Mathbench

IEB-oefening · Vraestel I

IEB-oefening: Differensiaalrekene

21 splinternuwe vrae oor al 11 die onderwerpe in differensiaalrekene wat die IEB in Vraestel I eksamineer, 259 punte altesaam. Werk elkeen uit en maak dan die antwoord daaronder oop om jouself na te gaan. Niks hier kom uit 'n ou vraestel nie.

Laai die boekie as PDF af · Skryf hierdie vraestel op tyd · English

Raaklyne aan 'n kromme

2 vrae · 28 punte

Vraestel I · Afdeling A · 14 punte

VRAAG 1
  1. (a)
    Gegee f(x) = x^3 − 4x^2 − x + 3. Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan f by die punt waar x = 2.
    (4)
  2. (b)
    Die raaklyn sny die grafiek van f weer by die punt Q. Bepaal die koördinate van Q.
    (5)
  3. (c)
    Bepaal die gradiënt van die grafiek van f by Q.
    (2)
  4. (d)
    Bepaal die x-koördinaat van die buigpunt van f, en toon aan dat dit een derde van die pad van x = 2 na x = 0 lê.
    (3)

[14]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: y = −5x + 3

  1. f′(x) = 3x^2 − 8x − 1
  2. m = f′(2) = −5; f(2) = −7
  3. y + 7 = −5(x − 2)

(b) Antwoord: (0; 3)

  1. x^3 − 4x^2 − x + 3 = −5x + 3
  2. x^3 − 4x^2 + 4x = 0
  3. die raaklyn raak by x = 2, dus is (x − 2)^2 'n faktor
  4. x(x − 2)^2 = 0
  5. x = 0; y = f(0) = 3

(c) Antwoord: −1

  1. f′(0) = −1

(d) Antwoord: x = 4/3

  1. f′′(x) = 6x − 8 = 0: x = 4/3
  2. 2 + (0 − 2)/3 = 4/3

Vraestel I · Afdeling A · 14 punte

VRAAG 2
  1. (a)
    Gegee f(x) = 6/x. Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan f by die punt waar x = 3.
    (4)
  2. (b)
    Die raaklyn sny die x-as by A en die y-as by B. Bereken die oppervlakte van driehoek AOB.
    (3)
  3. (c)
    Toon aan dat die raaklyn by enige punt (p; 6/p) op die grafiek, p > 0, 'n driehoek met dieselfde oppervlakte afsny.
    (4)
  4. (d)
    Bepaal die koördinate van die punte op die grafiek van f waar die gradiënt van die raaklyn −6 is.
    (3)

[14]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: y = −(2/3)x + 4

  1. f(x) = 6x^(−1), dus f′(x) = −6x^(−2) = −6/x^2
  2. m = f′(3) = −2/3; f(3) = 2
  3. y − 2 = (−2/3)(x − 3)

(b) Antwoord: 12 vierkante eenhede

  1. A(6; 0) en B(0; 4)
  2. oppervlakte = (1/2)(6)(4) = 12

(c) Antwoord: die oppervlakte is 12 vir elke p

  1. m = −6/p^2: y − 6/p = (−6/p^2)(x − p)
  2. y = 0: x = 2p; x = 0: y = 12/p
  3. oppervlakte = (1/2)(2p)(12/p) = 12, wat p ook al is

(d) Antwoord: (−1; −6) en (1; 6)

  1. −6/x^2 = −6
  2. x^2 = 1
  3. x = −1 of x = 1

Differensiasie volgens reël

1 vrae · 15 punte

Vraestel I · Afdeling A · 15 punte

VRAAG 3
  1. (a)
    Bepaal dy/dx indien y = (x^3 − 9)/x^2.
    (4)
  2. (b)
    Gegee f(x) = 2x^3 + 9x^2 − 6. Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan f by die punt waar x = 0.
    (4)
  3. (c)
    Bepaal die x-koördinaat van die ander punt op f waar die raaklyn ewewydig is aan die raaklyn by x = 0.
    (3)
  4. (d)
    Die lyn y = −12x + k is 'n raaklyn aan f. Bepaal die moontlike waardes van k.
    (4)

[15]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: dy/dx = 1 + 18x^(−3)

  1. y = x − 9x^(−2)

(b) Antwoord: y = −6

  1. f′(x) = 6x^2 + 18x
  2. m = f′(0) = 0; f(0) = −6
  3. y + 6 = 0(x)

(c) Antwoord: x = −3

  1. f′(x) = 0
  2. 6x^2 + 18x = 0
  3. x = 0 of x = −3; die ander punt: x = −3

(d) Antwoord: k = −11 of k = −10

  1. f′(x) = −12: 6x^2 + 18x + 12 = 0
  2. x = −1 of x = −2
  3. k = f(x) − (−12)x: 1 − (12) = −11 en 14 − (24) = −10

Die afgeleide uit eerste beginsels

2 vrae · 28 punte

Vraestel I · Afdeling A · 15 punte

VRAAG 4
  1. (a)
    Gegee f(x) = −3x^2 + 3x + 2. Gebruik eerste beginsels om f′(x) te bepaal.
    (5)
  2. (b)
    Bepaal dy/dx indien y = 2x^4 − 4/x^3.
    (3)
  3. (c)
    Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan f by x = −3.
    (4)
  4. (d)
    Bepaal die gemiddelde gradiënt van f tussen x = 1 en x = 4.
    (3)

[15]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: f′(x) = −6x + 3

  1. f(x + h) = −3(x + h)^2 + 3(x + h) + 2
  2. = −3x^2 − 6xh − 3h^2 + 3x + 3h + 2
  3. f(x + h) − f(x) = −6xh − 3h^2 + 3h
  4. f′(x) = lim_(h → 0) (−6xh − 3h^2 + 3h)/h
  5. = lim_(h → 0) (−6x − 3h + 3)
  6. = −6x + 3

(b) Antwoord: dy/dx = 8x^3 + 12x^(−4)

  1. y = 2x^4 − 4x^(−3)

(c) Antwoord: y = 21x + 29

  1. f(−3) = −34, dus is die punt (−3; −34)
  2. m = f′(−3) = 21
  3. y + 34 = 21(x + 3)

(d) Antwoord: −12

  1. f(1) = 2 en f(4) = −34
  2. (−34 − (2))/(4 − (1)) = −12

Vraestel I · Afdeling A · 13 punte

VRAAG 5
  1. (a)
    Gegee f(x) = x^2 + 4x − 5. P en Q is die punte op die grafiek van f met x-koördinate x en x + h. Bepaal die gradiënt van PQ in terme van x en h, in sy eenvoudigste vorm.
    (3)
  2. (b)
    Bepaal vervolgens f′(x).
    (2)
  3. (c)
    Die lyn y = 6x + k is 'n raaklyn aan die grafiek van g(x) = x^2 + 4x − 6. Bepaal die koördinate van die punt waar die lyn aan g raak, en die waarde van k.
    (5)
  4. (d)
    By watter punt op f is die raaklyn ewewydig aan die lyn y = 0 (die x-as)?
    (3)

[13]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: 2x + h + 4

  1. gradiënt van PQ = (f(x + h) − f(x))/((x + h) − x)
  2. f(x + h) = (x + h)^2 + 4(x + h) − 5
  3. f(x + h) − f(x) = 2xh + h^2 + 4h
  4. (2xh + h^2 + 4h)/h = 2x + h + 4

(b) Antwoord: f′(x) = 2x + 4

  1. f′(x) = lim_(h → 0) (2x + h + 4)
  2. = 2x + 4

(c) Antwoord: (1; −1); k = −7

  1. g′(x) = 2x + 4 = 6
  2. x = 1
  3. g(1) = −1, dus is die punt (1; −1)
  4. −1 = 6(1) + k, dus k = −7

(d) Antwoord: (−2; −9)

  1. f′(x) = 2x + 4 = 0
  2. x = −2
  3. f(−2) = −9

Stasionêre punte

3 vrae · 43 punte

Vraestel I · Afdeling A · 14 punte

VRAAG 6

In die diagram hieronder is die grafiek van f(x) = x^3 − 3x^2 − 24x + d geteken, waar d 'n konstante is. (−2; 0) is 'n stasionêre punt van f.

xyO(−2; 0)f
  1. (a)
    Bepaal die waarde van d.
    (2)
  2. (b)
    Bepaal die koördinate van die ander stasionêre punt van f.
    (4)
  3. (c)
    Bepaal die x-koördinaat van die buigpunt van f.
    (2)
  4. (d)
    Vir watter waardes van k sal f(x) = k presies een reële wortel hê?
    (3)
  5. (e)
    Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan f by x = 0.
    (3)

[14]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: d = −28

  1. f(−2) = 0
  2. 28 + d = 0

(b) Antwoord: (4; −108)

  1. f′(x) = 3x^2 − 6x − 24 = 0
  2. 3(x − (−2))(x − (4)) = 0
  3. x = 4
  4. f(4) = −108

(c) Antwoord: x = 1

  1. f′′(x) = 6x − 6 = 0

(d) Antwoord: k < −108 of k > 0

  1. die draaiwaardes is −108 en 0
  2. een wortel wanneer die lyn y = k bo die maksimum of onder die minimum verbygaan

(e) Antwoord: y = −24x − 28

  1. f(0) = −28 en f′(0) = −24

Vraestel I · Afdeling A · 12 punte

VRAAG 7

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d. Die grafiek van f sny die y-as by (0; 2), het 'n draaipunt by (−1; 6) en 'n buigpunt waar x = −2.

  1. (a)
    Skryf die waarde van d neer.
    (1)
  2. (b)
    Bepaal die waardes van a, b en c.
    (6)
  3. (c)
    Bepaal die koördinate van die ander draaipunt van f.
    (3)
  4. (d)
    Vir watter waardes van x is die grafiek van f konkaaf af?
    (2)

[12]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: d = 2

  1. f(0) = d = 2

(b) Antwoord: a = −1, b = −6 en c = −9

  1. f′′(−2) = 0: 6a(−2) + 2b = 0, dus b = 6a
  2. f′(−1) = 0: 3a(−1)^2 + 2b(−1) + c = 0, dus c = 9a
  3. f(−1) = 6: a(−1)^3 + b(−1)^2 + c(−1) + 2 = 6
  4. −4a = 4, dus a = −1
  5. b = −6 en c = −9

(c) Antwoord: (−3; 2)

  1. f′(x) = −3x^2 − 12x − 9 = 0
  2. −3(x + 1)(x + 3) = 0
  3. x = −3; f(−3) = 2

(d) Antwoord: x > −2

  1. f′′(x) = −6x − 12 < 0

Vraestel I · Afdeling A · 17 punte

VRAAG 8

Gegee: f(x) = −x^3 + 6x^2 − 9x + 4

xyO
  1. (a)
    Toon aan dat x = 4 'n wortel van f(x) = 0 is, en bepaal vervolgens die x-afsnitte van f.
    (3)
  2. (b)
    Bepaal die koördinate van die draaipunte van f.
    (4)
  3. (c)
    Skets die grafiek van f op die assestelsel wat voorsien word. Toon alle afsnitte met die asse en die draaipunte.
    (4)
  4. (d)
    Vir watter waardes van x is die grafiek van f konkaaf op?
    (2)
  5. (e)
    Vir watter waardes van x is f dalend?
    (2)
  6. (f)
    Vir watter waardes van k sal f(x) = k drie verskillende reële wortels hê?
    (2)

[17]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: (1; 0) en (4; 0)

  1. f(4) = 0, dus is (x − 4) 'n faktor
  2. f(x) = −(x − 4)(x − 1)^2

(b) Antwoord: (1; 0) en (3; 4)

  1. f′(x) = −3x^2 + 12x − 9
  2. −3x^2 + 12x − 9 = 0
  3. x = 1 of x = 3

(c) Antwoord: Sien die skets hieronder.

xyO(4; 0)(1; 0)(3; 4)(0; 4)f
  1. y-afsnit (0; 4); x-afsnitte (1; 0), (4; 0)
  2. draaipunte (1; 0), (3; 4)

(d) Antwoord: x < 2

  1. f′′(x) = −6x + 12
  2. f′′(x) > 0: −6x + 12 > 0

(e) Antwoord: x < 1 of x > 3

  1. f′(x) < 0

(f) Antwoord: 0 < k < 4

  1. die lyn y = k moet die grafiek drie keer sny: tussen die draaiwaardes

Om 'n kubiese grafiek te skets

1 vrae · 13 punte

Vraestel I · Afdeling A · 13 punte

VRAAG 9

Gegee: f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx − 4, waar a en b konstantes is. (x − 2) is 'n faktor van f(x), en wanneer f(x) deur (x − 1) gedeel word, is die res −9.

  1. (a)
    Bepaal die waardes van a en b.
    (5)
  2. (b)
    Faktoriseer vervolgens f(x) volledig.
    (3)
  3. (c)
    Bepaal die res wanneer f(x) deur (2x + 3) gedeel word.
    (2)
  4. (d)
    Los op vir x indien f(x) ≥ 0.
    (3)

[13]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: a = 1 en b = −8

  1. f(2) = 0: 4a + 2b = −12
  2. f(1) = −9: a + b = −7
  3. die twee saam opgelos: a = 1 en b = −8

(b) Antwoord: f(x) = (x − 2)(x + 2)(2x + 1)

  1. f(x) = 2x^3 + x^2 − 8x − 4
  2. = (x − 2)(2x^2 + 5x + 2)
  3. = (x − 2)(x + 2)(2x + 1)

(c) Antwoord: 7/2

  1. 2x + 3 = 0 by x = −3/2
  2. res = f(−3/2) = 7/2

(d) Antwoord: −2 ≤ x ≤ −1/2 of x ≥ 2

  1. f(x) = 0 by x = −2, −1/2, 2
  2. f verander van teken by elke wortel, en f(x) > 0 vir groot x

Optimalisering

9 vrae · 98 punte

Vraestel I · Afdeling B · 9 punte

VRAAG 10

'n Keël het 'n radius van r cm en 'n hoogte van h cm, en r + h = 21. (V = (1/3)πr^2h)

hr
  1. (a)
    Toon aan dat die volume van die keël V = (π/3)(21r^2 − r^3) is.
    (2)
  2. (b)
    Bepaal die radius wat die grootste volume gee, en daardie volume in terme van π.
    (5)
  3. (c)
    Bepaal die tempo waarteen die volume ten opsigte van r verander wanneer r = 18.
    (2)

[9]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

  1. h = 21 − r
  2. V = (1/3)πr^2(21 − r) = (π/3)(21r^2 − r^3)

(b) Antwoord: r = 14 cm; V = 1372π/3 cm³

  1. dV/dr = (π/3)(42r − 3r^2) = 0
  2. r(42 − 3r) = 0
  3. r = 14 (r = 0 gee geen keël nie)
  4. V = (π/3)(21(14)^2 − (14)^3) = 1372π/3 cm³

(c) Antwoord: −72π cm³/cm

  1. dV/dr by r = 18
  2. = −72π cm³/cm

Vraestel I · Afdeling B · 9 punte

VRAAG 11

'n Reghoekige tuin word teen 'n reguit muur gebou. Die ander drie sye word met 80 m heining omhein. Die twee sye loodreg op die muur is elk x m lank.

xx
  1. (a)
    Toon aan dat die oppervlakte van die tuin A = 80x − 2x^2 is.
    (2)
  2. (b)
    Bepaal die afmetings van die tuin met die grootste oppervlakte, en daardie oppervlakte.
    (5)
  3. (c)
    Bepaal die tempo waarteen die oppervlakte ten opsigte van x verander wanneer x = 36.
    (2)

[9]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

  1. die sy langs die muur is 80 − 2x
  2. A = x(80 − 2x) = 80x − 2x^2

(b) Antwoord: 20 m by 40 m; oppervlakte 800 m²

  1. dA/dx = 80 − 4x = 0
  2. x = 20 m
  3. die sy langs die muur is 40 m
  4. A = 20 × 40 = 800 m²

(c) Antwoord: −64 m²/m

  1. dA/dx by x = 36
  2. = −64 m²/m

Vraestel I · Afdeling B · 11 punte

VRAAG 12

f(x) = 24 − 2x^2. P(t; 24 − 2t^2) is 'n punt op die grafiek van f in die eerste kwadrant, en O is die oorsprong.

xyPfOAB
  1. (a)
    Toon aan dat die vergelyking van die raaklyn aan f by P y = −4tx + 2t^2 + 24 is.
    (3)
  2. (b)
    Die raaklyn by P sny die x-as by A en die y-as by B. Toon aan dat die oppervlakte van ΔAOB (2t^2 + 24)^2/(8t) is.
    (3)
  3. (c)
    Bepaal die waarde van t waarvoor die oppervlakte van ΔAOB 'n minimum is, en die minimum oppervlakte.
    (5)

[11]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

  1. f′(x) = −4x, dus is die gradiënt by P −4t
  2. y − (24 − 2t^2) = −4t(x − t)
  3. y = −4tx + 2t^2 + 24

(b) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

  1. y = 0: x = (2t^2 + 24)/(4t), dus OA = (2t^2 + 24)/(4t)
  2. x = 0: y = 2t^2 + 24, dus OB = 2t^2 + 24
  3. oppervlakte = ½(OA)(OB) = (2t^2 + 24)^2/(8t)

(c) Antwoord: t = 2; oppervlakte 64 vierkante eenhede

  1. oppervlakte = (1/2)t^3 + 12t + 72t^(−1)
  2. d/dt: (3/2)t^2 + 12 − 72t^(−2) = 0
  3. maal met 8t^2: 12t^4 + 96t^2 − 576 = 0
  4. (6t^2 − 24)(2t^2 + 24) = 0, dus t^2 = 4 en t = 2 (t > 0)
  5. die afgeleide verander van negatief na positief by t = 2: 'n minimum
  6. oppervlakte = (8 + 24)^2/16 = 64 vierkante eenhede

Vraestel I · Afdeling B · 9 punte

VRAAG 13

'n Oop boks word van 'n vierkantige stuk karton 18 cm by 18 cm gemaak deur 'n vierkant met sy x cm uit elke hoek te sny en die sye op te vou.

xx
  1. (a)
    Toon aan dat die volume van die boks V = 4x^3 − 72x^2 + 324x is.
    (2)
  2. (b)
    Bepaal die waarde van x waarvoor die volume 'n maksimum is, en die maksimum volume.
    (5)
  3. (c)
    Bepaal die tempo waarteen die volume ten opsigte van x verander wanneer x = 6.
    (2)

[9]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

  1. die basis is (18 − 2x) by (18 − 2x) en die hoogte is x
  2. V = x(18 − 2x)^2 = 4x^3 − 72x^2 + 324x

(b) Antwoord: x = 3 cm; V = 432 cm³

  1. dV/dx = 12x^2 − 144x + 324 = 0
  2. (6x − 18)(2x − 18) = 0
  3. x = 3 (x = 9 gee geen boks nie)
  4. V = 3(18 − 6)^2 = 432 cm³

(c) Antwoord: −108 cm³/cm

  1. dV/dx by x = 6
  2. = −108 cm³/cm

Vraestel I · Afdeling B · 9 punte

VRAAG 14

'n Geslote silindriese blik moet 1250 cm³ hou. Sy radius is r cm en sy hoogte h cm. (V = πr^2h en die totale buite-oppervlakte is S = 2πr^2 + 2πrh)

rh
  1. (a)
    Toon aan dat S = 2πr^2 + 2500/r.
    (3)
  2. (b)
    Bepaal, korrek tot twee desimale plekke, die radius waarvoor die buite-oppervlakte 'n minimum is.
    (4)
  3. (c)
    Bereken die minimum buite-oppervlakte, korrek tot twee desimale plekke.
    (2)

[9]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

  1. h = 1250/(πr^2)
  2. S = 2πr^2 + 2πr(1250/(πr^2))
  3. S = 2πr^2 + 2500/r

(b) Antwoord: r = 5.84 cm

  1. dS/dr = 4πr − 2500/r^2 = 0
  2. r^3 = 1250/(2π)

(c) Antwoord: S = 642.37 cm²

  1. S = 2π(5.8377)^2 + 2500/5.8377

Vraestel I · Afdeling B · 12 punte

VRAAG 15

'n Kamera op 'n paal by P hou 'n pad dop wat die kromme y = x^2 + 3 volg, waar die eenhede honderde meter is. P is die punt (−7; 1). Om te bepaal waar die kromme naaste aan P is, is dit genoeg om die KWADRAAT van die afstand so klein moontlik te maak.

  1. (a)
    Q(x; x^2 + 3) is enige punt op die kromme. Toon aan dat die kwadraat van die afstand PQ gegee word deur D(x) = x^4 + 5x^2 + 14x + 53.
    (3)
  2. (b)
    Bepaal die koördinate van die punt op die kromme naaste aan P.
    (5)
  3. (c)
    Bepaal vervolgens die kortste afstand van P na die kromme, korrek tot twee desimale plekke.
    (2)
  4. (d)
    Gebruik D′′(x) om aan te toon dat x = −1 die kleinste afstand gee.
    (2)

[12]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: D(x) = x^4 + 5x^2 + 14x + 53

  1. PQ^2 = (x + 7)^2 + (x^2 + 3 − 1)^2
  2. = x^2 + 14x + 49 + x^4 + 4x^2 + 4
  3. = x^4 + 5x^2 + 14x + 53

(b) Antwoord: (−1; 4)

  1. D′(x) = 4x^3 + 10x + 14 = 0
  2. D′(−1) = 0, dus is (x + 1) 'n faktor
  3. (x + 1)(4x^2 − 4x + 14) = 0, en 4x^2 − 4x + 14 = 0 het geen reële wortels nie
  4. x = −1, dus is die punt (−1; 4)

(c) Antwoord: 6.71 eenhede

  1. D(−1) = 45
  2. PQ = 3√5 = 6.71

(d) Antwoord: D′′(−1) = 22 > 0, dus 'n minimum

  1. D′′(x) = 12x^2 + 10
  2. D′′(−1) = 22 > 0: die grafiek van D is daar konkaaf op

Vraestel I · Afdeling B · 13 punte

VRAAG 16

'n Graansilo is 'n silinder met radius r meter en hoogte h meter, met 'n plat sirkelvormige vloer en 'n halfsferiese dak. Dit moet 300 m³ hou. Die vloer kos R150 per vierkante meter om te bou, die geboë muur R300 per vierkante meter en die dak R450 per vierkante meter. (Volume van 'n sfeer = (4/3)πr^3; buite-oppervlakte van 'n sfeer = 4πr^2)

rh
  1. (a)
    Toon aan dat h = 300/(πr^2) − (2/3)r.
    (3)
  2. (b)
    Toon aan dat die koste om die silo te bou C = 180 000/r + 650πr^2 rand is.
    (3)
  3. (c)
    Bepaal, korrek tot twee desimale plekke, die radius wat die koste 'n minimum maak.
    (4)
  4. (d)
    Bereken die minimum koste, tot die naaste rand, en die hoogte h van die silinder daarvoor, korrek tot twee desimale plekke.
    (3)

[13]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

  1. die dak is 'n halwe sfeer
  2. πr^2h + (2/3)πr^3 = 300
  3. h = 300/(πr^2) − (2/3)r

(b) Antwoord: Sien die berekening hieronder.

  1. vloer 150(πr^2); muur 300(2πrh); dak 450(2πr^2)
  2. C = 150πr^2 + 600πr(300/(πr^2) − (2/3)r) + 900πr^2
  3. = 150πr^2 + 180 000/r − 400πr^2 + 900πr^2
  4. = 180 000/r + 650πr^2

(c) Antwoord: r = 3.53 m

  1. dC/dr = −180 000/r^2 + 1300πr = 0
  2. r^3 = 90 000/(650π)

(d) Antwoord: C = R76 437; h = 5.30 m

  1. C = 180 000/3.5323 + 650π(3.5323)^2 = R76 437.07
  2. h = 300/(π(3.5323)^2) − (2/3)(3.5323) = 5.30 m

Vraestel I · Afdeling B · 13 punte

VRAAG 17

P(x; y) is 'n punt op die kromme y = −x^2 + 12 in die eerste kwadrant, en Q is die punt op die x-as reg onder P. O is die oorsprong.

OPQxy
  1. (a)
    Toon aan dat die oppervlakte van driehoek OPQ gegee word deur A(x) = −(1/2)x^3 + 6x.
    (2)
  2. (b)
    Bepaal die koördinate van P waarvoor die oppervlakte van driehoek OPQ 'n maksimum is, en daardie maksimum oppervlakte.
    (6)
  3. (c)
    Vir watter waardes van x neem die oppervlakte van driehoek OPQ toe soos x toeneem?
    (2)
  4. (d)
    Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan die kromme by hierdie punt P.
    (3)

[13]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: A(x) = −(1/2)x^3 + 6x

  1. OQ = x en PQ = −x^2 + 12
  2. A = (1/2)x(−x^2 + 12) = −(1/2)x^3 + 6x

(b) Antwoord: P(2; 8); die oppervlakte is 8 vierkante eenhede

  1. A′(x) = −(3/2)x^2 + 6 = 0
  2. x = 2 (x > 0)
  3. y = 8
  4. A(2) = 8

(c) Antwoord: 0 < x < 2

  1. A′(x) > 0 tussen x = 0 en x = 2

(d) Antwoord: y = −4x + 16

  1. dy/dx = −2x = −4 by x = 2
  2. y − 8 = −4(x − 2)

Vraestel I · Afdeling B · 13 punte

VRAAG 18

Twee speelgoedtreine loop op ewewydige reguit spore. t sekondes nadat 'n stophorlosie begin is, is trein A s_A(t) = t^3 − 13t^2 + 62t sentimeter verby 'n merker, en trein B is s_B(t) = 18t + 32 sentimeter verby dit, vir 0 ≤ t ≤ 9.

  1. (a)
    Bereken die snelheid van trein A wanneer t = 6.
    (2)
  2. (b)
    Wanneer beweeg trein A die stadigste, en wat is sy snelheid dan? Gee jou antwoorde korrek tot twee desimale plekke waar nodig.
    (3)
  3. (c)
    Toon aan dat die treine langs mekaar is wanneer t = 1, en bepaal die ander tye wanneer hulle langs mekaar is.
    (4)
  4. (d)
    Trein B is weer voor tussen t = 4 en t = 8. Bepaal, korrek tot twee desimale plekke, wanneer in hierdie tyd trein B se voorsprong die grootste is, en daardie voorsprong.
    (4)

[13]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: 14 cm/s

  1. v_A(t) = s_A′(t) = 3t^2 − 26t + 62
  2. v_A(6) = 14 cm/s

(b) Antwoord: t = 4.33 s; 5.67 cm/s

  1. a_A(t) = v_A′(t) = 6t − 26 = 0 wanneer t = 13/3 ≈ 4.33
  2. a_A verander daar van negatief na positief, dus is die snelheid die kleinste
  3. v_A(13/3) = 17/3 ≈ 5.67 cm/s

(c) Antwoord: t = 4 s en t = 8 s

  1. s_A(t) − s_B(t) = t^3 − 13t^2 + 44t − 32
  2. by t = 1 is dit 0, dus is (t − 1) 'n faktor
  3. (t − 1)(t^2 − 12t + 32) = 0
  4. t = 4 of t = 8

(d) Antwoord: t = 6.36 s; 'n voorsprong van 20.75 cm

  1. B se voorsprong = s_B(t) − s_A(t) = −t^3 + 13t^2 − 44t + 32
  2. die afgeleide: −3t^2 + 26t − 44 = 0
  3. t = 6.36 (die wortel tussen 4 en 8)
  4. voorsprong = 20.75 cm

Om die grafiek van f' te lees

2 vrae · 22 punte

Vraestel I · Afdeling B · 12 punte

VRAAG 19

Die grafiek van y = f′(x), die afgeleide van 'n derdegraadse funksie f, is hieronder geteken. Dit raak die x-as by C(1; 0) en sny die y-as by (0; −1).

xyOC(1; 0)(0; −1)f′
  1. (a)
    Bepaal die vergelyking van f′.
    (3)
  2. (b)
    Gegee dat f(0) = −7, bepaal f(x).
    (4)
  3. (c)
    Is x = 1 'n draaipunt van f, of 'n buigpunt? Gee 'n rede.
    (2)
  4. (d)
    Bepaal die x-waardes waar die raaklyn aan f 'n gradiënt van −1 het.
    (3)

[12]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: f′(x) = −x^2 + 2x − 1

  1. f′(x) = a(x − (1))^2, wat die x-as by C raak
  2. −1 = a(1)^2, dus a = −1

(b) Antwoord: f(x) = −(1/3)x^3 + x^2 − x − 7

  1. f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d met f′(x) = 3ax^2 + 2bx + c = −x^2 + 2x − 1
  2. a = −1/3, b = 1, c = −1
  3. f(0) = d = −7

(c) Antwoord: 'n Buigpunt

  1. f′(1) = 0, maar f′ verander nie van teken by x = 1 nie
  2. dus het f daar 'n horisontale buigpunt

(d) Antwoord: x = 0 of x = 2

  1. −1(x − (1))^2 = −1
  2. (x − (1))^2 = 1

Vraestel I · Afdeling B · 10 punte

VRAAG 20

Die grafiek van y = f′(x), die afgeleide van 'n derdegraadse funksie f, is hieronder geteken. Dit sny die x-as by (−1; 0) en (1; 0) en die y-as by (0; 1/2).

xyO(−1; 0)(1; 0)(0; 1/2)f′
  1. (a)
    Vir watter waardes van x is f stygend?
    (2)
  2. (b)
    Skryf die x-koördinate van die draaipunte van f neer, en sê watter een 'n lokale maksimum is.
    (3)
  3. (c)
    Bepaal die x-koördinaat van die buigpunt van f.
    (2)
  4. (d)
    Vir watter waardes van x is f konkaaf op?
    (2)
  5. (e)
    Skryf die gradiënt van die raaklyn aan f by x = 0 neer.
    (1)

[10]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: −1 < x < 1

  1. f is stygend waar f′(x) > 0: waar die grafiek van f′ bo die x-as lê

(b) Antwoord: x = 1 (lokale maksimum) en x = −1 (lokale minimum)

  1. f′(x) = 0 by x = −1 en x = 1
  2. f′ verander van positief na negatief by x = 1: 'n maksimum

(c) Antwoord: x = 0

  1. f′′(x) = 0 waar f′ sy draaipunt het
  2. x = (−1 + 1)/2 = 0

(d) Antwoord: x < 0

  1. f is konkaaf op waar f′′(x) > 0: waar f′ stygend is

(e) Antwoord: 1/2

  1. die gradiënt van f by x = 0 is f′(0) = 1/2

Gemiddelde gradiënt en die limiet

1 vrae · 12 punte

Vraestel I · Afdeling A · 12 punte

VRAAG 21
  1. (a)
    'n Watervuurpyl word reguit opwaarts van 'n platform gelanseer. Sy hoogte bo die grond t sekondes later is h(t) = −5t^2 + 15t + 20 meter, totdat dit land. Van watter hoogte bo die grond begin dit?
    (1)
  2. (b)
    Bereken die gemiddelde tempo van verandering van sy hoogte oor die eerste 2 sekondes.
    (2)
  3. (c)
    Bereken die tempo waarteen sy hoogte verander op die oomblik t = 3 s, en sê of dit dan styg of daal.
    (3)
  4. (d)
    Bepaal die grootste hoogte wat dit bereik, en wanneer.
    (3)
  5. (e)
    Teen watter spoed tref dit die grond?
    (3)

[12]

Wys die antwoorde

(a) Antwoord: 20 m

  1. h(0) = 20

(b) Antwoord: 5 m/s

  1. (h(2) − h(0))/(2 − 0) = (30 − 20)/2
  2. = 5 m/s

(c) Antwoord: −15 m/s: dit daal

  1. h′(t) = −10t + 15
  2. h′(3) = −15
  3. negatief: dit daal

(d) Antwoord: 31.25 m, na 1.5 s

  1. h′(t) = −10t + 15 = 0
  2. t = 1.5
  3. h(1.5) = 31.25

(e) Antwoord: 25 m/s

  1. h(t) = 0: −5(t − 4)(t + 1) = 0, dus t = 4 (t > 0)
  2. h′(4) = −25
  3. die spoed is 25 m/s

Laai hierdie boekie af

Dieselfde vrae as 'n boekie om te druk, met die memorandum as 'n aparte lêer sodat jy kan werk sonder dat die antwoorde voor jou lê. In Engels en Afrikaans.

Elke vraag op hierdie bladsy is vir hierdie werf deur 'n rekenaarenjin gegenereer, en die antwoord is deur 'n onafhanklike metode bevestig op die oomblik toe die vraag gemaak is.

Alle IEB-oefening · Skryf hierdie vraestel op tyd · English