Hoofstuk 6 — Datahantering en Waarskynlikheid

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Tel alle waardes op.

$$\text{Som} = 4 + 7 + 3 + 9 + 2 + 5 = 30$$

Stap 2 — Deel deur die aantal.

$$\bar{x} = \frac{30}{6} = 5$$

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) 4.5 — die mediaan van die data in volgorde $(2, 3, 4, 5, 7, 9)\mathclose{:}$ halfpad tussen die twee middelste waardes, nie die gemiddelde nie.

C) 6 — omdat die totaal, 30, deur 5 in plaas van deur 6 gedeel is: een waarde is nie getel nie.

D) 30 — die totaal van die ses waardes. Die deling deur 6 is uitgelaat.

Onthou: Tel die aantal waardes noukeurig voordat jy deel. Met ses datapunte deel jy deur 6, nie deur enige ander getal nie.

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Sorteer die data in stygende volgorde.

$$1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 8,\ 9$$

Stap 2 — Vind die middelste posisie.

Met $n = 7$ waardes is die mediaan by posisie $\dfrac{7+1}{2} = 4\mathclose{.}$ Die 4de waarde is $\mathbf{5}\mathclose{.}$

Waarom die afleiers verkeerd is:

D) 9 — die middelste waarde van die lys soos gedruk, voordat dit gesorteer is. Die mediaan is die middel van die data in volgorde.

C) 7 — die 5de waarde; die fout om van die einde af te tel eerder as om die presiese middel te vind.

B) 6 — dit sou die gemiddelde van 7 en 5 wees, wat die gemiddelde van die twee middelste waardes in ’n stel met ’n ewe aantal waardes is. Daar is hier 7 waardes, dus is daar een presiese middelste waarde.

Onthou: Sorteer altyd eers, en vind dan posisie $\frac{n+1}{2}$ vir onewe $n\mathclose{.}$ Moet nooit die mediaan van ongesorteerde data vind nie.

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Tel die frekwensie van elke waarde.

Stap 2 — Identifiseer die hoogste frekwensie.

Die waarde 2 verskyn 3 keer — meer as enige ander waarde. Die modus is $\mathbf{2}\mathclose{.}$

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) 4 — verskyn twee keer, minder as 2.

C) 7 — verskyn ook twee keer.

D) 4 en 2 — ’n datastel is slegs bimodaal wanneer twee waardes die hoogste frekwensie deel. Hier het 2 ’n streng hoër frekwensie (3 teenoor 2), dus is daar net een modus.

Onthou: ’n Datastel het slegs ’n unieke modus wanneer een waarde streng meer dikwels as al die ander verskyn. As twee waardes gelykop is vir die meeste voorkomste, is die stel bimodaal.

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Bereken die nuwe gemiddeld.

$$\bar{x}_\text{nuut} = \frac{5+5+6+7+7+50}{6} = \frac{80}{6} \approx 13.3$$

Die gemiddeld het van 6 tot omtrent 13.3 gespring — ’n toename van meer as 7 eenhede.

Stap 2 — Vind die nuwe mediaan.

Gesorteerde stel: $5,\ 5,\ 6,\ 7,\ 7,\ 50\mathclose{.}$ Met $n=6$ is die mediaan die gemiddelde van die 3de en 4de waardes:

$$\text{Mediaan}_\text{nuut} = \frac{6+7}{2} = 6.5$$

Die mediaan het met slegs 0.5 toegeneem — veel minder as die gemiddeld.

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) Om 50 by te voeg verander beslis die gemiddeld — dit blaas die som geweldig op.

B) Die mediaan het skaars beweeg (6 tot 6.5); dit is die gemiddeld wat dramaties toegeneem het.

C) Die gemiddeld het met ~7.3 toegeneem, die mediaan met 0.5 — heeltemal verskillende bedrae.

Onthou: Die gemiddeld is sensitief vir uitskieters omdat dit elke waarde in sy berekening gebruik. Die mediaan is bestand daarteen omdat slegs die middelste posisie saak maak.

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Bereken $fx$ vir elke ry.

Stap 2 — Deel $\sum fx$ deur $\sum f\mathclose{.}$

$$\bar{x} = \frac{\sum fx}{\sum f} = \frac{410}{20} = 20.5$$

Waarom die ander verkeerd is: D (22), C (21) en A (19.5) is elkeen een rekenfout daarvandaan — ’n ry wat verkeerd vermenigvuldig is, of ’n verkeerde kolomtotaal. Die tabel gee jou twee kontrolepunte: $\sum f = 20$ moet met die aantal datapunte ooreenstem, en $\sum fx = 410\mathclose{.}$ Verifieer albei voordat jy deel.

(Weerstaan ook die versoeking om die vier middelpunte te middel. Dit ignoreer die frekwensies en werk net as elke klas ewe vol is.)

Onthou: Gegroepeerde gemiddeld $= \frac{\sum fx}{\sum f}$ met middelpunte. Dit is ’n skatting — die presiese gemiddeld is verloor toe die data gegroepeer is — en die twee kolomtotale is jou enigste verdediging teen glipse.

Afdeling 6.2 — Maatstawwe van Verspreiding

Die omvang is maklik om te bereken maar broos — een uiterste waarde verander dit heeltemal. Die IKO is meer robuust omdat dit op die middelste 50 % van die data fokus. Die vyfgetal-opsomming (minimum, $Q_1\mathclose{,}$ mediaan, $Q_3\mathclose{,}$ maksimum) gee ’n kompakte beskrywing van die hele verdeling en word grafies as ’n box-en-snor-diagram vertoon. Die buitenste heinings $Q_1 - 1.5 \times \text{IKO}$ en $Q_3 + 1.5 \times \text{IKO}$ bepaal die grense vir uitskieters.

Antwoord: D

Verduideliking

$$\text{Omvang} = \text{maksimum} - \text{minimum} = 23 - 4 = 19$$

Waarom die ander verkeerd is: die data is ongesorteer, en elke verkeerde opsie is ’n leesfout —

• A (12) is $23 - 11\mathclose{:}$ die minimum is verkeerdelik as 11 geïdentifiseer (4 kruip in die middel weg).
• B (15) is $19 - 4\mathclose{:}$ die maksimum is verkeerdelik as 19 geïdentifiseer, en die ware maksimum 23 is verder af in die lys misgekyk.
• C (17) is ’n aftrekglips op die korrekte paar.

Onthou: Omvang = maks − min $= 23 - 4 = 19\mathclose{.}$ Met ongesorteerde data, onderstreep die maks en die min voordat jy aftrek — albei leesfoute hierbo is een oogopslag daarvandaan om te gebeur. En onthou dat die omvang niks sê oor die vorm tussenin nie.

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Verdeel in ’n onderste en ’n boonste helfte.

Met $n = 8$ waardes, verdeel ná die 4de:

• Onderste helfte: $\{3,\ 5,\ 7,\ 9\}$
• Boonste helfte: $\{11,\ 13,\ 15,\ 17\}$

Stap 2 — Vind $Q_1$ en $Q_3\mathclose{.}$

$$Q_1 = \frac{5+7}{2} = 6 \qquad Q_3 = \frac{13+15}{2} = 14$$

Stap 3 — IKO.

$$\text{IKO} = Q_3 - Q_1 = 14 - 6 = 8$$

Waarom die afleiers verkeerd is:

D) 14 — dit is $Q_3\mathclose{,}$ nie die IKO nie.

A) 6 — dit is $Q_1\mathclose{,}$ nie die IKO nie.

C) 10 — volg daaruit dat verkeerde kwartielposisies gebruik is (bv. die 2de en 7de waardes).

Onthou: Verdeel die data by die mediaanposisie, en vind dan die mediaan van elke helfte. Vir ’n ewe aantal waardes bevat elke helfte $n/2$ waardes.

Antwoord: D

Verduideliking

Min en Maks: 2 en 25.

Mediaan $(n=10)\mathclose{:}$ middel die 5de en 6de waardes, $\frac{10+12}{2} = 11\mathclose{.}$

Verdeel in helftes (die mediaan behoort aan nie een van die twee nie): onderste $\{2,5,7,8,10\}$ → $Q_1 = 7\mathclose{;}$ boonste $\{12,15,18,20,25\}$ → $Q_3 = 18$

Opsomming: $2,\ 7,\ 11,\ 18,\ 25$

Waarom die ander verkeerd is: al drie stem saam oor Min, Mediaan en Maks — die hele stryd gaan oor hoe om die helftes te verdeel.

• A middel pare, en gebruik ’n ander kwartielkonvensie. Met vyf waardes per helfte is elke kwartiel ’n enkele datapunt, nooit ’n gemiddelde nie.
• B het die kwartielposisies van die verkeerde kante af getel.
• C verdeel die onderste helfte verkeerd maar kry $Q_3$ reg — gemengde konvensies in een antwoord, altyd ’n rooi vlag.

Onthou: Vir ’n ewe $n$ het elke helfte $n/2$ waardes en die kwartiele is hulle mediane. Skryf albei helftes uit — kwartielfoute is byna altyd verdelingsfoute.

Antwoord: B

Verduideliking

Per definisie is $Q_1$ die waarde waaronder 25 % van die data val, en $Q_3$ die waarde waaronder 75 % val. Daarom bevat die interval $[Q_1,\ Q_3]$ die middelste $75\% - 25\% = 50\%$ van die data.

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) 25 % — dit is die proporsie in elke snorsegment (van Min tot $Q_1\mathclose{,}$ of van $Q_3$ tot Maks).

C) 75 % — dit is die proporsie onder $Q_3\mathclose{,}$ nie tussen die twee kwartiele nie.

D) 100 % — slegs die volle omvang (Min tot Maks) bevat al die data.

Onthou: Die boks in ’n box-en-snor-diagram verteenwoordig altyd 50 % van die data. Elke snor verteenwoordig 25 %.

Antwoord: B

Verduideliking

Drie kort reëls:

1. IKO $= 20 - 8 = 12$
2. Boonste heining $= Q_3 + 1.5 \times \text{IKO} = 20 + 18 = 38$
3. Vergelyk: $40 > 38\mathclose{,}$ dus is 40 ’n uitskieter.

Waarom die ander verkeerd is:

• A kry die IKO reg maar draai die finale vergelyking om. Gaan stadiger by die wenstreep.
• C (IKO 14) het 8 tot 20 inklusief getel — ’n aftelfout. Die IKO is gewone aftrekking.
• D (IKO 10) is ’n rekenglips waarvan die "uitskieter"-uitspraak net toevallig reg is — die NBT paar dikwels ’n verkeerde tussenstap met ’n gevolgtrekking wat reg klink.

Onthou: Skryf al drie reëls neer. Elkeen is op sy eie kontroleerbaar, en ’n regte gevolgtrekking uit ’n verkeerde tussenstap verdien steeds niks.

Afdeling 6.3 — Datavoorstelling

Histogramme, ogiewe en spreidiagramme is die drie grafiese voorstellings wat die waarskynlikste in NBT-datavrae verskyn. ’n Histogram wys die vorm van ’n verdeling; ’n ogief (kumulatiewefrekwensiekromme) laat jou toe om mediane en persentiele te skat; ’n spreidiagram wys die verband (korrelasie) tussen twee veranderlikes.

Antwoord: C

Verduideliking

Die frekwensies styg van 3 tot ’n piek van 12 in die middelste klas $[20;30)\mathclose{,}$ en val dan terug tot 4 — ’n ruweg simmetriese klokvorm. Die stygende en dalende kante is byna spieëlbeelde van mekaar.

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) Positief skeef — ’n positief skewe verdeling het ’n lang stert na regs (’n klein piek by lae waardes wat stadig by hoë waardes uitloop). Dit is nie hier die geval nie.

B) Uniform — ’n uniforme verdeling het ruweg gelyke frekwensies oor al die klasse.

D) Negatief skeef — sou naby die hoë kant piek en na links uitloop.

Onthou: Visualiseer die staafhoogtes: as hulle ’n heuwel vorm wat in die databereik gesentreer is, is die verdeling simmetries. ’n Lang stert na regs beteken positiewe skeefheid; ’n lang stert na links beteken negatiewe skeefheid.

Antwoord: D

Verduideliking

Mediaanposisie: $\frac{50}{2} =$ die 25ste waarde.

Watter klas hou dit? 15 waardes teen die 40-grens, 30 teen die 60-grens — dus sit die 25ste in $[40;60)\mathclose{.}$

Interpoleer: $$40 + \frac{25-15}{30-15} \times 20 = 40 + \tfrac{10}{15}(20) \approx 53$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A (40) is die klas se ondergrens — die interpolasie het nooit begin nie.
• B (45) het die breuk verknoei. Bou dit in woorde: hoe ver in hierdie klas se 15 waardes sit die 25ste? Tien uit vyftien.
• C (50) is beide die klasmiddelpunt en ’n eggo van "$n=50$" — ’n dubbele lokval, en dit slaan die rekenkunde oor.

Onthou: Vind die klas wat $\frac{n}{2}$ oorspan, en dan: grens $+ \frac{\text{waardes wat nog nodig is}}{\text{waardes in die klas}} \times \text{klaswydte}\mathclose{.}$

Antwoord: A

Verduideliking

Korrelasie meet die neiging van twee veranderlikes om saam te beweeg. As daar geen patroon is nie — punte lukraak versprei — kan nie een van die veranderlikes die ander voorspel nie. Dit word geen korrelasie (of nulkorrelasie) genoem.

Waarom die afleiers verkeerd is:

B) Sterk positiewe korrelasie beteken dat namate $x$ toeneem, $y$ duidelik geneig is om toe te neem — ’n sigbare opwaartse neiging.

C) Swak negatief beteken ’n flou afwaartse neiging is sigbaar.

D) Volmaakte positiewe korrelasie beteken al die punte lê presies op ’n opwaartse reguit lyn.

Onthou: Die sleutelvraag by enige spreidiagram is: "Is daar ’n neiging?" Indien wel, klassifiseer die rigting (positief/negatief) en die sterkte (sterk/swak). As daar geen sigbare neiging is nie, is die antwoord geen korrelasie.

Antwoord: A

Verduideliking

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{14 - 4}{10 - 0} = \frac{10}{10} = 1$$

Die vergelyking van die lyn is $y = x + 4\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is: C (1.5) en D (2) kom daarvan dat een koördinaat verkeerd gelees is — die styging is met vyf mis, of verdubbel. B (1.4) is $\frac{14}{10}\mathclose{,}$ een punt se $y$ oor sy $x\mathclose{:}$ dit is net die gradiënt van ’n lyn deur die oorsprong, en hierdie lyn begin by $(0,\ 4)\mathclose{.}$ Die verdediging is meganies: skryf $\Delta y = 14 - 4 = 10$ en $\Delta x = 10 - 0 = 10$ op afsonderlike reëls voordat jy deel. ’n Gradiënt kom nooit uit een oogopslag na twee punte nie.

Onthou: $m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{10}{10} = 1\mathclose{:}$ $y$ styg een eenheid per eenheid van $x\mathclose{,}$ en die afsnit 4 is die voorspelling by $x = 0$ — dus is die lyn $y = x + 4\mathclose{.}$ Bereken die twee verskille uitdruklik, elke keer.

Antwoord: C

Verduideliking

Standaardafwyking meet die verspreiding om die gemiddeld. Om ’n konstante by te tel of af te trek skuif die hele datastel met dieselfde bedrag — die gemiddeld skuif, maar die afstande tussen die waardes bly dieselfde, dus is $\sigma$ onveranderd.

Om elke waarde met ’n konstante $k$ te vermenigvuldig skaal al die afstande. As die oorspronklike waardes $x_i$ is, is die nuwe waardes $kx_i\mathclose{.}$ Die afwykings vanaf die nuwe gemiddeld $(kx_i - k\bar{x}) = k(x_i - \bar{x})$ word almal met $k$ geskaal. Daarom is die nuwe standaardafwyking $|k|\sigma\mathclose{.}$

Om met 2 te vermenigvuldig verdubbel $\sigma\mathclose{.}$

Waarom D verkeerd is: Jy kan nie ’n konstante by die gemiddeld tel sonder om die individuele waardes te verander nie. Die gemiddeld word uit die waardes afgelei, nie onafhanklik gestel nie.

Onthou: Om ’n konstante by te tel of af te trek — geen verandering aan $\sigma$ nie. Om met ’n konstante $k$ te vermenigvuldig of te deel — $\sigma$ word met $|k|$ vermenigvuldig.

Afdeling 6.4 — Basiese Waarskynlikheid

Die waarskynlikheid van gebeurtenis $A$ is $P(A) = \dfrac{n(A)}{n(S)}\mathclose{,}$ waar $n(A)$ die aantal uitkomste in $A$ is en $n(S)$ die totale aantal ewe waarskynlike uitkomste in die steekproefruimte $S$ is. Waarskynlikheidswaardes lê altyd in $[0,1]\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is: A en B skuif elke waarde met dieselfde bedrag, dus beweeg die gemiddelde saam en die gapings tussen die waardes bly onveranderd. D verander niks aan die data nie — die spreiding word uit die waardes bereken, nie uit die gemiddelde nie.

Antwoord: C

Verduideliking

Steekproefruimte: $S = \{1,2,3,4,5,6\}\mathclose{,}$ dus $n(S) = 6\mathclose{.}$

Ewe getalle: $A = \{2,4,6\}\mathclose{,}$ dus $n(A) = 3\mathclose{.}$

$$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A $(\frac{1}{6})$ is die waarskynlikheid van een spesifieke vlak — "ewe" laat drie vlakke toe, nie een nie.
• B $(\frac{1}{3})$ tel net twee ewe vlakke (2 en 4, met 6 vergeet) — of verdeel die drie kategorieë {onewe, ewe, …} slordig.
• D $(\frac{2}{3})$ vee vier vlakke in "ewe" in — ’n onewe vlak is ingesmokkel. Lys die versameling: $\{2, 4, 6\}\mathclose{,}$ presies drie.

Onthou: $P = \frac{n(A)}{n(S)}\mathclose{:}$ skryf die gunstige versameling uit voordat jy dit tel. Vir ’n regverdige dobbelsteen gee drie ewe vlakke uit ses $\frac12$ — en dit is uitdruklike lysmaak wat keer dat 3 onder tydsdruk 2 of 4 word.

Antwoord: C

Verduideliking

Vir enige gebeurtenis $A$ en sy komplement $A'\mathclose{:}$

$$P(A) + P(A') = 1 \implies P(A') = 1 - 0.3 = 0.7$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A (0.3) gee $P(A)$ onveranderd terug — asof ’n gebeurtenis en sy komplement by verstek ewe waarskynlik is. Hulle is slegs gelyk by 0.5.
• B (0.4) trek 0.3 twee keer af $(1 - 0.3 - 0.3)$ — ’n "verwyder dit van albei kante"-refleks sonder enige reël daaragter.
• D (1.3) tel die twee op — maar geen waarskynlikheid kan 1 oorskry nie, wat D selfweerleggend maak sodra jy daarna kyk. Opsies buite $[0, 1]$ is gratis uitskakelings.

Onthou: $P(A) + P(A') = 1\mathclose{,}$ altyd: komplementêre gebeurtenisse is uitputtend en wedersyds uitsluitend. En kyk eers deur die opsies vir onmoontlike waarskynlikhede — eksaminatore sluit hulle in om studente te beloon wat die grense ken.

Antwoord: B

Verduideliking

Daar is 2 rooi here in ’n pak: die hartensheer en die ruitensheer.

$$P(\text{rooi heer}) = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$$

Waarom die afleiers verkeerd is:

A) $\frac{1}{52}$ sou die waarskynlikheid van ’n spesifieke enkele kaart wees, bv. slegs die hartensheer.

C) $\frac{1}{13}$ is die waarskynlikheid van enige heer (4 here uit 52).

D) $\frac{1}{2}$ is die waarskynlikheid van ’n rooi kaart van enige rang (26 uit 52).

Onthou: Tel die gunstige uitkomste noukeurig. "Rooi heer" is meer spesifiek as "enige heer" (4 uitkomste) maar minder spesifiek as "hartensheer" (1 uitkoms).

Antwoord: C

Verduideliking

Wedersyds uitsluitend beteken $A$ en $B$ kan nie gelyktydig plaasvind nie, dus $P(A \cap B) = 0\mathclose{.}$

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0.25 + 0.35 = 0.60$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A (0.0875) is $0.25 \times 0.35$ — die produkreël, wat by onafhanklike gebeurtenisse hoort. Wedersyds uitsluitende gebeurtenisse is die teenoorgestelde van onafhanklik: as die een gebeur, is die ander onmoontlik.
• B (0.25) eggo $P(A)$ alleen — die "of" is nooit verwerk nie.
• D (1.0) behandel "A of B" asof dit alles dek, maar die twee gebeurtenisse verantwoord slegs 60 % van die waarskynlikheid; die oorblywende 0.40 behoort aan "nie een van die twee nie".

Onthou: Wedersyds uitsluitend ⇒ $P(A \text{ of } B) = P(A) + P(B)\mathclose{,}$ niks om af te trek nie — en niks om te vermenigvuldig nie. "Wedersyds uitsluitend" en "onafhanklik" is verskillende (trouens, onversoenbare) voorwaardes; bepaal watter een die vraag jou gee voordat jy ’n reël kies.

Antwoord: C

Verduideliking

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.4 + 0.3 - 0.1 = 0.6$$

Die deursnit word afgetrek omdat daardie uitkomste twee keer getel word as jy $P(A)$ en $P(B)$ bloot optel.

Waarom die ander verkeerd is:

• A (0.1) eggo die deursnit self — ’n bestanddeel wat as die maaltyd poseer.
• B (0.12) vermenigvuldig $0.4 \times 0.3$ — die produkreël vir onafhanklikheid word ingevoer waar niks "onafhanklik" sê nie (en inderdaad $P(A \cap B) = 0.1 \neq 0.12\mathclose{,}$ dus is hierdie gebeurtenisse nie onafhanklik nie).
• D (0.7) tel op sonder om af te trek — slegs geldig vir wedersyds uitsluitende gebeurtenisse, en die vraag gee jou juis ’n nie-nul-oorvleueling sodat hierdie kortpad druip.

Onthou: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\mathclose{,}$ altyd; die oorvleueling word twee keer in die som getel, trek dit dus een keer af. Wanneer die deursnit gegee word, gebruik dit — sy waarde sê selfs vir jou of die gebeurtenisse onafhanklik is $(0.1$ teenoor $0.4 \times 0.3 = 0.12\mathclose{:}$ hulle is nie).

Antwoord: A

Verduideliking

Vir onafhanklike gebeurtenisse beïnvloed die voorkoms van die een nie die waarskynlikheid van die ander nie:

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.4 \times 0.5 = 0.2$$

Waarom die ander verkeerd is:

• B (0.45) middel die twee waarskynlikhede — ’n kompromie sonder enige waarskynlikheidsbetekenis.
• C (0.5) eggo $P(B)$ — asof "en" beteken "watter een ook al die grootste is".
• D (0.9) tel die waarskynlikhede op — die vereniging-tipe skuif, en selfs dan slegs korrek vir wedersyds uitsluitende gebeurtenisse. "En"-vrae vermenigvuldig.

Onthou: Onafhanklik: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.2\mathclose{.}$ Wedersyds uitsluitend: $P(A \cap B) = 0\mathclose{.}$ Twee heeltemal verskillende voorwaardes — ’n paar gebeurtenisse kan nie albei wees nie (tensy ’n waarskynlikheid 0 is). Vertaal die Engels eers: en ⇒ deursnit ⇒ vermenigvuldig (onder onafhanklikheid); of ⇒ vereniging ⇒ tel op en trek dan af.

Afdeling 6.5 — Voorwaardelike Waarskynlikheid, Boomdiagramme en Gebeurlikheidstabelle

Wanneer gebeurtenisse nie onafhanklik is nie, hang die waarskynlikheid van die tweede gebeurtenis af van wat eerste gebeur het. Voorwaardelike waarskynlikheid vang dit vas: $P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\mathclose{.}$ Boomdiagramme wys meerstadium-eksperimente visueel; die waarskynlikheid langs elke tak is ’n voorwaardelike waarskynlikheid. Tweerigtingtabelle (gebeurlikheidstabelle) organiseer tellings vir twee kategoriese veranderlikes en laat voorwaardelike waarskynlikhede toe om direk afgelees te word.

Antwoord: A

Verduideliking

$$P(\text{1ste rooi}) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$$

Nadat een rooi bal getrek is, bly 2 rooi balle in ’n sak van 11 oor:

$$P(\text{2de rooi} \mid \text{1ste rooi}) = \frac{2}{11}$$

$$P(\text{albei rooi}) = \frac{1}{4} \times \frac{2}{11} = \frac{2}{44} = \frac{1}{22}$$

Waarom die ander verkeerd is:

• B $(\frac{1}{16})$ is die antwoord mét terugplasing: $\left(\frac{3}{12}\right)^2$ — die sak is nooit ná die eerste trekking bygewerk nie.
• C $(\frac{1}{12})$ pas by geen konsekwente metode nie — ’n lokvink van aanneemlike grootte. Albei geldige roetes stem saam oor A: opeenvolgend $\frac14 \times \frac{2}{11} = \frac{1}{22}\mathclose{,}$ of met kombinasies $\frac{\binom{3}{2}}{\binom{12}{2}} = \frac{3}{66} = \frac{1}{22}\mathclose{.}$
• D $(\frac{19}{44})$ tel die twee trekkings op: $\frac14 + \frac{2}{11}\mathclose{.}$ "Albei" beteken die eerste EN die tweede, wat vermenigvuldig.

Onthou: "Sonder terugplasing" laat beide die gunstige telling en die totaal krimp: die teller en die noemer daal elk met een vir die tweede trekking. As jy onseker is, kruiskontroleer met die kombinasieroete — twee metodes wat ooreenstem is bewys teen al vier afleierstyle.

Antwoord: C

Verduideliking

$$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0.12}{0.4} = 0.3$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A (0.048) vermenigvuldig $0.12 \times 0.4$ — die vermenigvuldigingsreël word gebruik waar die formule deling vra.
• B (0.12) eggo $P(A \cap B)$ onveranderd — "gegee" is heeltemal geïgnoreer. Voorwaardelikheid moet herskaal: binne die wêreld waarin $A$ gebeur het (wat grootte 0.4 het), beslaan die snit waar $B$ ook gebeur (0.12) $\frac{0.12}{0.4} = 30\%\mathclose{.}$
• D (0.52) tel hulle op $(0.4 + 0.12)$ — geen reël iewers tel ’n deursnit by ’n marginale waarskynlikheid nie.

Onthou: $P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ — "gegee $A$" krimp die steekproefruimte tot $A\mathclose{,}$ en die deling ís daardie krimping. As jou "voorwaardelike" waarskynlikheid gelyk is aan die gewone deursnit, het daar geen voorwaardelikheid werklik plaasgevind nie.

Antwoord: B

Verduideliking

Totale aantal studente wat sport speel $= 30 + 15 = 45\mathclose{.}$

$$P(\text{sport}) = \frac{45}{100} = 0.45$$

Waarom die ander verkeerd is: elkeen is ’n ander stuk van die tabel wat as die antwoord poseer —

• A (0.30) is slegs die sel links bo (sportiewe wiskundestudente) — die 15 sportiewe nie-wiskundestudente is laat val.
• C (0.55) is die komplement: die totaal van die "speel nie sport nie"-kolom $(20 + 35)\mathclose{.}$ Regte tegniek, verkeerde kolom.
• D (0.60) is $\frac{30}{50}$ — die deel van die wiskundestudente wat sport speel. Die student word uit al 100 gekies, dus is die noemer 100.

Onthou: Waarskynlikheid uit ’n tabel = (die tersaaklike kolom of ry se totaal) ÷ (die groottotaal). Tel eers die volle "speel sport"-kolom op $(30 + 15 = 45)\mathclose{,}$ en hou subtotale as noemers vir vrae wat "gegee dat" sê.

Antwoord: D

Verduideliking

Die voorwaarde "speel sport" beperk ons tot die 45 studente in die sportkolom.

Van daardie 45 studeer presies 30 wiskunde.

$$P(\text{wiskunde} \mid \text{sport}) = \frac{30}{45} = \frac{2}{3}$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A $(\frac{3}{10} = \frac{30}{100})$ deel deur die groottotaal — die "gegee dat" is nooit toegepas nie. Dit bereken $P(\text{wiskunde en sport})\mathclose{,}$ ’n ander grootheid.
• B $(\frac{1}{2})$ is ’n "omtrent die helfte"-raaiskoot wat by geen sel-oor-subtotaal in die tabel pas nie.
• C $(\frac{3}{5} = \frac{30}{50})$ stel die voorwaarde op die verkeerde gebeurtenis: om deur die wiskunderytotaal te deel gee $P(\text{sport} \mid \text{wiskunde})$ — die omgekeerde voorwaardelike. $P(A \mid B)$ en $P(B \mid A)$ is selde gelyk, en die eksamen bied graag albei aan.

Onthou: "Gegee dat X" ⇒ noemer = X se subtotaal (hier die 45 sportspelers). Sê die breuk in woorde — "van die 45 wat sport speel, studeer 30 wiskunde" — en die omgekeerde voorwaardelike kan nie insluip nie.

Antwoord: D

Verduideliking

$$P(\text{1ste wit}) = \frac{4}{10}$$

Nadat een wit bal verwyder is, bly 9 balle oor (3 wit + 6 swart):

$$P(\text{2de swart} \mid \text{1ste wit}) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$

$$P(\text{wit dan swart}) = \frac{4}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{24}{90} = \frac{4}{15}$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A $(\frac{2}{15})$ is $\frac{4}{10} \times \frac{3}{9}$ — die waarskynlikheid dat albei balle wit is. Die tweede bal moet swart wees, en al 6 swart balle is nog in die sak.
• B $(\frac{2}{9})$ is $\frac{4}{10} \times \frac{5}{9}$ — dit haal ’n swart bal uit ná die eerste trekking. Die eerste bal was wit, dus bly al 6 swart balle tussen die 9 oor.
• C $(\frac{6}{25})$ is die weergawe mét terugplasing: $\frac{4}{10} \times \frac{6}{10}$ — die tweede noemer het nooit tot 9 gedaal nie.

Onthou: Opeenvolgende afhanklike gebeurtenisse: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)\mathclose{,}$ met die tweede breuk herbou uit die sak ná die trekking (9 balle: 3 wit, 6 swart). Een trekking verwyder presies een bal — nie meer, nie minder nie.

Afdeling 6.6 — Telbeginsel, Permutasies en Kombinasies

Die Fundamentele Telbeginsel: as taak 1 op $m$ maniere gedoen kan word en taak 2 op $n$ maniere, dan kan albei op $m \times n$ maniere gedoen word. Wanneer volgorde saak maak, gebruik permutasies: $P(n,r) = \dfrac{n!}{(n-r)!}\mathclose{.}$ Wanneer volgorde nie saak maak nie, gebruik kombinasies: $C(n,r) = \dbinom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}\mathclose{.}$

Antwoord: D

Verduideliking

$$\text{Totale uitrustings} = 3 \times 4 \times 2 = 24$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A (9) tel die keuses op $(3 + 4 + 2)\mathclose{.}$ Optel tel die maniere om een item van een soort te kies; ’n uitrusting het een van elk nodig, en elke hemp pas by elke broek-en-skoen-kombinasie.
• B (12) is $3 \times 4$ — net hemde en broeke. Die skoene is ’n derde stadium, en elke stadium vermenigvuldig.
• C (16) meng optel en vermenigvuldig $(3 \times 4 + 4)$ — ’n ketting wat halfpad die reëls verander.

Onthou: Onafhanklike keuses in volgorde vermenigvuldig: $3 \times 4 \times 2 = 24\mathclose{.}$ Die toets vir vermenigvuldiging is die woord elke — "vir elke hemp, elke broek; vir elkeen daarvan, albei pare skoene."

Antwoord: D

Verduideliking

$$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$

Vir die eerste posisie is daar 5 keuses, vir die tweede is daar 4 (een boek is geplaas), ensovoorts.

Waarom die ander verkeerd is:

• A (25) is $5^2$ — ’n "vyf maal iets"-raaiskoot sonder ’n telmodel.
• B (60) is $5 \times 4 \times 3$ — die faktorketting is twee boeke te vroeg laat vaar. Al vyf boeke moet geplaas word, dus hoort al vyf faktore daar.
• C (100) is ronde-getal-aas; faktoriale is selde rond.

Onthou: Om al $n$ verskillende voorwerpe te rangskik gee $n!$ — een krimpende faktor per posisie, heeltemal af tot 1. $5! = 120$ is die moeite werd om onmiddellik te ken (net soos $4! = 24$ en $6! = 720)\mathclose{.}$

Antwoord: B

Verduideliking

MATHS het 5 verskillende letters. Ons wil 3 kies en hulle in volgorde rangskik:

$$P(5,3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A (10) is $\binom{5}{3}$ — die kombinasie-telling, wat volgorde ignoreer. Rangskikkings van letters is geordend (CAT ≠ ACT), dus word elke drietal $3! = 6$ keer getel: $10 \times 6 = 60\mathclose{.}$
• C (120) is $5!$ — rangskikkings van al vyf letters, maar hier bestaan net drie posisies.
• D (125) is $5^3$ — vyf keuses vir elke posisie, wat ’n letter weer laat gebruik. "Geen herhaling" laat die poel elke keer krimp: $5 \times 4 \times 3\mathclose{.}$

Onthou: "Rangskikkings" ⇒ volgorde maak saak ⇒ $P(n,r) = n \times (n-1) \times \cdots\mathclose{,}$ een faktor per plek: $5 \times 4 \times 3 = 60\mathclose{.}$ Tel jou faktore teen jou plekke voordat jy aanbeweeg.

Antwoord: A

Verduideliking

$$\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!\,5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56$$

Waarom die ander verkeerd is:

• B (112) deel daardie 336 deur 3 — die grootte van die komitee — in plaas van deur $3! = 6\mathclose{,}$ die aantal volgordes waarin drie mense kan staan.
• C (168) deel daardie 336 deur 2 in plaas van deur $3! = 6$ — ’n halfhartige korreksie wat onthou dat volgorde saak maak maar vergeet hoeveel ordeninge ’n drietal het.
• D (336) is $P(8,3) = 8 \times 7 \times 6$ — geordende keuses. ’n Komitee het geen eerste, tweede of derde lid nie, dus word elke groep van drie $3! = 6$ keer oorgetel.

Onthou: "Komitee / groep / keuse" ⇒ volgorde maak nie saak nie ⇒ $\binom{n}{r}$ = permutasietelling ÷ $r!\mathclose{.}$ Die deler is die faktoriaal van die groepgrootte — ’n drietal het ses ordeninge, nie twee nie.

Afdeling 6.7 — Venn-diagramme en Gevorderde Waarskynlikheid

Venn-diagramme stel gebeurtenisse as oorvleuelende sirkels binne ’n reghoek (die steekproefruimte) voor. Die oorvleuelingsgebied is $A \cap B\mathclose{;}$ die gesamentlike gearseerde gebied is $A \cup B\mathclose{.}$ Die gebied buite albei sirkels is $(A \cup B)'\mathclose{.}$

Antwoord: A

Verduideliking

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.5 + 0.4 - 0.2 = 0.7$$

Waarom die ander verkeerd is:

• B (0.8) trek net die helfte van die oorvleueling af — ’n rekenkundige kompromie sonder enige reël daaragter.
• C (0.9) tel op sonder om die oorvleueling af te trek — die dubbelgetelde 0.2 bly staan.
• D (1.1) tel die oorvleueling by in plaas daarvan om dit af te trek — en geen waarskynlikheid kan 1 oorskry nie.

Onthou: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.7\mathclose{,}$ altyd — wedersyds uitsluitende gebeurtenisse is bloot die spesiale geval waar die afgetrekte term 0 is. As jou vereniging nie groter as albei individuele waarskynlikhede en tog kleiner as hulle som is nie, is iets verkeerd; gebruik daardie knyp om te toets of jou antwoord sin maak.

Antwoord: B

Verduideliking

"Slegs $A$" beteken $A \cap B'\mathclose{,}$ die deel van $A$ wat nie met $B$ oorvleuel nie:

$$P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B) = 0.5 - 0.2 = 0.3$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A (0.2) is die oorvleueling self — die stuk wat verwyder moet word, wat as die res aangebied word.
• C (0.4) eggo $P(B)$ — heeltemal die verkeerde sirkel.
• D (0.5) gee $P(A)$ heel terug — maar $P(A)$ sluit die oorvleueling in waar $B$ ook gebeur; "A maar nie B nie" vereis dat daardie 0.2 uitgesny word.

Onthou: $P(A \text{ slegs}) = P(A) - P(A \cap B) = 0.3\mathclose{.}$ Skets die twee sirkels en arseer die maansikkel — Venn-vrae is oefeninge in die benoeming van gebiede, en elke verkeerde opsie hier is ’n ander verkeerd benoemde gebied.

Antwoord: D

Verduideliking

"Ten minste een" is die komplement van "nie een van die twee nie":

$$P(\text{minstens een}) = 1 - P(A' \cap B')$$

Aangesien $A$ en $B$ onafhanklik is, is $A'$ en $B'$ dit ook:

$$P(A' \cap B') = P(A') \times P(B') = (1-0.6)(1-0.5) = 0.4 \times 0.5 = 0.2$$

$$P(\text{minstens een}) = 1 - 0.2 = 0.8$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A (0.3) is $P(\text{albei})\mathclose{,}$ wat ’n ander vraag beantwoord.
• B (0.6) eggo $P(A)\mathclose{.}$ "Ten minste een" moet groter wees as enige enkele waarskynlikheid, dus is 0.6 met die eerste oogopslag te klein.
• C (0.7) trek $P(\text{albei})$ van 1 af — die komplement van die verkeerde gebeurtenis. "Ten minste een" is die teenoorgestelde van "nie een van die twee nie".

Onthou: $P(\text{minstens een}) = 1 - P(\text{geen})\mathclose{.}$ Sê hardop watter gebeurtenis jy komplementeer voordat jy van 1 aftrek — daardie sin is presies waar C verkeerd loop.

Antwoord: B

Verduideliking

$$n(\text{sokker} \cup \text{hokkie}) = 18 + 12 - 5 = 25$$

$$n(\text{nie een nie}) = 30 - 25 = 5$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A (3) en D (10) is dieselfde storie met verskillende verkeerde hanterings van die oorvleueling (dit twee keer afgetrek, of glad nie, plus glipse). Al drie sterf by die kontrolepunt: leerders in ten minste een sportsoort $= 18 + 12 - 5 = 25\mathclose{,}$ wat presies 5 buite laat.
• C (7) is $30 - 18 - 5$ — ’n aftrekketting wat "albei" verwyder asof dit ’n derde afsonderlike groep is. Die 5 wat albei speel, is reeds binne die 18 en binne die 12.

Onthou: Eers insluiting–uitsluiting $(n(A \cup B) = 18 + 12 - 5 = 25)\mathclose{,}$ dan aftrek van die totaal. Beter nog, vul die Venn-gebiede in — 13 slegs sokker, 5 albei, 7 slegs hokkie — en bevestig dat hulle saam met "nie een van die twee nie" tot 30 optel ✓.

Antwoord: C

Verduideliking

Totale uitkomste: $6 \times 6 = 36$ geordende pare.

Pare wat tot 7 optel: $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ — ses.

$$P = \frac{6}{36} = \frac16$$

Waarom die ander verkeerd is:

• A $(\frac1{12})$ het ongeordende pare getel, wat die waarheid halveer. $(1,6)$ en $(6,1)$ is verskillende gooie.
• B $(\frac19)$ het twee pare gemis. Lys stelselmatig — een vir elke waarde van die eerste dobbelsteen — en ses is onmisbaar.
• D $(\frac{7}{36})$ het die teikensom in die teller geplaas. Die gunstige telling is 6.

Onthou: Twee dobbelstene gee altyd 36 geordende uitkomste. Som 7 het presies een paar per waarde van die eerste dobbelsteen — ses maniere, die meeste van enige som.

Gemengde Oefenvrae — M1 tot M30

Hierdie vrae dek al ses hoofstukke. Geen verduidelikings word gegee nie. Werk deur elkeen met die metodes uit die vroeëre hoofstukke.

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Die teller is ’n verskil van kwadrate: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\mathclose{.}$

Stap 2 — $\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}\mathclose{.}$

Stap 3 — Kanselleer die gemene $(x-3)\mathclose{:}$ $x + 3\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is:

• B na die verkeerde faktor gekanselleer.

• C het term vir term gekanselleer: $\dfrac{-9}{-3} = 3\mathclose{,}$ en $x^2$ onaangeraak gelaat.

• D het die teller gefaktoriseer en toe $(x-3)$ net bo gekanselleer en dit onder gelaat.

Onthou: Faktoriseer voordat jy kanselleer. Jy mag slegs FAKTORE kanselleer — nooit individuele terme uit ’n som nie.

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Skryf alles in desimale.

Stap 2 — $0.6\mathclose{,}$ $\dfrac58 = 0.625\mathclose{,}$ $\dfrac23 = 0.667\mathclose{,}$ $0.7\mathclose{.}$

Stap 3 — Stygend: $0.6,\ \dfrac58,\ \dfrac23,\ 0.7\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is:

• A het $\dfrac23$ voor $\dfrac58\mathclose{,}$ maar $0.667 > 0.625\mathclose{.}$

• B begin bo $0.6$ en daal dan.

• D dalende volgorde.

Onthou: Skakel elke breuk om na ’n desimaal met dieselfde aantal plekke voordat jy vergelyk. $\dfrac58$ en $\dfrac23$ lê naby mekaar, en om te kyk werk nie.

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — ’n Grafiek sny die $x$-as waar $y = 0\mathclose{.}$

Stap 2 — $2x - 1 = 0\mathclose{,}$ dus $x = \dfrac12\mathclose{.}$

Stap 3 — Die punt is $\left(\dfrac12,\ 0\right)\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is:

• A dit is die $y$-afsnit, waar $x = 0\mathclose{.}$

• B het by $2x = 1$ gestop en $x = 1$ geskryf, sonder om deur 2 te deel.

• D die koëffisiënt as die afsnit gelees.

Onthou: $x$-afsnit: stel $y = 0\mathclose{.}$ $y$-afsnit: stel $x = 0\mathclose{.}$ Om hulle om te ruil is die gewone glips.

Antwoord: C

Verduideliking

Stap 1 — Sinus is die teenoorstaande sy gedeel deur die skuinssy.

Stap 2 — $= \dfrac{8}{10}\mathclose{.}$

Stap 3 — $= \dfrac45\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is:

• A $\dfrac35$ gebruik die derde sy, 6, as die teenoorstaande sy.

• B $\dfrac{6}{8}$ — die twee regsye, aangrensend oor teenoorstaande: dit is $\dfrac{1}{\tan\theta}\mathclose{.}$

• D $\dfrac{8}{6}$ is $\tan\theta\mathclose{,}$ teenoorstaande oor aangrensend.

Onthou: Die skuinssy staan altyd onder vir sinus en kosinus, dus is albei hoogstens 1. Slegs tangens kan groter wees.

Antwoord: A

Verduideliking

Stap 1 — Die hoeke van ’n driehoek tel op tot $180°\mathclose{.}$

Stap 2 — $47° + 68° = 115°\mathclose{.}$

Stap 3 — $180° - 115° = 65°\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is:

• B die twee hoeke as $110°$ opgetel.

• C het die twee gegewe hoeke opgetel en gestop: $47° + 68°\mathclose{.}$

• D het van $360°$ afgetrek, die hoeksom van ’n vierhoek.

Onthou: Tel eers die twee op wat jy het, trek dan van $180°$ af. Om dit in een stap te doen nooi ’n rekenfout uit.

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Tel die waardes op: $10+14+8+16+12 = 60\mathclose{.}$

Stap 2 — Deel deur hoeveel daar is: 5.

Stap 3 — $60 \div 5 = 12\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is:

• A het die totaal deur 6 in plaas van 5 gedeel.

• C het die totaal deur 4 in plaas van 5 gedeel.

• D die totaal, 60, gegee sonder om deur 5 te deel.

Onthou: Gemiddeld is totaal ÷ aantal. Tel die waardes voordat jy deel — verkeerd tel is net so algemeen soos verkeerd optel.

Antwoord: B

Verduideliking

Stap 1 — Daar is $5 + 3 = 8$ albasters in totaal.

Stap 2 — 3 daarvan is blou.

Stap 3 — Die waarskynlikheid van blou is $\dfrac38\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is:

• A 9 as die totaal gebruik.

• C blou met rooi vergelyk eerder as met die totaal.

• D dit is die waarskynlikheid van ROOI.

Onthou: Die noemer van ’n waarskynlikheid is die TOTALE aantal uitkomste, nie die aantal in die ander kategorie nie.

Antwoord: D

Verduideliking

Stap 1 — Faktoriseer: twee getalle wat tot 6 vermenigvuldig en tot $-5$ optel is $-2$ en $-3\mathclose{.}$

Stap 2 — $(x-2)(x-3) = 0\mathclose{.}$

Stap 3 — $x = 2$ of $x = 3\mathclose{.}$

Waarom die ander verkeerd is:

• A een teken verkeerd: $(x-2)(x+3)$ brei uit na $x^2+x-6\mathclose{.}$

• B albei tekens verkeerd.

• C faktore van 6 gebruik wat tot 7 optel, nie 5 nie.

Onthou: Albei tekens negatief gee ’n positiewe produk en ’n negatiewe som — wat presies is wat $+6$ en $-5$ vra.