Mathbench

IEB-oefening · Vraestel I

IEB-oefening: Differensiaalrekene

8 splinternuwe vrae oor al 11 die onderwerpe in differensiaalrekene wat die IEB in Vraestel I eksamineer, 100 punte altesaam. Werk elkeen uit en maak dan die antwoord daaronder oop om jouself na te gaan. Niks hier kom uit 'n ou vraestel nie.

Laai die boekie as PDF af · Skryf hierdie vraestel op tyd · English

Die afgeleide uit eerste beginsels

2 vrae · 29 punte

116 punte
  1. (a)
    Gegee f(x) = −2x^2 + 4x + 6. Gebruik eerste beginsels om f′(x) te bepaal.
    (5)
  2. (b)
    Bepaal dy/dx indien y = (x^2 − 6x − 4)/√x.
    (4)
  3. (c)
    Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan f by x = −2.
    (4)
  4. (d)
    Bepaal die gemiddelde gradiënt van f tussen x = 1 en x = 2.
    (3)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: f′(x) = −4x + 4

  1. f(x + h) = −2(x + h)^2 + 4(x + h) + 6
  2. = −2x^2 − 4xh − 2h^2 + 4x + 4h + 6
  3. f(x + h) − f(x) = −4xh − 2h^2 + 4h
  4. f′(x) = lim_(h → 0) (−4xh − 2h^2 + 4h)/h
  5. = lim_(h → 0) (−4x − 2h + 4)
  6. = −4x + 4

(b) Antwoord: dy/dx = (3/2)x^(1/2) − 3x^(−1/2) + 2x^(−3/2)

  1. y = x^(3/2) − 6x^(1/2) − 4x^(−1/2)
  2. dy/dx = (3/2)x^(1/2) − 3x^(−1/2) + 2x^(−3/2)

(c) Antwoord: y = 12x + 14

  1. f(−2) = −10, dus is die punt (−2; −10)
  2. m = f′(−2) = 12
  3. y + 10 = 12(x + 2)
  4. y = 12x + 14

(d) Antwoord: −2

  1. f(1) = 8 en f(2) = 6
  2. (6 − (8))/(2 − (1)) = −2
213 punte
  1. (a)
    Gegee f(x) = 2x^2 − 2x + 1. Bepaal (f(x + h) − f(x))/h, die gemiddelde tempo van verandering van f oor die interval [x; x + h], in sy eenvoudigste vorm.
    (3)
  2. (b)
    Bepaal vervolgens f′(x).
    (2)
  3. (c)
    Die lyn y = −7x + k is 'n raaklyn aan die grafiek van g(x) = x^2 − 3x + 7. Bepaal die koördinate van die punt waar die lyn aan g raak, en die waarde van k.
    (5)
  4. (d)
    By watter punt op f is die raaklyn ewewydig aan die lyn y = −6x?
    (3)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: 4x + 2h − 2

  1. f(x + h) = 2(x + h)^2 − 2(x + h) + 1
  2. f(x + h) − f(x) = 4xh + 2h^2 − 2h
  3. (4xh + 2h^2 − 2h)/h = 4x + 2h − 2

(b) Antwoord: f′(x) = 4x − 2

  1. f′(x) = lim_(h → 0) (4x + 2h − 2)
  2. = 4x − 2

(c) Antwoord: (−2; 17); k = 3

  1. g′(x) = 2x − 3 = −7
  2. x = −2
  3. g(−2) = 17, dus is die punt (−2; 17)
  4. 17 = −7(−2) + k, dus k = 3

(d) Antwoord: (−1; 5)

  1. f′(x) = 4x − 2 = −6
  2. x = −1
  3. f(−1) = 5

Stasionêre punte

2 vrae · 31 punte

317 punte

Gegee: f(x) = x^3 − 9x^2 + 24x − 20

xyO
  1. (a)
    Toon aan dat x = 5 'n wortel van f(x) = 0 is, en bepaal vervolgens die x-afsnitte van f.
    (3)
  2. (b)
    Bepaal die koördinate van die draaipunte van f.
    (4)
  3. (c)
    Skets die grafiek van f op die assestelsel wat voorsien word. Toon alle afsnitte met die asse en die draaipunte.
    (4)
  4. (d)
    Vir watter waardes van x is die grafiek van f konkaaf op?
    (2)
  5. (e)
    Vir watter waardes van x is f stygend?
    (2)
  6. (f)
    Vir watter waardes van k sal f(x) = k drie verskillende reële wortels hê?
    (2)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: (2; 0) en (5; 0)

  1. f(5) = 0, dus is (x − 5) 'n faktor
  2. f(x) = (x − 5)(x − 2)^2
  3. (2; 0) en (5; 0)

(b) Antwoord: (2; 0) en (4; −4)

  1. f′(x) = 3x^2 − 18x + 24
  2. 3x^2 − 18x + 24 = 0
  3. x = 2 of x = 4
  4. (2; 0) en (4; −4)

(c) Antwoord: Sien die skets hieronder.

xyO(5; 0)(2; 0)(4; −4)(0; −20)f
  1. y-afsnit (0; −20); x-afsnitte (2; 0), (5; 0)
  2. draaipunte (2; 0), (4; −4)

(d) Antwoord: x > 3

  1. f′′(x) = 6x − 18
  2. f′′(x) > 0: 6x − 18 > 0
  3. x > 3

(e) Antwoord: x < 2 of x > 4

  1. f′(x) > 0
  2. x < 2 of x > 4

(f) Antwoord: −4 < k < 0

  1. die lyn y = k moet die grafiek drie keer sny: tussen die draaiwaardes
  2. −4 < k < 0
414 punte

In die diagram hieronder is die grafiek van f(x) = x^3 − 9x^2 + 24x + d geteken, waar d 'n konstante is. (4; 0) is 'n stasionêre punt van f.

xyO(4; 0)f
  1. (a)
    Bepaal die waarde van d.
    (2)
  2. (b)
    Bepaal die koördinate van die ander stasionêre punt van f.
    (4)
  3. (c)
    Bepaal die x-koördinaat van die buigpunt van f.
    (2)
  4. (d)
    Vir watter waardes van k sal f(x) = k presies een reële wortel hê?
    (3)
  5. (e)
    Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan f by x = 0.
    (3)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: d = −16

  1. f(4) = 0
  2. 16 + d = 0
  3. d = −16

(b) Antwoord: (2; 4)

  1. f′(x) = 3x^2 − 18x + 24 = 0
  2. 3(x − (2))(x − (4)) = 0
  3. x = 2
  4. f(2) = 4

(c) Antwoord: x = 3

  1. f′′(x) = 6x − 18 = 0
  2. x = 3

(d) Antwoord: k < 0 of k > 4

  1. die draaiwaardes is 0 en 4
  2. een wortel wanneer die lyn y = k bo die maksimum of onder die minimum verbygaan
  3. k < 0 of k > 4

(e) Antwoord: y = 24x − 16

  1. f(0) = −16 en f′(0) = 24
  2. y = 24x − 16

Optimalisering

2 vrae · 18 punte

59 punte

'n Oop boks word van 'n vierkantige stuk karton 36 cm by 36 cm gemaak deur 'n vierkant met sy x cm uit elke hoek te sny en die sye op te vou.

xx
  1. (a)
    Toon aan dat die volume van die boks V = 4x^3 − 144x^2 + 1296x is.
    (2)
  2. (b)
    Bepaal die waarde van x waarvoor die volume 'n maksimum is, en die maksimum volume.
    (5)
  3. (c)
    Bepaal die tempo waarteen die volume ten opsigte van x verander wanneer x = 17.
    (2)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

  1. die basis is (36 − 2x) by (36 − 2x) en die hoogte is x
  2. V = x(36 − 2x)^2 = 4x^3 − 144x^2 + 1296x

(b) Antwoord: x = 6 cm; V = 3456 cm³

  1. dV/dx = 12x^2 − 288x + 1296 = 0
  2. (6x − 36)(2x − 36) = 0
  3. x = 6 (x = 18 gee geen boks nie)
  4. V = 6(36 − 12)^2 = 3456 cm³

(c) Antwoord: −132 cm³/cm

  1. dV/dx by x = 17
  2. = −132 cm³/cm
69 punte

'n Keël het 'n radius van r cm en 'n hoogte van h cm, en r + h = 12. (V = (1/3)πr^2h)

hr
  1. (a)
    Toon aan dat die volume van die keël V = (π/3)(12r^2 − r^3) is.
    (2)
  2. (b)
    Bepaal die radius wat die grootste volume gee, en daardie volume in terme van π.
    (5)
  3. (c)
    Bepaal die tempo waarteen die volume ten opsigte van r verander wanneer r = 6.
    (2)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

  1. h = 12 − r
  2. V = (1/3)πr^2(12 − r) = (π/3)(12r^2 − r^3)

(b) Antwoord: r = 8 cm; V = 256π/3 cm³

  1. dV/dr = (π/3)(24r − 3r^2) = 0
  2. r(24 − 3r) = 0
  3. r = 8 (r = 0 gee geen keël nie)
  4. V = (π/3)(12(8)^2 − (8)^3) = 256π/3 cm³

(c) Antwoord: 12π cm³/cm

  1. dV/dr by r = 6
  2. = 12π cm³/cm

Om die grafiek van f' te lees

2 vrae · 22 punte

710 punte

Die grafiek van y = f′(x), die afgeleide van 'n derdegraadse funksie f, is hieronder geteken. Dit sny die x-as by (−5; 0) en (1; 0) en die y-as by (0; 5).

xyO(−5; 0)(1; 0)(0; 5)f′
  1. (a)
    Vir watter waardes van x is f stygend?
    (2)
  2. (b)
    Skryf die x-koördinate van die draaipunte van f neer, en sê watter een 'n lokale maksimum is.
    (3)
  3. (c)
    Bepaal die x-koördinaat van die buigpunt van f.
    (2)
  4. (d)
    Vir watter waardes van x is f konkaaf op?
    (2)
  5. (e)
    Skryf die gradiënt van die raaklyn aan f by x = 0 neer.
    (1)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: −5 < x < 1

  1. f is stygend waar f′(x) > 0: waar die grafiek van f′ bo die x-as lê
  2. −5 < x < 1

(b) Antwoord: x = 1 (lokale maksimum) en x = −5 (lokale minimum)

  1. f′(x) = 0 by x = −5 en x = 1
  2. f′ verander van positief na negatief by x = 1: 'n maksimum

(c) Antwoord: x = −2

  1. f′′(x) = 0 waar f′ sy draaipunt het
  2. x = (−5 + 1)/2 = −2

(d) Antwoord: x < −2

  1. f is konkaaf op waar f′′(x) > 0: waar f′ stygend is
  2. x < −2

(e) Antwoord: 5

  1. die gradiënt van f by x = 0 is f′(0) = 5
812 punte

Die grafiek van y = f′(x), die afgeleide van 'n derdegraadse funksie f, is hieronder geteken. Dit raak die x-as by C(−1; 0) en sny die y-as by (0; 3).

xyOC(−1; 0)(0; 3)f′
  1. (a)
    Bepaal die vergelyking van f′.
    (3)
  2. (b)
    Gegee dat f(0) = −1, bepaal f(x).
    (4)
  3. (c)
    Is x = −1 'n draaipunt van f, of 'n buigpunt? Gee 'n rede.
    (2)
  4. (d)
    Bepaal die x-waardes waar die raaklyn aan f 'n gradiënt van 12 het.
    (3)
Wys die antwoorde

(a) Antwoord: f′(x) = 3x^2 + 6x + 3

  1. f′(x) = a(x − (−1))^2, wat die x-as by C raak
  2. 3 = a(−1)^2, dus a = 3
  3. f′(x) = 3x^2 + 6x + 3

(b) Antwoord: f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x − 1

  1. f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d met f′(x) = 3ax^2 + 2bx + c = 3x^2 + 6x + 3
  2. a = 1, b = 3, c = 3
  3. f(0) = d = −1
  4. f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x − 1

(c) Antwoord: 'n Buigpunt

  1. f′(−1) = 0, maar f′ verander nie van teken by x = −1 nie
  2. dus het f daar 'n horisontale buigpunt

(d) Antwoord: x = −3 of x = 1

  1. 3(x − (−1))^2 = 12
  2. (x − (−1))^2 = 4
  3. x = −3 of x = 1

Laai hierdie boekie af

Dieselfde vrae as 'n boekie om te druk, met die memorandum as 'n aparte lêer sodat jy kan werk sonder dat die antwoorde voor jou lê. In Engels en Afrikaans.

Elke vraag op hierdie bladsy is vir hierdie werf deur 'n rekenaarenjin gegenereer, en die antwoord is deur 'n onafhanklike metode bevestig op die oomblik toe die vraag gemaak is.

Alle IEB-oefening · Skryf hierdie vraestel op tyd · English