(6) = 425.15

  1. N(6) = 800 × (0.9)^6 = 425.15

(c) Antwoord: y = log_(0.9)(x/800)

  1. ruil x en y om: x = 800 × (0.9)^y
  2. (0.9)^y = x/800

(d) Antwoord: t = 4.09 uur

  1. 800 × (0.9)^t = 520
  2. t = log_(0.9)(520/800)
  3. t = 4.09

(e) Antwoord: 6.58 uur

  1. (0.9)^t = 0.5
  2. t = log_(0.9) 0.5 = 6.58
  3. dieselfde vanaf enige begintyd

Om 'n grafiek by iets werkliks te pas

3 vrae · 26 punte

Vraestel I · Afdeling B · 9 punte

VRAAG 10

'n Paraboliese boog span 24 m op grondvlak en sy hoogste punt is 6 m bo die grond. In die diagram is die linkervoet A van die boog by die oorsprong en lê die grond langs die x-as.

xyOAB(24; 0)M(12; 6)
  1. (a)
    Bepaal die vergelyking van die boog in die vorm y = ax^2 + bx.
    (3)
  2. (b)
    Hoe hoog is die boog 3 m van A af?
    (2)
  3. (c)
    'n Vragmotor wat 2 m hoog is, moet onder die boog deur ry. Bepaal, korrek tot twee desimale plekke, die grootste breedte wat die vragmotor kan hê.
    (4)

[9]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: y = −(1/24)x^2 + x

  1. y = ax(x − 24)
  2. by M(12; 6): 6 = a(12)(12 − 24)
  3. a = −1/24

(b) Antwoord: 21/8 m

  1. y = −1/24(3)^2 + 1(3)
  2. y = 21/8 m

(c) Antwoord: 19.60 m

  1. −(1/24)x^2 + x = 2
  2. −(1/24)x^2 + x − 2 = 0
  3. x = 2.202 of x = 21.798
  4. breedte = 21.798 − 2.202 = 19.596 m

Vraestel I · Afdeling B · 9 punte

VRAAG 11

'n Kabel hang tussen twee pale wat elk 10 m hoog en 20 m uitmekaar is. Die laagste punt van die kabel is 6 m bo die grond, halfpad tussen die pale. In die diagram is die voet van die linkerpaal by die oorsprong en lê die grond langs die x-as.

xyO(0; 10)(20; 10)E(10; 6)
  1. (a)
    Bepaal die vergelyking van die kabel in die vorm y = a(x − p)^2 + q.
    (3)
  2. (b)
    Bereken die hoogte van die kabel 2 m horisontaal van die linkerpaal af.
    (2)
  3. (c)
    Bepaal, korrek tot twee desimale plekke, die afstande van die linkerpaal af waar die kabel 8 m bo die grond is.
    (4)

[9]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: y = 1/25(x − 10)^2 + 6

  1. y = a(x − 10)^2 + 6
  2. by (0; 10): 10 = a(−10)^2 + 6
  3. a = 1/25

(b) Antwoord: 214/25 m

  1. y = 1/25(2 − 10)^2 + 6
  2. y = 214/25 m

(c) Antwoord: 2.93 m en 17.07 m

  1. 1/25(x − 10)^2 + 6 = 8
  2. (x − 10)^2 = 50
  3. x = 10 ± √(50)
  4. x = 2.93 m of x = 17.07 m

Vraestel I · Afdeling B · 8 punte

VRAAG 12

'n Bal word van die dak van 'n gebou 2 m hoog gegooi. Dit bereik sy grootste hoogte van 7 m op 'n horisontale afstand van 5 m van die gebou af. In die diagram is die voet van die gebou by die oorsprong en lê die grond langs die x-as.

xyO(0; 2)M(5; 7)L
  1. (a)
    Bepaal die vergelyking van die baan van die bal in die vorm y = a(x − p)^2 + q.
    (3)
  2. (b)
    Bereken die hoogte van die bal 8 m horisontaal van die gebou af.
    (2)
  3. (c)
    Bereken, korrek tot twee desimale plekke, hoe ver van die gebou af die bal by L die grond tref.
    (3)

[8]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: y = −1/5(x − 5)^2 + 7

  1. y = a(x − 5)^2 + 7
  2. by (0; 2): 2 = a(−5)^2 + 7
  3. a = −1/5

(b) Antwoord: 26/5 m

  1. y = −1/5(8 − 5)^2 + 7
  2. y = 26/5 m

(c) Antwoord: 10.92 m

  1. −1/5(x − 5)^2 + 7 = 0
  2. (x − 5)^2 = 35
  3. x = 5 + √(35)
  4. x = 10.92 m

Laai hierdie boekie af

Dieselfde vrae as 'n boekie om te druk, met die memorandum as 'n aparte lêer sodat jy kan werk sonder dat die antwoorde voor jou lê. In Engels en Afrikaans.

Elke vraag op hierdie bladsy is vir hierdie werf deur 'n rekenaarenjin gegenereer, en die antwoord is deur 'n onafhanklike metode bevestig op die oomblik toe die vraag gemaak is.

Alle IEB-oefening · Skryf hierdie vraestel op tyd · English