Mathbench

IEB-oefening · Vraestel II

IEB-oefening: Trigonometrie

10 splinternuwe vrae oor al 5 die onderwerpe in trigonometrie wat die IEB in Vraestel II eksamineer, 121 punte altesaam. Werk elkeen uit en maak dan die antwoord daaronder oop om jouself na te gaan. Niks hier kom uit 'n ou vraestel nie.

Laai die boekie as PDF af · Skryf hierdie vraestel op tyd · English

Identiteite, reduksie en saamgestelde hoeke

6 vrae · 68 punte

110 punte

Gegee:

  • cos A = −12/13 waar 90° < A < 180°
  • cos B = 12/13 waar 270° < B < 360°
  1. (a)
    Bepaal sonder 'n sakrekenaar die waarde van sin A.
    (2)
  2. (b)
    Bepaal vervolgens, sonder 'n sakrekenaar, die waarde van sin(A + B).
    (5)
  3. (c)
    Bepaal die waarde van sin 2A.
    (3)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: sin A = 5/13

  1. A lê in die tweede kwadrant: x = −12, r = 13
  2. y^2 = 13^2 − (−12)^2 = 25, dus y = 5
  3. sin A = 5/13 en cos A = −12/13

(b) Antwoord: sin(A + B) = 120/169

  1. B lê in die vierde kwadrant: x = 12, r = 13
  2. y^2 = 13^2 − 12^2 = 25, dus y = −5
  3. sin B = −5/13 en cos B = 12/13
  4. sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
  5. = (5/13)(12/13) + (−12/13)(−5/13)
  6. = 120/169

(c) Antwoord: sin 2A = −120/169

  1. sin 2A = 2 sin A cos A
  2. = 2(5/13)(−12/13)
  3. = −120/169
214 punte
  1. (a)
    Vereenvoudig volledig tot 'n enkele trigonometriese verhouding: (sin(360° − θ) · sin(90° − θ))/sin(180° − θ)
    (6)
  2. (b)
    Bepaal sonder 'n sakrekenaar die waarde van cos 89° cos 61° − sin 89° sin 61°.
    (3)
  3. (c)
    Bepaal sonder 'n sakrekenaar die waarde van 2 sin 15° cos 15°.
    (2)
  4. (d)
    Bepaal die algemene oplossing van √3 sin θ + cos θ = 0.
    (3)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: −cos θ

  1. sin(360° − θ) = −sin θ
  2. sin(90° − θ) = cos θ
  3. sin(180° − θ) = sin θ
  4. = −cos θ

(b) Antwoord: −√3/2

  1. cos 89° cos 61° − sin 89° sin 61° = cos(89° + 61°)
  2. = cos 150° = −√3/2

(c) Antwoord: 1/2

  1. 2 sin 15° cos 15° = sin 30°
  2. = 1/2

(d) Antwoord: θ = −30° + k·180°, k ∈ ℤ

  1. tan θ = −1/√3
  2. θ = −30° + k·180°, k ∈ ℤ
314 punte
  1. (a)
    Bepaal die algemene oplossing van 2sin^2 x + cos x − 1 = 0.
    (5)
  2. (b)
    Bewys dat (cos x)/(1 − sin x) − (cos x)/(1 + sin x) = 2 tan x.
    (5)
  3. (c)
    Los vervolgens (cos x)/(1 − sin x) − (cos x)/(1 + sin x) = 2√3 op vir x ∈ [0°; 360°].
    (4)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: x = −120° + k·360° of x = 0° + k·360° of x = 120° + k·360°, k ∈ ℤ

  1. 2sin^2 x + cos x − 1 = 0
  2. 2(1 − cos^2 x) + 1 cos x − 1 = 0
  3. 2cos^2 x − cos x − 1 = 0
  4. (2cos x + 1)(cos x − 1) = 0
  5. cos x = −1/2 of cos x = 1
  6. x = −120° + k·360° of x = 0° + k·360° of x = 120° + k·360°, k ∈ ℤ

(b) Antwoord: Sien die bewys hieronder.

  1. LK = (cos x(1 + sin x) − cos x(1 − sin x))/((1 − sin x)(1 + sin x))
  2. = (2 sin x cos x)/(1 − sin^2 x)
  3. = (2 sin x cos x)/(cos^2 x)
  4. = 2 tan x
  5. = RK

(c) Antwoord: x = 60° of x = 240°

  1. 2 tan x = 2√3, dus tan x = √3
  2. x = 60° + k·180°
  3. In [0°; 360°]: x = 60° of x = 240°
413 punte
  1. (a)
    Bewys dat (1 − cos 2x)/(sin 2x) = tan x.
    (5)
  2. (b)
    Bepaal die waardes van x ∈ [0°; 360°] waarvoor die identiteit in (a) nie geldig is nie.
    (4)
  3. (c)
    Los vervolgens, of andersins, (1 − cos 2x)/(sin 2x) = 0 op vir x ∈ [−180°; 180°].
    (4)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: Sien die bewys hieronder.

  1. LK = (1 − (1 − 2sin^2 x))/(2 sin x cos x)
  2. = (2sin^2 x)/(2 sin x cos x)
  3. = (sin x)/(cos x)
  4. = tan x
  5. = RK

(b) Antwoord: x = 0° of x = 90° of x = 180° of x = 270° of x = 360°

  1. Die identiteit is nie geldig waar sin 2x = 0 nie, of waar tan x ongedefinieer is.
  2. sin 2x = 0: 2x = k·180°, dus x = k·90°
  3. tan x is ongedefinieer waar cos x = 0, wat onder hierdie waardes is
  4. In [0°; 360°]: x = 0° of x = 90° of x = 180° of x = 270° of x = 360°

(c) Antwoord: geen oplossing nie

  1. tan x = 0
  2. x = 0° + k·180°
  3. x = −180° of x = 0° of x = 180°: die identiteit is nie daar geldig nie, dus is hulle nie oplossings nie
  4. In [−180°; 180°]: geen oplossing nie
510 punte

Gegee: sin 22° cos 22° = p. Bepaal sonder 'n sakrekenaar elk van die volgende in terme van p.

  1. (a)
    sin 44°
    (2)
  2. (b)
    cos 46°
    (2)
  3. (c)
    cos 88°
    (3)
  4. (d)
    cos 44°
    (3)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: sin 44° = 2p

  1. sin 44° = 2 sin 22° cos 22° = 2p

(b) Antwoord: cos 46° = 2p

  1. cos 46° = cos(90° − 44°) = sin 44° = 2p

(c) Antwoord: cos 88° = 1 − 8p^2

  1. cos 88° = 1 − 2sin^2 44°
  2. = 1 − 2(2p)^2 = 1 − 8p^2

(d) Antwoord: cos 44° = √(1 − 4p^2)

  1. cos^2 44° = 1 − sin^2 44° = 1 − 4p^2
  2. 44° is 'n skerp hoek, dus cos 44° > 0
  3. cos 44° = √(1 − 4p^2)
67 punte

Gegee: sin 46° = p. Bepaal sonder 'n sakrekenaar elk van die volgende in terme van p.

  1. (a)
    sin 134°
    (2)
  2. (b)
    cos 46°
    (2)
  3. (c)
    sin 92°
    (3)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: sin 134° = p

  1. sin 134° = sin(180° − 46°) = sin 46° = p

(b) Antwoord: cos 46° = √(1 − p^2)

  1. cos^2 46° = 1 − sin^2 46° = 1 − p^2
  2. 46° is 'n skerp hoek, dus cos 46° > 0
  3. cos 46° = √(1 − p^2)

(c) Antwoord: sin 92° = 2p√(1 − p^2)

  1. sin 92° = 2 sin 46° cos 46°
  2. = 2p√(1 − p^2)

Trigonometriese grafieke

2 vrae · 28 punte

712 punte

Gegee: f(x) = −cos 2x en g(x) = −tan x vir x ∈ [−180°; 180°].

xy−180°−135°−90°−45°45°90°135°180°−3−2−1123
  1. (a)
    Skryf die periode van g neer.
    (1)
  2. (b)
    Skryf die vergelykings van die asimptote van g vir x ∈ [−180°; 180°] neer.
    (2)
  3. (c)
    Skets die grafieke van f en g op die assestelsel wat voorsien word. Benoem alle afsnitte met die asse, asimptote, draaipunte en eindpunte.
    (6)
  4. (d)
    Gebruik jou grafiek om die waardes van x ∈ [−180°; 180°] te bepaal waarvoor f(x)·g(x) ≤ 0.
    (3)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: 180°

  1. g(x) = −tan x herhaal elke 180°

(b) Antwoord: x = −90° en x = 90°

  1. tan x is ongedefinieer waar cos x = 0: x = 90° + k·180°
  2. In [−180°; 180°]: x = −90° en x = 90°

(c) Antwoord: Sien die skets hieronder.

xy−180°−135°−90°−45°45°90°135°180°−3−2−1123fg
  1. f(x) = −cos 2x
  2. f: x-afsnitte (−135°; 0), (−45°; 0), (45°; 0), (135°; 0)
  3. f: y-afsnit (0°; −1)
  4. f: draaipunte (−90°; 1), (0°; −1), (90°; 1)
  5. f: eindpunte (−180°; −1), (180°; −1)
  6. g(x) = −tan x
  7. g: x-afsnitte (−180°; 0), (0°; 0), (180°; 0)
  8. g: y-afsnit (0°; 0)
  9. g: asimptote x = −90°, x = 90°
  10. g: eindpunte (−180°; 0), (180°; 0)

(d) Antwoord: x = −180° of −135° ≤ x < −90° of −45° ≤ x ≤ 0° of 45° ≤ x < 90° of 135° ≤ x ≤ 180°

  1. f en g het teenoorgestelde tekens, of een van hulle is 0, van die skets afgelees
  2. x = −180° of −135° ≤ x < −90° of −45° ≤ x ≤ 0° of 45° ≤ x < 90° of 135° ≤ x ≤ 180°
816 punte

Die grafiek van f(x) = sin bx word hieronder geskets vir x ∈ [−90°; 270°].

xy−90°−45°45°90°135°180°225°270°−2−112f
  1. (a)
    Bepaal die waarde van b.
    (1)
  2. (b)
    Skryf die periode van f neer.
    (1)
  3. (c)
    Skets die grafiek van g(x) = −cos x op dieselfde assestelsel as f. Benoem alle afsnitte met die asse, draaipunte en eindpunte.
    (4)
  4. (d)
    Skryf die amplitude van g neer.
    (1)
  5. (e)
    Bepaal die waardes van x ∈ [−90°; 270°] waarvoor f(x) = g(x). Toon alle berekeninge.
    (5)
  6. (f)
    Gebruik jou grafiek om die waardes van x ∈ [−90°; 270°] te bepaal waarvoor f(x) < g(x).
    (2)
  7. (g)
    Gebruik jou grafiek om die waardes van x ∈ [−90°; 270°] te bepaal waarvoor f(x)/g(x) < 0.
    (2)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: b = 2

  1. sin bx het 'n periode van 360°/b
  2. een volledige golf van f strek oor 180°
  3. 360°/b = 180°, dus b = 2

(b) Antwoord: 180°

  1. f(x) = sin 2x herhaal elke 180°

(c) Antwoord: Sien die skets hieronder.

xy−90°−45°45°90°135°180°225°270°−2−112fg
  1. g(x) = −cos x
  2. g: x-afsnitte (−90°; 0), (90°; 0), (270°; 0)
  3. g: y-afsnit (0°; −1)
  4. g: draaipunte (0°; −1), (180°; 1)
  5. g: eindpunte (−90°; 0), (270°; 0)

(d) Antwoord: 1

  1. die amplitude van a·cos x is |a| = 1

(e) Antwoord: x = −90° of x = −30° of x = 90° of x = 210° of x = 270°

  1. sin 2x = −cos x
  2. 2 sin x cos x + cos x = 0
  3. cos x(2 sin x + 1) = 0
  4. cos x = 0 of sin x = −1/2
  5. x = 90° + k·180° of x = −30° + k·360° of x = 210° + k·360°
  6. In [−90°; 270°]: x = −90° of x = −30° of x = 90° of x = 210° of x = 270°

(f) Antwoord: −90° < x < −30° of 90° < x < 210°

  1. f lê onder g, van die skets afgelees
  2. −90° < x < −30° of 90° < x < 210°

(g) Antwoord: 0° < x < 90° of 90° < x < 180°

  1. f en g het teenoorgestelde tekens, en g(x) ≠ 0, van die skets afgelees
  2. 0° < x < 90° of 90° < x < 180°

Sinus-, kosinus- en oppervlaktereël (2D)

2 vrae · 25 punte

912 punte

In die diagram (antwoorde korrek tot twee desimale plekke):

  • A, B en C lê op horisontale grond, en TC is 'n vertikale toring by C.
  • AB = d, BAˆC = α en ABˆC = β.
  • Die hoogtehoek van T vanaf A is γ.
ABCTαβγ
  1. (a)
    Toon aan dat AC = (d sin β)/(sin(α + β)).
    (3)
  2. (b)
    Toon vervolgens aan dat TC = (d sin β tan γ)/(sin(α + β)).
    (2)
  3. (c)
    Bereken TC indien d = 100 m, α = 50°, β = 65° en γ = 44°.
    (2)
  4. (d)
    Bereken die lengte van BT.
    (3)
  5. (e)
    Bereken die hoogtehoek van T vanaf B.
    (2)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

  1. ACˆB = 180° − (α + β) (som ∠e van Δ)
  2. AC/(sin β) = d/(sin(180° − (α + β))) (sinusreël)
  3. sin(180° − (α + β)) = sin(α + β)
  4. AC = (d sin β)/(sin(α + β))

(b) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

  1. In ΔACT, ACˆT = 90°: tan γ = TC/AC
  2. TC = AC tan γ = (d sin β tan γ)/(sin(α + β))

(c) Antwoord: TC = 96.57 m

  1. TC = (100 sin 65° tan 44°)/(sin 115°)
  2. = 96.57 m

(d) Antwoord: BT = 128.33 m

  1. BC = (100 sin 50°)/(sin 115°) = 84.52 m (sinusreël)
  2. BT^2 = BC^2 + TC^2 = 84.52^2 + 96.57^2
  3. BT = 128.33 m

(e) Antwoord: 48.81°

  1. tan TBˆC = TC/BC = 96.57/84.52
  2. TBˆC = 48.81°
1013 punte

In die diagram hieronder (antwoorde korrek tot twee desimale plekke):

  • PQR is 'n driehoekige veld op horisontale grond, en S is 'n punt op PR.
  • TQ is 'n vertikale mas by Q.
  • PQ = 100 m en SR = 30 m.
  • QPˆS = 45° en QSˆP = 65°.
PQRST45°65°100 m30 m
  1. (a)
    Bereken die lengte van QS.
    (3)
  2. (b)
    Bereken die lengte van QR.
    (4)
  3. (c)
    Bereken die oppervlakte van ΔQSR.
    (3)
  4. (d)
    Die hoogtehoek van T vanaf S is 25°. Bereken die hoogte van die mas.
    (3)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: QS = 78.02 m

  1. In ΔPQS: (QS)/(sin QPˆS) = (PQ)/(sin QSˆP)
  2. QS = (100 sin 45°)/(sin 65°)
  3. = 78.02 m

(b) Antwoord: QR = 94.69 m

  1. QSˆR = 180° − 65° = 115° (∠e op 'n reguit lyn)
  2. QR^2 = QS^2 + SR^2 − 2(QS)(SR) cos QSˆR
  3. = 78.02^2 + 30^2 − 2(78.02)(30) cos 115°
  4. QR = 94.69 m

(c) Antwoord: oppervlakte = 1060.66 m²

  1. Oppervlakte = (1/2)(QS)(SR) sin QSˆR
  2. = (1/2)(78.02)(30) sin 115°
  3. = 1060.66 m²

(d) Antwoord: TQ = 36.38 m

  1. In ΔTQS, TQˆS = 90°: tan 25° = (TQ)/(QS)
  2. TQ = 78.02 tan 25°
  3. = 36.38 m

Laai hierdie boekie af

Dieselfde vrae as 'n boekie om te druk, met die memorandum as 'n aparte lêer sodat jy kan werk sonder dat die antwoorde voor jou lê. In Engels en Afrikaans.

Elke vraag op hierdie bladsy is vir hierdie werf deur 'n rekenaarenjin gegenereer, en die antwoord is deur 'n onafhanklike metode bevestig op die oomblik toe die vraag gemaak is.

Alle IEB-oefening · Skryf hierdie vraestel op tyd · English