IEB-oefening · Vraestel II

IEB-oefening: Euklidiese meetkunde

19 splinternuwe vrae oor al 14 die onderwerpe in euklidiese meetkunde wat die IEB in Vraestel II eksamineer, 219 punte altesaam. Werk elkeen uit en maak dan die antwoord daaronder oop om jouself na te gaan. Niks hier kom uit 'n ou vraestel nie.

Laai die boekie as PDF af · Skryf hierdie vraestel op tyd · English

Die raaklyn-koordstelling

2 vrae · 24 punte

Vraestel II · Afdeling A · 13 punte

VRAAG 1

In die diagram:

A, B, C en T lê op die sirkel.
PTQ is 'n raaklyn aan die sirkel by T.
AB ∥ PQ.
TC sny AB by D.
Q $\hat{T}$ B = 66°

Gee alle relevante redes vir jou bewerings.

(a)
Voltooi die tabel: gee die rede vir elke bewering, in die gegewe volgorde.
Bewering Rede
T $\hat{A}$ B = 66°
T $\hat{B}$ A = 66°
TA = TB
A $\hat{T}$ B = 48°
A $\hat{C}$ B = 132°
T $\hat{C}$ B = 66°
A $\hat{C}$ T = 66°
(7)
(b)
Bewys vervolgens dat TC A $\hat{C}$ B halveer.
(1)
(c)
Bewys dat ΔTDB ||| ΔTBC.
(3)
(d)
Bewys vervolgens dat TB^{^2} = TD · TC.
(2)

Bewering	Rede
T $\hat{A}$ B = 66°
T $\hat{B}$ A = 66°
TA = TB
A $\hat{T}$ B = 48°
A $\hat{C}$ B = 132°
T $\hat{C}$ B = 66°
A $\hat{C}$ T = 66°

[13]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: Elke rede staan langs sy bewering hieronder.

T $\hat{A}$ B = 66° (raaklyn-koordstelling)
T $\hat{B}$ A = 66° (verwis. ∠e; PQ ∥ AB)
TA = TB (sye teenoor gelyke ∠e)
A $\hat{T}$ B = 48° (som ∠e van Δ)
A $\hat{C}$ B = 132° (teenoorst. ∠e van koordevierhoek)
T $\hat{C}$ B = 66° (∠e in dieselfde segment)
A $\hat{C}$ T = 66° (∠e in dieselfde segment)

(b) Antwoord: A $\hat{C}$ T = T $\hat{C}$ B

A $\hat{C}$ T = T $\hat{C}$ B = 66° (bewys)

(c) Antwoord: ΔTDB ||| ΔTBC

In ΔTDB en ΔTBC:
D $\hat{T}$ B = B $\hat{T}$ C (gemeenskaplik)
T $\hat{B}$ D = T $\hat{C}$ B = 66° (bewys)
∴ ΔTDB ||| ΔTBC (∠∠∠)

(d) Antwoord: TB^{^2} = TD · TC

TB/TD = TC/TB (||| Δe)
∴ TB^{^2} = TD · TC

Vraestel II · Afdeling B · 11 punte

VRAAG 2

In die diagram:

Twee sirkels raak mekaar uitwendig by T.
MTN is die gemeenskaplike raaklyn aan die twee sirkels by T.
ATB en CTD is reguit lyne, met A en C op die een sirkel en B en D op die ander.
C $\hat{A}$ T = x

Gee alle relevante redes vir jou bewerings.

(a)
Noem, met redes, drie ander hoeke gelyk aan x.
(4)
(b)
Bewys vervolgens dat AC ∥ DB.
(2)
(c)
Bewys dat ΔTAC ||| ΔTBD.
(3)
(d)
Indien TA = 10 eenhede, TB = 20 eenhede en TC = 8 eenhede, bereken die lengte van TD.
(2)

[11]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: ${\hat{T}}_{2}$ , ${\hat{T}}_{5}$ en T $\hat{B}$ D

${\hat{T}}_{2}$ = C $\hat{A}$ T = x (raaklyn-koordstelling)
${\hat{T}}_{5}$ = ${\hat{T}}_{2}$ = x (regoorstaande ∠e =)
T $\hat{B}$ D = ${\hat{T}}_{5}$ = x (raaklyn-koordstelling)

(b) Antwoord: AC ∥ DB

C $\hat{A}$ T = T $\hat{B}$ D = x (bewys)
∴ AC ∥ DB (verwis. ∠e =)

(c) Antwoord: ΔTAC ||| ΔTBD

In ΔTAC en ΔTBD:
${\hat{T}}_{3}$ = ${\hat{T}}_{6}$ (regoorstaande ∠e =)
C $\hat{A}$ T = T $\hat{B}$ D = x (bewys)
∴ ΔTAC ||| ΔTBD (∠∠∠)

(d) Antwoord: TD = 16 eenhede

TA/TB = TC/TD (||| Δe)
∴ TD = (8 · 20)/10 = 16 eenhede

Die hoek by die middelpunt

1 vrae · 9 punte

Vraestel II · Afdeling A · 9 punte

VRAAG 3

In die diagram:

O is die middelpunt van die sirkel.
A, B, D en T lê op die sirkel.
PTQ is 'n raaklyn aan die sirkel by T.
T $\hat{B}$ A = 46°

Gee alle relevante redes vir jou bewerings.

(a)
Bepaal P $\hat{T}$ A.
(2)
(b)
Bepaal T $\hat{O}$ A.
(2)
(c)
Bepaal O $\hat{T}$ A.
(2)
(d)
Bepaal T $\hat{D}$ A.
(2)
(e)
Bepaal die grootte van refleks T $\hat{O}$ A.
(1)

[9]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: P $\hat{T}$ A = 46°

P $\hat{T}$ A = T $\hat{B}$ A = 46° (raaklyn-koordstelling)

(b) Antwoord: T $\hat{O}$ A = 92°

T $\hat{O}$ A = 2 × T $\hat{B}$ A = 92° (∠ by middelpunt = 2 × ∠ by omtrek)

(c) Antwoord: O $\hat{T}$ A = 44°

O $\hat{T}$ P = 90° (raaklyn ⊥ radius)
∴ O $\hat{T}$ A = 90° − P $\hat{T}$ A = 44°

(d) Antwoord: T $\hat{D}$ A = 134°

T $\hat{D}$ A = 180° − T $\hat{B}$ A = 134° (teenoorst. ∠e van koordevierhoek)

(e) Antwoord: refleks T $\hat{O}$ A = 268°

refleks T $\hat{O}$ A = 360° − 92° = 268° (∠e om 'n punt)

Raaklyne, en raaklyne vanaf 'n punt buite

1 vrae · 14 punte

Vraestel II · Afdeling B · 14 punte

VRAAG 4

In die diagram:

O is die middelpunt van die sirkel.
PA en PB is raaklyne aan die sirkel by A en B onderskeidelik.
C is 'n punt op die sirkel sodat AC ∥ PB.
A $\hat{C}$ B = 39°

Gee alle relevante redes vir jou bewerings.

(a)
Bepaal P $\hat{B}$ A.
(2)
(b)
Bepaal A $\hat{P}$ B.
(3)
(c)
Is ΔABC 'n gelykbenige driehoek? Verduidelik.
(4)
(d)
Bewys dat PAOB 'n koordevierhoek is.
(3)
(e)
Bepaal die grootte van A $\hat{O}$ B.
(2)

[14]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: P $\hat{B}$ A = 39°

P $\hat{B}$ A = A $\hat{C}$ B = 39° (raaklyn-koordstelling)

(b) Antwoord: A $\hat{P}$ B = 102°

PA = PB (raaklyne vanaf gemeensk. pt)
P $\hat{A}$ B = P $\hat{B}$ A = 39° (∠e teenoor gelyke sye)
∴ A $\hat{P}$ B = 102° (som ∠e van Δ)

(c) Antwoord: Ja: BA = BC, dus is ΔABC gelykbenig

C $\hat{A}$ B = A $\hat{B}$ P = 39° (verwis. ∠e; AC ∥ PB)
A $\hat{C}$ B = 39° (gegee)
∴ C $\hat{A}$ B = A $\hat{C}$ B
∴ BA = BC (sye teenoor gelyke ∠e)

(d) Antwoord: PAOB is 'n koordevierhoek

O $\hat{A}$ P = 90° (raaklyn ⊥ radius)
O $\hat{B}$ P = 90° (raaklyn ⊥ radius)
∴ O $\hat{A}$ P + O $\hat{B}$ P = 180°
∴ PAOB is 'n koordevierhoek (teenoorst. ∠e van vierhoek supp)

(e) Antwoord: A $\hat{O}$ B = 78°

A $\hat{O}$ B = 2 × A $\hat{C}$ B = 78° (∠ by middelpunt = 2 × ∠ by omtrek)

Om die stelling self te bewys, nie om dit te gebruik nie

6 vrae · 74 punte

Vraestel II · Afdeling A · 13 punte

VRAAG 5

In die diagram:

O is die middelpunt van die sirkel, en SAT is 'n raaklyn aan die sirkel by A.
B en C lê op die sirkel.

Gee alle relevante redes vir jou bewerings.

(a)
Gebruik die diagram om die stelling te bewys wat lui dat die hoek tussen 'n raaklyn aan 'n sirkel en 'n koord wat vanaf die raakpunt getrek is, gelyk is aan die hoek in die teenoorstaande segment.
(6)
In die diagram hieronder lê A, B en C op die sirkel en PAQ is 'n raaklyn aan die sirkel by A. D lê op AB en E op AC, met DE ∥ BC.
(b)
Bewys dat P $\hat{A}$ D = A $\hat{E}$ D.
(3)
(c)
Bewys vervolgens dat PQ 'n raaklyn is aan die sirkel deur A, D en E.
(2)
(d)
Indien AD = 3 eenhede, DB = 1 eenhede en AC = 8 eenhede, bereken die lengte van AE.
(2)

[13]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: Sien die bewys hieronder.

Te bewys: B $\hat{A}$ T = A $\hat{C}$ B
Konstruksie: Trek die middellyn AD en verbind DB.
D $\hat{A}$ T = 90° (raaklyn ⊥ radius)
A $\hat{B}$ D = 90° (∠ in halfsirkel)
∴ B $\hat{A}$ T = 90° − D $\hat{A}$ B
A $\hat{D}$ B = 90° − D $\hat{A}$ B (som ∠e van Δ)
∴ B $\hat{A}$ T = A $\hat{D}$ B
A $\hat{D}$ B = A $\hat{C}$ B (∠e in dieselfde segment)
∴ B $\hat{A}$ T = A $\hat{C}$ B

(b) Antwoord: P $\hat{A}$ D = A $\hat{E}$ D

P $\hat{A}$ B = A $\hat{C}$ B (raaklyn-koordstelling)
A $\hat{C}$ B = A $\hat{E}$ D (ooreenk. ∠e; DE ∥ BC)
∴ P $\hat{A}$ D = A $\hat{E}$ D

(c) Antwoord: PQ is 'n raaklyn aan die sirkel deur A, D en E

P $\hat{A}$ D = A $\hat{E}$ D (bewys)
∴ PQ is 'n raaklyn aan die sirkel deur A, D en E (omgekeerde raaklyn-koordstelling)

(d) Antwoord: AE = 6 eenhede

AE/EC = AD/DB = 3 (lyn ∥ een sy van Δ; DE ∥ BC)
∴ AE = (3/4) × 8 = 6 eenhede

Vraestel II · Afdeling A · 14 punte

VRAAG 6

In die diagram:

In ΔABC en ΔDEF is $\hat{A}$ = $\hat{D}$ , $\hat{B}$ = $\hat{E}$ en $\hat{C}$ = $\hat{F}$ .

Gee alle relevante redes vir jou bewerings.

(a)
Gebruik die diagram om die stelling te bewys wat lui dat indien twee driehoeke gelykhoekig is, hulle ooreenstemmende sye in dieselfde verhouding is.
(6)
In die diagram hieronder het ΔPQR 'n regte hoek by Q, en S lê op PR met QS ⊥ PR. PS = 9 eenhede en SR = 16 eenhede.
(b)
Bewys dat ΔPQS ||| ΔQRS.
(3)
(c)
Bewys vervolgens dat QS^{^2} = PS · SR.
(2)
(d)
Bereken die lengtes van QS en PQ.
(3)

[14]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: Sien die bewys hieronder.

Te bewys: DE/AB = DF/AC
Konstruksie: Merk G op AB sodat AG = DE, en H op AC sodat AH = DF; verbind GH.
In ΔAGH en ΔDEF:
AG = DE (konstruksie)
G $\hat{A}$ H = E $\hat{D}$ F (gegee)
AH = DF (konstruksie)
∴ ΔAGH ≡ ΔDEF (S-H-S)
∴ A $\hat{G}$ H = D $\hat{E}$ F = A $\hat{B}$ C (≡ Δe)
∴ GH ∥ BC (ooreenk. ∠e =)
AG/AB = AH/AC (lyn ∥ een sy van Δ; GH ∥ BC)
∴ DE/AB = DF/AC

(b) Antwoord: ΔPQS ||| ΔQRS

In ΔPQS en ΔQRS:
P $\hat{S}$ Q = Q $\hat{S}$ R = 90° (gegee)
Q $\hat{P}$ S = 90° − P $\hat{Q}$ S (som ∠e van Δ)
P $\hat{Q}$ R = 90° (gegee)
∴ R $\hat{Q}$ S = 90° − P $\hat{Q}$ S
∴ ΔPQS ||| ΔQRS (∠∠∠)

(c) Antwoord: QS^{^2} = PS · SR

PS/QS = QS/SR (||| Δe)
∴ QS^{^2} = PS · SR

(d) Antwoord: QS = 12 eenhede; PQ = 15 eenhede

QS^{^2} = 9 · 16 = 144, dus QS = 12 eenhede (bewys)
∴ PQ^{^2} = 9^{^2} + 12^{^2} = 225, dus PQ = 15 eenhede (Pythagoras)

Vraestel II · Afdeling A · 13 punte

VRAAG 7

In die diagram:

O is die middelpunt van die sirkel, en A, B en P lê op die sirkel.

Gee alle relevante redes vir jou bewerings.

(a)
Gebruik die diagram om die stelling te bewys wat lui dat die hoek wat deur 'n boog by die middelpunt van 'n sirkel onderspan word, twee keer so groot is as die hoek wat dieselfde boog by die omtrek onderspan.
(6)
In die diagram hieronder is O die middelpunt van die sirkel en ABCD is 'n koordevierhoek. B $\hat{O}$ D = 4x en B $\hat{C}$ D = 2x + 60°.
(b)
Druk B $\hat{A}$ D in terme van x uit.
(2)
(c)
Bepaal vervolgens die waarde van x.
(3)
(d)
Bepaal die grootte van O $\hat{B}$ D.
(2)

[13]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: Sien die bewys hieronder.

Te bewys: A $\hat{O}$ B = 2 × A $\hat{P}$ B
Konstruksie: Verbind PO en verleng dit na Q.
OA = OP (radii)
${\hat{P}}_{1}$ = O $\hat{A}$ P (∠e teenoor gelyke sye)
${\hat{O}}_{1}$ = 2 × ${\hat{P}}_{1}$ (buite ∠ van Δ)
${\hat{O}}_{2}$ = 2 × ${\hat{P}}_{2}$ (buite ∠ van Δ; net so)
∴ A $\hat{O}$ B = 2 × ${\hat{P}}_{1}$ + 2 × ${\hat{P}}_{2}$
∴ A $\hat{O}$ B = 2 × A $\hat{P}$ B

(b) Antwoord: B $\hat{A}$ D = 2x

B $\hat{A}$ D = ½ × B $\hat{O}$ D = 2x (∠ by middelpunt = 2 × ∠ by omtrek)

(c) Antwoord: x = 30°

2x + 2x + 60° = 180° (teenoorst. ∠e van koordevierhoek)
4x = 120°
∴ x = 30°

(d) Antwoord: O $\hat{B}$ D = 30°

OB = OD (radii)
O $\hat{B}$ D = O $\hat{D}$ B (∠e teenoor gelyke sye)
∴ O $\hat{B}$ D = 30° (som ∠e van Δ)

Vraestel II · Afdeling A · 12 punte

VRAAG 8

In die diagram:

ABCD is 'n koordevierhoek in die sirkel met middelpunt O.

Gee alle relevante redes vir jou bewerings.

(a)
Gebruik die diagram om die stelling te bewys wat lui dat die teenoorstaande hoeke van 'n koordevierhoek supplementêr is.
(5)
In die diagram hieronder is ABCD 'n koordevierhoek. AB word verleng na E en DC word verleng na F sodat EF ∥ BC.
(b)
Bewys dat A $\hat{E}$ F = A $\hat{B}$ C.
(1)
(c)
Bewys vervolgens dat ADFE 'n koordevierhoek is.
(4)
(d)
Indien A $\hat{D}$ C = 73°, bepaal die grootte van A $\hat{E}$ F.
(2)

[12]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: Sien die bewys hieronder.

Te bewys: B $\hat{A}$ D + B $\hat{C}$ D = 180°
Konstruksie: Verbind OB en OD.
${\hat{O}}_{1}$ = 2 × B $\hat{A}$ D (∠ by middelpunt = 2 × ∠ by omtrek)
refleks B $\hat{O}$ D = 2 × B $\hat{C}$ D (∠ by middelpunt = 2 × ∠ by omtrek)
${\hat{O}}_{1}$ + refleks B $\hat{O}$ D = 360° (∠e om 'n punt)
∴ 2 × B $\hat{A}$ D + 2 × B $\hat{C}$ D = 360°
∴ B $\hat{A}$ D + B $\hat{C}$ D = 180°

(b) Antwoord: A $\hat{E}$ F = A $\hat{B}$ C

A $\hat{E}$ F = A $\hat{B}$ C (ooreenk. ∠e; BC ∥ EF)

(c) Antwoord: ADFE is 'n koordevierhoek

A $\hat{B}$ C + A $\hat{D}$ C = 180° (teenoorst. ∠e van koordevierhoek)
A $\hat{E}$ F = A $\hat{B}$ C (bewys)
∴ A $\hat{E}$ F + A $\hat{D}$ F = 180°
∴ ADFE is 'n koordevierhoek (teenoorst. ∠e van vierhoek supp)

(d) Antwoord: A $\hat{E}$ F = 107°

A $\hat{B}$ C = 180° − A $\hat{D}$ C = 107° (teenoorst. ∠e van koordevierhoek)
∴ A $\hat{E}$ F = 107° (bewys)

Vraestel II · Afdeling A · 10 punte

VRAAG 9

In die diagram:

O is die middelpunt van die sirkel en AB is 'n koord.
OM ⊥ AB, met M op AB.

Gee alle relevante redes vir jou bewerings.

(a)
Gebruik die diagram om die stelling te bewys wat lui dat die lyn wat vanaf die middelpunt van 'n sirkel loodreg op 'n koord getrek word, die koord halveer.
(5)
In die diagram hieronder is O die middelpunt van die sirkel, en KL en NQ is ewewydige koorde aan weerskante van O. KL = 8 eenhede, NQ = 6 eenhede, en EOF ⊥ KL met E op KL en F op NQ. Die koorde is 7 eenhede uit mekaar.
(b)
Bereken die radius van die sirkel. (Laat OE = y.)
(5)

[10]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: Sien die bewys hieronder.

Te bewys: AM = MB
Konstruksie: Verbind OA en OB.
In ΔOMA en ΔOMB:
OA = OB (radii)
OM = OM (gemeenskaplik)
O $\hat{M}$ A = O $\hat{M}$ B = 90° (gegee)
∴ ΔOMA ≡ ΔOMB (R-H-S)
∴ AM = MB (≡ Δe)

(b) Antwoord: r = 5 eenhede

KE = EL = 4 en NF = FQ = 3 (lyn vanaf middelpunt ⊥ op koord)
r^{^2} = 4^{^2} + y^{^2} (Pythagoras)
r^{^2} = 3^{^2} + (7 − y)^{^2} (Pythagoras)
16 + y^{^2} = 9 + 49 − 14y + y^{^2}
∴ y = 3
∴ r = √(16 + 9) = 5 eenhede

Vraestel II · Afdeling A · 12 punte

VRAAG 10

In die diagram:

In ΔABC lê D op AB en E op AC met DE ∥ BC.

Gee alle relevante redes vir jou bewerings.

(a)
Gebruik die diagram om die stelling te bewys wat lui dat 'n lyn wat ewewydig aan een sy van 'n driehoek getrek word, die ander twee sye eweredig verdeel.
(6)
In die diagram hieronder lê S op PQ en T op PR met ST ∥ QR, en U lê op QR met SU ∥ PR. PS = 3 eenhede, SQ = 2 eenhede en QR = 10 eenhede.
(b)
Skryf PT : TR neer.
(1)
(c)
Bepaal QU : UR.
(2)
(d)
Bereken die lengte van ST.
(3)

[12]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: Sien die bewys hieronder.

Te bewys: AD/DB = AE/EC
Konstruksie: Verbind BE en CD.
oppervlakte ΔADE/oppervlakte ΔBDE = AD/DB (dieselfde hoogte)
oppervlakte ΔADE/oppervlakte ΔCED = AE/EC (dieselfde hoogte)
oppervlakte ΔBDE = oppervlakte ΔCED (dieselfde basis; dieselfde hoogte; DE ∥ BC)
∴ AD/DB = AE/EC

(b) Antwoord: PT : TR = 3 : 2

PT : TR = PS : SQ = 3 : 2 (lyn ∥ een sy van Δ; ST ∥ QR)

(c) Antwoord: QU : UR = 2 : 3

In ΔQPR: SU ∥ PR
∴ QU : UR = 2 : 3 (lyn ∥ een sy van Δ; SU ∥ PR)

(d) Antwoord: ST = 6 eenhede

UR = (3/5) × 10 = 6 eenhede (QU : UR = 2 : 3)
STRU is 'n parallelogram (albei pare teenoorst. sye ∥)
∴ ST = UR = 6 eenhede (teenoorst. sye van parm)

Koordevierhoeke

1 vrae · 12 punte

Vraestel II · Afdeling B · 12 punte

VRAAG 11

In die diagram:

Twee sirkels sny mekaar by A en B.
P lê op die eerste sirkel; PA verleng ontmoet die tweede sirkel by Q, en PB verleng ontmoet dit by R.
XPY is 'n raaklyn aan die eerste sirkel by P.
X $\hat{P}$ A = x

Gee alle relevante redes vir jou bewerings.

(a)
Druk P $\hat{B}$ A in terme van x uit.
(2)
(b)
Druk A $\hat{Q}$ R in terme van x uit.
(2)
(c)
Bewys dat XY ∥ QR.
(2)
(d)
Bewys dat ΔPAB ||| ΔPRQ.
(3)
(e)
Indien PA = 4 eenhede, AQ = 5 eenhede en PB = 3 eenhede, bereken die lengte van BR.
(3)

[12]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: P $\hat{B}$ A = x

P $\hat{B}$ A = X $\hat{P}$ A = x (raaklyn-koordstelling)

(b) Antwoord: A $\hat{Q}$ R = x

A $\hat{Q}$ R = P $\hat{B}$ A = x (buite ∠ van koordevierhoek)

(c) Antwoord: XY ∥ QR

X $\hat{P}$ Q = P $\hat{Q}$ R = x (bewys)
∴ XY ∥ QR (verwis. ∠e =)

(d) Antwoord: ΔPAB ||| ΔPRQ

In ΔPAB en ΔPRQ:
A $\hat{P}$ B = R $\hat{P}$ Q (gemeenskaplik)
P $\hat{B}$ A = P $\hat{Q}$ R = x (bewys)
∴ ΔPAB ||| ΔPRQ (∠∠∠)

(e) Antwoord: BR = 9 eenhede

PA/PR = PB/PQ (||| Δe)
∴ PR = (4 · 9)/3 = 12 eenhede
∴ BR = 12 − 3 = 9 eenhede

Gelykvormige driehoeke

2 vrae · 21 punte

Vraestel II · Afdeling A · 10 punte

VRAAG 12

In die diagram:

ABCD is 'n trapesium met AB ∥ DC.
Die hoeklyne AC en BD sny by E.
F lê op AD en G op BC, met FEG ∥ AB.
AB = 18 eenhede en DC = 9 eenhede.

Gee alle relevante redes vir jou bewerings.

(a)
Bewys dat ΔABE ||| ΔCDE.
(3)
(b)
Skryf vervolgens AE : EC neer.
(1)
(c)
Bereken die lengte van FE.
(3)
(d)
Bewys dat E die middelpunt van FG is.
(3)

[10]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: ΔABE ||| ΔCDE

In ΔABE en ΔCDE:
B $\hat{A}$ E = D $\hat{C}$ E (verwis. ∠e; AB ∥ DC)
A $\hat{B}$ E = C $\hat{D}$ E (verwis. ∠e; AB ∥ DC)
∴ ΔABE ||| ΔCDE (∠∠∠)

(b) Antwoord: AE : EC = 2 : 1

AE : EC = 2 : 1 (||| Δe)

(c) Antwoord: FE = 6 eenhede

In ΔADC: FE ∥ DC
ΔAFE ||| ΔADC (∠∠∠)
FE/DC = AE/AC = 2/3 (||| Δe)
∴ FE = (2/3) × 9 = 6 eenhede

(d) Antwoord: FE = EG, dus is E die middelpunt van FG

In ΔBDC: EG ∥ DC
EG/DC = BE/BD = 2/3 (||| Δe)
∴ EG = (2/3) × 9 = 6 eenhede
∴ FE = EG

Vraestel II · Afdeling B · 11 punte

VRAAG 13

In die diagram:

B, C, D en E lê op die sirkel.
A is 'n punt buite die sirkel; ADB en AEC is reguit lyne.
DE en BC is verbind.

Gee alle relevante redes vir jou bewerings.

(a)
Bewys dat ΔADE ||| ΔACB.
(4)
(b)
Bewys vervolgens dat AD · AB = AE · AC.
(2)
(c)
Indien AD = 4 eenhede, DB = 8 eenhede en AE = 3 eenhede, bereken die lengte van EC.
(3)
(d)
Indien verder DE = 3 eenhede, bereken die lengte van BC.
(2)

[11]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: ΔADE ||| ΔACB

In ΔADE en ΔACB:
D $\hat{A}$ E = C $\hat{A}$ B (gemeenskaplik)
${\hat{D}}_{1}$ = A $\hat{C}$ B (buite ∠ van koordevierhoek)
∴ A $\hat{E}$ D = A $\hat{B}$ C (som ∠e van Δ)
∴ ΔADE ||| ΔACB (∠∠∠)

(b) Antwoord: AD · AB = AE · AC

AD/AC = AE/AB (||| Δe)
∴ AD · AB = AE · AC

(c) Antwoord: EC = 13 eenhede

4 · 12 = 3 · AC (bewys)
∴ AC = 16 eenhede
∴ EC = 16 − 3 = 13 eenhede

(d) Antwoord: BC = 12 eenhede

DE/CB = AD/AC (||| Δe)
∴ BC = (3 · 16)/4 = 12 eenhede

Produkte en verhoudings van lengtes

1 vrae · 8 punte

Vraestel II · Afdeling A · 8 punte

VRAAG 14

In die diagram:

In ΔABC lê D op BC met BD : DC = 4 : 5.
E is die middelpunt van AD, en BE verleng ontmoet AC by F.
G lê op FC sodat DG ∥ BF.

Gee alle relevante redes vir jou bewerings.

(a)
Bepaal FG : GC.
(2)
(b)
Bewys dat AF = FG.
(2)
(c)
Bepaal vervolgens AF : FC.
(2)
(d)
Bepaal oppervlakte ΔABF : oppervlakte ΔCBF.
(2)

[8]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: FG : GC = 4 : 5

In ΔCBF: DG ∥ BF
∴ FG : GC = 4 : 5 (lyn ∥ een sy van Δ; DG ∥ BF)

(b) Antwoord: AF = FG

In ΔADG: AE = ED en EF ∥ DG
∴ AF = FG (lyn deur middelpt ∥ aan tweede sy)

(c) Antwoord: AF : FC = 4 : 9

AF = FG = 4k en GC = 5k (bewys)
∴ AF : FC = 4 : 9

(d) Antwoord: 4 : 9

oppervlakte ΔABF : oppervlakte ΔCBF = 4 : 9 (dieselfde hoogte)

Die Eweredigheidstelling

1 vrae · 10 punte

Vraestel II · Afdeling A · 10 punte

VRAAG 15

In die diagram:

In ΔABC lê D op AB en E op AC met DE ∥ BC.
AD : DB = 3 : 1.
BE en CD is verbind.

Gee alle relevante redes vir jou bewerings.

(a)
Skryf AE : EC neer, met 'n rede.
(2)
(b)
Bepaal oppervlakte ΔADE : oppervlakte ΔBDE.
(2)
(c)
Bewys dat oppervlakte ΔBDE = oppervlakte ΔCDE.
(2)
(d)
Bepaal die numeriese waarde van (oppervlakte ΔADE)/(oppervlakte ΔABC).
(4)

[10]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: AE : EC = 3 : 1

AE : EC = 3 : 1 (lyn ∥ een sy van Δ; DE ∥ BC)

(b) Antwoord: 3 : 1

oppervlakte ΔADE : oppervlakte ΔBDE = 3 : 1 (dieselfde hoogte)

(c) Antwoord: oppervlakte ΔBDE = oppervlakte ΔCDE

oppervlakte ΔBDE = oppervlakte ΔCDE (dieselfde basis; dieselfde hoogte; DE ∥ BC)

(d) Antwoord: 9/16

oppervlakte ΔADE/oppervlakte ΔADC = 3/4 (dieselfde hoogte)
oppervlakte ΔADC/oppervlakte ΔABC = 3/4 (dieselfde hoogte)
∴ oppervlakte ΔADE/oppervlakte ΔABC = 9/16

Die hoek in 'n halfsirkel

1 vrae · 13 punte

Vraestel II · Afdeling B · 13 punte

VRAAG 16

In die diagram:

AB is 'n middellyn van die sirkel met middelpunt O.
Die raaklyn aan die sirkel by C ontmoet AB verleng by D.
${\hat{C}}_{3}$ = x

Gee alle relevante redes vir jou bewerings.

(a)
Druk C $\hat{A}$ B in terme van x uit.
(2)
(b)
Druk ${\hat{C}}_{2}$ in terme van x uit.
(3)
(c)
Bewys dat ΔDCB ||| ΔDAC.
(3)
(d)
Bewys vervolgens dat DC^{^2} = DB · DA.
(2)
(e)
Indien DB = 7 eenhede en DC = 14 eenhede, bereken die radius van die sirkel.
(3)

[13]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: C $\hat{A}$ B = x

C $\hat{A}$ B = ${\hat{C}}_{3}$ = x (raaklyn-koordstelling)

(b) Antwoord: ${\hat{C}}_{2}$ = 90° − x

A $\hat{C}$ B = 90° (∠ in halfsirkel)
${\hat{C}}_{1}$ = C $\hat{A}$ O = x (∠e teenoor gelyke sye)
∴ ${\hat{C}}_{2}$ = 90° − x

(c) Antwoord: ΔDCB ||| ΔDAC

In ΔDCB en ΔDAC:
C $\hat{D}$ B = A $\hat{D}$ C (gemeenskaplik)
${\hat{C}}_{3}$ = C $\hat{A}$ B = x (bewys)
∴ ΔDCB ||| ΔDAC (∠∠∠)

(d) Antwoord: DC^{^2} = DB · DA

DC/DA = DB/DC (||| Δe)
∴ DC^{^2} = DB · DA

(e) Antwoord: r = 10.5 eenhede

14^{^2} = 7(7 + 2r) (bewys)
196 = 49 + 14r
∴ r = 10.5 eenhede

Koorde, en die lyn vanaf die middelpunt

1 vrae · 10 punte

Vraestel II · Afdeling A · 10 punte

VRAAG 17

In die diagram:

A, B, C en D lê op die sirkel.
AB = BC.
EBF is 'n raaklyn aan die sirkel by B.
B $\hat{A}$ C = 25°

Gee alle relevante redes vir jou bewerings.

(a)
Bewys dat DB A $\hat{D}$ C halveer.
(2)
(b)
Bewys dat EF ∥ AC.
(4)
(c)
Bepaal die grootte van A $\hat{B}$ C.
(2)
(d)
Bepaal die grootte van ${\hat{D}}_{1}$ .
(2)

[10]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: ${\hat{D}}_{1}$ = ${\hat{D}}_{2}$ , dus halveer DB A $\hat{D}$ C

AB = BC (gegee)
∴ ${\hat{D}}_{1}$ = ${\hat{D}}_{2}$ (gelyke koorde; gelyke ∠e)

(b) Antwoord: EF ∥ AC

E $\hat{B}$ A = B $\hat{C}$ A (raaklyn-koordstelling)
B $\hat{C}$ A = B $\hat{A}$ C (∠e teenoor gelyke sye)
∴ E $\hat{B}$ A = B $\hat{A}$ C
∴ EF ∥ AC (verwis. ∠e =)

(c) Antwoord: A $\hat{B}$ C = 130°

B $\hat{C}$ A = B $\hat{A}$ C = 25° (∠e teenoor gelyke sye)
∴ A $\hat{B}$ C = 130° (som ∠e van Δ)

(d) Antwoord: ${\hat{D}}_{1}$ = 25°

${\hat{D}}_{1}$ = A $\hat{C}$ B = 25° (∠e in dieselfde segment)

Om te bewys dat 'n vierhoek 'n koordevierhoek is

1 vrae · 15 punte

Vraestel II · Afdeling B · 15 punte

VRAAG 18

In die diagram:

In ΔABC lê D op BC en E op AC.
AD ⊥ BC en BE ⊥ AC.
AD en BE sny by H.
$\hat{C}$ = x

Gee alle relevante redes vir jou bewerings.

(a)
Bewys dat CDHE 'n koordevierhoek is.
(3)
(b)
Bewys dat ABDE 'n koordevierhoek is.
(3)
(c)
Druk D $\hat{A}$ C in terme van x uit.
(2)
(d)
Bewys dat ${\hat{D}}_{1}$ = B $\hat{A}$ C.
(2)
(e)
Bewys vervolgens dat ΔCDE ||| ΔCAB.
(3)
(f)
Indien CD = 12 eenhede, CA = 20 eenhede en CE = 9 eenhede, bereken die lengte van CB.
(2)

[15]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: CDHE is 'n koordevierhoek

H $\hat{D}$ C = 90° (gegee)
H $\hat{E}$ C = 90° (gegee)
∴ H $\hat{D}$ C + H $\hat{E}$ C = 180°
∴ CDHE is 'n koordevierhoek (teenoorst. ∠e van vierhoek supp)

(b) Antwoord: ABDE is 'n koordevierhoek

A $\hat{D}$ B = A $\hat{E}$ B = 90° (gegee)
∴ ABDE is 'n koordevierhoek (lyn onderspan gelyke ∠e)

(c) Antwoord: D $\hat{A}$ C = 90° − x

A $\hat{D}$ C = 90° (gegee)
∴ D $\hat{A}$ C = 90° − x (som ∠e van Δ)

(d) Antwoord: ${\hat{D}}_{1}$ = B $\hat{A}$ C

${\hat{D}}_{1}$ = B $\hat{A}$ E (buite ∠ van koordevierhoek)

(e) Antwoord: ΔCDE ||| ΔCAB

In ΔCDE en ΔCAB:
D $\hat{C}$ E = A $\hat{C}$ B (gemeenskaplik)
${\hat{D}}_{1}$ = C $\hat{A}$ B (bewys)
∴ ΔCDE ||| ΔCAB (∠∠∠)

(f) Antwoord: CB = 15 eenhede

CD/CA = CE/CB (||| Δe)
∴ CB = (9 · 20)/12 = 15 eenhede

Die middelpuntstelling

1 vrae · 9 punte

Vraestel II · Afdeling A · 9 punte

VRAAG 19

In die diagram:

In vierhoek ABCD is P, Q, R en S die middelpunte van AB, BC, CD en DA onderskeidelik.
Die hoeklyne AC en BD is getrek.

Gee alle relevante redes vir jou bewerings.

(a)
Bewys dat PQ ∥ AC en PQ = ½AC.
(2)
(b)
Bewys vervolgens dat PQRS 'n parallelogram is.
(3)
(c)
Indien AC = 14 eenhede en BD = 19 eenhede, bereken die omtrek van PQRS.
(2)
(d)
Bepaal oppervlakte ΔAPS : oppervlakte ΔABD.
(2)

[9]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: PQ ∥ AC en PQ = ½AC

In ΔABC: AP = PB en BQ = QC
∴ PQ ∥ AC (middelpuntstelling)
∴ PQ = ½AC (middelpuntstelling)

(b) Antwoord: PQRS is 'n parallelogram

In ΔADC: DS = SA en DR = RC
SR ∥ AC (middelpuntstelling)
SR = ½AC (middelpuntstelling)
∴ PQ ∥ SR en PQ = SR
∴ PQRS is 'n parallelogram (een paar teenoorst. sye = en ∥)

(c) Antwoord: 33 eenhede

PQ = SR = ½(14) = 7 (middelpuntstelling)
PS = QR = ½(19) = 9.5 (middelpuntstelling)
∴ omtrek = 14 + 19 = 33 eenhede

(d) Antwoord: 1 : 4

oppervlakte ΔAPS : oppervlakte ΔABS = 1 : 2 (dieselfde hoogte)
oppervlakte ΔABS : oppervlakte ΔABD = 1 : 2 (dieselfde hoogte)
∴ oppervlakte ΔAPS : oppervlakte ΔABD = 1 : 4

Laai hierdie boekie af

Dieselfde vrae as 'n boekie om te druk, met die memorandum as 'n aparte lêer sodat jy kan werk sonder dat die antwoorde voor jou lê. In Engels en Afrikaans.

Vrae (Engels) 37 bladsye, 0.3 MB
Memorandum (Engels) 19 bladsye, 0.3 MB
Vrae (Afrikaans) 37 bladsye, 0.3 MB
Memorandum (Afrikaans) 19 bladsye, 0.3 MB

Elke vraag op hierdie bladsy is vir hierdie werf deur 'n rekenaarenjin gegenereer, en die antwoord is deur 'n onafhanklike metode bevestig op die oomblik toe die vraag gemaak is.

Alle IEB-oefening · Skryf hierdie vraestel op tyd · English