Hoofstuk 8 — Rye en Reekse

Antwoord: A

Verduideliking

Die konstante verskil is die vaste hoeveelheid wat elke keer bygetel word. Trek enige term van die volgende een af:

$$d = T_2 - T_1 = 11 - 7 = 4$$

Bevestig op ’n ander paar: $15-11 = 4$ ✓ en $19-15 = 4$ ✓

Waarom die ander verkeerd is:

• B (5) het getalle getel in plaas van stappe: $7,8,9,10,11$ is vyf getalle maar vier stappe.
• C (6) het die span deur die verkeerde aantal gapings gedeel: $(19-7)/2\mathclose{.}$ Vier terme het drie gapings, dus $(19-7)/3 = 4\mathclose{.}$
• D (7) is die eerste term, $a$ — waar die ry begin, nie die stap tussen sy terme nie.

Onthou: $d = T_{n+1} - T_n\mathclose{,}$ gekontroleer op twee pare. Moet nooit "hoeveel gapings" met "hoe groot is elke gaping" verwar nie.

Antwoord: C

Verduideliking

Vervang in $T_n = a+(n-1)d$ en brei volledig uit:

$$T_n = 3 + (n-1)(5) = 3 + 5n - 5 = 5n - 2$$

Die eensekonde-toets: vervang $n=1\mathclose{.}$ Die formule moet die eerste term, 3, gee. Opsie C gee $5(1)-2 = 3$ ✓

Waarom die ander verkeerd is — elkeen druip daardie toets:

• A $(5n+3)$ gee $T_1 = 8\mathclose{.}$ Dit is $a+dn$ — die "$-1$ vergeet"-weergawe.
• B $(5n)$ gee $T_1 = 5\mathclose{.}$ Die konstante het verdwyn.
• D $(3n+5)$ gee $T_1 = 8\mathclose{.}$ Die rolle van $a$ en $d$ is omgeruil — die koëffisiënt van $n$ moet $d$ wees.

Onthou: Elke RR brei uit tot $T_n = dn + (a-d)\mathclose{.}$ Wat jy ook al aflei, toets dit by $n=1\mathclose{.}$ Verkeerde formules oorleef selde een vervanging.

Antwoord: B

Verduideliking

Lees $a = 2$ en $d = 3$ af, en dink dan aan die reis: om die 15de term te bereik begin jy by 2 en neem veertien stappe van 3 (die eerste term het geen stap nodig nie).

$$T_{15} = 2 + (15-1)(3) = 2 + 42 = 44$$

Waarom die ander verkeerd is: die opsies is ’n kaart van elke manier om $a + (n-1)d$ te verknoei —

• A (42) is $(15-1) \times 3$ alleen — die stappe is geneem maar die beginwaarde is nooit bygetel nie.
• C (45) is $15 \times 3$ — die ry is as die veelvoude van 3 behandel. Dit begin by 2, nie by 3 nie, dus is elke term een minder as ’n veelvoud van 3.
• D (47) is $2 + 15 \times 3$ — vyftien stappe in plaas van veertien: die "$n$ in plaas van $n-1$"-glips.

Onthou: $T_n = a + (n-1)d\mathclose{:}$ die $n$de term word ná $n-1$ stappe bereik, nooit $n$ nie. Sê dit as ’n storie — "begin by $a\mathclose{,}$ stap $n-1$ keer" — en die aftelfout-opsies verloor hulle trekkrag.

Antwoord: D

Verduideliking

Die waarde is bekend; die posisie word gesoek. Stel die algemene term gelyk aan 100:

$$1 + (n-1)(3) = 100 \implies 3n = 102 \implies n = 34$$

Kontroleer vorentoe: $T_{34} = 1 + 33(3) = 100$ ✓

Waarom die ander verkeerd is:

• B (33ste) het tot $n-1 = 33$ opgelos en gestop. Dit is die aantal stappe, nie die posisie nie.
• C (35ste) het 1 by ’n klaar antwoord getel.
• A (32ste) het van $T_2 = 4$ af getel in plaas van van die eerste term af.

Onthou: $n-1$ en $n$ is verskillende getalle, en die verkeerde opsies wag vir watter een jy ook al verwar. Die vorentoe-kontrole besleg dit in vyf sekondes.

Antwoord: A

Verduideliking

In drie opeenvolgende RR-terme is die middelste een die gemiddeld van sy bure. Dus is twee keer die middelste term gelyk aan die som van die twee buitenstes:

$$2(2k+1) = k + (4k-1) \implies 4k+2 = 5k-1 \implies k = 3$$

Kontroleer: die terme is $3, 7, 11$ — verskille 4 en 4 ✓

Waarom die ander verkeerd is: vervang elkeen en die toets vir gelyke verskille druip.

• B $(k=2)\mathclose{:}$ $2, 5, 7$ — gapings 3 en 2 ✗
• C $(k=1)\mathclose{:}$ $1, 3, 3$ — gapings 2 en 0 ✗. Dit kom daarvan dat die minusteken nie versprei is nie: $(4k-1) - (2k+1)$ geskryf as $4k - 1 - 2k + 1 = 2k\mathclose{.}$
• D $(k=-3)\mathclose{:}$ $-3, -5, -13$ — gapings $-2$ en $-8$ ✗

Onthou: Drie opeenvolgende RR-terme voldoen aan $2q = p+r\mathclose{.}$ Los op, en vervang dan terug — as die verskille nie gelyk is nie, is dit nie die antwoord nie.

Afdeling 8.2 — Rekenkundige Rye: Verdere Probleme

Antwoord: B

Verduideliking

Twee nie-opeenvolgende terme pen $d$ steeds vas, want die afstand tussen hulle is ’n bekende aantal gelyke spronge. Posisie 3 tot posisie 7 is $7-3 = 4$ spronge:

$$4d = 27 - 11 = 16 \implies d = 4$$

Kontroleer: $11 \to 15 \to 19 \to 23 \to 27$ ✓ — vier spronge van 4.

Waarom die ander verkeerd is: elkeen druip dieselfde vorentoe-kontrole.

• A $(d=3)\mathclose{:}$ $11 + 4(3) = 23 \neq 27$
• C $(d=5)\mathclose{:}$ $11 + 4(5) = 31 \neq 27$
• D $(d=16)\mathclose{:}$ dit is $27 - 11\mathclose{,}$ die hele klim van $T_3$ na $T_7\mathclose{.}$ Daardie klim neem vier stappe, dus $d = 16 \div 4\mathclose{.}$

Onthou: $T_m - T_n = (m-n)d\mathclose{.}$ Kry die posisiegaping deur af te trek, nooit deur die terme inklusief te tel nie — 3→4→5→6→7 is vier spronge, nie vyf nie.

Antwoord: B

Verduideliking

Die vyfde term sit vier stappe bo die eerste $(T_5 = a + 4d)\mathclose{,}$ stap dus daardie vier stappe agteruit vanaf 23:

$$T_5 = a + 4d = a + 16 = 23 \implies a = 7$$

Of stap uitdruklik af: $23 \to 19 \to 15 \to 11 \to 7$ — vier aftrekkings van 4.

Waarom die ander verkeerd is:

• A (3) trek vyf stappe af $(23 - 5 \times 4)$ — die "$n$ in plaas van $n-1$"-glips wat agteruit loop.
• C (9) druip die vorentoe-kontrole onmiddellik: $9 + 16 = 25 \neq 23\mathclose{.}$
• D (39) tel die vier stappe by in plaas daarvan om hulle af te trek: $23 + 16\mathclose{.}$ Die eerste term kom voor $T_5$ in ’n stygende ry, dus moet dit kleiner as 23 wees.

Onthou: $a = T_n - (n-1)d\mathclose{.}$ Of jy nou die formule gebruik of letterlik agteruit tel, die aantal stappe tussen $T_5$ en $T_1$ is vier — en ’n vorentoe-kontrole $(7 + 16 = 23$ ✓) sertifiseer die landing.

Antwoord: A

Verduideliking

"Voeg 3 gemiddeldes tussen 2 en 18 in" beteken bou ’n vyfterm-RR van 2 tot 18 en rapporteer die drie middelste terme. Drie invoegings maak vier gapings:

$$d = \frac{18-2}{4} = 4$$

Die reeks is $2,\ 6,\ 10,\ 14,\ 18\mathclose{,}$ dus is die gemiddeldes 6, 10, 14. Moenie die eindpunte rapporteer nie.

Waarom die ander verkeerd is: skryf elke reeks uit en kontroleer dat die gapings gelyk is.

• C (5,10,15): $2,5,10,15,18$ het gapings $3,5,5,3$ ✗
• D (7,11,15): spasiëring van 4 binne-in, maar verkeerd geanker — gapings $5,4,4,3$ ✗
• B (4,8,16): verdubbeling, ’n meetkundige instink. Gapings $2,4,8,2$ ✗

Onthou: Om $k$ gemiddeldes in te voeg maak $k+2$ terme en $k+1$ gapings, dus $d = \frac{\text{laaste}-\text{eerste}}{k+1}\mathclose{.}$ Skryf die reeks uit — ongelyke spasiëring is onmiddellik sigbaar.

Antwoord: B

Verduideliking

Stroop die storie: dit begin by 20 en groei elke ry met 3. ’n RR met $a=20\mathclose{,}$ $d=3\mathclose{.}$

$$T_{15} = 20 + 14(3) = 62$$

Waarom 14 en nie 15 nie? Ry 1 het reeds sy 20 sitplekke sonder enige verhoging. Die "+3" gebeur by elk van die 14 stappe van ry 1 tot ry 15.

Waarom die ander verkeerd is:

• A (60) is ’n rekenfout: $14 \times 3 = 42\mathclose{,}$ nie 40 nie.
• C (65) is $20 + 15(3)$ — die verhoging word ook aan ry 1 gehef. Die algemeenste RR-fout in woordprobleme.
• D (615) is die totale aantal sitplekke in rye 1 tot 15, $S_{15} = \tfrac{15}{2}(20 + 62)$ — die som van die reeks, terwyl die vraag vir een term vra.

Onthou: Die beginwaarde is $a\mathclose{,}$ die verandering per stap is $d\mathclose{,}$ en die aantal stappe is (rynommer − 1). Vertaal die storie in $T_n = a+(n-1)d$ voordat jy aan getalle raak.

Antwoord: B

Verduideliking

$a = 5\mathclose{,}$ $d = 3\mathclose{,}$ en ’n groot $n$ — presies die situasie waarvoor die formule bestaan (niemand lys veertig terme nie):

$$T_{40} = 5 + 39(3) = 5 + 117 = 122$$

Waarom die ander verkeerd is: die drie klassieke glipse, almal teenwoordig en afgeteken —

• A (125) is $5 + 40 \times 3$ — veertig stappe in plaas van nege-en-dertig $(n$ in plaas van $n-1)\mathclose{.}$
• C (120) behandel die ry as suiwer veelvoude van 3 $(3 \times 40)$ — dit lyk hier net aanneemlik omdat $a$ en $d$ klein en naby mekaar is.
• D (117) is $39 \times 3$ alleen — die eerste term $a = 5$ is nooit teruggetel nie.

Onthou: Vrae oor ’n groot $n$de term is twee bewerkings: $(n-1) \times d\mathclose{,}$ dan $+a\mathclose{.}$ Elke verkeerde opsie laat presies een van die twee val of verwring dit — doen albei doelbewus.

Afdeling 8.3 — Meetkundige Rye

In ’n meetkundige ry word elke term verkry deur die vorige term met ’n vaste gemene verhouding $r$ te vermenigvuldig. Die $n$de term is $T_n = ar^{n-1}\mathclose{.}$ As $|r| > 1\mathclose{,}$ groei die terme in grootte. As $|r| < 1\mathclose{,}$ krimp hulle na nul toe. As $r < 0\mathclose{,}$ wissel die tekens van die terme af.

Antwoord: A

Verduideliking

In ’n meetkundige ry is die vraag nooit "wat word bygetel?" nie, maar "wat word vermenigvuldig?". Deel enige term deur die een voor dit:

$$r = \frac{T_2}{T_1} = \frac{12}{3} = 4$$

Bevestig: $48/12 = 4$ en $192/48 = 4$ ✓ — die verhouding is konstant, en dít is wat "meetkundig" beteken.

Waarom die ander verkeerd is:

• B (6) is $\sqrt{3 \times 12}\mathclose{,}$ die meetkundige gemiddelde van die eerste twee terme — ’n verwante idee, maar die gemiddelde van twee terme is nie die verhouding tussen hulle nie.
• C (9) is $12 - 3$ — aftrek in plaas van deel, die refleks van ’n rekenkundige ry wat op ’n meetkundige een toegepas word.
• D (16) is $48 \div 3$ — terme wat twee stappe uitmekaar is, is gedeel, wat $r^2$ gee. Die verhouding is tussen opeenvolgende terme.

Onthou: $r = T_{n+1}/T_n\mathclose{,}$ geverifieer op ’n tweede paar. Die eerste vraag wat jy van enige ry moet vra: word dieselfde bygetel (RR) of word met dieselfde vermenigvuldig (MR)? Elke latere formule hang daarvan af om daardie klassifikasie reg te kry.

Antwoord: B

Verduideliking

Dieselfde reislogika as by die RR, maar die stappe is vermenigvuldigings: om die 5de term te bereik begin jy by 2 en vermenigvuldig presies vier keer met 3.

$$T_5 = ar^{5-1} = 2 \times 3^4 = 2 \times 81 = 162$$

Stap dit deur: $2 \to 6 \to 18 \to 54 \to 162$ — vier spronge ✓.

Waarom die ander verkeerd is:

• A (54) is $2 \times 3^3$ — een vermenigvuldiging te min $(T_4\mathclose{,}$ om die waarheid te sê).
• C (242) is $S_5 = 2 + 6 + 18 + 54 + 162$ — die som van die eerste vyf terme, terwyl die vraag net vir die vyfde term vra.
• D (486) is $2 \times 3^5$ — vyf vermenigvuldigings in plaas van vier: die MR-weergawe van die "$n$ teenoor $n-1$"-glips.

Onthou: $T_n = ar^{n-1}$ — die eksponent tel die spronge, en daar is altyd $n-1$ van hulle. Wanneer die getalle klein is, is dit die perfekte anti-glips-kontrole om die ketting term vir term deur te loop.

Antwoord: C

Verduideliking

$a=5\mathclose{,}$ $r=2\mathclose{.}$ Stel die algemene term op 640 en deel die eerste term uit:

$$5 \times 2^{n-1} = 640 \implies 2^{n-1} = 128$$

Lys die magte: $2, 4, 8, 16, 32, 64, 128$ — dit is $2^7\mathclose{.}$ Dus $n-1 = 7$ en $n = 8\mathclose{.}$

Kontroleer: $5 \times 2^7 = 640$ ✓

Waarom die ander verkeerd is:

• A (6de) het die leer verkeerd getel, en 128 as $2^5$ geneem.
• B (7de) het $n-1$ gerapporteer en die finale "+1" vergeet.
• D (9de) het 1 by ’n klaar antwoord getel.

Onthou: Isoleer $r^{n-1}\mathclose{,}$ skryf dit as ’n mag van $r\mathclose{,}$ en onthou dan dat daardie eksponent $n-1$ is, nie $n$ nie. Om die magte te lys neem tien sekondes en maak verkeerd tel onmoontlik.

Antwoord: D

Verduideliking

Vind die verhouding insluitend sy teken: $r = -12/4 = -3\mathclose{.}$ Afwisselende tekens is die vingerafdruk van ’n negatiewe verhouding.

$$T_5 = 4 \times (-3)^4 = 4 \times 81 = 324$$

’n Ewe aantal negatiewes vermenigvuldig tot ’n positiewe. Of brei net die patroon uit: die tekens loop $+,-,+,-,+\mathclose{,}$ dus is die 5de term positief.

Waarom die ander verkeerd is:

• A $(-324)$ regte grootte, verkeerde teken — $(-3)^4$ is as $-81$ hanteer.
• B $(-108)$ is bloot $T_4$ herhaal.
• C $(216)$ het ’n versonne verhouding van $-2$ gebruik. Die verhouding kom van deling, nie van raaiskote nie.

Onthou: Met $r<0\mathclose{,}$ besluit eers oor die teken (ewe mag → positief, onewe → negatief), en dan oor die grootte. Twee afsonderlike besluite.

Antwoord: C

Verduideliking

"Verdubbel elke uur" is ’n MR met $r = 2$ — en die enigste werklike gevaar hier is om die verdubbelings te tel. Ná 4 uur het presies 4 verdubbelings plaasgevind:

$$500 \;\to\; 1\,000 \;\to\; 2\,000 \;\to\; 4\,000 \;\to\; 8\,000$$

$$500 \times 2^4 = 500 \times 16 = 8\,000$$

(In rytaal is dit $T_5\mathclose{,}$ want $T_1$ is "0 uur" — en dít is presies waarom $a \times 2^{\text{ure}}$ hier veiliger is as $T_n$-boekhouding.)

Waarom die ander verkeerd is:

• A (2 000) het met 4 vermenigvuldig — lineêre denke oor eksponensiële groei.
• B (4 000) het net 3 verdubbelings gebruik — dit is 3 uur.
• D (16 000) het 5 verdubbelings gebruik — 5 uur.

Onthou: Ná $n$ verdubbelings, vermenigvuldig met $2^n\mathclose{.}$ Tel verdubbelings, nie terme nie — die uur-vir-uur-ketting besleg dit in sekondes.

Afdeling 8.4 — Rekenkundige Reekse

Die som van die eerste $n$ terme van ’n rekenkundige ry:

$$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d) = \frac{n}{2}(a + l)$$

waar $l = T_n$ die laaste term is. Die tweede vorm is Gauss se paringstruuk: paar die eerste en laaste term, die tweede en tweede-laaste, ensovoorts — elke paar tel op tot $a + l\mathclose{.}$

Antwoord: D

Verduideliking

Dit is die som van die eerste 10 onewe getalle. Met $a = 1\mathclose{,}$ $d = 2\mathclose{:}$

$$S_{10} = \frac{10}{2}(2(1) + 9(2)) = 5(2 + 18) = 5 \times 20 = 100$$

Of gebruik Gauss se paring: die 10de onewe getal is $T_{10} = 1 + 9(2) = 19\mathclose{,}$ dus $S_{10} = \frac{10}{2}(1 + 19) = 5 \times 20 = 100\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is:

• A (19) is $T_{10}\mathclose{,}$ die tiende term self — die vraag vra vir die som van die eerste tien.
• B (55) is die som van die eerste 10 heelgetalle $1+2+\cdots+10$ — dit ignoreer dat hierdie ry die ewe getalle oorslaan.
• C (90) is die paringsvorm met die laaste term as 17 geneem $(T_9\mathclose{,}$ die 9de onewe getal) — ’n aftelfout in die laaste term: $5(1+17) = 90\mathclose{.}$

Onthou: Die som van die eerste $n$ onewe getalle is altyd $n^2$ — hier $10^2 = 100\mathclose{.}$ Dit is een van die mees hergebruikte feite in die NBT se ryvrae (sien V36), maak dit dus heeltemal jou eie.

Antwoord: C

Verduideliking

Die som van die eerste $n$ positiewe heelgetalle het die beroemde geslote vorm $S_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ (Gauss se formule — paar 1 met $n\mathclose{,}$ 2 met $n-1\mathclose{,}$ ensovoorts).

$$\frac{n(n+1)}{2} = 55 \implies n(n+1) = 110$$

Twee opeenvolgende heelgetalle wat tot 110 vermenigvuldig: $10 \times 11$ ✓. Dus $n = 10\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is: al drie is bure op die leer van driehoeksgetalle —

• A $(n=8)\mathclose{:}$ $\frac{8 \times 9}{2} = 36 \neq 55\mathclose{.}$
• B $(n=9)\mathclose{:}$ $\frac{9 \times 10}{2} = 45 \neq 55\mathclose{.}$
• D $(n=11)\mathclose{:}$ $\frac{11 \times 12}{2} = 66 \neq 55\mathclose{.}$

As 55 nie onmiddellik herkenbaar is as die 10de driehoeksgetal nie, skei die tiensekonde-toets hierbo (tref $n(n+1)$ 110?) die kandidate sonder enige raaiwerk.

Onthou: $1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}\mathclose{.}$ Memoriseer die klein driehoeksgetalle — 15, 55, 210 vir $n = 5, 10, 20$ — die NBT hergebruik hulle voortdurend.

Antwoord: D

Verduideliking

$a=4\mathclose{,}$ $d=5\mathclose{,}$ $n=8\mathclose{:}$

$$S_8 = \frac{8}{2}\bigl(8 + 35\bigr) = 4(43) = 172$$

Kruiskontroleer met die paringsvorm. Laaste term $T_8 = 4+7(5) = 39\mathclose{,}$ dus $S_8 = 4(4+39) = 172$ ✓

Waarom die ander verkeerd is: B (160) en C (164) kom daarvan dat die hakie $8+35 = 43$ 40 of 41 word — glipse soos om $8\times5$ in plaas van $7\times5$ te gebruik. A (39) is $T_8\mathclose{,}$ die agtste term op sy eie, nie die som van die agt nie. Nie een oorleef die tweeroete-kontrole nie.

Onthou: Werk $2a$ en $(n-1)d$ as twee afsonderlike produkte uit voordat jy optel, en bevestig dan met $\frac{n}{2}(a+l)\mathclose{.}$ Twee roetes wat ooreenstem is die sterkste kontrole wat jy sonder ’n sakrekenaar het.

Antwoord: B

Verduideliking

Met die eerste en laaste terme albei bekend, gebruik die paringsvorm — jy het $d$ nooit nodig nie:

$$S_{16} = \frac{16}{2}(2 + 62) = 8 \times 64 = 512$$

Die prentjie: paar $T_1$ met $T_{16}\mathclose{,}$ $T_2$ met $T_{15}\mathclose{,}$ ensovoorts — agt pare, elkeen wat tot 64 optel.

Waarom die ander verkeerd is — elkeen het die verkeerde hakie:

• A (496) is $8 \times 62$ — die eerste term het nooit by sy paar aangesluit nie.
• C (528) is $8 \times 66$ — die eerste term is twee keer getel.
• D (1 024) is $16 \times 64$ — elke term is gepaar, maar die aantal pare is $\tfrac{16}{2} = 8\mathclose{,}$ nie 16 nie.

Onthou: $S_n = \frac{n}{2}(a+l)\mathclose{.}$ Sê die hakie hardop — "eerste plus laaste" — en die verkeerde-hakie-opsies verloor hulle trekkrag.

Antwoord: D

Verduideliking

’n Krimpende stapel is steeds ’n RR, met ’n negatiewe stap: $a=30\mathclose{,}$ $d=-2\mathclose{.}$

Stap 1 — Onderste ry. Nege stappe af: $$T_{10} = 30 + 9(-2) = 12 \text{ bakstene}$$

Stap 2 — Paar bo met onder. $$S_{10} = \frac{10}{2}(30+12) = 210$$

Waarom die ander verkeerd is — elkeen het ’n verkeerde laaste term gebruik:

• A (12) is die onderste ry op sy eie, $T_{10} = 30 - 9 \times 2$ — een ry, nie die hele muur nie.
• B (195) pas by geen skoon metode nie — die soort antwoord wat jy kry as jy albei stappe in jou kop jongleer.
• C (200) het tien stappe in plaas van nege geneem, wat ’n onderste ry van 10 gee.

Onthou: Vind die laaste term eerste, op sy eie reël, en paar dan. Hierdie probleem word op die onderste ry gewen of verloor.

Afdeling 8.5 — Meetkundige Reekse

Die som van die eerste $n$ terme van ’n meetkundige ry:

$$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} \quad (r \neq 1)$$

Gebruik hierdie vorm wanneer $r > 1\mathclose{.}$ Wanneer $r < 1\mathclose{,}$ vermy die ekwivalente vorm $\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$ negatiewe tekens.

Antwoord: B

Verduideliking

$a = 1\mathclose{,}$ $r = 2\mathclose{,}$ ses terme:

$$S_6 = \frac{1(2^6 - 1)}{2 - 1} = \frac{64 - 1}{1} = 63$$

Toets of dit sin maak deur bruut op te tel — die terme is klein genoeg: $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63$ ✓. Let op die patroon: elke verdubbelingsom land een minder as die volgende mag van 2.

Waarom die ander verkeerd is:

• A (32) is $2^5$ — die sesde term, nie die som van ses terme nie. (Verwarring tussen $T_n$ en $S_n$ is fout #2 op hierdie hoofstuk se openingslys.)
• C (64) is $2^6$ — die "een minder"-feit is vergeet: die som is $2^6 - 1\mathclose{,}$ nie $2^6$ self nie.
• D (127) is $2^7 - 1 = S_7$ — een term te veel.

Onthou: Vir die verdubbelings-MR wat by 1 begin, $S_n = 2^n - 1$ ("al die vorige magte tel op tot een minder as die volgende mag"). En vra altyd eers: vra die vraag ’n term of ’n som?

Antwoord: A

Verduideliking

$$S_5 = \frac{2(3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{2 \times 242}{2} = 242$$

$(3^5 = 243\mathclose{:}$ loop die magte deur $3, 9, 27, 81, 243\mathclose{.})$ Bruutkrag-kontrole: die vyf terme is $2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242$ ✓.

Waarom die ander verkeerd is:

• B (244) is $242 + 2$ — die eerste term is twee keer getel.
• C (484) is $2(3^5 - 1)$ — die teller van die formule op sy eie. Die deling deur $r - 1 = 2$ is uitgelaat.
• D (486) is $2 \times 3^5$ — ’n term $(T_6)\mathclose{,}$ nie ’n som nie. Die formule se $r^n$ leef binne $\frac{a(r^n-1)}{r-1}\mathclose{;}$ op sy eie bereken dit terme.

Onthou: $S_5 = \frac{a(r^5-1)}{r-1}\mathclose{,}$ en met getalle so klein is dit ’n vinnige, beslissende kontrole om die vyf terme direk op te tel. Opsies wat presies met $\pm a$ van die waarheid verskil, sê vir jou iemand het die eerste term verlê.

Antwoord: C

Verduideliking

Vir die verdubbelings-MR wat by 1 begin, het die som die skoon geslote vorm $S_n = 2^n - 1$ (V21). Stel dit gelyk aan 127:

$$2^n - 1 = 127 \implies 2^n = 128$$

Lys die magte: $2, 4, 8, 16, 32, 64, 128$ — sewe daarvan. Dus $n = 7\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is: die verkeerde opsies is naburige sporte van die $2^n - 1$-leer —

• A $(n=5)\mathclose{:}$ $S_5 = 31$ — ver te kort.
• B $(n=6)\mathclose{:}$ $S_6 = 63\mathclose{,}$ nie 127 nie.
• D $(n=8)\mathclose{:}$ $S_8 = 255$ — te ver.

Soos met V8 se rente-leer, toets hierdie vrae herkenning: as $63, 127, 255$ klokkies laat lui as "een minder as ’n mag van 2", kan geen verkeerde opsie aan jou raak nie.

Onthou: Tel 1 by die teikensom en vra "watter mag van $r$ is dit?" — dan is daardie eksponent $n$ self (want die reeks het by $a = 1$ begin). Die waardes $2^7 = 128$ en $S_7 = 127$ is die moeite werd om heeltemal jou eie te maak.

Antwoord: A

Verduideliking

Hoofstuk 7 se annuïteit deur die oë van rye gesien. Elke deposito groei vir ’n ander aantal jare — 2, dan 1, dan 0:

$$100(1.1)^2 + 100(1.1) + 100 = 100(1.21+1.10+1.00) = \text{R}331$$

Die bedrae $100, 110, 121$ vorm ’n MR met $r=1.1$ — ’n annuïteit se toekomstige waarde is ’n meetkundige reeks.

Waarom die ander verkeerd is:

• C (R300) ignoreer rente heeltemal.
• B (R330) pas 10 % een keer op die hele R300 toe, asof elke deposito saam aangekom het.
• D (R133.10) is $100(1.1)^3$ — ’n enkele R100 wat drie jaar lank gelaat is. Daar is drie deposito’s, en nie een van hulle verdien drie jaar se rente nie.

Onthou: Gelyke deposito’s aan die einde van elke periode vorm ’n MR met verhouding $(1+i)\mathclose{,}$ en die laaste deposito verdien niks. Skryf een reël per betaling en die reeks verskyn vanself.

Antwoord: A

Verduideliking

’n Omgekeerde somprobleem. Met $r=2$ en $n=4$ is die totaal altyd 15 keer die eerste term, aangesien $1+2+4+8 = 15\mathclose{:}$

$$15a = 120 \implies a = 8$$

Kontroleer: $8+16+32+64 = 120$ ✓

Waarom die ander verkeerd is:

• B (12) druip die kontrole: $12+24+48+96 = 180\mathclose{.}$
• C (16) het deur 7.5 gedeel — die rekenkundige gewoonte om te halveer wat in ’n meetkundige formule insluip.
• D (30) is $120 \div 4$ — die gemiddelde van die vier terme. Die terme van ’n MR is nie gelyk nie, en die eerste is die kleinste van hulle.

Onthou: $a = \frac{S_n(r-1)}{r^n-1}\mathclose{.}$ Omgekeerde probleme gee jou ’n gratis kontrole — herbou die ry uit jou $a$ en tel dit op.

Afdeling 8.6 — Sigma-notasie

Sigma-notasie $\displaystyle\sum_{k=m}^{n} f(k)$ is ’n kompakte manier om ’n reeks te skryf. Die veranderlike $k$ is die indeks, $m$ is die ondergrens, en $n$ is die bogrens. Brei die notasie uit deur $k = m, m+1, \ldots, n$ te vervang en op te tel.

Antwoord: D

Verduideliking

Sigma-notasie is ’n instruksie, nie ’n raaisel nie: "vervang $k = 1$ tot $5$ in die uitdrukking ná die $\Sigma\mathclose{,}$ en tel die resultate op."

$$\sum_{k=1}^{5} k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A (5) is die laaste term op sy eie — die sigma is gelees as "stel $k = 5$", nie "tel op van $k = 1$ tot $k = 5$" nie.
• B (10) hou by $k = 4$ op — die bogrens is inklusief; $k = 5$ hoort in die som.
• C (12) pas by geen korrekte lesing nie — met net vyf piepklein terme laat uitbrei-en-optel geen ruimte vir so ’n opsie om aanneemlik te voel nie.

Onthou: Wanneer die grense klein is, brei uit — altyd. Vir groot grense, $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}\mathclose{;}$ vir $n = 5\mathclose{:}$ $\frac{5 \times 6}{2} = 15$ ✓ (die formule en die uitbreiding moet ooreenstem).

Antwoord: C

Verduideliking

Vervang elke $k$ en tel op:

$$k=1:\ 3 \qquad k=2:\ 5 \qquad k=3:\ 7 \qquad k=4:\ 9$$ $$\text{Som} = 3 + 5 + 7 + 9 = 24$$

Formulekontrole: dit is ’n RR met $a = 3\mathclose{,}$ $l = 9\mathclose{,}$ $n = 4\mathclose{:}$ $S_4 = \frac{4}{2}(3 + 9) = 24$ ✓.

Waarom die ander verkeerd is:

• A (20) tel $2k$ op sonder die $+1$’e: $2 + 4 + 6 + 8 = 20\mathclose{.}$ Vier $+1$’e wat laat val is, is presies die vier punte tussen A en die regte antwoord.
• B (22) is ’n optelglips in die vierterm-som — die paringskontrole $(3+9) + (5+7) = 12 + 12$ maak die ware totaal moeilik om te mis.
• D (28) lees $2k + 1$ as $2(k+1)\mathclose{:}$ $4 + 6 + 8 + 10 = 28\mathclose{.}$ Hakies verander alles.

Onthou: Vervang-en-tel-op is die basismetode; die RR-somformule is die kontrole. Hou twee dinge soos ’n valk dop: die presiese uitdrukking wat opgetel word, en elke $+$konstante wat dit dra.

Antwoord: A

Verduideliking

Brei die eerste paar terme uit — dít is hoe jy enige ry identifiseer wat in sigma-notasie wegkruip.

$$T_1 = 3(1)-1 = 2, \qquad T_2 = 5, \qquad T_3 = 8$$

Verskille van 3 en 3 — konstant. Dus is dit ’n RR met $a=2\mathclose{,}$ $d=3\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is:

• D het die "$-1$" as die eerste term geneem. Die eerste term kom van die vervanging $k=1\mathclose{,}$ wat 2 gee.
• C het die rolle omgeruil — die 3 is die koëffisiënt van $k\mathclose{,}$ dus is dit $d\mathclose{,}$ nie $a$ nie.
• B noem dit ’n MR. ’n $k$ wat met ’n konstante vermenigvuldig word, beteken "tel elke stap soveel by"; net ’n $k$ in ’n eksponent vermenigvuldig.

Onthou: Lineêr in $k$ → RR (verskil = die koëffisiënt). Eksponensieel in $k$ → MR (verhouding = die grondtal). By twyfel, brei drie terme uit.

Antwoord: A

Verduideliking

Die $k$ is in die eksponent, dus is dit meetkundig. Brei uit:

$$2 + 6 + 18 + 54 = 80$$

Formulekontrole $(a=2\mathclose{,}$ $r=3\mathclose{,}$ $n=4)\mathclose{:}$ $S_4 = \frac{2(81-1)}{2} = 80$ ✓

Waarom die ander verkeerd is:

• B (81) is bloot $3^4$ — die faktor 2 en die optel is albei geïgnoreer.
• C (84) is ’n optelglips; om uit te brei én met die formule te kontroleer laat dit geen ruimte nie.
• D (240) lees die eksponent as $k$ in plaas van $k-1\mathclose{:}$ $6 + 18 + 54 + 162\mathclose{.}$ Die eerste term is $2\cdot3^0 = 2\mathclose{,}$ en $3^0=1$ vang mense uit.

Onthou: $k$ in die eksponent → MR. Hou die $k=1$-term dop (enigiets tot die mag 0 is 1), brei uit wanneer $n$ klein is, en laat die formule dit bevestig.

Antwoord: D

Verduideliking

Die ondergrens is 3, nie 1 nie — die besonderheid wat die meeste in sigma-vrae gemis word. Vervang $k=3$ tot $7$ (vyf terme):

$$6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 50$$

Struktuurkontrole: vyf terme met middelste term 10, dus $5 \times 10 = 50$ ✓

Waarom die ander verkeerd is:

• A (40) het die middelste term verloor — as jy $6+14$ en $8+12$ paar, bly die ongepaarde 10 agter.
• B (42) het albei grense verkeerd gelees, en van $k=1$ tot 6 opgetel.
• C (45) het die bogrens as 6 gelees.

Onthou: Lees albei grense eerste, tel die terme as $(\text{bo}-\text{onder})+1\mathclose{,}$ en brei dan uit. Met ’n onewe aantal RR-terme is "middelste × aantal" ’n vinnige kontrole.

Afdeling 8.7 — Oneindige Meetkundige Reekse

Wanneer $|r| < 1\mathclose{,}$ krimp die terme van ’n MR na nul toe, dus konvergeer die oneindige som na ’n eindige waarde:

$$S_\infty = \frac{a}{1-r} \quad \text{net wanneer } |r| < 1$$

As $|r| \geq 1\mathclose{,}$ divergeer die som (dit groei sonder grens) en $S_\infty$ bestaan nie.

Antwoord: B

Verduideliking

’n Oneindige som kom slegs by ’n eindige waarde tot rus as die terme na nul toe krimp. Dit gebeur presies wanneer $|r| < 1\mathclose{,}$ wat beteken $-1 < r < 1\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is — elkeen laat die verkeerde verhoudings toe of sluit hulle uit:

• C $(r<1)$ laat $r=-5$ toe: die terme $a, -5a, 25a, \ldots$ ontplof. Die absolute waarde is die voorwaarde, nie versiering nie.
• A $(r>0)$ laat $r=2$ toe, waar die terme vir ewig verdubbel.
• D hou net die negatiewe helfte, en sluit $r=\frac12$ verkeerdelik uit — die algemeenste konvergente geval van almal.

Onthou: $S_\infty$ bestaan slegs wanneer $|r|<1\mathclose{.}$ Toets enige voorgestelde voorwaarde deur te soek na ’n verhouding wat dit verkeerdelik inlaat of uitlaat.

Antwoord: D

Verduideliking

$a=12\mathclose{,}$ $r=\frac12\mathclose{,}$ en $|r|<1\mathclose{,}$ dus bestaan die som:

$$S_\infty = \frac{12}{1-\tfrac12} = 24$$

Kyk hoe dit konvergeer: $12, 18, 21, 22.5, 23.25, \ldots$ — die oorblywende gaping word elke keer gehalveer, al hoe nader aan 24.

Waarom die ander verkeerd is:

• A (8) gebruik $1 + r$ in die noemer: $12 \div \tfrac32 = 8$ — en ’n som van positiewe terme kan nooit kleiner wees as sy eerste term, 12, nie.
• B (12) is net die eerste term.
• C (18) hou ná twee terme op; die oneindige stert voeg nog 6 by.

Onthou: $S_\infty = \frac{a}{1-r}\mathclose{,}$ en om deur ’n breuk te deel beteken om met sy resiprook te vermenigvuldig. Om drie of vier terme op te tel sê vir jou ongeveer waar die antwoord moet land — ’n nuttige reling.

Antwoord: C

Verduideliking

Omgekeerde probleem: die som is bekend, die eerste term nie. Om $S_\infty = a/(1-r)$ te herrangskik gee $a = S_\infty(1-r)\mathclose{:}$

$$a = 20\left(1 - \frac{1}{4}\right) = 20 \times \frac{3}{4} = 15$$

Kontroleer vorentoe: $S_\infty = \dfrac{15}{1 - \tfrac14} = \dfrac{15}{\tfrac34} = 20$ ✓. (Die reeks $15 + 3.75 + 0.9375 + \cdots$ leun inderdaad op 20.)

Waarom die ander verkeerd is:

• A (5) vermenigvuldig met $r$ in plaas van met $(1-r)\mathclose{:}$ $20 \times \tfrac14 = 5\mathclose{.}$
• B (10) vermenigvuldig met $\tfrac12$ — ’n "vat die helfte"-refleks sonder enige grond in die gegewe $r = \tfrac14\mathclose{.}$
• D (80) deel waar dit moet vermenigvuldig: $20 \div \tfrac14 = 80$ — die formule word in die verkeerde rigting gebruik. Sy vorentoe-kontrole ontplof: $80/(3/4) \approx 107\mathclose{,}$ nie 20 nie.

Onthou: $a = S_\infty(1 - r)\mathclose{:}$ die eerste term is altyd kleiner as die oneindige som (die stert dra die res by) — dus is enige kandidaat groter as 20, soos opsie D, gediskwalifiseer voordat jy enigiets bereken.

Antwoord: D

Verduideliking

’n Repeterende desimaal is ’n oneindige meetkundige reeks wat in die ooplug wegkruip — elke herhaling is die vorige een wat ’n desimale plek geskuif is:

$$0.333\ldots = 0.3 + 0.03 + 0.003 + \cdots$$

$a = 0.3\mathclose{,}$ $r = 0.1$ (elke term is ’n tiende van die een voor dit), en $|r| < 1\mathclose{:}$

$$S_\infty = \frac{0.3}{1 - 0.1} = \frac{0.3}{0.9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A $(\tfrac14)$ is $0.25\mathclose{,}$ ’n raaiskoot met ’n bekende breuk. Deel dit uit: $0.25 \neq 0.333\ldots$ Kandidaatbreuke kan altyd deur deling getoets word.
• B $(\tfrac{3}{11})$ is wat die formule lewer as jy $r$ bytel in plaas van aftrek: $0.3/1.1 = \tfrac{3}{11} = 0.2727\ldots$ — sigbaar die verkeerde repeterende desimaal.
• C $(\tfrac{3}{10})$ is presies $0.3$ — die eerste term alleen. Om ’n repeterende desimaal af te knot skiet altyd te kort.

Onthou: Repeterende desimaal → oneindige MR met $r = 0.1^{(\text{herhalende syfers})}$ → $a/(1-r)\mathclose{.}$ En $0.\overline{3} = \tfrac13$ verdien onmiddellike herroeping — dit anker die hele familie $(0.\overline{6} = \tfrac23\mathclose{,}$ $0.\overline{9} = 1)\mathclose{.}$